第14讲 功、功率
例1 A [解析] 餐具随机器人在水平方向做匀加速直线运动,对餐具受力分析可知,受重力、支持力、向前的静摩擦力,则静摩擦力与运动方向相同,静摩擦力对餐具做正功,故A正确;支持力与运动方向垂直,则支持力对餐具不做功,故B错误;重力与运动方向垂直,则重力对餐具不做功,故C错误;餐具在水平方向做匀加速直线运动,则合力对餐具做正功,故D错误.
例2 AC [解析] 重力做功WG=mgh=6000 J,故A正确;阻力做功Wf=-Ff=-1000 J,故B错误;支持力与位移夹角为90°,不做功,故C正确;由以上分析可知,各力做的总功为5000 J,故D错误.
变式1 C [解析] 设此过程中扶梯对顾客所做的功为W扶,重力对顾客做的功为WG.根据牛顿第二定律可知顾客所受合外力大小为F=ma,合外力对顾客所做的功等于各个外力对顾客所做功的代数和,则=W扶-mgH,联立上述两式解得W扶=mH,故C正确.
例3 A [解析] 将圆弧分成很多小段l1,l2,…,ln,力F在每小段上做的功为W1,W2,…,Wn,因力F大小不变,方向始终与小球的运动方向成37°角,所以W1=Fl1cos 37°,W2=Fl2cos 37°,…,Wn=Flncos 37°,故WF=W1+W2+…+Wn=Fcos 37°(l1+l2+…+ln)=Fcos 37°·=10×0.8××6 J=16π J,故A正确,B错误;同理可得小球克服摩擦力做的功Wf=μmg·=8π J,故C、D错误.
例4 AB [解析] 由图像可知,0~3 m过程水平力F恒定,做功W1=Fx1=6 J,A正确;根据F x图像与横轴围成的面积表示力F做的功,则滑块从x=3 m运动至x=4 m过程中,力F做的功为W2=×2×1 J=1 J,滑块从x=4 m运动至x=5 m过程中,力F做的功为W3=-×2×1 J=-1 J,滑块从x=0运动至x=5 m过程中,力F做的功为W4=W1+W2+W3=6 J,故B正确,C、D错误.
例5 D [解析] 物体受力如图所示,由平衡条件得FN+Fsin θ=mg,滑动摩擦力Ff=μFN=μ(mg-Fsin θ),物体从A向C运动的过程中,轻绳与水平方向的夹角θ增大,所以滑动摩擦力减小,由于物体被绕过光滑定滑轮的轻绳系着,拉力为恒力,所以拉力做的功等于轻绳对物体所做的功,拉力F做功W=FΔl,Δl表示轻绳的长度变化,物体从A点运动到B点时绳长的变化为Δl1,从B点运动到C点时绳长的变化为Δl2,已知AB=BC,由几何关系可知Δl1>Δl2,因此W1>W2,选项D正确.
例6 B [解析] 根据题意可知,水平拉力与位移的关系式为F=4+2x,则物体移动5 m过程中拉力的平均值为= N=9 N,则拉力做的功W=x=45 J,故选B.
例7 B [解析] 在整个过程中,只有重力做功,重力做功的特点是只与始末位置的高度差有关,与其所经过的路径无关,所以这两个小球在整个过程中重力做功相等,B正确;根据动能定理可知mgh=mv2-m,则落地时的动能相等,速度大小相等,但速度方向不同,A错误;由于落地时速度大小相同,方向不同,根据P=mgvy可知,重力的瞬时功率不同,C错误;竖直上抛运动的时间比平抛运动的时间长,根据P=可知,重力对做平抛运动的小球做功的平均功率更大,D错误.
例8 B [解析] 设t时间内水流做功为W,水流的质量为m,水流的体积为V,水位落差为h,则有W=mgh,m=ρ水V,水流量Q=,发电功率P=η·,联立可得P=ηρ水Qgh,g取10 m/s2时,代入数据解得P≈1.05×107 W,B正确.
例9 (1)4×103 N (2)8×103 N
(3)10 m/s (4)6.8×105 J
[解析] (1)依题意,可知当汽车受到的牵引力大小等于阻力时,行驶的速度达到最大,则汽车受到的阻力Ff== N=4×103 N
(2)汽车做匀加速直线运动时,根据牛顿第二定律有F'-Ff=ma
可得此时汽车受到的牵引力大小为F'=Ff+ma=4000 N+2×103×2 N=8×103 N
(3)当汽车的功率达到额定功率时,汽车匀加速运动过程达到最大速度,有vm'== m/s=10 m/s
(4)汽车做匀加速直线运动达到最大速度用时为t1== s=5 s
该过程汽车运动的位移为x1== m=25 m
该过程汽车牵引力所做的功为W1=F'x1=8×103×25 J=2×105 J
汽车在接下来的6 s时间内以额定功率行驶,则牵引力所做的功为W2=P额t2=80×103×6 J=4.8×105 J
故汽车从静止开始运动11 s的过程中牵引力做的功为W=W1+W2=6.8×105 J
例10 AB [解析] 根据图像,可得前5 s内的加速度a==2 m/s2,由牛顿第二定律有F-mg=ma,解得F=9.0×103 N,故A正确;汽车在5 s末达到额定功率,额定功率为P=Fv=9.0×104 W=90 kW,故C错误;汽车速度为15 m/s时,则有-mg=ma',解得a'=1 m/s2,故B正确;前5 s内的位移是x=t=×5 m=25 m,摩擦力做功Wf=-mgx=-7.5×104 J,故D错误.
变式2 C [解析] 由图可知,玩具汽车的最大速度的倒数为=0.4 s/m,解得vm=2.5 m/s,故A错误;根据P=Fv,又F-Ff=ma,联立解得=a+,结合图像可得=k= s3/m2、=0.4 s/m,解得m=1 kg、Ff=2 N,故B错误,C正确;由C选项分析可知=0.2a+0.4,当玩具汽车的加速度大小为2 m/s2时,速度大小为v=1.25 m/s,故D错误.第六单元 机械能
第14讲 功、功率
1.D [解析] 拉力F对木箱做功WF=FLcos 37°=16 J,A错误;支持力做功为零,B错误;摩擦力对木箱做功Wf=-μ(mg-Fsin 37°)L=-4 J,C错误;合力对木箱做功WF=(Fcos 37°-Ff)L=12 J,D正确.
2.A [解析] 根据图像可知物块运动到x=3 m处,F做的总功为WF=3×2 J+2×1 J=8 J,该过程根据动能定理得WF=mv2,解得物块运动到x=3 m处时的速度为v=4 m/s,故此时F做功的瞬时功率为P=Fv=8 W,故选A.
3.C [解析] 摆球所受重力竖直向下,摆球位移有竖直向下的分量,故重力做功不为零,故A错误;悬线的拉力始终与v垂直,不做功,故B错误;将圆弧路径分成若干小圆弧(尽量小),每一段小圆弧上可认为F阻是恒力,所以F阻所做的总功等于每个小弧段上F阻所做功的代数和,即Wf=-(F阻Δx1+F阻Δx2+…)=-F阻πL,故C正确,D错误.
4.B [解析] 选手在向上举起杠铃的过程中对杠铃做的功等于克服重力做力大小,有W=mgh=2520 J,故A错误;选手维持杠铃在最高点的过程中,杠铃受到的支持力向上,杠铃在力的方向没有位移,所以对杠铃做的功为0,故B正确;根据题意选手放下杠铃的过程中杠铃没有落地,则选手放下杠铃的过程中重力对杠铃做功W5.B [解析] 汽车做匀速率运动,在各段路面上运动时受力平衡.设上下坡的倾角为θ,汽车受到的空气阻力和摩擦阻力的合力大小为Ff.在ab段,根据平衡条件可得牵引力大小为F1=Ff+mgsin θ,此时汽车的输出功率为P1=F1v=v,在bc段,根据平衡条件可得F2=Ff,此时汽车的输出功率为P2=F2v=Ffv,在cd段,根据平衡条件可得F3=Ff-mgsin θ,此时汽车的输出功率为P3=F3v=v,则P1>P2>P3,又因为bc=2ab=2cd,所以tab∶tbc∶tcd=1∶2∶1,故B正确,A、C、D错误.
