第15讲 动能定理及其应用
例1 D [解析] 两个力对物体做功为W=W1+W2=14 J,根据动能定理可知,物体动能的增加量为14 J,故选D.
例2 CD [解析] 电梯上升的过程中,对物体做功的有重力mg和支持力FN,这两个力做的总功才等于物体动能的增量,故A、B错误,C正确;对电梯,无论有几个力对它做功,由动能定理可知,其合力做的功一定等于其动能的变化量,故D正确.
例3 B [解析] 根据题意,由动能定理有mg(h+d)-Wf=0,由于Ff=kx,则有Wf=d=·d=kd2,联立解得k=,故选B.
变式1 D [解析] 由图乙可知该过程中,物块与斜面体之间的动摩擦因数随位移均匀增加,则物块从A到斜面中点的过程中动摩擦因数的平均值为μ=,则摩擦力的平均值为Ff=μ0mgcos θ,则物块由A滑到斜面中点的过程中克服摩擦力做的功为Wf=Ffl0=μ0mgl0cos θ,对物块由A到斜面中点的过程中,由动能定理得mgl0sin θ-μ0mgl0cos θ=mv2,解得v=,故选D.
例4 C [解析] 人在滑道上运动的过程中,有mgH-Wf=mv2,人离开滑道后做平抛运动,水平方向有x=vt,竖直方向有h=gt2,联立解得Wf=150 J,故选C.
变式2 B [解析] 将人的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解,沿绳子方向的速度大小等于重物G的速度,根据速度的分解可知,当绳子与水平方向的夹角为α时,vG=vcos α,故v>vG,A错误;人在向右匀速运动的过程中,绳子与水平方向的夹角减小,所以重物的速度增大,重物做加速上升运动,由牛顿第二定律可知,绳子的拉力大于重物的重力,B正确,C错误;当重物G上升高度为h时,重物的速度vG=vcos α,重物由地面上升高度h的过程中,根据动能定理可知W-mgh=m,解得W=mgh+m(vcos α)2,D错误.
例5 C [解析] 物块从x=2 m运动到x=4 m过程中,根据动能定理得-Ffx-mgxsin θ=ΔEk=2 J-4 J,解得Ff=0.5 N,故A错误;物块从x=0运动到x=2 m过程中,根据动能定理得Fx-Ffx-mgxsin θ=ΔEk=4 J-0,解得F=3 N,故B错误;物块受到的滑动摩擦力Ff=μmgcos θ,解得μ=,故C正确;物块运动到最高点后,重力沿斜面向下的分力Gx=mgsin θ=0.5 N,最大静摩擦力Ffm>Ff=0.5 N=Gx,所以物块运动到最高点后,最大静摩擦力大于重力沿斜面向下的分力,即物块静止,故D错误.
变式3 BCD [解析] 由于拉力在水平方向,则拉力做的功为W=Fx,可看出W x图像的斜率代表拉力F,在物体运动的过程中根据动能定理有W-μmgx=mv2,则x=1 m时物体的速度为v1=2 m/s,x=1 m时,拉力为F==6 N,则此时拉力的功率P=Fv1=12 W,x=4 m时物体的动能为Ek=2 J,故A错误,B正确;从x=0运动到x=2 m,物体克服摩擦力做的功为Wf=μmgx=8 J,故C正确;根据W x图像可知在0~2 m的过程中F=6 N,2~4 m的过程中F=3 N,由于物体受到的摩擦力恒为Ff=4 N,则物体在x=2 m处速度最大,且根据选项A、B分析可知此时的速度为v2= m/s,故D正确.
例6 BC [解析] 根据题意,由动能定理有Ek=FΔx,则Ek t图像的斜率为k===Fv=P,可知图像的斜率表示外力F的功率,由图像可知,斜率保持不变,即外力F的功率不变,则0~2 s内水平外力F做功的功率为P= W=1 W,由公式P=Fv可知,物块速度逐渐增大,则外力F逐渐减小,则物块做加速度减小的加速运动,故A、D错误,B正确;由公式Ek=mv2可知,2 s末物块的速度为2 m/s,则外力F的大小为F==0.5 N,物块的加速度大小为a==0.5 m/s2,故C正确.
