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25.7相似多边形和图形的位似
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第二象限,点B坐标为,点C坐标为,以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形.若点A的对应点的坐标为,点B的对应点的坐标为,则点A坐标为( )
A. B. C. D.
2.下列图形中不是位似图形的是( )
A. B.
C. D.
3.如图,图形甲与图形乙是位似图形,是位似中心,相似比为,点的对应点分别为点.若,则的长为( )
A.9 B.10 C.12 D.15
4.下列命题中,假命题是( )
A.两个正方形一定相似 B.两个菱形一定相似
C.两个等腰直角三角形一定相似 D.两个等边三角形一定相似
5.两个相似多边形的相似比为,则它们的面积比为( )
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中,已知,,连接、、,以原点为位似中心,位似比为,把缩小,则点的对应点的坐标为( )
A. B.
C.或 D.或
7.下列说法:①两个形状相同的多边形称为全等多边形;②如果两个多边形的边、角对应相等,那么这两个多边形全等;③全等多边形的形状、大小都相同;④面积相等的两个多边形全等.其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①③ D.②③
8.下列各选项中的两个图形不一定相似的是( )
A.两个斜边不等的等腰直角三角形
B.两个边长不等的菱形
C.两个边长不等的等边三角形
D.两个边长不等的正方形
9.一个边长为 a 的正方形纸片,如果面积变成原来的 6 倍,则边长应扩大为原来的( )
A.6 倍 B.3 倍 C.2 倍 D.倍
10.如图,与为位似图形,且顶点都在正方形格点上,若与的位似比为k,则位似中心的坐标与k的值分别为( )
A., B.,2 C., D.,2
11.如图,在平面直角坐标系中,已知,,且与位似,原点是位似中心,若的面积为0.6,则的面积为()
A.1.2 B.2.4 C.5.4 D.6
12.下列图形中,一定相似的是( )
A.两个等腰三角形 B.两个菱形 C.两个正方形 D.两个等腰梯形
二、填空题
13.如图,在平面直角坐标系中,点、的坐标分别为、,点、的坐标分别为、.若线段和是位似图形,且位似中心在轴上,则位似中心的坐标为 .
14.如图,平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡(看作一个点O),灯泡发出的光线照射后,在地面上形成阴影.已知灯泡距离地面,灯泡距离纸片,若的面积为4,则阴影部分的面积为 .
15.相似比:相似多边形 的比叫做相似比.
16.在方格图中,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中,格点、成位似关系,则位似中心的坐标为 .
17.如图,以点为位似中心,作四边形的位似图形,已知,,若四边形的面积为,则四边形的面积为 .
三、解答题
18.如图,在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为,,.
(1)以原点为位似中心,在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的,请写出点的对应点的坐标;
(2)画出将向左平移1个单位,再向上平移2个单位后得到的,写出点的对应点的坐标;
(3)请在图中标出与的位似中心,并写出点的坐标.
19.如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点的坐标分别为.
(1)以原点O为位似中心,在y轴左侧画一个,使它与位似,且相似比为;
(2)请写出点A的对应点的坐标__________;
(3)若以点A,B,O,P为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出满足条件的点P的坐标.
20.如图,网格中每个小正方形的边长是1,在网格中的位置如图所示.
(1)请在网格中画出关于点D位似的,点A与点E,点B与点F,点C与点G分别是对应点,且与的位似比是.
(2)在(1)的条件下,已知点在的边上,求点P的对应点Q的坐标.
21.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,已知格点线段和格点O(格点为网格线的交点).
(1)以点O为位似中心,利用网格将线段放大2倍得到线段,画出线段;
(2)以线段为边画格点平行四边形.
22.如图在平面直角坐标系中,的顶点坐标分别为,在y轴右侧,以原点O为位似中心画一个,使它与位似,相似比是.
(1)请画出;
(2)请直接写出各顶点的坐标;
(3)若内部一点M的坐标为,则点M的对应点的坐标是 .
23.如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点的坐标分别为,,.
(1)与是位似图形,位似中心是点E,请在图中标出点E的位置,并写出点E的坐标;
(2)以点为位似中心,将放大为原来的2倍得到(其中与A,与B,与C是对应点,并且每对对应点分别在点D的同侧).
24.如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点的坐标分别为,,.
(1)把向左平移4个单位,再向下平移5个单位,画出平移后的;
(2)画出关于x轴对称的;
(3)画出以O点为位似中心的位似图形,使得与的位似比为,并写出各顶点的坐标.
《25.7相似多边形和图形的位似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B B C D B D D
题号 11 12
答案 C C
1.D
【分析】此题考查了位似的性质,相似三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握位似图形的性质.
作轴,轴,如图,利用相似三角形的性质求得和的长度,进而即可求解.