6.AC [解析] v-t图像的斜率表示加速度,则0~2 s内加速度大小为a1= m/s2=2.5 m/s2,2~6 s内的加速度大小a2= m/s2=2.5 m/s2,根据牛顿第二定律有F-Ff=ma1、Ff=ma2,解得F=20 N、Ff=10 N,v-t图像中,图像与时间轴所围几何图形的面积表示位移,则0~2 s内位移为x1= m=15 m,0~6 s内位移为x2=x1+ m=35 m,根据功的定义式,拉力F对物体做功W1=Fx1=300 J,故A正确,B错误;根据功的定义式,摩擦力对物体做功W2=-Ffx2=-350 J,故C正确;2 s时力F已经撤去,故第4 s时力F的瞬时功率为0,故D错误.
7.D [解析] 由图可知,0~1 s内物体做匀加速直线运动,则电动机牵引力大小不变,物体速度增大,则0~1 s内电动机的输出功率变大,故A错误;由图可知,1~5 s内物体的加速度逐渐减小,则电动机牵引力逐渐减小,故B错误;由图可知,0~1 s内物体的加速度为a= m/s2=4 m/s2,由牛顿第二定律可得,0~1 s内电动机牵引力大小为F=ma+mgsin θ=45 N,故C错误;1 s后电动机的输出功率不变,等于1 s时的输出功率,则有P=Fv=45×4 W=180 W,故D正确.
8.D [解析] 前5 s,根据牛顿第二定律有F-mg=ma,得拉力F=mg+ma=1100 N,5 s末速度v=at=5 m/s,额定功率P额=Fv=1100×5 W=5.5 kW,故A错误;匀加速阶段位移h=at2=×1×52 m=12.5 m,匀加速阶段起重机对重物的拉力做功W=Fh=1100×12.5 J=13 750 J,故B错误;5~10 s内,拉力做的功W'=P额t2=5.5×103×5 J=2.75×104 J,故10 s内拉力做的总功W总=W+W'=13 750 J+2.75×104 J=4.125×104 J,重物开始运动后10 s内起重机提升重物的平均功率===4.125 kW,故C错误;当拉力大小等于重力大小时,重物速度最大,最大速度vm== m/s=5.5 m/s,故D正确.
9.ACD [解析] 汽车从静止开始匀加速启动,由公式P=Fv及题意知,当牵引力恒定时,随着速度的增加功率P增大,当P=P额时,功率不再增加,此时,牵引力F=F阻+ma,v1=,速度继续增加,牵引力减小,此后汽车做加速度逐渐减小的加速运动,当F=F阻时,a=0,速度达到最大,vm=,做匀速直线运动.由以上分析知,B错误,A、C、D正确.
10.(1)2 N (2)16 W (3)1.2 m/s2 (4)112 J
[解析] (1)对小车分析,关闭发动机后在10~14 s内,根据加速度的定义式有a1=
解得a1=2 m/s2
根据牛顿第二定律有F阻=ma1
解得F阻=2 N
(2)小车在2~10 s内功率不变,设为P,在8~10 s内,由于小车做匀速运动,根据平衡条件可得F2=F阻
根据功率的表达式有P=F2vm
解得P=16 W
(3)小车在3 s时速度为5 m/s,此时牵引力大小F3==3.2 N
根据牛顿第二定律有F3-F阻=ma3
解得a3=1.2 m/s2
(4)0~2 s小车的位移
x1=×4×2 m=4 m
加速度a2==2 m/s2
根据牛顿第二定律有F1-F阻=ma2
解得F1=4 N
0~8 s时间内电动机对小车做的功W=F1x1+Pt2
代入数据可得W=4×4 J+16×6 J=112 J
11.C [解析] 汽车在AB路段做匀速直线运动,根据平衡条件,有F1=F阻1、P=F1v1=F阻1v1,汽车在BC路段末加速度是零,则有F2=F阻2、P=F2v2=F阻2v2,则有阻力大小比为F阻1∶F阻2=1∶2,选项A错误;汽车进入BC路段,阻力突然增大,牵引力不变,速度减小,由v-t图像的斜率表示加速度可知,汽车的加速度逐渐减小,故做加速度减小的减速运动,选项B错误;汽车刚好开过B点时,则有汽车的牵引力F1== N=2000 N、F阻2== N=4000 N,刚好开过B点时汽车的牵引力仍为F1,根据牛顿第二定律,有F阻2-F1=ma,解得加速度大小a=1 m/s2,选项C正确;汽车在BC路段运动,位移小于在BC段匀减速运动的位移,即位移小于×10 m=75 m,选项D错误.
12.(1) (2)0.186g,方向沿斜面向下 0.002Mg,方向沿斜面向上
(3)如图所示
[解析] (1)汽车匀速行驶时有F1=Ff1
又Ff1=kg
汽车功率P=F1v1
可解得v1=
(2)汽车刚上坡,功率和速率都不变,则牵引力大小也不变,对整体根据牛顿第二定律,有(M+0.5M)gsin θ+k(M+0.5M)gcos θ-F1=(M+0.5M)a
解得a=0.186g,方向沿斜面向下
对货物,根据牛顿第二定律,有0.5Mgsin θ-Ff2=0.5Ma
解得Ff2=0.002Mg,方向沿斜面向上
(3)上坡过程中,速度减小,根据P=Fv可知牵引力增大,速度越来越小,则牵引力越来越大,根据牛顿第二定律可知加速度越来越小,直到牵引力的大小与重力沿斜面分力和阻力之和相等时,汽车做匀速直线运动,所以汽车做加速度减小的减速运动第14讲 功、功率
一、功
1.做功两要素: 和物体在力的方向上发生的 .
2.公式:W= ,其中F是恒力,l是物体的位移,α是力的方向和 方向的夹角.
3.单位:焦耳(J),功是 .
4.功的正负.
功是标量,但功的正负不表示功的大小,功的正负表示能量转化的方向.正功表示其他形式的能转化为动能,负功表示动能转化为其他形式的能.
(1)当0≤α<时,力对物体做 .
(2)当α=时,力对物体 .
(3)当<α≤π时,力对物体做 ,或者说物体 这个力做功.
二、功率
1.物理意义:描述做功的 .
2.定义:功与完成这些功所用时间的比值.
3.公式
(1)P=.
(2)P=Fvcos α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度,则P为平均功率.
②v为瞬时速度,则P为瞬时功率.
4.额定功率与实际功率
(1)额定功率:动力机械可以长时间正常工作的最大功率.
(2)实际功率:动力机械实际工作时输出的功率,要求小于或等于额定功率.
【辨别明理】
1.只要物体受力的同时又发生了位移,就一定有力对物体做功. ( )
2.一个力对物体做了负功,说明这个力一定阻碍物体的运动. ( )
3.作用力做正功时,反作用力一定做负功. ( )
4.相互作用的系统内,一对摩擦力所做功的代数和一定为零. ( )
5.由P=Fv可知,发动机功率一定时,机车的牵引力与运行速度的大小成反比. ( )
功的判断和计算
考向一 功的正负的判断
1.恒力做功的判断:若物体做直线运动,则依据力与位移的夹角来判断.若物体做曲线运动,则依据F与v的夹角来判断.
2.依据能量变化来判断:根据功是能量转化的量度可知,若有能量转化,则一定有力对物体做功.此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断.
例1 [2024·四川内江模拟] 如图所示,一送餐机器人在送餐,餐具放在水平托盘上,机器人在水平方向上做匀加速直线运动的过程中,餐具与水平托盘始终无相对滑动.下列说法正确的是 ( )
A.摩擦力对餐具做正功
B.支持力对餐具做正功
C.重力对餐具做负功
D.合力对餐具不做功
[反思感悟]
【技法点拨】
做功时的位移应该为受力点的位移,对于可以形变的物体重心的位移不等于受力点的位移,例如人跳起时地面的支持力对人不做功.
考向二 恒力及合力做功的计算
1.恒力做功的计算方法:W=Flcos α.
2.合力做功的计算方法
方法一:先求合力F合,再用W合=F合lcos α求功.