例7 AC [解析] 当拉力F=μmg=5 N时,物块的速度最大,由图乙可知,这时物块运动的位移为2 m,根据动能定理,可得WF+Wf=ΔEk,利用F x图像中图线与坐标轴所围面积表示拉力做功,有×1 J+×1 J-5×2 J=×1×,解得vm= m/s,故A正确,B错误;假设拉力为零时,物块的速度不为零,再运动一段时间速度才为零,则××1 J+×10×2 J-5x=0,解得x=3.6 m,故C正确,D错误.
例8 (1)2 m/s (2)1.5 m
[解析] (1)由动能定理得(mgsin 37°-μmgcos 37°)x0=m
解得v1=2 m/s
(2)小球最终一定停在A处,小球从B处由静止下滑到最终停在A处的全过程,由动能定理得mgx0sin 37°-μmgxcos 37°=0
解得x=1.5 m
变式4 ACD [解析] 运动员从P点到B点过程,由动能定理得mgh=m-m,代入数据解得vB=8 m/s,故A正确;运动员从C点到Q点过程,由动能定理得-mgH=0-m,代入数据解得vC=6 m/s,故B错误;运动员从B点到C点过程,由动能定理得-μmgl=m-m,代入数据解得μ=0.2,故C正确;运动员从P点出发到最终停在BC轨道,由动能定理有mgh-μmgx=0-m,代入数据解得x=16 m=2l+2 m,所以运动员最终停在 BC轨道,且最终停在距B点2 m的位置,故D正确.
例9 (1)4 m (2)h>5 m (3)90°
(1+) m
[解析] (1)若小球恰好通过C点,由重力提供向心力有mg=m
对小球从开始下滑到C点过程,由动能定理得mg=m
解得h=4 m
(2)小球从圆轨道下滑在DE段减速运动,设恰减速x后进入光滑区域.对小球运动的全过程,由动能定理得mgh2-Wf=0
由0=1.0-0.1x,解得x=10 m
Wf=×=mgx
代入得Wf=x=50 J,可得h2=5 m
故h>5 m
(3)要使小球飞过缺口经过N点回到圆轨道,从释放到M点,由动能定理得mg=m
从M到N的斜抛过程有
vMsin =-vMsin +gt、vMtcos =2Rsin
解得h3=R+Rcos +
Rcos 和取等时h3最小,则α=90°,可知当α=90°时hmin= m第15讲 动能定理及其应用
1.D [解析] 物体从A到C的过程中,由动能定理得mgR+Wf-μmgR=0,解得Wf=(μ-1)mgR,故选D.
2.B [解析] 设摆球从A运动到最低点B的过程中,将运动过程分为无数小段,每一小段的阻力可视为恒力,则克服空气阻力做功为Wf=F阻s=F阻·×2πL=,设摆球从A运动到最低点B的过程中,根据动能定理有mgL-Wf=m,解得vB=,故选B.
3.A [解析] 摩擦力与位移为线性关系,可以用平均摩擦力来求摩擦力做功,根据动能定理得-μmgL=0-m,解得v0=,故选A.
4.B [解析] 根据牛顿第二定律可知,摩擦力Ff=ma=,因m甲∶m乙=1∶2,t甲∶t乙=1∶2,可知Ff甲=Ff乙,根据动能定理Wf=ΔEk=m,可知W甲
5.C [解析] 这一过程中电动机的功率恒为P,根据P=Fv,可知随着小车速度的增加,小车受到的牵引力逐渐减小,而阻力恒定,故加速过程中小车所受合外力发生变化,故A错误;当牵引力大小等于阻力时,速度最大,则加速过程中小车所受阻力为F阻=,故C正确;加速过程中,根据动能定理可得小车受到的合外力所做的功为W合=Pt-F阻x=m6.BD [解析] G2763在第1秒末到第5秒末动能的变化量与第1秒内动能的变化量大小相等,符号相反,根据动能定理可知,合力的功大小相等,符号相反,等于-W,故A错误;从第3秒末到第5秒末动能的变化量与第1秒内动能的变化量相反,根据动能定理可知,合力的功相反,等于-W,故B正确;从第5秒末到第7秒末动能的变化量与第1秒内动能的变化量相同,合力做功相同,即为W,结合B项可知,从第3秒末到第7秒末合外力对G2763做功为0,故C错误;从第6秒末到第7秒末动能变化量是正值,大小等于第1秒内动能的变化量的,则合力做功为0.75W,故D正确.
