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25.1比例线段
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.若,则下列式子中正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知,若,则等于( )
A. B. C. D.
3.已知P为线段的黄金分割点,,,则的长为( )
A. B. C. D.
4.美术专家认为:如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数,那么就非常美丽,已知一个女孩身高为,下半身为,请你们替她选一个高度最理想的高跟鞋,则高度应为( )
A. B. C. D.
5.若,则( )
A. B. C. D.
6.大自然是美的设计师,即使一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,P为的黄金分割点,如果的长度为,那么的长度是( )
A. B. C. D.
7.下列各组中的四条线段成比例的是( )
A. B. C. D.
8.“黄金格”是当代书法大师启功先生独创的习字格,深受众多书法爱好者的喜爱.如图,正方形是黄金习字格的边框,正方形每条边上的格点(端点除外)都是这条线段的黄金分割点,若,则长为( )
A. B.6 C. D.8
9.如果,那么下列比例式正确的是( )
A. B. C. D.
10.若,则的值是( )
A. B. C. D.
11.如果(,,,均不为零),那么下列比例式正确的是( )
A. B. C. D.
12.已知,那么下列比例式中成立的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.已知a,b,c,d是成比例线段,若,则d的长为 .
14.如图,在小提琴的设计中,蕴含着数学知识,,,各部分长度的比满足,已知,则的长为 .(结果保留根号)
15.小慧同学在学习“图形的相似”一章后,发现学习内容是一个逐步特殊化的过程,下图就是一个特殊化的学习过程,图中横线上应填写的数值是 .
16.如图,在中,高与的长分别为、,则与的长度之比是 .
17.若,且,则的值为 .
三、解答题
18.如图,已知线段,用尺规作图法按如下步骤作图.
(1)过点B作的垂线,并在垂线上取.
(2)连接,以点C为圆心,为半径画弧,交于点E.
(3)以点A为圆心,为半径画弧,交于点D.则点D是线段的黄金分割点,请说明其中的道理.
19.已知a,b,c是的三边长,且.
(1)求的值;
(2)若的周长为81,求三边a,b,c的长.
20.某校要设计一座高的雕像(如图),使雕像的点(肚脐)为线段(全身)的黄金分割点,上部(肚脐以上)与下部(肚脐以下)的高度比为黄金比.则雕像下部设计的高度应该为多少(结果精确到)米. (,结果精确到).
21.在人体的躯干上,肚脐是理想的黄金分割点,即脚底到肚脐的高度与身高的比值越接近0.618,越给人以美感.一名模特脚底到肚脐的高度与身高的比值为0.60,她的身高为.她选择多少厘米高的高跟鞋看起来会更美(结果精确到)?
22.已知线段,,,是成比例线段,其中,,,求线段的长.
23.已知,且.求的值.
24.已知四个数a,b,c,d成比例.
(1)若,,,求d;
(2)若, ,,求c.
《25.1比例线段》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C C D D C C A
题号 11 12
答案 C B
1.C
【分析】本题考查了比例的性质,准确熟练地进行计算是解题的关键.
根据比例的性质进行计算,逐一判断即可解答.
【详解】解:A、,
,
故A选项不符合题意;
B、,
,
故B选项不符合题意;
C、,
,
,
故C符合题意;
D、,
,
,
故D不符合题意;
故选:C.
2.B
【分析】根据比例的性质得出,进而即可求解.
【详解】解:∵
∴
∴
∵
∴,
故选:B.
【点睛】本题考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是解题的关键.
3.A
【分析】本题考查了黄金分割的概念.黄金分割的定义,把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值叫做黄金比,据此即可求解.
【详解】解:点是线段上的一个黄金分割点,且,,
.
故选:A.
4.C
【分析】设高跟鞋的高度为,则根据下身长与自己的身高之比是黄金分割数,解出即可得出答案.
【详解】解:设高跟鞋的高度是,
则,
解得:,即高跟鞋的高度应为.
故选:C.
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念,熟记黄金比的值,进一步根据黄金比的值求解.注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度.
5.C
【分析】根据已知等式可得,再代入所求代数式计算可得答案.
【详解】解:∵,
∴,
∴
故选C.
【点睛】此题考查的是比例的性质,能够对所给等式进行正确变形是解决此题的关键.
6.D
【分析】本题考查黄金分割,根据黄金分割的定义得到,进而可求出的长.
【详解】解: P为的黄金分割点,,
,
.
故选D.
7.D
【分析】根据比例的性质,线段成比例的计算方法即可求解.
【详解】解:、,故不符合题意;
、,故不符合题意;
、,故不符合题意;
、,故符合题意;
故选:.
【点睛】本题主要考查比例的性质,理解比例的性质,掌握线段成比例的计算是解题的关键.
8.C
【分析】本题考查了黄金分割.熟练掌握黄金分割是解题的关键.
由题意知,,可求得.
【详解】解:由题意知,,,
∴,
解得,.
故选:C.