方法二:先求各个力做的功W1、W2、W3、…,再利用W合=W1+W2+W3+…求合力做的功.
例2 (多选)一位质量m=60 kg的滑雪运动员从高h=10 m的斜坡自由下滑,如果运动员在下滑过程中受到的阻力Ff=50 N,斜坡的倾角θ=30°,重力加速度g取10 m/s2,运动员滑至坡底的过程中,关于各力做功的情况,下列说法正确的是 ( )
A.重力做的功为6000 J
B.阻力做的功为1000 J
C.支持力不做功
D.各力做的总功为零
[反思感悟]
变式1 为了节省电能,商场扶梯在没有乘客时几乎静止不动,一旦有人站上扶梯,它会立即加速运转,达到某速度后匀速运转.如图所示,一质量为m的顾客踏上倾角为θ的扶梯,扶梯立即以大小为a的加速度做匀加速运动,到扶梯恰好开始匀速运行时顾客上升的高度为H,重力加速度为g,则此过程中扶梯对顾客所做的功为 ( )
A.mgH
B.ma
C.mH
D.mH
[反思感悟]
变力做功的分析与计算
考向一 “微元法”求变力做功
将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段作用在物体上的力都可以视为恒力,这样就将变力做功转化为无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和,此法适用于求解大小不变、方向改变的变力做功.
例3 [2024·河南郑州模拟] 水平桌面上,长为6 m的轻绳一端固定于O点,如图所示(俯视图),另一端系一质量m=2.0 kg的小球.现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10 N,力F拉着物体从M点运动到N点,力F的方向始终与小球的运动方向成37°角.已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,不计空气阻力,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是 ( )
A.力F对小球做的功为16π J
B.力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
[反思感悟]
考向二 “图像法”求变力做功
在F x图像中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功,且位于x轴上方的“面积”为正功,位于x轴下方的“面积”为负功,但此方法只适用于便于求图线与x轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形).
例4 (多选)[2024·湖北黄冈模拟] 光滑水平面上的滑块,仅在水平力F的作用下由静止开始运动,力F与滑块的位置坐标x的F x图像如图所示,下列说法中正确的是 ( )
A.滑块从x=0运动至x=3 m过程中,力F做的功为6 J
B.滑块从x=3 m运动至x=4 m过程中,力F做的功为1 J
C.滑块从x=4 m运动至x=5 m过程中,力F做的功为1 J
D.滑块从x=0运动至x=5 m过程中,力F做的功为8 J
[反思感悟]
考向三 “转化法”求变力做功
通过转换研究对象,可将变力做功转化为恒力做功,用W=Flcos α求解,如轻绳通过定滑轮拉物体运动过程中拉力做功问题.
例5 [2024·河南郑州模拟] 如图所示,水平粗糙地面上的物体被绕过光滑定滑轮的轻绳系着,以大小恒定的拉力F拉绳的另一端,使物体从A点起由静止开始运动.若从A点运动至B点和从B点运动至C点的过程中拉力F做的功分别为W1、W2,图中AB=BC,且动摩擦因数处处相同,则在物体运动的过程中 ( )
A.摩擦力增大,W1>W2
B.摩擦力减小,W1C.摩擦力增大,W1D.摩擦力减小,W1>W2
[反思感悟]
考向四 “平均力”求变力做功
当力的方向不变而大小随位移线性变化时,可先求出力对位移的平均值=,再由W=lcos α计算,如弹簧弹力做功.
例6 [2024·江苏南京模拟] 静止于水平地面上质量为1 kg的物体,在水平拉力F=4+2x(式中F为力的大小、x为位移的大小,力F、位移x的单位分别是N、m)作用下,沿水平方向移动了5 m,则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为 ( )
A.35 J B.45 J C.55 J D.65 J
【技法点拨】
除了以上变力做功求解方法,还存在其他变力做功情况,平时要注意多总结.(1)用功率求功:机车类发动机保持功率P恒定做变速运动时,牵引力是变力,牵引力做的功W=Pt.(2)恒力做功和变力做功均可应用动能定理求解(详见下一讲).
功率的分析与计算
1.平均功率的计算方法
(1)利用P=.
(2)利用=Fcos α,为物体运动的平均速度.
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用P=Fvcos α,其中v为物体的瞬时速度.
(2)P=FvF,其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度.
(3)P=Fvv,其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力.
例7 [2024·湖南长沙模拟] 如图所示,有两个完全相同的小球 A、B,将它们从同一高度以大小相同的初速度v0分别水平抛出和竖直向上抛出(不计空气阻力),则下列说法正确的是 ( )
A.两小球落地时的速度相同
B.从抛出点至落地,两球重力做功相同
C.两小球落地时,重力的瞬时功率相同
D.从抛出点至落地,重力对两小球做功的平均功率相同
[反思感悟]
例8 [2024·江西卷] “飞流直下三千尺,疑是银河落九天”是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写.设瀑布的水流量约为10 m3/s,水位落差约为150 m.若利用瀑布水位落差发电,发电效率为70%,则发电功率大致为 ( )
A.109 W B.107 W
C.105 W D.103 W
素养提升 机车启动问题
恒定功率启动 恒定加速度启动
P t图像和 v t图像
OA段 过程分析 v↑ F=↓ a=↓ a=不变 F不变,v↑ P=Fv↑ Pm=P额=Fv1
运动性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动,维持时间t0==
AB段 过程分析 F=Ff a=0 vm= v↑ F=↓ a=↓
运动性质 速度大小为vm的匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 过程分析
F=Ff a=0 vm=
运动性质
速度大小为vm的匀速直线运动
转折点 在转折点A,牵引力与阻力大小相等,此时加速度为零,速度达到最大,为vm= 在转折点A,功率达到额定功率,匀加速运动结束,此时v1=;在转折点B,速度达到最大,为vm=
例9 [2024·湖北孝感模拟] 额定功率为80 kW的汽车,在平直公路上行驶最大速度是20 m/s,汽车质量为2×103 kg,如果汽车从静止开始先做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动,达到额定功率后以额定功率行驶,在运动过程中阻力不变,求:
(1)汽车受到的阻力的大小;
(2)汽车匀加速运动时受到的牵引力的大小;
(3)汽车做匀加速直线运动的最大速度;
(4)汽车从静止开始运动11 s的过程中牵引力做的功.