7.C [解析] 物体从P处由静止释放,恰好滑到Q速度减为零,由动能定理得mgLsin 53°-μmgLcos 53°-mgLsin 37°-μmgLcos 37°=0,解得μ=,故A错误;物体运动到Q点后,重力沿斜面向下的分力为mgsin 37°=0.6mg,最大静摩擦力为μmgcos 37°8.C [解析] 设斜面长度为3L,根据题意可知,斜面完全光滑时,滑块从A点上滑到D点过程,根据动能定理可得-mg·3Lsin θ=0-m,当AB部分不光滑时,滑块从A点上滑到C点过程,根据动能定理可得-mg·2Lsin θ-FfL=0-m,联立可得Ff=mgsin θ,故A、B错误;滑块从C点下滑到A点过程,根据动能定理可得mg·2Lsin θ-FfL=m-0,联立解得滑块下滑到A点时速度vA=v0,故C正确;滑块从C点下滑到B点过程,根据动能定理可得mgLsin θ=m-0,联立解得滑块下滑到B点时速度vB=v0,故D错误.
9.(1)2 m/s (2)1.25 m (3) m
[解析] (1)滑块恰好能通过最高点D,则mg=m
解得vD=2 m/s
(2)从滑块P由释放点到竖直圆环轨道CD的最高点D,由动能定理有mgh-WfBC-2mgR=m
其中WfBC=FfBC·xBC=mgxBC=5 J
解得h=1.25 m
(3)滑块P由D点到G点的过程,由动能定理有2mgR-μ2mgL2-2mgR'=m-m
滑块P离开G点后做平抛运动,则有2R'=gt2、x=vGt
可得x=·=10
当0.16-0.4R'=0.4R'时,即R'=0.2 m时,水平距离达到极大值,由于0.25 m≤R'≤0.35 m
当R'=0.25 m时,落地点至G点的水平距离最大,为xm= m
10.BD [解析] 依题意,设物体在运动过程中受到的滑动摩擦力大小为Ff,当物体沿斜面向上运动到x0处时,根据动能定理有(F-mgsin θ-Ff)x0=E0-0,运动到2x0处时,根据动能定理有Fx0-(mgsin θ+Ff)2x0=0-0,物体从斜面顶端向下运动到x0处时,根据动能定理有(mgsin θ-Ff)x0=E0-0,联立以上三式,解得F=19.2 N、Ff=3.6 N,故C错误,D正确;根据Ff=μmgcos θ,解得μ=0.45,故A错误,B正确.
11.(1)2g 3g (2)H (3)圆管长度大于或等于H
[解析] (1)管第一次落地弹起的瞬间,小球仍然向下运动.设此时管的加速度大小为a1,方向向下;球的加速度大小为a2,方向向上;球与管之间的摩擦力大小为Ff,由牛顿运动定律有
Ma1=Mg+Ff①
ma2=Ff-mg ②
联立①②式并代入题给数据,得
a1=2g,a2=3g ③
(2)管第一次碰地前与球的速度大小相同.由运动学公式,碰地前瞬间它们的速度大小均为
v0= ④
方向均向下.管弹起的瞬间,管的速度反向,球的速度方向依然向下
设自弹起时经过时间t1,管与小球的速度刚好相同.取向上为正方向,由运动学公式有
v0-a1t1=-v0+a2t1 ⑤
联立③④⑤式得
t1= ⑥
设此时管下端的高度为h1,速度为v.由运动学公式可得
h1=v0t1-a1 ⑦
v=v0-a1t1 ⑧
由③④⑥⑧式可判断此时v>0.此后,管与小球将以加速度g减速上升h2,到达最高点.由运动学公式有
h2= ⑨
设管第一次落地弹起后上升的最大高度为H1,则H1=h1+h2 ⑩
可得H1=H
(3)设第一次弹起过程中球相对管的位移为x1.在管开始下落到上升H1这一过程中,由动能定理有
Mg(H-H1)+mg(H-H1+x1)-4mgx1=0
联立式并代入题给数据得
x1=H
同理可推得,管与球从再次下落到第二次弹起至最高点的过程中,球与管的相对位移x2为
x2=H1
设圆管长度为L,管第二次落地弹起后的上升过程中,球不会滑出管外的条件是x1+x2≤L
联立式,L应满足条件为
L≥H第15讲 动能定理及其应用
一、动能
1.定义:物体由于 而具有的能量.
2.公式:Ek= .
