5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课件（共30张PPT）高一上学期数学 北师大版 必修第一册

(共30张PPT)
5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
学习目标
1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，体现数学抽象能力（重点）
2.掌握函数零点存在定理，体现数学抽象能力（重点）
3.能结合图象求解零点问题，体现逻辑推理能力（难点）
新课导入
我们已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，它们有相应的求解公式，并掌握了这些方程的求解方法而实际上，绝大部分方程没有求解公式.本节我们就利用方程与函数的关系判断方程解的存在性，并给出方程近似解的求法.
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分析下面的例子：
从函数的角度判定方程x2-x-6=0实数根的存在性：
观察函数f(x)=x2-x-6的图象，
容易得出，它的图象是开口向上的抛物线，且f(0)=-6<0，f(4)=6>0，f(-4)=14>0.
由于函数f(x)的图象是连续的曲线，因此点B(0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间(0,4)内必有一点x1，使f(x1)=0；
同理，在区间(-4,0)内也必有一点x2，使f(x2)=0．因此，方程x2-x-6=0有两个不相等的实数根．
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零点的概念
使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数的零点. f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
注意：实际问题中，大部分函数的图象都是连续曲线
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零点存在定理的概念
若函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a,b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a,b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解.
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思考一下:函数的零点与方程的解的有什么关系？
1.函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数解，也是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象交点的横坐标.
2.如果函数在零点两侧对应的函数值异号，那么称这个零点为变号零点；
如果函数在零点两侧对应的函数值同号，称该零点为不变号零点.如2就是函数f(x)＝(x－2)2的不变号零点.
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思考一下：如果满足零点存在定理的条件，那么方程f(x)=0在区间(a,b)内只有一个解吗？
不一定
如：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，f(0)f(4)=(-6)×6<0，但是该函数在区间内有三个零点x=1，x=2和x=3．即方程f(x)=0在区间(0,4)内有三个解.
x
y
–1
1
2
3
4
–1
–2
1
2
O
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思考一下：若f(a)·f(b)>0，则方程f(x)=0在区间(a,b)内一定没有解吗？
不一定
如：f(x)=x2，在区间[-2,2]上，f(-2)=f(2)=4，所以f(-2)f(2)>0，但方程x2=0在区间(-2,2)内有零点x=0．
x
y
O
a
b
y=f(x)
f(a)·f(b)>0
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思考一下：若f(a)·f(b)<0，则方程f(x)=0在区间(a,b)内一定没有解吗？
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上图象连续，则
f(a)·f(b)<0
方程f(x)=0在区间(a,b)内有解
即f(a)·f(b)<0是方程f(x)=0在区间(a,b)内有解的充分条件而非必要条件．
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例1：方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？
设函数f(x)=3x-x2，在区间[-1,0]上有
f(-1)=3-1-(-1)2=
f(0)=30-02=1>0，
又因为函数f(x)=3x-x2的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程f(x)=0在区间(-1,0)内有解，即在区间[-1,0]内有解，
故方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有解．
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例2：判定方程(x-2)(x-5)=1有两个不相等的实数根，且一个根大于5，另一个根小于2．
设函数f(x)=(x-2)(x-5)-1，显然有f(2)=f(5)=-1<0．
画出函数f(x)=(x-2)(x-5)-1的图象，如图，观察得,
f(-1)=(-1)×(-4)-1=3>0,
f(6)=4×1-1=3>0
在区间[1,2]，[5,6]内分别应用零点存在定理，可知在区间(1,2)，(5,5)内，一元二次方程(x-2)(x-5)-1=0各有一个实数根．
所以方程(x-2)(x-5)=1有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于．
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例3：如图,对于四边形ABCD,是否存在可将它分两个面积相等部分的直线 若存在,有多少条满足条件的直线 请说明理由.
建立如下图所示的平面直角坐标系，作垂直于x轴的直线l0,将四边形ABCD分为两部分，记直线l0左侧(阴影部分)的面积为S(x)(a≤x≤b),四边形ABCD的面积为S.则直线l0右侧剩余部分面积为S-S(x).
设f(x)=S(x)-(S-S(x))(a≤x≤b),函数f(x)在[a,b]上的图象是一条连续的曲线.
因为f(a)=S(a)-(S-S(a))=-S<0，f(b)=S(b)-(S-S(b))=S>0
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由函数的零点存在定理可知,一定存在x0∈(a,b),使f(0)=0，即S(x0)-(S-S(x0))=0
若以顶点C为中点将四边形ABCD逆时针旋转，每旋转一个角度θ.利用类似上面的方法，在同一个平面直角坐标系中，可得到垂直于x轴的直线l0将四边形ABCD分为面积相等的两部分.由于有无穷多个不同的θ值，因此存在无数条可将四边形ABCD分成两个面积相等的直线.
例3：如图,对于四边形ABCD,是否存在可将它分两个面积相等部分的直线 若存在,有多少条满足条件的直线 请说明理由.
此时S(x0)= ，即存在一条可将四边形ABCD分成两个面积相等部分的直线
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练一练：
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C
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B
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D
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C
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D
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1
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课堂总结
1.零点的概念
2.零点存在定理的概念
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