4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课件（共22张PPT）高一上学期数学 北师大版 必修第一册

(共22张PPT)
第四章
§1
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
§4
北师大版《普通高中教科书数学》（必修第一册）
结论1
复习回顾
x
y
–2
–1
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
指数增长
结论2
x
y
O
对数增长
结论3
幂函数增长
x
y
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
直线上升
x
y
–3
–2
–1
1
2
3
4
–3
–2
–1
1
2
3
4
O
思考：三种函数值的增长快慢有何差异？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
0
1
1.5850
2
2.3219
2.5850
2.8074
3
3.1699
3.3219
3.4594
3.5850
动手实践
1. 利用科学计算器或Excel等软件完成下表
2. 由表中数据，你能得到什么结论？
三种函数增长的比较
1
2
3
4
5
1
4
9
16
25
2
4
8
16
32
0
1
1.5849625
2
2.3219281
y
x
5
10
15
20
25
30
35
1
2
3
4
5
O
三种函数增长的比较
y
x
5
10
15
20
25
30
35
1
2
3
4
5
O
结论
1.对数增长显然最慢（越来越缓），而幂增长和指数增长的快慢交替出现；
3.由于指数函数值增长非常快（越来越陡），人们常称这种现象为“指数爆炸”.
指数增长带来的困扰
澳大利亚兔子成灾
福建闽江水葫芦泛滥
　　 下列函数中，随着自变量x的增大，增长速度最快的是
A．y＝2 024x B．y＝x2 024
C．y＝log2 024x D．y＝2 024x
√
例1
A．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢
B．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快
C．f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢
D．f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快
√
规律方法
常见的函数模型及其增长特点
1．线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
2．指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”．
3．对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
4．幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．　　
　　
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
例2
解：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 025)，g(2 025)的大小．
解：因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，
g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)>g(1)，f(2)f(10)>g(10)．
所以1所以x1<8从图象上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(2 025)>g(2 025)>g(8)>f(8)．
对点练2.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
解：C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较．
解：由已知，以x1，x2为分界点，
当0f(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
　　 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数，仅供参考)：
例3
建立平台第x年 1 2 3 4
会员个数y(千人) 14 20 29 43
(1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台x(x∈N＋)年后平台会员人数y(千人)，并求出你选择模型的解析式：①y＝
＋b(t>0)，②y＝d·logrx＋s(r>0，且r≠1)，③y＝m·ax＋n(a>0，且a≠1)；
解：从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①，
因为函数增长的速度越来越快，
所以选择③y＝m·ax＋n(a>0，且a≠1)，
建立平台第x年 1 2 3 4
会员个数y(千人) 14 20 29 43
建立平台第x年 1 2 3 4
会员个数y(千人) 14 20 29 43