3.单位:焦耳(J),1 J=1 N·m=1 kg·m2/s2.
4.标矢性:动能是 ,只有正值.
二、动能定理
1.内容:力在一个过程中对物体所做的功,等于物体在这个过程中动能的 .
2.表达式:W= .
3.物理意义: 做的功是物体动能变化的量度.
【辨别明理】
1.一定质量的物体动能变化时,速度一定变化,但速度变化时,动能不一定变化. ( )
2.如果物体所受的合力为零,那么合力对物体做功一定为零. ( )
3.物体做变速运动时,动能一定变化. ( )
4.动能不变时,合力一定为零. ( )
动能定理的理解与基本应用
考向一 动能定理的理解
1.动能定理公式中“=”体现的“三个关系”
数量关系 合力的功与物体动能的变化可以等量代换
单位关系 国际单位都是焦耳
因果关系 合力做功是物体动能变化的原因
2.对动能定理中“力”的两点理解:
(1)“力”可以同时作用,也可以不同时作用.
(2)“力”既可以是恒力,也可以是变力.
3.适用范围:直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、各个力同时做功、分段做功均可用动能定理.
例1 [2024·山西长治模拟] 如图所示,一物体位于光滑水平面上,在两竖直平面内恒力F1、F2的作用下,物体水平向右发生了一段位移,F1与水平方向的夹角为45°,做的功为6 J,F2与水平方向的夹角为15°,做的功为8 J,则物体动能的增加量为 ( )
A.2 J
B.10 J
C. J
D.14 J
[反思感悟]
例2 (多选)如图所示,电梯质量为M,在它的水平底板上放置一质量为m的物体.电梯在钢索的拉力作用下竖直向上做加速运动,当电梯的速度由v1增大到v2时,上升高度为H(重力加速度为g).在这个过程中,下列说法正确的是 ( )
A.对物体,动能定理的表达式为W=m-m,其中W为支持力做的功
B.对物体,动能定理的表达式为W合=0,其中W合为合力做的功
C.对物体,动能定理的表达式为W-mgH=m-m,其中W为支持力做的功
D.对电梯,其所受合力做功为M-M
[反思感悟]
考向二 动能定理的基本应用
1.应用流程
2.注意事项
动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的,一般以地面或相对地面静止的物体为参考系.
例3 [2024·广西南宁模拟] 如图所示,将一截面为矩形的特殊材料静置于水平面上,从距材料上表面高度为h处由静止释放一个质量为m的小球(可视为质点),小球进入材料后恰好能运动至材料中距上表面为d的位置.已知小球在该材料中所受的阻力Ff=kx(k为大小恒定但未知的系数,x为小球在材料中运动的位移大小).重力加速度为g,不计空气阻力,则k的大小为 ( )
A.
B.
C.
D.
变式1 [2024·湖北武汉模拟] 如图甲所示,倾角为θ的斜面体固定在水平面上,其中斜面的长度为l0,一质量为m可视为质点的物块从静止开始由斜面体的顶端A滑到底端B,物块与斜面体之间的动摩擦因数与到A点的距离x按图乙所示的规律变化,重力加速度为g,则物块在斜面的中点速度大小为 ( ).
A. B.
C. D.
应用动能定理求变力做功
例4 [2024·湖南长郡中学模拟] 某水上乐园的滑道示意图如图所示,质量m=50 kg的人从螺旋滑道顶端由静止开始滑下,经过倾斜滑道和水平滑道后落入水中.已知螺旋滑道顶端到水平滑道的高度H=3.5 m,水平滑道到水面的高度h=0.8 m,重力加速度g取10 m/s2,运动过程中将人视为质点,不计空气阻力.若人的落水点到水平滑道末端的水平距离x=3.2 m,则人在滑道上滑动过程中克服阻力做的功为 ( )
A.90 J B.120 J C.150 J D.240 J
[反思感悟]
变式2 某位工人师傅用如图所示的装置,将重物从地面沿竖直方向拉到楼上,在此过程中,工人师傅沿地面以速度v向右做匀速直线运动,当质量为m的重物G上升高度为h时轻绳与水平方向成α角,重力加速度大小为g,滑轮的质量和摩擦均不计,在此过程中,下列说法正确的是 ( )
A.人的速度比重物的速度小
B.轻绳对重物的拉力大于重物的重力
C.重物做匀速直线运动
D.绳的拉力对重物做的功为mgh+mv2
【技法点拨】
1.应用动能定理应抓好“两个状态、一个过程”.“两个状态”即研究对象的始、末状态,确定在两个状态下研究对象的速度或动能情况;“一个过程”即研究过程,确定这一过程中研究对象的受力情况、位置变化或位移情况.2.动能定理既适用于恒力做功,也适用于变力做功;既适用于直线运动,也适用于曲线运动.
