5.1.1利用函数性质判断方程解的存在性 课件（共25张PPT）高一上学期数学 北师大版 必修第一册

(共25张PPT)
第五章 函数应用
5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
北师大版
必修第一册
学习目标
1. 了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系；
2. 掌握函数零点存在定理；
3. 能结合图象求解零点问题．
从不同的角度看问题
数的角度
形的角度
零点
我们已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，它们有相应的求解公式，并掌握了这些方程的求解方法而实际上，绝大部分方程没有求解公式. 本节我们就利用方程与函数的关系判断方程解的存在性，并给出方程近似解的求法.
在初中，我们已经学习了用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况，能否换一种方法，从函数的角度研究如何判定一元二次方程实数根的存在性呢？
观察函数 的图象：
由于函数 的图象是连续的曲线，因此点 与点 之间的那部分曲线必然穿过 轴，即在区间 内必有一点，使 ；
同理，在区间 内也必有一点 ，使．
因此，方程 有两个不相等的实数根．
抛物线
开口向上
函数的零点
零点：使得 f (x0)＝0 的数 x0 称为方程 f (x)＝0 的解，也称为函数的零点.
f (x) 的零点就是函数 y＝f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标.
特别提醒：
[1]函数的零点不是点，而是实数.
[2]并不是所有的函数都有零点，如函数 均没有零点.
[3]若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内.
函数零点与方程解的关系
函数 有零点
函数 的图象与 轴有公共点
方程 有实数解



[1] 函数 F(x)＝－g(x) 的零点就是方程 ＝g(x) 的实数解，也是函数
y＝ 与 y＝g(x) 的图象交点的横坐标.
[2] 如果函数在零点两侧对应的函数值异号，那么称这个零点为变号零点；
如果函数在零点两侧对应的函数值同号，称该零点为不变号零点.如 2 就是函数 ＝(x－2)2 的不变号零点.
如图，观察函数 ， 零点所在区间，以及这一区间内函数图象与 轴的关系，你能用 ， 的取值刻画这种关系吗？
在区间 内有零点 ，
它是方程 的一个根．
图象连续不断
穿过 轴
在区间 内有零点
，它是方程 的一个根．
在 内有零点 ，
它是方程 的另一个根．
图象连续不断
穿过 轴
你能概括上面两种情况的共性吗？
[1] 在包含零点的某区间内，函数的图象“穿过” 轴
[2] 零点两侧的函数值符号相反，即
如果函数 在区间 上满足 ，是否一定能得到函数 在区间 内存在零点？为什么？
不一定．
如 ，，，，
但是该函数在 内没有零点．因为函数的图象是断开的，虽然函数值从负变到正，但图象却没有“穿过” 轴．
x
y
O
除了函数 在区间 上满足 ，根据前面的讨论，追加什么条件就能保证函数 在区间 内存在零点？
函数 的图象在给定区间 上的图象连续不断．
函数的零点存在定理
零点存在定理：若函数 y＝f (x) 在闭区间 [a,b] 上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即 f (a)f (b)＜0，则在开区间 (a,b) 内，函数 y＝f (x) 至少有一个零点，即在区间 (a,b) 内相应的方程 f (x)＝0 至少有一个解.
利用零点存在定理判断函数 y＝f (x) 在区间 (a,b) 内有零点的前提条件有两个：
① f (x) 在区间 [a,b] 上的图象是一条连续曲线；
② f (a)f (b)＜0. 这两个条件缺一不可.
如果单调函数 y＝f (x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续曲线，并且有 f (a)f (b)＜0，那么函数 y＝f (x) 在区间 (a,b) 内有唯一的零点，即存在唯一的 c∈(a,b)，使得 f (c)＝0，这个 c 也就是方程的解.
如果满足零点存在定理的条件，那么方程在区间内只有一个解吗？
不一定．
如：，，
但是该函数在区间 内有三个零点，和 ．
即方程 在区间内有三个解，
运用零点存在定理只能判断方程 解的存在性，对于解的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究．
x
y
–1
1
2
3
4
–1
–2
1
2
O
若 ，则方程 在区间 一定没有解吗？
即 是方程 在区间 内
有解的充分条件而非必要条件．
若函数 在闭区间 上图象连续，则
方程 在区间 内有解
不一定
x
y
O
但方程 在区
间 内有个解．
x
y
–1
–2
1
2
1
2
3
4
O
在区间上，
，
所以
但方程 在区间 内有零点．
例题巩固
例1 方程 在区间 内有没有解？为什么？
解：设函数 ，在区间 上有
，．
又因为函数 的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程 在区间内有解，即在区间内有解，
故方程 在区间内有解．
例题巩固
例2 判定方程 有两个不相等的实数根，且一个根大于，另一个根小于 ．
解：设函数 ，显然有 ．
画出函数 的图象，如图：
观察得，，
．在区间，内
分别应用零点存在定理，可知在区间，内，
一元二次方程 各有一个实数根．
所以方程 有两个不相等的实数根，
且一个根大于，另一个根小于．
例题巩固
例3 对于任意一条封闭的曲线，都存在外切正方形．
证明：记封闭曲线为 ，在初始时刻的外切四边形为
矩形，它的边长分别为 和．
若 ，则结论成立；若 ，不妨设 ．
现在，保持 不动，逆时针转动矩形，转动过程中始终保持它与 外切，
设转动角为 ，则 与 边长之差可以看成在上的连续函数 ，
且 ，．
由函数的零点存在定理可知，一定存在 ，使 ．
这时，，封闭曲线 的外切矩形是正方形．
θ
课堂练习
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