例10 (多选)[2024·河北保定模拟] 一辆汽车在水平路面上由静止启动,在前5 s内做匀加速直线运动,在5 s末达到额定功率,之后保持额定功率运动,其v t图像如图所示.已知汽车的质量m=3×103 kg,汽车受到地面的阻力为车重力大小的,g取10 m/s2,则 ( )
A.汽车在前5 s内的牵引力为9×103 N
B.汽车在15 m/s时的加速度为1 m/s2
C.汽车的额定功率为40 kW
D.汽车在前5 s内摩擦力做功为-1.5×105 J
[反思感悟]
变式2 [2024·安徽蚌埠模拟] 一遥控玩具汽车以5 W的恒定功率在水平地面上由静止开始做直线运动,其运动速度的倒数与加速度a的关系如图所示,若玩具汽车受到的阻力恒定,则下列结论正确的是 ( )
A.玩具汽车的最大速度为5 m/s
B.玩具汽车的质量为0.5 kg
C.玩具汽车所受阻力大小为2 N
D.玩具汽车的加速度大小为2 m/s2时的速度大小为1.5 m/s
【技法点拨】
1.无论哪种启动过程,机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即vm=.2.机车以恒定加速度启动时,匀加速过程结束时功率达到最大,但速度不是最大,即此时的速度v1=一、1.力 位移 2.Flcos α 位移 3.标量
4.(1)正功 (2)不做功 (3)负功 克服
二、1.快慢
【辨别明理】
1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√第六单元 机械能
第14讲 功、功率 (限时40分钟)
1.[2024·山东日照模拟] 如图所示,水平地面上有一质量为1.6 kg的木箱,在拉力F的作用下从静止开始沿着直线向右运动了2 m.已知拉力F的大小为10 N,与水平方向的夹角为37°,木箱与地面间的动摩擦因数为0.2,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8.下列说法正确的是( )
A.拉力F对木箱做的功为20 J
B.支持力对木箱做的功为20 J
C.摩擦力对木箱做的功为4 J
D.合力对木箱做的功为12 J
2.[2024·贵州卷] 质量为1 kg的物块静置于光滑水平地面上,设物块静止时的位置为x轴零点.现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F,其大小随位置x变化的关系如图所示,则物块运动到x=3 m处,F做功的瞬时功率为 ( )
A.8 W B.16 W
C.24 W D.36 W
3.[2024·山西大同模拟] 如图所示,摆球质量为m,悬线长度为L,把悬线拉到水平位置后放手.设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变,重力加速度为g.则下列说法正确的是
( )
A.重力做功为0
B.悬线的拉力做功为mgL
C.空气阻力做功为-F阻πL
D.摆球克服空气阻力做功为F阻L
4.[2024·湖北十堰模拟] 在2024年国际举联泰国世界杯赛中,中国举重队收获11金9银7铜.某选手在训练时将质量为140 kg的杠铃举高1.8 m,其中举起用了2 s,在最高处维持了3 s,放下用了0.5 s,在杠铃落地前手已放开.重力加速度大小g取10 m/s2,则下列说法正确的是( )
A.选手在向上举起杠铃的过程中对杠铃做的功小于2520 J
B.选手维持杠铃在最高点的过程中对杠铃做的功为0
C.选手放下杠铃的过程中重力对杠铃做功的平均功率为1260 W
D.整个过程中重力对杠铃做功的平均功率约为458 W
5.[2024·河南安阳一中模拟] 如图所示,汽车保持速率不变通过路面abcd,其中ab段为平直上坡路面,bc段为水平路面,cd段为平直下坡路面(a、d在同一水平面).假设从a到d过程汽车所受的地面阻力不变,bc=2ab=2cd.下列关于汽车的功率P随时间t的变化规律最符合事实的是 ( )
A
B
C
D
6.(多选)[2024·河北邯郸模拟] 质量为4 kg的物体置于水平面上,在运动方向上受到水平拉力F的作用,沿水平方向做匀变速直线运动,2 s后撤去F,其运动的速度—时间图像如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.拉力F对物体做的功为300 J
B.拉力F对物体做的功为700 J
C.摩擦力对物体做的功为-350 J
D.第4 s时力F的瞬时功率为100 W
7.[2024·福建莆田一中模拟] 如图甲所示,一物体置于倾角θ=30°的足够长光滑斜面上,电动机通过跨过定滑轮的轻绳牵引物体沿斜面上升.启动电动机后,在0~6 s时间内物体运动的v-t图像如图乙所示,其中除1~5 s时间段图像为曲线外,其余时间段图像均为直线,1 s后电动机的输出功率保持不变.已知物体的质量为5 kg,不计一切摩擦,重力加速度g取10 m/s2.则 ( )
A.0~1 s内电动机的输出功率不变
B.1~5 s内电动机牵引力逐渐变大
C.0~1 s内电动机牵引力大小为20 N
D.1 s后电动机的输出功率为180 W
8.[2024·四川凉山模拟] 如图所示,一台起重机将质量m=100 kg的重物由静止开始以a=1 m/s2的加速度竖直向上匀加速提升,5 s末达到额定功率并保持功率不变继续提升重物,直至重物匀速上升.g取10 m/s2,不计空气阻力,则下列说法正确的是 ( )
A.起重机的额定功率为5 kW
B.匀加速阶段起重机对重物的拉力做功为12 500 J
C.重物开始运动后10 s内起重机提升重物的平均功率为5 kW
D.重物的最大速度为5.5 m/s
9.(多选)下列各图是反映汽车(额定功率为P额)从静止开始匀加速启动,最后做匀速直线运动的过程中,其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图像,其中正确的是 ( )
A
B
C
D
10.[2024·江西南昌模拟] 某同学对一辆自制小遥控车的性能进行测试,让小车在水平地面上由静止开始运动.小车上的传感器将小车运动的全过程记录下来,通过数据处理得到如图所示的v-t图像.已知小车在0~2 s内做匀加速直线运动,2~10 s内小车牵引力的功率保持不变,在10 s末停止遥控,关闭电动机.小车的总质量m=1 kg,整个过程中小车受到的阻力保持不变.
(1)求小车受到的阻力的大小;
(2)求小车的额定功率;
(3)若小车在3 s时速度为5 m/s,求此时小车加速度a3的大小;
(4)求0~8 s时间内电动机对小车做的功.
11.[2024·安徽铜陵模拟] 如图甲所示,一质量为m=2×103 kg的汽车(可视为质点),正以10 m/s的速度在水平路段AB上向右匀速运动,t=5 s时汽车驶入较粗糙水平路段BC,汽车发动机的输出功率保持20 kW不变,汽车在t=15 s时离开BC路段.通过ABC路段的v-t图像如图乙所示(t=15 s时曲线的切线方向与t轴平行).假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小.下列说法正确的是 ( )
A.汽车在AB和BC路段上所受阻力大小比为1∶4
B.汽车进入BC路段做加速度增大的减速运动
C.汽车刚好开过B点时加速度的大小为1 m/s2
D.BC路段的长度为75 m
12.[2024·辽宁朝阳模拟] 如图甲所示,一辆汽车空载时的质量为M,车厢中平放有质量为0.5M的货物.若路面对车的阻力大小总等于车对路面压力大小的,重力加速度为g,sin 11°≈0.19,cos 11°=0.98.
(1)当汽车以功率P在平直路面上匀速行驶时,求汽车速度的大小;
(2)保持功率P不变,汽车开上一个倾角为11°的斜坡,货物和车相对静止,若刚驶上斜坡时的速度大小同第(1)问,求此时车的加速度和车厢对货物的摩擦力.
(3)汽车在斜坡上经过时间Δt又达到速度v2匀速行驶,在乙图中试画出汽车上坡Δt过程中的运动图像.(共104张PPT)
第14讲 功、功率
作业手册
必备知识自查
核心考点探究
素养提升
◆
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答案核查【作】
备用习题
一、功
1.做功两要素：____和物体在力的方向上发生的______.
2.公式：________，其中是恒力，是物体的位移， 是力的方向和
______方向的夹角.
3.单位：焦耳 ，功是______.
力
位移
位移
标量
4.功的正负.
功是标量，但功的正负不表示功的大小，功的正负表示能量转化的方向.
正功表示其他形式的能转化为动能，负功表示动能转化为其他形式的能.
(1) 当 时，力对物体做______.
(2) 当 时，力对物体________.
(3) 当 时，力对物体做______，或者说物体______这个力做功.
正功
不做功
负功
克服
二、功率
1.物理意义：描述做功的______.
快慢
2.定义：功与完成这些功所用时间的比值.
3.公式
(1).
(2) 为与的夹角
①为平均速度，则为平均功率.
②为瞬时速度，则为瞬时功率.
4.额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械可以长时间正常工作的最大功率.
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率.
【辨别明理】
1.只要物体受力的同时又发生了位移，就一定有力对物体做功.( )
×
2.一个力对物体做了负功，说明这个力一定阻碍物体的运动.( )
√
3.作用力做正功时，反作用力一定做负功.( )
×
4.相互作用的系统内，一对摩擦力所做功的代数和一定为零.( )
×
5.由 可知,发动机功率一定时,机车的牵引力与运行速度的大小成反
比.( )
√
考点一 功的判断和计算
考向一 功的正负的判断
1.恒力做功的判断:若物体做直线运动，则依据力与位移的夹角来判断.若
物体做曲线运动，则依据与 的夹角来判断.
2.依据能量变化来判断:根据功是能量转化的量度可知，若有能量转化，则
一定有力对物体做功.此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做
功的判断.
例1 [2024·四川内江模拟] 如图所示，一送餐机器人在送餐，
餐具放在水平托盘上，机器人在水平方向上做匀加速直线运
动的过程中，餐具与水平托盘始终无相对滑动.下列说法正确
的是( )
A.摩擦力对餐具做正功 B.支持力对餐具做正功
C.重力对餐具做负功 D.合力对餐具不做功
√
[解析] 餐具随机器人在水平方向做匀加速直线运动，对餐具
受力分析可知，受重力、支持力、向前的静摩擦力，则静摩擦
力与运动方向相同，静摩擦力对餐具做正功，故A正确；支持
力与运动方向垂直，则支持力对餐具不做功，故B错误；重力
与运动方向垂直，则重力对餐具不做功，故C错误；餐具在水
平方向做匀加速直线运动，则合力对餐具做正功，故D错误.