动能定理与图像问题的结合
1.图像与横轴所围“面积”或图像斜率的含义
2.解决图像问题的基本步骤
(1)观察题目给出的图像,弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义.
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式.
(3)将推导出的物理规律与数学上对应的标准函数关系式相对比,找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义,分析解答问题,或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量.
考向一 Ek x(W x)图像问题
例5 [2024·河北保定模拟] 如图甲所示,质量为0.1 kg的物块初始时静止在倾角为30°的斜面上,施加给物块一沿斜面的恒定拉力F,使物块开始沿斜面运动,物块运动了2 m时撤去拉力F.物块的动能Ek随物块沿斜面上滑距离x变化的部分图像如图乙所示,物块与斜面间的最大静摩擦力略大于滑动摩擦力,重力加速度大小g取10 m/s2.下列说法正确的是 ( )
A.物块受到的滑动摩擦力大小为1.5 N
B.恒定拉力F的大小为2.5 N
C.物块与斜面间的动摩擦因数为
D.物块运动到最高点后会沿斜面下滑
[反思感悟]
变式3 (多选)[2024·湖北宜昌模拟] 一质量为1 kg的物体在水平拉力的作用下,由静止开始在水平地面上沿x轴运动,出发点为x轴零点,拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示.物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4,重力加速度大小取10 m/s2.下列说法正确的是 ( )
A.在x=1 m时,拉力的功率为6 W
B.在x=4 m时,物体的动能为2 J
C.从x=0运动到x=2 m,物体克服摩擦力做的功为8 J
D.从x=0运动到x=4 m的过程中,物体的速度最大为v2= m/s
考向二 其他图像与动能定理的结合
例6 (多选)[2024·四川德阳模拟] 将一质量为1 kg的物块(可视为质点)静置于光滑的水平地面上,某时刻起,在水平外力F的作用下,物块开始做直线运动,其动能Ek随时间t变化的规律如图所示,下列关于物块的描述正确的是 ( )
A.物块做匀加速直线运动
B.物块运动过程中加速度越来越小
C.2 s末物块的加速度大小为0.5 m/s2
D.0~2 s内水平外力F做功的功率为2 W
[反思感悟]
例7 (多选)[2024·河北沧州模拟] 如图甲所示,质量为1 kg的物块静止在水平面上,物块与水平面间的动摩擦因数为0.5,重力加速度取10 m/s2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,给物块施加一个水平向右的拉力,拉力随物块运动的位移变化规律如图乙所示,则 ( )
A.物块运动的最大速度为 m/s
B.物块运动的最大速度为2 m/s
C.物块运动的最远距离为3.6 m
D.物块运动的最远距离为3.8 m
[反思感悟]
素养提升 动能定理在多过程问题中的应用
运用动能定理解决多过程问题,有两种思路
(1)分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量,应分阶段应用动能定理.
②物体在多个运动过程中,受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化,力在各个过程中做功情况也不同,不宜全过程应用动能定理,可以研究其中一个或几个分过程,结合动能定理,各个击破.
(2)全过程(多个过程)应用动能定理
当物体运动过程包含几个不同的物理过程,又不需要研究过程的中间状态时,可以把几个运动过程看作一个整体,巧妙运用动能定理来研究,从而避开每个运动过程的具体细节,大大简化运算.
例8 [2024·云南昆明模拟] 如图所示,一个小球的质量m=1 kg,沿倾角θ=37°的固定斜面从顶端B由静止开始下滑,小球滑到底端时与A处的挡板碰撞后反弹(小球与挡板碰撞过程无能量损失,即碰撞前后速度等大反向),已知A、B间距离为x0=1 m,μ=0.5,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2,小球视为质点.求:
(1)小球第一次滑到底端时的速度大小v1;
(2)小球由开始下滑到最终静止的过程中所通过的总路程.