【详解】解:作轴,轴,如图
∵, , ,
∴,,,
∴,,
∵由题意可得:
∴
∵,
∴
∴
∴,
∴
∴点A坐标为
故选:C
2.D
【分析】此题主要考查了位似图形,正确把握位似图形的定义是解题关键.根据位似图形的定义,如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫作位似图形,根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案.
【详解】解:、是位似图形,故本选项不符合题意;
、是位似图形,故本选项不符合题意;
、是位似图形,故本选项不符合题意;
、不是位似图形,故本选项符合题意;
故选:.
3.C
【分析】本题考查了位似图形的性质,根据相似比为,即可解答,掌握该图形的两个图形是相似图形是解题的关键.
【详解】解:图形甲与图形乙是位似图形,是位似中心,相似比为,
,
,
,
故选:C.
4.B
【分析】本题考查了相似形的判定及命题的真假判断,根据相似图形的定义逐项判断即可求解,掌握正方形、菱形、等腰直角三角形和等边三角形的性质是解题的关键.
【详解】解:、两个正方形角都是直角一定相等,四条边都相等一定成比例,所以一定相似,故选项是真命题;
、两个菱形的边成比例,但角不一定相等,所以不一定相似,故选项是假命题;
、两个等腰直角三角形的底角都是一定相等,所以一定相似,故选项是真命题;
、两个等边三角形的角都是一定相等,所以一定相似,故选项是真命题;
故选:B.
5.B
【分析】本题考查了相似多边形的性质,熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键:相似多边形的对应角相等,对应边成比例;相似多边形对应对角线的比等于相似比;相似多边形周长的比等于相似比;相似多边形中的对应三角形相似,相似比等于多边形的相似比;相似多边形的面积比等于相似比的平方.
根据相似多边形的性质“相似多边形的面积比等于相似比的平方”即可直接得出答案.
【详解】解:两个相似多边形的相似比为,
它们的面积比为:,
故选:.
6.C
【分析】本题考查的是位似变换,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或.
【详解】解:∵,
∴的坐标为或,
即的坐标为或,
故选:C.
7.D
【分析】根据全等形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可.
此题主要考查了全等形,关键是掌握全等形的形状和大小完全相同.
【详解】解:①形状、大小都相同的多边形称为全等多边形,错误;
②如果两个多边形的边、角对应相等,那么这两个多边形全等,正确;
③全等多边形的形状、大小都相同, 正确;
④面积相等的两个多边形不一定全等,错误.
故选D.
8.B
【分析】本题考查相似图形的判定,如果两个图形的对应角相等且对应边的比例相等,那么这两个图形就是相似图形,据此逐项判断即可得出答案.
【详解】解:A,两个斜边不等的等腰直角三角形,对应角相等且对应边的比例相等,一定相似;
B,两个边长不等的菱形,对应边的比例相等但对应角不一定相等,不一定相似;
C,两个边长不等的等边三角形,对应角相等且对应边的比例相等,一定相似;
D,两个边长不等的正方形,对应角相等且对应边的比例相等,一定相似;
故选B.
9.D
【分析】此题考查相似图形问题,根据正方形的面积公式:,和积的变化规律,积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积,由此解答.
【详解】解:根据正方形面积的计算方法和积的变化规律,如果一个正方形的面积扩大为原来的6倍,那么正方形的边长是原来正方形边长的倍.
故选:D.
10.D
【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形的性质等知识.两对对应点的连线的交点即为位似中心;找到任意一对对应边的边长,让其相比即可求得k.
【详解】解:如图,连接,延长交的延长线于点,
点就是位似中心,坐标为,
.
.
故选:D.
11.C
【分析】根据位似图形的性质得出的长,进而得出,求出的长即可.
【详解】解:∵与是位似图形,它们的位似中心恰好为原点,已知点坐标为点坐标为,
故选:C.
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质,根据已知点的坐标得出是解题关键.
12.C
【分析】本题主要考查了相似图形的定义,根据“对应角相等,对应边成比例的图形相似”逐个判断即可.
【详解】解:A、两个等腰三角形的边不一定成比例,角不一定相等,所以不一定相似,故本选项不符合题意.
B、两个菱形的对应边成比例,角不一定相等,所以不一定相似,故本选项不符合题意;
C、两个正方形角都是直角一定相等,四条边都相等一定成比例,所以一定相似,故本选项符合题意;
D、两个等腰梯形的边不一定成比例,角不一定相等,所以不一定相似,故本选项不符合题意;
故选C.
13.
【分析】根据题意,位似中心在轴上,如图所示,连接与轴交于点,则点是位似中心,运用待定系数法求出直线的解析式,令,即可求解.
【详解】解:如图所示,连接与轴交于点,则点是位似中心,
∵,,
∴设所在直线的解析式为,
∴,解得,,
∴直线的解析式为,
当时,,
∴位似中心的坐标是,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查位似与一次函数的综合,掌握位似的定义,待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.
14.16
【分析】本题主要考查了位似图形的性质,根据题意可得与是位似图形,且位似比为,再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可.