[技法点拨]
做功时的位移应该为受力点的位移，对于可以形变的物体重心的位移不等
于受力点的位移，例如人跳起时地面的支持力对人不做功.
考向二 恒力及合力做功的计算
1.恒力做功的计算方法： .
2.合力做功的计算方法
方法一:先求合力，再用 求功.
方法二:先求各个力做的功、、、 ，再利用
求合力做的功.
例2 (多选)一位质量的滑雪运动员从高 的斜坡自由下
滑，如果运动员在下滑过程中受到的阻力，斜坡的倾角 ，
重力加速度取 ，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情
况，下列说法正确的是( )
A.重力做的功为 B.阻力做的功为
C.支持力不做功 D.各力做的总功为零
[解析] 重力做功 ，故A正确；阻力做功
，故B错误；支持力与位移夹角为 ，不做功，
故C正确；由以上分析可知，各力做的总功为 ，故D错误.
√
√
变式1 为了节省电能，商场扶梯在没有乘客时
几乎静止不动，一旦有人站上扶梯，它会立即
加速运转，达到某速度后匀速运转.如图所示，
一质量为的顾客踏上倾角为 的扶梯，扶梯
立即以大小为 的加速度做匀加速运动，到扶梯
A. B.
C. D.
恰好开始匀速运行时顾客上升的高度为，重力加速度为 ，则此过程中
扶梯对顾客所做的功为( )
√
[解析] 设此过程中扶梯对顾客所做的功为 ，
重力对顾客做的功为 . 根据牛顿第二定律可
知顾客所受合外力大小为 ，合外力对顾
客所做的功等于各个外力对顾客所做功的代数
和，则 ，联立上述两式解得
，故C正确.
考点二 变力做功的分析与计算
考向一 “微元法”求变力做功
将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段作用在物体上的力都
可以视为恒力,这样就将变力做功转化为无数多个无穷小的位移上的恒力
所做功的代数和,此法适用于求解大小不变、方向改变的变力做功.
例3 [2024·河南郑州模拟] 水平桌面上，长为 的
轻绳一端固定于 点，如图所示(俯视图)，另一端系
一质量 的小球.现对小球施加一个沿桌面
大小不变的力，力拉着物体从 点运动
到点，力的方向始终与小球的运动方向成 角.
A.力对小球做的功为 B.力对小球做的功为
C.小球克服摩擦力做的功为 D.小球克服摩擦力做的功为
已知小球与桌面间的动摩擦因数，不计空气阻力，取 ，
， ，则下列说法正确的是( )
√
[解析] 将圆弧分成很多小段，， ，，力 在每小段上做的功为，， ，，因力大小不变，方向始终与小球的运动方向成 角，所以 ， ， ， ，故 ，故A正确，B错误；
同理可得小球克服摩擦力做的功
，故C、D错误.
考向二 “图像法”求变力做功
在图像中,图线与轴所围“面积”的代数和就表示力 在这段位移内所
做的功,且位于轴上方的“面积”为正功,位于 轴下方的“面积”为负功,但此
方法只适用于便于求图线与 轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规
则的几何图形).
例4 (多选)[2024·湖北黄冈模拟] 光滑水平面上的
滑块，仅在水平力的作用下由静止开始运动，力
与滑块的位置坐标的 图像如图所示，下列说
法中正确的是( )
A.滑块从运动至过程中，力做的功为
B.滑块从运动至过程中，力做的功为
C.滑块从运动至过程中，力做的功为
D.滑块从运动至过程中，力做的功为
√
√
[解析] 由图像可知，过程水平力 恒定，做功，A正确；根据 图像与横轴围成的面积表示力做的功，则滑块从
运动至过程中，力 做的功为，滑块从 运动至过程中，力 做的功为
，滑块从 运动至
过程中，力 做的功为
，故B正确，C、D错误.
考向三 “转化法”求变力做功
通过转换研究对象，可将变力做功转化为恒力做功，用 求解，
如轻绳通过定滑轮拉物体运动过程中拉力做功问题.
例5 [2024·河南郑州模拟] 如图所示，水平粗糙地面上的
物体被绕过光滑定滑轮的轻绳系着，以大小恒定的拉力
拉绳的另一端，使物体从点起由静止开始运动.若从
点运动至点和从点运动至点的过程中拉力 做的功
A.摩擦力增大， B.摩擦力减小，
C.摩擦力增大， D.摩擦力减小，
分别为、，图中 ，且动摩擦因数处处相同，则在物体运动
的过程中( )
√
[解析] 物体受力如图所示，由平衡条件得
，滑动摩擦力
，物体从向 运动的过程
中，轻绳与水平方向的夹角 增大，所以滑动摩擦力
减小，由于物体被绕过光滑定滑轮的轻绳系着，拉力为恒力，所以拉力做
的功等于轻绳对物体所做的功，拉力做功， 表示轻绳的长度
变化，物体从点运动到点时绳长的变化为，从点运动到 点时绳长
的变化为，已知，由几何关系可知，因此 ，
选项D正确.
考向四 “平均力”求变力做功
当力的方向不变而大小随位移线性变化时,可先求出力对位移的平均值
,再由 计算,如弹簧弹力做功.
例6 [2024·江苏南京模拟] 静止于水平地面上质量为 的物体，在水平
拉力(式中为力的大小、为位移的大小，力、位移 的单位
分别是、)作用下，沿水平方向移动了，则在物体移动 的过程中
拉力所做的功为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意可知，水平拉力与位移的关系式为 ，则物体移
动过程中拉力的平均值为 ，则拉力做的功
，故选B.
√
[技法点拨]
除了以上变力做功求解方法,还存在其他变力做功情况,平时要注意多总结.
(1)用功率求功:机车类发动机保持功率 恒定做变速运动时,牵引力是变力,
牵引力做的功 .
(2)恒力做功和变力做功均可应用动能定理求解(详见下一讲).
考点三 功率的分析与计算
1.平均功率的计算方法
(1)利用.
(2)利用 ，为物体运动的平均速度.
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用 ，其中为物体的瞬时速度.
(2)，其中为物体的速度在力方向上的分速度.
(3)，其中为物体受的外力在速度方向上的分力.
例7 [2024·湖南长沙模拟] 如图所示，有两个完全相同的小球、 ，将它
们从同一高度以大小相同的初速度 分别水平抛出和竖直向上抛出
(不计空气阻力)，则下列说法正确的是( )
A.两小球落地时的速度相同
B.从抛出点至落地，两球重力做功相同
C.两小球落地时，重力的瞬时功率相同
D.从抛出点至落地，重力对两小球做功的平均功率相同
√
[解析] 在整个过程中，只有重力做功，重力做功的特
点是只与始末位置的高度差有关，与其所经过的路径
无关，所以这两个小球在整个过程中重力做功相等，B
正确；根据动能定理可知 ,则落地
时的动能相等，速度大小相等，但速度方向不同，A错
误；由于落地时速度大小相同，方向不同，根据 可知，重力的
瞬时功率不同，C错误；竖直上抛运动的时间比平抛运动的时间长，根据
可知，重力对做平抛运动的小球做功的平均功率更大，D错误.
例8 [2024·江西卷] “飞流直下三千尺,疑是银河落九天”
是李白对庐山瀑布的浪漫主义描写.设瀑布的水流量约
为,水位落差约为 .若利用瀑布水位落差发
电,发电效率为 ,则发电功率大致为( )
A. B. C. D.
[解析] 设时间内水流做功为，水流的质量为 ，水
流的体积为，水位落差为，则有 ，
，水流量，发电功率，联立可得，
取时，代入数据解得 ，B正确.