变式4 (多选)[2024·黑龙江牡丹江模拟] 滑板运动是一项惊险刺激的运动,深受青少年的喜爱.如图是滑板运动的轨道,AB和CD 是两段光滑圆弧形轨道,BC是一段长l=7 m的水平轨道.一运动员从AB 轨道上的P点以 vP=6 m/s的速度下滑,经 BC轨道后冲上CD 轨道,到Q点时速度减为零,随后继续从Q开始无初速度自然滑下,如此往复在轨道中滑行,运动员不再通过蹬地等动作加速或者减速.已知P、Q距水平轨道的高度分别为h=1.4 m、H=1.8 m,运动员的质量m=50 kg,不计圆弧轨道上的摩擦,g取10 m/s2,下列说法正确的是 ( )
A.运动员第一次经过B 点时的速率是vB=8 m/s
B.运动员第一次经过C 点时的速率是vC=8 m/s
C.运动员与 BC轨道的动摩擦因数为μ=0.2
D.运动员最终停在BC轨道,且最终停在距B点2 m的位置
【技法点拨】
往复运动问题的过程比较复杂,但这类问题往往有一定的规律.学生在分析这类问题时常把眼光盯在“细节”上,忽略问题的“宏观特性”,使思维陷入“死循环”而丢分.有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性,而描述运动的物理量多数是变化的,且重复次数常常是无限次或者很难确定的.求解这类问题时若运用牛顿第二定律及运动学公式将非常繁琐,甚至无法解出.而动能定理只关注物体的初、末状态,不关注运动过程的细节,所以用动能定理可方便快捷地分析这类问题.
例9 [2024·湖南张家界模拟] 儿童乐园里的弹珠游戏不仅具有娱乐性还可以锻炼儿童的眼手合一能力.如图所示,游戏装置固定在水平地面上,由弧形轨道AB,竖直圆轨道BMCND,水平直轨道DE平滑连接而成,弧形轨道底端与圆轨道间略错开,不影响小球旋转后进入水平轨道.已知圆轨道半径R=1.6 m,弧形轨道和圆轨道均光滑,小球与水平直轨道DE间的动摩擦因数从D开始沿轨道均匀减少,μ=1.0-0.1x(x为到D端的距离).质量m=1 kg 的小球从离地高h处由静止释放.(重力加速度大小g取10 m/s2,空气阻力不计)
(1)若小球能通过轨道的最高点C,则h至少多大;
(2)若小球不脱离轨道,且小球能进入水平直轨道的光滑区域,求h的取值范围;
(3)若在竖直圆轨道D点正上方开一段缺口MN,M、N 点关于OC 对称,小球能沿路径BMND运动,当缺口所对的圆心角α为多大时h最小 h的最小值为多少
一、1.运动 2.mv2 4.标量
二、1.变化 2.m-m 3.合外力
【辨别明理】
1.√ 2.√ 3.× 4.×第15讲 动能定理及其应用 (限时40分钟)
1.[2024·四川遂宁模拟] 如图所示,AB为圆弧轨道,BC为水平直轨道,圆弧的半径为R,BC的长度也是R,重力加速度为g.一质量为m的物体,与两个轨道间的动摩擦因数都为μ,当它由轨道顶端A从静止下滑时,恰好运动到C处停止运动,那么摩擦力在AB段对物体做的功为 ( )
A.-μmgR B.-μπmgR
C.mgR D.mgR
2.[2024·山东烟台模拟] 如图所示,摆球(可视为质点)质量为m,悬线长为L,把悬线拉直至水平位置A点后由静止释放摆球.设摆球从A运动到最低点B的过程中,空气阻力F阻的大小不变,重力加速度为g,则摆球运动到最低点B时的速率为 ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·江苏苏州中学模拟] 质量为m、长为L的匀质木板以速度v0向右运动,水平地面O点左侧是光滑的,右侧是粗糙的,与木板的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,当木板全部进入时刚好静止,则木板的初速度v0是( )
A. B.2
C. D.3
4.[2024·福建厦门一中模拟] 甲、乙两个物体质量之比m甲∶m乙=1∶2,它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动,直到停止,其v-t图像如图所示.此过程中,两物体所受的摩擦力分别为Ff甲、Ff乙;克服摩擦力做功分别为W甲、W乙.则下列判断正确的是 ( )
A.Ff甲B.Ff甲=Ff乙 W甲C.Ff甲>Ff乙 W甲>W乙