【详解】解:由题意得,与是位似图形,且位似比为,
∵的面积为4,
∴阴影部分的面积为16,
故答案为:16.
15.对应边
【解析】略
16.
【分析】主要考查位似图形的性质.
根据题意确定直线的解析式为:,由位似图形的性质得出所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心,即可求解.
【详解】解:由图得:,
设直线的解析式为:,将点代入得:
,解得:,
∴直线的解析式为:,
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心,
∴当时,,
∴位似中心的坐标为,
故答案为:.
17.
【分析】本题考查位似图形,根据面积比等于位似比的平方,即可求解.
【详解】∵,,以点为位似中心,作四边形的位似图形,
∴,
∵四边形的面积为,
∴四边形的面积为,
故答案为:.
18.(1)图见解析,点的坐标
(2)图见解析,点的坐标
(3)图见解析,
【分析】(1)利用位似的定义作图,再根据点的位置直接写出点的坐标即可;
(2)利用平移的性质作图,并写出坐标即可;
(3)连接任意两对对应点,它们的交点即为所求.
【详解】(1)如图即为所求作的三角形,点的坐标;
(2)如图,即为所求作的三角形,点的坐标;
(3)点即为所求作;.
【点睛】本题考查了图形的位似作图、图形的平移等知识,解题关键是掌握位似作图的概念与方法.
19.(1)见解析
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了位似图形的坐标系中的作图,平移法,平行四边形的判定和性质,
(1)根据位似比,结合位置要求画图形即可.
(2)根据位似比,结合位置,确定位似点的坐标为或,计算即可.
(3)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,利用平移法求解即可.
【详解】(1)解:根据题意,似比为,,
故位似点的坐标为,画图如下:
,
则即为所求.
(2)解:根据(1)得,
故答案为:.
(3)解:根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,求解如下:
∵,
当点O平移得到点B时,即实现了向右平移1个单位,再向下平移2个单位的平移变换,
∴向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到点P,此时四边形是平行四边形,
且,
故坐标为;
当点B平移得到点O时,即实现了向左平移1个单位,再向上平移2个单位的平移变换,
∴向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到点P,此时四边形是平行四边形,
且,
故坐标为;
当点A平移得到点B时,即实现了向左平移1个单位,再向下平移3个单位的平移变换,
∴向左平移1个单位,再向下平移3个单位得到点P,此时四边形是平行四边形,
且,
故坐标为;
当点B平移得到点A时,即实现了向右平移1个单位,再向上平移3个单位的平移变换,
∴向右平移1个单位,再向上平移3个单位得到点P,此时四边形是平行四边形,
且,
故坐标为;
综上所述,点P的坐标为或或.
20.(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了位似作图、位似的性质、求对应点坐标等知识点,理解位似的性质成为解题的关键.
(1)如图,连接并延长到长度找到各点的对应点E、D、F,然后顺次连接E、D、F即可解答;
(2)先确定点P的位置,再连接并延长至Q,使得,然后读出点Q的坐标即可.
【详解】(1)解:如图:即为所求.
(2)解:如图:点P的对应点Q的坐标为.
21.(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了画已知线段的位似图形以及平行四边形的定义等知识,掌握位似图形的性质是解答本题的关键.
(1)根据位似图形的性质画图即可;
(2)根据平行四边形的定义,结合网格图即可作答.
【详解】(1)解:如图,即为所求;
(2)如图,平行四边形即为所求(本题答案不唯一).
22.(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查坐标与图形变换—位似,熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键;
(1)找到点A,B,C的对应点,即可求解;
(2)直接根据(1)中图形解答即可;
(3)根据位似图形的性质解答,即可.
【详解】(1)解:如图,即为所求.
(2)解:由图可得,
(3)解:∵内部一点M的坐标为,在y轴右侧,且与位似,相似比是,
∴点M的对应点的坐标是.
故答案为:
23.(1)图见解析,点E的坐标为.
(2)见解析
【分析】本题考查根据位似图形找位似中心,位似作图,掌握位似图形的特征是解题的关键.
(1)由位似中心是对应点连线的交点作图即可,再根据点的位置直接写出点的坐标即可解题;
(2)根据位似比确定、、的位置,再连线即可得到.
【详解】(1)解:点E的位置如下图所示:
由图知,点E的坐标为.
(2)解:得到如图所示:
24.(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析;,,
【分析】本题主要考查了位似作图,轴对称作图,平移作图,根据题意作出对应点的位置,是解题的关键.
(1)先作出点、B、C平移后的对应点、、,然后顺次连接即可;
(2)先作出点A、B、C关于x轴的对称点、、,然后顺次连接即可;
(3)先根据位似作出点A、B、C的对称点、、,然后顺次连接即可;最后根据图形写出点、、的坐标即可.
【详解】(1)解:如图,即为所求作的三角形;
(2)解:如图,即为所求作的三角形;
(3)解:如图,即为所求作的三角形;,,.
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