√
素养提升 机车启动问题
恒定功率启动 恒定加速度启动
恒定功率启动 恒定加速度启动
过程分析
运动性质 加速度减小的加速 运动
续表
恒定功率启动 恒定加速度启动
过程分析
运动性质 加速度减小的加速运动
过程分析
运动性质
续表
恒定功率启动 恒定加速度启动
转折点
续表
例9 [2024·湖北孝感模拟] 额定功率为 的汽车，在平直公路上行驶
最大速度是，汽车质量为 ，如果汽车从静止开始先做加
速度为 的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，在运
动过程中阻力不变，求：
(1) 汽车受到的阻力的大小；
[答案]
[解析] 依题意，可知当汽车受到的牵引力大小等于阻力时，行驶的速度
达到最大，则汽车受到的阻力
例9 [2024·湖北孝感模拟] 额定功率为 的汽车，在平直公路上行驶
最大速度是，汽车质量为 ，如果汽车从静止开始先做加
速度为 的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，在运
动过程中阻力不变，求：
(2) 汽车匀加速运动时受到的牵引力的大小；
[答案]
[解析] 汽车做匀加速直线运动时，根据牛顿第二定律有
可得此时汽车受到的牵引力大小为
例9 [2024·湖北孝感模拟] 额定功率为 的汽车，在平直公路上行驶
最大速度是，汽车质量为 ，如果汽车从静止开始先做加
速度为 的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，在运
动过程中阻力不变，求：
(3) 汽车做匀加速直线运动的最大速度；
[答案]
[解析] 当汽车的功率达到额定功率时，汽车匀加速运动过程达到最大速
度，有
例9 [2024·湖北孝感模拟] 额定功率为 的汽车，在平直公路上行驶
最大速度是，汽车质量为 ，如果汽车从静止开始先做加
速度为 的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，在运
动过程中阻力不变，求：
(4) 汽车从静止开始运动 的过程中牵引力做的功.
[答案]
[解析] 汽车做匀加速直线运动达到最大速度用时为
该过程汽车运动的位移为
该过程汽车牵引力所做的功为
汽车在接下来的 时间内以额定功率行驶，则牵引力所做的功为
故汽车从静止开始运动 的过程中牵引力做的功为
例10 (多选)[2024·河北保定模拟] 一辆汽车在水平路面上由静止启动,在
前内做匀加速直线运动,在 末达到额定功率,之后保持额定功率运动,其
图像如图所示.已知汽车的质量 ,汽车受到地面的阻力
为车重力大小的,取 ,则( )
A.汽车在前内的牵引力为
B.汽车在时的加速度为
C.汽车的额定功率为
D.汽车在前内摩擦力做功为
√
√
[解析] 根据图像,可得前 内的加速度
,由牛顿第二定律有
,解得 ,故A正
确;汽车在 末达到额定功率, 额定功率为 ,
故C错误;汽车速度为时, 则有 ,解得,故
B正确;前 内的位移是 ,摩擦力做功
,故D错误.
变式2 [2024·安徽蚌埠模拟] 一遥控玩具汽车以 的恒定功率在水平地
面上由静止开始做直线运动，其运动速度的倒数与加速度 的关系如图所
示，若玩具汽车受到的阻力恒定，则下列结论正确的是( )
A.玩具汽车的最大速度为
B.玩具汽车的质量为
C.玩具汽车所受阻力大小为
D.玩具汽车的加速度大小为 时的速度大
小为
√
[解析] 由图可知，玩具汽车的最大速度的倒数为
，解得，故A错误；
根据 ，又 ，联立解得 ，
结合图像可得、 ，解得、
，故B错误,C正确；由C选项分析可知 ，当玩具汽车的加速度大小为时，速度大小为 ，故D错误.
[技法点拨]
1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即
.
2.机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束时功率达到最大，但速度不
是最大，即此时的速度 .
3.机车以恒定功率运行时，牵引力做的功 ，由动能定理得
，用该式可求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度问题.
功的判断和计算
1.(多选)如图所示，粗糙的斜面体在水平恒力 的作用下向左匀速运动，一
物块置于斜面上并与斜面保持相对静止，下列说法中正确的是( )
A.斜面对物块不做功
B.斜面对地面的摩擦力做负功
C.斜面对物块的支持力做正功
D.斜面对物块的摩擦力做负功
√
√
√
[解析] 斜面对物块的作用力可以等效为一个力，根据平
衡条件可知，这个力与物块的重力大小相等，方向相反，
与位移方向的夹角为 ，所以不做功，选项A正确；地
面受到摩擦力作用，但没有位移，所以斜面对地面的摩擦力不做功，选项
B错误；斜面对物块的支持力与位移方向的夹角小于 ，所以做正功，
而斜面对物块的摩擦力与位移方向的夹角大于 ，所以做负功，选项C、
D正确.
2.如图所示，轻绳一端受到大小为 的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为 、可视为质点的小物块相连.开始时绳与水平方向的夹角为 ，当小物块从水平面上的 点被拖动到水平面上的点时，位移为，随后从 点沿斜面被拖动到定滑轮处，、间距离也为，小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为 .若小物块从点运动到点的过程中，对小物块做的功为 ，小物块在段运动过程中克服摩擦力
做的功为 ，则以下结果正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 小物块从点运动到点的过程中， 对小物块做的功为，为 作用点的位移，即绳端移动的长度，由几何关系可知 , ，则，所以 ，故A正确，B错误；根据几何关系得段倾角为 ，则小物块在 段运动过程中所受摩擦力大小为 ，克服摩擦力做的功为
，故C、D错误.
变力做功的分析与计算
3.如图所示， 个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，
总长度为，总质量为，它们一起以速度 在光滑水平面上滑动，某时刻
开始滑上粗糙水平面.小方块与粗糙水平面间的动摩擦因数均为 ，重力
加速度为 .若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所
做功的大小为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 总质量为 的小方块在进入粗糙水平面的过程中，滑动摩擦力由0
开始均匀增大，当全部进入时摩擦力达最大值，总位移为 ，平
均摩擦力为，由功的公式可得 ，
功的大小为 ，故C正确，D错误；对所有小方块的运动过程，由动
能定理得，解得，则功的大小为 ，故A、
B错误.
4.一物体所受的力随位移 变化的图像如图所示，这一过程中，力 对物体做的功为( )
A. B.
C. D.
[解析] 力对物体做的功等于图线与横轴所包围面积的代数和， 这
段时间内力对物体做的功为， 这段时
间内力对物体做的功为，全过程中，力
对物体做的功为 ，故选B.
√
5.某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力与陷入深度 的关系为
，已知，石头沿竖直方向做直线运动，当 时，石
头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为( )
A. B. C. D.
[解析] 由于阻力与深度为线性关系，则克服阻力做的功为
，故选C.
√
功率的分析与计算
6.一质量为的小球沿倾角为 的足够长的斜面由静止开始
匀加速滚下,途中依次经过、、三点,已知,由到 和
由到经历的时间分别为、,取 ,则下列说法正确
的是( )
A.小球的加速度大小为
B.小球经过点时重力的瞬时功率为
C.点距出发点的距离为
D.小球由出发点到点过程中重力的平均功率为
√
[解析] 在、间的平均速度,在、 间的平均速度
,小球加速度,选项A错误;小球经过
点时的速度,则小球经过 点时重力的瞬时功率
,选项B错误;小球经过 点
时的速度为,点与出发点的距离为 ,
选项C正确;小球经过点时的速度 ,则小球由出发
点到点过程中重力的平均功率为 ,故选项D错误.
7.[2023·山东卷] 《天工开物》中记载了古人借助水力使用高
转筒车往稻田里引水的场景.引水过程简化如下:两个半径均为
的水轮,以角速度 匀速转动.水筒在筒车上均匀排布,单位长
度上有 个，与水轮间无相对滑动.每个水筒离开水面时装有
质量为的水，其中的被输送到高出水面 处灌入稻田.
当地的重力加速度为 ，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有 个，
且每个水筒离开水面时装有质量为的水，其中的 被输
送到高出水面 处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的
总质量为 ,则水轮转一圈灌
入稻田的水克服重力做的功 ,则筒
车对灌入稻田的水做功的功率为 ,水轮转一圈所用时间
,联立有 ,故选B.
