26.1锐角三角函数同步练习（含解析）冀教版数学九年级上册

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26.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，若的三边都缩小，则的值（　　）
A．缩小 B．放大3倍 C．不变 D．无法确定
2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段和的端点都在网格线的交点上．若与相交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ 　）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，已知，，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．以上均不正确
6．如图，在中，，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．若α为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，， ，，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
11．如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（ ）
A． B． C． D．
12．在中，，，．下列四个选项，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为
14．如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ．
15．如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东的方向且与轮船相距52海里．若该轮船不改变航向继续航行，则轮船与A岛的最近距离是 海里．（用含三角函数的式子表示）
16．在中，，，，那么 ．
17．在中，，若，，则的长是 ．
三、解答题
18．如图，在中，D是的中点，，且，求的值．
19．如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长．
20．如图，在中，于，．
(1)求证：．
(2)若，，求的面积．
21．已知，，是的三边，，，满足等式，且，求的值．
22．如图，在中过点A作，垂足为E，连接，F为上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
23．已知：如图，中，，点是边上的一点，且，，．
(1)求的长；
(2)作于，求的正弦值．
24．如图，在中，，于点，是的中点，连接，，．
(1)求线段的长．
(2)求线段的长．
《26.1锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D B B C C A B
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正弦函数的定义，正确理解正弦函数的定义是解题的关键．变化后的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，可得的大小不变，即得答案．
【详解】在中，，若的三边都缩小，则变化后的三角形与原三角形相似，可知的大小没有发生变化，故的值不变．
故选C．
2．B
【分析】本题考查了求正切值，平行四边形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．取格点F，连接、，根据网格的特点可推出四边形为平行四边形，从而得到，然后根据勾股定理的逆定理可得，即可求得．
【详解】解：取格点F，连接、，如图，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，，，
，
，
．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查旋转性质，三角函数求值，勾股定理．根据题意过点作，利用旋转性质可知，再利用勾股定理求得的长，即可得到答案；
【详解】解：过点作，
，
∵绕着点A逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．D
【分析】根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，求出的长度，再由勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出的长，根据三角函数的定义可求出结论．
【详解】解：设与相交于，
∵四边形是菱形，，
∴，
由勾股定理得到：，
又∵，
∴，
∴，
∵，
，
，
即，
解得：，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形面积的计算，角的正弦；根据菱形的面积求得的长度是解决问题的关键．
5．B
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断的形状，再根据三角函数的定义依次分析各项即可
【详解】∵
∴是直角三角形
∴，，
故选：B
【点睛】直角三角形的判定和性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注
6．B
【分析】本题考查求余弦以及勾股定理，熟练掌握余弦的定义是解题关键．
先通过勾股定理求得，再通过角度关系得到，再通过余弦定义求出即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】根据α为锐角，且，得到，求即可.
本题考查了特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
【详解】解：∵α为锐角，且，
∴，
∴，
故选：C.
8．C
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要，必须熟练掌握知识点是解题关键．根据锐角三角函数的定义即可求得答案．
【详解】解：在中，，，，
，
，
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了锐角三角函数，根据余弦的定义解答即可求解，掌握余弦的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
10．B
【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，余弦函数，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．根据已知，，不妨设，则，根据正切函数的定义解答即可．
【详解】解：根据已知，，不妨设，则，
故．
故选：B．
11．C
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合．由题得：，，，根据勾股定理求出，，进而求出，即可求解．
【详解】解：由题得，，，，
，，
，，
在中，，
则，
故选：C．
12．C
【分析】根据勾股定理求出的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：如图，
在中，，，
∴根据勾股定理得：，
∴，，，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
13．5
【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
14．
【分析】本题考查图形的翻折变换，设，，根据折叠的性质得，再利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义即可得解．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．
【详解】解：设，，
∴，
∵将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了锐角三角函数，方位角，正确理解余弦的概念是解题关键．根据，即可求出的值．
【详解】解：在中，，
，海里，
（海里），
故答案为：．
16．8
【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据，，，解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：如图：在中，，
，，
，
故答案为：8．
17．80
【分析】本题考查解直角三角形．根据，代入数据求得，再利用勾股定理即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】本题主要考查三角函数的定义．过点作，交于E，得到，设，则，再根据已知条件与平行线的性质得到，即，进而求得，，进而求出角的函数值．
【详解】解：过点D作，交于E，如图，
∴，
在中，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴；
在中，，，
∴，
∴．
19．
【分析】过A作，在中，因为，，得到，，在中，由，得到，从而得到，再结合垂直平分，得到，，在中，根据，得到，进而根据图形上线段关系得到．
【详解】过A作，垂足为点H，如图所示：
在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角函数求线段长问题，涉及含角的直角三角形性质、正切函数、垂直平分线的性质、余弦函数等知识，熟练掌握三角函数求线段长是解决问题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角函数的概念可知，，根据即可得结论；
（2）由的余弦值和（1）的结论即可求得，利用勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）证明：，，，
，
；
（2）解：，，
，
，
，，
，
，
的面积=．
【点睛】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算，熟练掌握三角函数的概念是解题关键．
21．
【分析】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解直角三角形，应把所给的式子进行整理，判断出三角形的形状，进而计算相应角的正弦值的和．理解在直角三角形中，一个角的正弦值等于它的对边与斜边之比是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
即：，
是以为斜边的，
，
，
设，则，
中，，
．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，则，，进而可证；
（2）由，可求，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：由题意知，，
∴，解得，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定，正弦是解题的关键．
23．(1)
(2)．
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）首先证明，由相似三角形的性质可知，借助勾股定理计算出，即可确定的长；
（2）首先由相似三角形的性质计算，即可确定，然后证明，由相似三角形的性质求得的值，然后计算的长，在中求的正弦值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
24．(1)25
(2)7
【分析】本题主要考查了正弦函数、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握正弦函数成为解题的关键．
（1）在中运用正弦函数可得，然后再根据直角三角形的性质即可解答；
（2）先运用勾股定理求得，再中运用正弦函数求出，然后利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，即，解得：，
∵是的中点，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：，
∴．
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