9.C
【分析】根据比例的性质求解即可.
【详解】解:∵,
∴,
∴四个选项中只有选项C正确,
故选C.
【点睛】本题主要考查了比例的性质,熟知内项之积等于外项之积是解题的关键.
10.A
【分析】本题考查了比例的性质,分式的求值,设,代入约分化简即可.
【详解】解:∵,
∴设,代入,得
.
故选A.
11.C
【分析】本题考查了比例的基本性质,根据比例的基本性质,将选项中给出的比列式进行变形即可,解题的关键是熟练掌握比例的基本性质.
【详解】解:、由,则,此选项不符合题意;
、由,则,此选项不符合题意;
、由,则,此选项符合题意;
、由,则,此选项不符合题意;
故选:.
12.B
【分析】此题主要考查了比例的性质,正确将已知变形是解题关键.直接利用比例的性质变形得出答案.
【详解】解:,
,
则,
故选:B.
13.
【分析】本题考查了成比例线段,写比例式的时候一定要注意顺序,再根据比例的基本性质进行求解.
根据a、b、c、d是成比例线段,得,再根据比例的基本性质,求出d的值即可.
【详解】解:∵a、b、c、d是成比例线段,
∴,
∵,
∴
∴;
故答案为:.
14.
【分析】本题考查了黄金分割,熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键.依据黄金分割的定义进行计算即可.
【详解】解:∵,,各部分长度的比满足,,
∴,
故答案为:.
15.2
【分析】根据得到a,b,c之间的关系,再等量代换得到a,c的关系.
本题考查与成比例线段相关的比例式的计算,根据比例相等得到等量关系是解决问题的关键.
【详解】,
,
,
,
故答案为 2.
16./
【分析】根据三角形的面积公式,得到,再利用比例的性质,即可得到答案.
【详解】解:,
,
,
高与的长分别为、,
,
即与的长度之比是,
故答案为:.
【点睛】本题考查了三角形的面积公式,比例的性质,熟练掌握比例的性质是解题关键.
17.
【分析】根据比例的性质得到,结合求得的值即可.
【详解】解:由::知,
所以
所以由得到:,
解得:,
故答案为:.
【点睛】考查了比例的性质,内项之积等于外项之积.若,则.
18.见解析
【分析】设长为x,则长为,利用勾股定理可得,进而可得,即可得,问题得解.
【详解】解:设长为x,则长为,
,
.
,
,
,
,
即点D是线段的黄金分割点.
【点睛】本题主要考查了黄金分割的相关知识,根据题意,求出,,掌握黄金分割点的定义,是解答本题的关键.
19.(1)
(2),,
【分析】本题主要考查了比例的性质,解一元一次方程等知识点,
(1)根据比例的性质可设,则,,再代入所求的式子计算即可;
(2)根据三角形的周长公式计算即可解答;
熟练掌握比例的性质并能灵活运用是解决此题的关键.
【详解】(1)解:∵.
∴可设,则,,
∴,
(2)解:由(1)知,,则,,
∵的周长为81,
∴,
解得,
∴,,.
20.米
【分析】设雕像下部的设计高度为xm,那么雕像上部的高度为m.根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比,列出方程求解即可.
【详解】解:设雕像下部的设计高度为xm,那么雕像上部的高度为m.
依题意,得
解得(不合题意,舍去).
经检验,是原方程的根.
∴雕像下部设计的高度应该为:.
【点睛】本题考查了黄金分割的应用,利用黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.
21.她选择大约高的高跟鞋看起来会更美
【分析】本题考查了黄金分割,解决本题的关键是掌握黄金分割的定义.
根据黄金分割定义:下半身长与全身的比等于0.618即可求解.
【详解】解:设这名模特脚底到肚脐的高度为.
由题意,得,解得.
设她选择高的高跟鞋看起来会更美,
则,解得.
经检验,是原方程的解且符合题意.
她选择大约高的高跟鞋看起来会更美.
22.
【分析】本题考查了成比例线段的定义,由题意得出即可求解.
【详解】解:已知,,,是成比例线段,
根据成比例线段的定义得,
代入,,得:,
解得:,
∴线段的长为
23.18
【分析】本题考查了比例的性质,根据比例设为,然后代入等式求出k值,再求出,代入代数式进行计算即可得解.
【详解】解:∵,
∴设,
又∵,
∴,
整理得,,
解得,,
∴,
∴.
24.(1)
(2)
【分析】此题考查了成比例线段的定义.此题比较简单,解题的关键是注意掌握比例线段的定义.
(1)根据四个数a,b,c,d成比例,得出,然后代入数据进行计算即可;
(2)根据四个数a,b,c,d成比例,得出,然后代入数据进行计算即可.
【详解】(1)解:∵四个数a,b,c,d成比例,
∴,
∵,,,
∴,
即,
∴.
(2)解:∵四个数a,b,c,d成比例,
∴,
∵, ,,
∴,
即.
∴.
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