素养提升 机车启动问题
8.(多选)某装甲车的质量为 ，若在平直的公路上从静止开始加速，则前
进较短的距离其速度便可达到最大值 .设在加速过程中发动机的功率
恒为，装甲车所受阻力恒为，当速度为 时，所受牵引力为
.以下说法正确的是( )
A.装甲车速度为时，牵引力做的功为
B.装甲车的最大速度
C.装甲车速度为时，加速度
D.装甲车从静止开始达到最大速度所用时间
√
√
[解析] 因为在运动过程中，装甲车功率不变，速度增大，则牵引力减小，
故加速过程牵引力不是恒力，所以装甲车速度为 时，牵引力做的功不
能通过求解，则牵引力做的功不等于 ，A错误；当牵引力与阻
力大小相等时，装甲车的速度达到最大，根据 知，最大速度
，B正确；当装甲车的速度为 时，根据牛顿第二定律得加速度
，C正确；装甲车做加速度减小的加速运动，则 ，得
,D错误.
9.一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前内做匀加速直线运动，
末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其 图像如图所示.已知汽
车的质量为，汽车受到地面的阻力为车重的， 取
，则( )
A.汽车的额定功率为
B.当汽车速度为时，加速度大小为
C.汽车在前内的牵引力为
D.汽车的最大速度为
√
解得汽车的牵引力，故C正确；在 末汽车达到额定
功率，有 ，故A错误；当牵引力大小等于阻力时，汽车
达到最大速度，则最大速度，
故D错误；当汽车速度为 时，汽车受到
的牵引力为 ，根据牛顿第二
定律有，解得加速度大小为
，故B错误.
[解析] 依题意，汽车受到的阻力，由图像
可得前 内汽车的加速度，根据牛顿第二定律得 ，
10.已知汽车在平直路面上由静止启动，阻力恒定，最终达到最大速度
后以额定功率匀速行驶，汽车运动过程中速度随牵引力的倒数 变化的图
像如图所示，图中、平行于轴，反向延长线过原点 ，汽车质量
为，已知、、、 ，下列说法不正确的是( )
A.汽车额定功率为
B.汽车从到 过程做变加速运动
C.汽车匀加速运动持续的时间为
D.汽车从到过程克服阻力做功为
√
[解析] 根据，可得 ，汽车额定功率为图像的斜率，有，故A正确；汽车从到 过程中功率保持不变，随着汽车速度增大，牵引力减小，根据牛顿第二定律有
，可知随着牵引力减小，汽车
的加速度减小，故汽车从到 过程做变加速
运动，故B正确；
汽车所受的阻力为 ，由于额定功率等于图像斜率有，即 ,汽车从到，根据牛顿第二定律有,汽车从 到匀加速运动持续的时间为 ,故C错误；汽车从到过程的位移,汽车从到 过程克服阻力做功
,故D正确.
作业手册
1.[2024·山东日照模拟] 如图所示，水平地面上有一
质量为1.的木箱，在拉力 的作用下从静止开始
沿着直线向右运动了.已知拉力的大小为 ，
A.拉力对木箱做的功为 B.支持力对木箱做的功为
C.摩擦力对木箱做的功为 D.合力对木箱做的功为
与水平方向的夹角为 ，木箱与地面间的动摩擦因数为0.， 取
，， .下列说法正确的是( )
√
[解析] 拉力对木箱做功 ，
A错误；支持力做功为零，B错误；摩擦力对木箱
做功 ，C错误；合
力对木箱做功 ，D正确.
2.[2024·贵州卷] 质量为 的物块静置于光滑水
平地面上，设物块静止时的位置为 轴零点.现给
物块施加一沿轴正方向的水平力 ，其大小随位
置变化的关系如图所示，则物块运动到
处， 做功的瞬时功率为( )
A. B. C. D.
[解析] 根据图像可知物块运动到处， 做的总功为
，该过程根据动能定理得 ,解得物块
运动到处时的速度为，故此时 做功的瞬时功率为
，故选A.
√
3.[2024·山西大同模拟] 如图所示，摆球质量为 ，悬线长
度为，把悬线拉到水平位置后放手.设在摆球从 点沿圆弧
运动到点的过程中空气阻力的大小 不变，重力加速度
为 .则下列说法正确的是( )
A.重力做功为0 B.悬线的拉力做功为
C.空气阻力做功为 D.摆球克服空气阻力做功为
√
[解析] 摆球所受重力竖直向下，摆球位移有竖直向下的分
量，故重力做功不为零，故A错误；悬线的拉力始终与 垂
直，不做功，故B错误；将圆弧路径分成若干小圆弧
(尽量小)，每一段小圆弧上可认为是恒力，所以 所做
的总功等于每个小弧段上 所做功的代数和，即
，故C正确，D错误.
4.[2024·湖北十堰模拟] 在2024年国际举联泰国世界杯赛中，中国举重队
收获11金9银7铜.某选手在训练时将质量为的杠铃举高1. ，其中
举起用了，在最高处维持了，放下用了0. ，在杠铃落地前手已放
开.重力加速度大小取 ，则下列说法正确的是( )
A.选手在向上举起杠铃的过程中对杠铃做的功小于
B.选手维持杠铃在最高点的过程中对杠铃做的功为0
C.选手放下杠铃的过程中重力对杠铃做功的平均功率为
D.整个过程中重力对杠铃做功的平均功率约为
√
[解析] 选手在向上举起杠铃的过程中对杠铃做的功等于克服重力做力大
小，有 ，故A错误；选手维持杠铃在最高点的过程中，
杠铃受到的支持力向上，杠铃在力的方向没有位移，所以对杠铃做的功为
0，故B正确；根据题意选手放下杠铃的过程中杠铃没有落地，则选手放下
杠铃的过程中重力对杠铃做功，已知放下用了0. ，平均功率
为，联立解得 ，故C错误；整个过程中杠铃初始位置是
地面，末状态位置是地面，位移为零，所以整个过程中重力做功为零，平
均功率 ，则整个过程中重力对杠铃做功的平均功率为零，故D错误.
5.[2024·河南安阳一中模拟] 如图所示，汽车保持速率不变通过路面 ，
其中段为平直上坡路面，段为水平路面， 段为平直下坡路面(、
在同一水平面).假设从到 过程汽车所受的地面阻力不变，.下列关于汽车的功率随时间 的变化规律最符合事实的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 汽车做匀速率运动，在各段路面上运动时受力平衡.设上下坡的倾
角为 ，汽车受到的空气阻力和摩擦阻力的合力大小为.在 段，根据
平衡条件可得牵引力大小为 ，此时汽车的输出功率为
，在段，根据平衡条件可得 ，此时汽
车的输出功率为，在 段，根据平衡条件可得
，此时汽车的输出功率为 ，
则，又因为,所以 ，故B正
确，A、C、D错误.
6.(多选)[2024·河北邯郸模拟] 质量为 的物体置于水平面上，在运动
方向上受到水平拉力的作用，沿水平方向做匀变速直线运动， 后撤去
，其运动的速度—时间图像如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.拉力对物体做的功为
B.拉力对物体做的功为
C.摩擦力对物体做的功为
D.第时力的瞬时功率为
√
√
[解析] 图像的斜率表示加速度，则 内
加速度大小为，
内的加速度大小 ，根据
牛顿第二定律有、 ，解得
、， 图像中，图像与时间轴所围几何图形的面积表
示位移，则 内位移为 ，内位移为
，根据功的定义式，拉力 对物体做功
，故A正确，B错误；
根据功的定义式，摩擦力对物体做功，故C正确；时力 已经撤去，故第时力 的瞬时功率为0，故D错误.
7.[2024·福建莆田一中模拟] 如图甲所示，一物体置于倾角 的足够长光滑斜面上，电动机通过跨过定滑轮的轻绳牵引物体沿斜面上升.启动电动机后，在 时间内物体运动的图像如图乙所示，其中除 时间段图像为曲线外，其余时间段图像均为直线，后电动机的输出功率保持不变. 已知物体的质量为 ，不计一切摩擦，重力加速度取 . 则( )
A.0~1s内电动机的输出功率不变
B. 内电动机牵引力逐渐变大
C.内电动机牵引力大小为
D.后电动机的输出功率为
√
[解析] 由图可知， 内物体做匀加速直线运动，则电动机牵引力大
小不变，物体速度增大，则 内电动机的输出功率变大，故A错误；
由图可知， 内物体的加速度逐渐减小，则电动机牵引力逐渐减小，
故B错误；由图可知，内物体的加速度为 ，由
牛顿第二定律可得， 内电动机牵引力大小为，故C错误； 后电动机的输出功率
不变，等于时的输出功率，则有
，故D正确.
