26.2锐角三角函数的计算同步练习（含解析）冀教版数学九年级上册

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26.2锐角三角函数的计算
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果中，，则下列结论正确的是（　　）
A．是等边三角形 B．是钝角三角形
C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形
2．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，是放置在正方形网格中的一个角，、、都是格点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，，用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是（　　）

A． B．
C． D．
6．在中，，若，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
7．的值是（　　）
A． B． C． D．
8．已知为锐角，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，则的值（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不确定，与的值有关
10．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，则的正弦值是（ ）
A．1 B． C． D．
12．一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接．小王同学通过多次实践得到以下结论：
①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动；
②当达到最大值时，到直线的距离达到最大；
③的最小值为；
④达到最小值时，．
你认为小王同学得到的结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．的值是 ．
14．比较大小： （填“”“”或“”）．
15． ．
16．计算：s ．
17．计算： ．
三、解答题
18．在中，，分别是，，的对边．
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
19．计算：．
20．计算：
21．计算：
22．根据下列条件用计算器求锐角的度数（精确到）：
(1)，求的度数；
(2)，求的度数；
(3)，求的度数．
23．如图，在中，，，，点在上，且．求的长和的值．
24．如下图，在中，为边上的中线．
(1)求的长和的值．
(2)求的值．
《26.2锐角三角函数的计算》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C B A D D A B
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键．
根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答．
【详解】解：，
，
是等腰直角三角形．
故选C．
2．A
【分析】本题考查了特殊三角函数值以及关于y轴对称的点的坐标规律.
根据计算得出点M的坐标，再根据关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数的性质求出对称点的坐标.
【详解】解：
所以点的坐标为，
所以点关于y轴对称的点的坐标为
故选： A．
3．C
【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查互余两角的三角函数之间的关系，如：，（为锐角）．理解和掌握互余两角的三角函数的关系式是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是根据网格的性质，求出，，的长，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，且，根据余弦定义进行解答，即可．
【详解】解：连接，
由网格可得，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了正弦三角函数的定义，及其用计算器求值．根据正弦函数的定义，可得，然后根据科学计算器的应用进一步计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
用科学计算器计算，按键顺序是 ．
故选：B．
6．A
【分析】在直角三角形中，求出的度数，即可求．
【详解】解：如图所示，∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，解决本题的关键是掌握特殊角的三角函数值．
7．D
【分析】本题主要考查了特殊角锐角函数值．根据特殊角锐角函数值解答即可．
【详解】解：．
故选：D
8．D
【分析】判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，即可得到正确选项．
【详解】解：∵，，
∴ ．
故选：D
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的增减性知识；判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间是解决本题的关键．
9．A
【分析】根据锐角三角函数的概念表示出，，所以；再根据三角形的三边关系进行分析．
【详解】解：设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是．
根据锐角三角函数的概念，得
，．
所以，
再根据三角形的三边关系，得，
故的值大于1．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，首先理解锐角三角函数的概念，再结合三角形的三边关系进行分析．
10．B
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及特殊角三角函数，根据一元二次方程根的判别式等于零，求出的值，进而即可得到答案．
【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得：，
∴．
故选：B．
11．C
【分析】此题考查了勾股定理，求正弦值，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是得到是等腰直角三角形．
连接，首先证明出是等腰直角三角形，，得到，然后利用特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】如图所示，连接
设正方形网格中每个小正方形的边长为1
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴．
故选：C．
12．C
【分析】由折叠可得，可得点到点的距离恒为2，即可判断①；连接，由勾股定理得到在中，，由，即可判断③；达到最小值时，点在线段上，证得，得到，从而求得，通过即可判断④．在中，随着的增大而增大，而当最大时，有最大值，有最大值，此时点N与点D重合．过点作于点G，作于点P，可得四边形是矩形，因此，当取得最大值时，有最小值，在中，有最大值，有最大值，即可判断②．
【详解】解：∵正方形纸片的边长为，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确．
连接，
∵在正方形中，，，，
∴在中，
∵，
∴，
∴的最小值为．故③正确；
如图，
达到最小值时，点在线段上，
由折叠可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．故④错误．
在中，，，
∴随着的增大而增大，
∵，
∴当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合，
过点作于点G，作于点P，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
当取得最大值时，也是最大值，
∵，
∴有最小值，
∴在中，有最大值，
即有最大值，
∴点到的距离最大．故②正确．
综上所述，正确的共有3个．
故选：C
【点睛】本题考查轴对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角形函数的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
13．/0.5
【分析】本题主要考查特殊三角形函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解即可．
【详解】解：；
故答案为．
14．
【分析】利用正切的增减性解答．
【详解】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数值大小的比较，掌握相关知识是解题关键．
15．
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可．
【详解】解：．
故答案为：
16．0
【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握三角函数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴原式；
故答案为：0．
17．2
【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．
【详解】解：
．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握相关运算法则是解本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）已知直角边和斜边的长，可以利用的余弦即可求解；
（2）根据余弦是邻边与斜边的比，已知斜边的长，由比例的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，，，
∴，
根据特殊角的三角函数可知，；
（2）解：如图所示，
∵，，即，
∴．
【点睛】本题主要考查利用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了实数的运算，掌握零次幂的意义、特殊角的函数值、绝对值的意义是解决本题的关键．先计算零次幂、再代入特殊角的函数值算乘法、化简绝对值，最后加减．即可解答
【详解】解：原式
．
20．
【分析】此题主要考查了实数的运算，解 此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
首先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
21．2
【分析】由特殊角的三角函数值解题，最后根据无理数的混合运算计算即可．
【详解】解：原式=
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂；熟记特殊三角函数值并掌握实数的运算法则是解题关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了利用计算器根据已知的三角函数值求角度，熟练掌握计算器的操作方法是解决问题的关键．
（1）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.675”，然后按“”得出答案即可；
（2）先按“”键，接着按“”键，再输入“0.0789”，然后按“” 得出答案即可；
（3）先按“”键，接着按“”键，再输入“35.6”，然后按“” 得出答案即可；
【详解】（1）解：∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
（3）解：∵，
∴．
23．，
【分析】在中，根据已知条件，得到，进而求出；设，从而，在中，利用勾股定理得到，解得，从而得到．
【详解】解：在中，，，，
，解得；
设，
，
，
，
在中，，，，，则，即，解得，
．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及已知正切值求边长、已知边的关系求正切值问题，熟练掌握正切函数定义、勾股定理求线段长是解决问题的关键．
24．(1)，
(2)
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等基本知识点．
（1）根据，求出线段的长度，在Rt中由勾股定理即可求出的值，再在Rt中由勾股定理求出的长，利用锐角三角函数的定义即可求出的值；
（2）解法一：连接，过F作的垂线，垂足为，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，由勾股定理可得，，即可求．解法二：直接用三角形中位线定理求解即可．
【详解】（1），
，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
．
（2）解：如图，连接，过点作的垂线，垂足为．
为边上的中线，
为的中点，
为等腰三角形，
又，
在中，，
一题多解法（2）如图，过点作的垂线，垂足为． 为边上的中线， 为的中点， 是的中位线， ， 在中，.
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