3.1 指数幂的拓展 课件3.1 指数幂的拓展 课件（共25张PPT） 高一上学期数学 北师大版 必修第一册

(共25张PPT)
3.1 指数幂的拓展
学习目标
1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化，体现逻辑推理能力（重点）
2.了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法，体现数学抽象能力（难点）
新课导入
初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义及其运算性质.根据整数指数幂的意义和运算性质，你觉得指数的范围还能进一步拓展吗？
在实际问题中，指数幂中的指数不一定都是整数.
n个a
新课学习
提出一个问题：
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零.经测算，薇甘菊侵害田地的面积S(单位：hm2)与年数t（年）的关系式为:S=S0 1.057t其中S0为侵害面积的初始值.
根据上述关系式，可以计算出10年后薇甘菊的侵害面积是S0 1.05710hm2，其中1.05710是整数指数幂的形式.
新课学习
思考一下：那么经过15.5年，薇甘菊的侵害的面积是多少？
S=S0 1.05715.5
新课学习
n次方根的概念
如果xn=a(n＞1，n∈N+)，那么x叫作a的n次方根.
根式的概念
当有意义时，式子叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数.
n次方根的性质：
1.负数没有偶次方根(即负数的偶次方根无意义)
2.正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为(n为奇数，a∈R)
新课学习
正分数指数幂的概念
新课学习
思考一下：分数指数幂有什么性质？
需要强调的是，在指数幂的概念中，总有a>0.
新课学习
例1：把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式：
(1)b5=20;
(2)b4=25;
(3)bn=2m(m,n∈N+);
(4)b3n=π9m(m,n∈N+).
新课学习
负分数指数幂的概念
因为正数的负整数指数幂是在正整数指数幂的基础上取倒数，所以正数的负分数指数幂也是在正分数指数幂的基础上取倒数．我们规定
至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了.
新课学习
例2：计算：
(1
(2
由负分数指数幂的定义，得
C
C
新课学习
例2：计算：
(3.
由负分数指数幂的定义，得.
设，由定义，得，
即(b＞0)，
所以64
C
新课学习
思考一下：指数幂的范围还可以拓展到无理数指数幂吗？
我们分析一下这个问题：
下面以为例来认识无理数指数幂.
因为无理数，所以
上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值.
把以10为底数，的不足近似值为指数的各个幂，由小到大排成一列数：
新课学习
思考一下：指数幂的范围还可以拓展到无理数指数幂吗？
我们分析一下这个问题：
同样，把以10为底数，的过剩近似值为指数的各个幂，由大到小排成一列数：
借助计算器，可以得到下表：
新课学习
不足近似值 过剩近似值
α 10α 10α α
1.4 25.11886431 31.62277660 1.5
1.41 25.70395782 26.30267991 1.42
1.414 25.94179362 26.00159563 1.415
1.4142 25.95374300 25.95971976 1.4143
1.41421 25.95434062 26.95493825 1.41422

从表可以看出，的不足近似值和过剩近似值相同的位数越多，即的近似值精确度越高，
课堂巩固
以其不足近似值和过剩近似值α为指数的幂10α 会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为 ，即 =25.954 ．
一般地，给定正数a，对任意无理数α，可以用类似的方法定义一个实数aα.
自然地，规定：
例如：.
由于实数分为有理数和无理数，则引入了无理数指数幂后，我们就把指数幂中指数的范围拓展到了全体实数.
课堂巩固
C
课堂巩固
课堂巩固
D
课堂巩固
A
课堂巩固
A
课堂巩固
B
课堂巩固
a0.5
课堂总结
1.n次方根和根式的概念
2.正分数指数幂的概念
3.负分数指数幂的概念
THANK YOU