8.[2024·四川凉山模拟] 如图所示，一台起重机将质量 的重物
由静止开始以的加速度竖直向上匀加速提升， 末达到额定功
率并保持功率不变继续提升重物，直至重物匀速上升.取 ，不计
空气阻力，则下列说法正确的是( )
A.起重机的额定功率为
B.匀加速阶段起重机对重物的拉力做功为
C.重物开始运动后 内起重机提升重物的平均功
率为
D.重物的最大速度为5.
√
[解析] 前，根据牛顿第二定律有 ，
得拉力, 末速度
，额定功率 ，故A错误；匀加速阶段位移 ，匀加速阶段起重机对重物的拉力做功 ，故B错误；
，故内拉力做的总功 ，重物开始运动后 内起重机提升重物的平均功率
，故C错误；
当拉力大小等于重力大小时，重物速度最大，
最大速度 ，故D正确.
9.(多选)下列各图是反映汽车(额定功率为 )从静止开始匀加速启动，最
后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随
速度变化的图像，其中正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 汽车从静止开始匀加速启动，由公式 及题意知，当牵引力
恒定时，随着速度的增加功率增大，当 时，功率不再增加，此时，
牵引力， ，速度继续增加，牵引力减小，此后汽
车做加速度逐渐减小的加速运动，当时， ，速度达到最大，
，做匀速直线运动.由以上分析知，B错误，A、C、D正确.
10.[2024·江西南昌模拟] 某同学对一辆自制小遥控
车的性能进行测试，让小车在水平地面上由静止开
始运动.小车上的传感器将小车运动的全过程记录下
来，通过数据处理得到如图所示的 图像.已知小
车在内做匀加速直线运动， 内小车牵
(1) 求小车受到的阻力的大小；
[答案]
引力的功率保持不变，在 末停止遥控，关闭电动机.小车的总质量
，整个过程中小车受到的阻力保持不变.
[解析] 对小车分析，关闭发动机后在 内，
根据加速度的定义式有
解得
根据牛顿第二定律有
解得
10.[2024·江西南昌模拟] 某同学对一辆自制小遥控
车的性能进行测试，让小车在水平地面上由静止开
始运动.小车上的传感器将小车运动的全过程记录
下来，通过数据处理得到如图所示的 图像.已
知小车在内做匀加速直线运动， 内小
(2) 求小车的额定功率；
[答案]
车牵引力的功率保持不变，在 末停止遥控，关闭电动机.小车的总质量
，整个过程中小车受到的阻力保持不变.
[解析] 小车在内功率不变，设为 ，在
内，由于小车做匀速运动，根据平衡条件
可得
根据功率的表达式有
解得
10.[2024·江西南昌模拟] 某同学对一辆自制小遥控车的性
能进行测试，让小车在水平地面上由静止开始运动.小车
上的传感器将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理
得到如图所示的图像.已知小车在 内做匀加速
(3) 若小车在时速度为，求此时小车加速度 的大小；
[答案] 1.
直线运动，内小车牵引力的功率保持不变，在 末停止遥控，关
闭电动机.小车的总质量 ，整个过程中小车受到的阻力保持不变.
[解析] 小车在时速度为 ，此时牵引力大小
根据牛顿第二定律有
解得
10.[2024·江西南昌模拟] 某同学对一辆自制小遥控车的性
能进行测试，让小车在水平地面上由静止开始运动.小车
上的传感器将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理
得到如图所示的图像.已知小车在 内做匀加速
(4) 求 时间内电动机对小车做的功.
[答案]
直线运动，内小车牵引力的功率保持不变，在 末停止遥控，关
闭电动机.小车的总质量 ，整个过程中小车受到的阻力保持不变.
[解析] 小车的位移
加速度
根据牛顿第二定律有
解得
时间内电动机对小车做的功
代入数据可得
11.[2024·安徽铜陵模拟] 如图甲所示，一质量为 的汽车
(可视为质点)，正以的速度在水平路段上向右匀速运动，
时汽车驶入较粗糙水平路段，汽车发动机的输出功率保持 不变，
汽车在时离开路段.通过路段的 图像如图乙所示
(时曲线的切线方向与 轴平行).
假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小.下列说法正确的是( )
A.汽车在和路段上所受阻力大小比为
B.汽车进入 路段做加速度增大的减速运动
C.汽车刚好开过点时加速度的大小为
D.路段的长度为
√
[解析] 汽车在路段做匀速直线运动，根据平衡条件，有 、
，汽车在路段末加速度是零，则有 、
，则有阻力大小比为 ，选项A错误；汽车
进入路段，阻力突然增大，牵引力不变，速度减小，由 图像的斜
率表示加速度可知，汽车的加速度逐渐减小，
故做加速度减小的减速运动，选项B错误；
汽车刚好开过 点时，则有汽车的牵引力、 ，刚好开过点时汽车的牵引力仍为，根据牛顿第二定律，有 ，解得加速度大小，选项C正确；汽车在 路段运动，位移小于在段匀减速运
动的位移，即位移小于 ，选项D错误.
12.[2024·辽宁朝阳模拟] 如图甲所示，一辆汽车空载时的质量为 ，车厢
中平放有质量为0. 的货物.若路面对车的阻力大小总等于车对路面压力
大小的，重力加速度为，, .
(1) 当汽车以功率 在平直路面上匀速行驶时，求汽车速度的大小；
[答案]
[解析] 汽车匀速行驶时有
又
汽车功率
可解得
12.[2024·辽宁朝阳模拟] 如图甲所示，一辆汽车空载时的质量为 ，车厢
中平放有质量为0. 的货物.若路面对车的阻力大小总等于车对路面压力
大小的，重力加速度为，, .
(2) 保持功率不变，汽车开上一个倾角为 的斜坡，货物和车相对静
止，若刚驶上斜坡时的速度大小同第(1)问，求此时车的加速度和车厢对
货物的摩擦力.
[答案] 0.，方向沿斜面向下; 0. ，方向沿斜面向上
[解析] 汽车刚上坡，功率和速率都不变，则牵引力大小也不变，对整体
根据牛顿第二定律，有
解得 ，方向沿斜面向下
对货物，根据牛顿第二定律，有0.
解得 ，方向沿斜面向上
12.[2024·辽宁朝阳模拟] 如图甲所示，一辆汽车空载时的质量为 ，车厢
中平放有质量为0. 的货物.若路面对车的阻力大小总等于车对路面压力
大小的，重力加速度为，, .
(3) 汽车在斜坡上经过时间又达到速度 匀速行驶，在乙图中试画出汽
车上坡 过程中的运动图像.
[答案] 如图所示
[解析] 上坡过程中，速度减小，根据 可知牵引力增大，速度越来
越小，则牵引力越来越大，根据牛顿第二定律可知加速度越来越小，直到
牵引力的大小与重力沿斜面分力和阻力之和相等时，汽车做匀速直线运动，
所以汽车做加速度减小的减速运动
必备知识自查 一、1.力,位移 2.,位移 3.标量
4.（1）正功 （2）不做功 （3）负功,克服 二、1.快慢
【辨别明理】 1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√
核心考点探究 考点一 考向一 例1.A 考向二 例2.AC 变式1.C
考点二 考向一 例3.A 考向二 例4.AB 考向三 例5.D 考向四 例6.B 考点三 例7.B 例8.B
素养提升 例9.（1） （2） （3）
（4） 例10.AB 变式2.C
基础巩固练 1.D 2.A 3.C 4.B 5.B
综合提升练 6.AC 7.D 8.D 9.ACD
10.（1） （2） （3）1. （4）
拓展挑战练 11.C
12.（1） （2）0.，方向沿斜面向下,0.，方向沿斜面向上
（3）如图所示