D.Ff甲>Ff乙 W甲=W乙
5.[2024·四川乐山模拟] 某学校师生参加建模大赛制作了一辆由清洁能源驱动的小车,模型展示环节小车能在平直轨道上由静止开始沿直线加速行驶,经过时间t速度刚好达到最大值vm.设在此加速过程中小车电动机的功率恒为P,小车质量为m,运行中所受阻力恒定,则下列说法中正确的是 ( )
A.加速过程中小车所受合外力恒定不变
B.加速过程中小车前进的距离为vmt
C.加速过程中小车所受阻力恒为
D.加速过程中小车合外力做功为Pt
6.(多选)[2024·江西九江模拟] 高铁现在已经成了人们出行的最爱的方式之一,九江作为九省通衢,来商纳贾之地,交通亦十分发达,某次九江到南昌的G2763次高铁列车沿直线运动的v-t关系如图所示,已知在第1秒内合外力对G2763做的功为W,则 ( )
A.从第1秒末到第5秒末合外力对G2763做功为6W
B.从第3秒末到第5秒末合外力对G2763做功为-W
C.从第3秒末到第7秒末合外力对G2763做功为-2W
D.从第6秒末到第7秒末合外力对G2763做功为0.75W
7.[2024·湖北咸宁模拟] 如图所示,两个斜面体固定在水平面上并用一小段平滑的圆弧衔接于O点.现将一可视为质点的物体由P点无初速度释放,经过一段时间,物体运动到右侧斜面体的最高点为Q点,该过程中物体在两斜面体上的位移均为L,物体与两斜面体的动摩擦因数均为μ,物体通过O点时没有机械能的损失,重力加速度为g,已知α=53°,β=37°,sin 37°=0.6,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.则下列说法正确的是 ( )
A.μ=
B.物体运动到Q点后,物体在右侧斜面体上静止
C.若将右侧斜面体水平放置,物体静止时到O点的距离为5L
D.若将右侧斜面体水平放置,物体静止时到O点的距离为5.6L
8.[2024·重庆沙坪坝模拟] 如图所示,在倾角为θ的光滑固定斜面上,A、B、C、D四点将斜面三等分.质量为m的小滑块P以初速度v0从A点出发,沿斜面向上运动,滑块滑到D点时速度恰好为0,而后下滑.若AB部分不光滑,其余部分光滑,则滑块上行到C点时速度恰好为0,而后下滑过程中说法正确的是(重力加速度为g)( )
A.滑块所受摩擦力Ff>mgsin θ
B.滑块所受摩擦力FfC.滑块下滑到A点时速度vA=v0
D.滑块下滑到B点时速度vB=v0
9.[2024·陕西榆林中学模拟] 如图所示,曲线轨道AB(足够长)、水平直轨道BC、竖直圆环轨道CD、水平直轨道CE、竖直半圆形管道EFG间平滑连接,其中圆环轨道CD最低点C处的入口、出口靠近且相互错开.将一可视为质点、质量为m=2 kg的小滑块P从曲线轨道AB上某处由静止释放,其刚好能沿竖直圆环轨道的内侧通过最高点D.已知水平直轨道BC长为L1=0.5 m,其上铺设了特殊材料,其动摩擦因数为μ1=0.4+0.4x(x表示BC上一点至B点的距离),水平直轨道CE长为L2=2.0 m,动摩擦因数为μ2=0.1,轨道其余部分的阻力不计,空气阻力不计.竖直圆环轨道CD的半径为R=0.4 m,竖直半圆形管道EFG的半径R'可在0.25~0.35 m间调节,半圆形管道的内径远小于其半径、且比滑块尺寸略大,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)滑块恰好能通过最高点D时的速度;
(2)小滑块P释放点的位置高度h;
(3)P从管道G点水平抛出后落到水平面上时,其落地点至G点的最大水平距离.
10.(多选)[2024·河北保定模拟] 如图甲所示,固定斜面的倾角θ=37°,一物体(可视为质点)在沿斜面向上的恒定拉力F作用下,从斜面底端由静止开始沿斜面向上滑动,经过距斜面底端x0处的A点时撤去拉力F.该物体的动能Ek与它到斜面底端的距离x的部分关系图像如图乙所示.已知该物体的质量m=1 kg,该物体先后两次经过A点时的动能之比为4∶1,该物体与斜面间动摩擦因数处处相同,sin 37°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力.则 ( )
A.物体与斜面间动摩擦因数为0.3
B.物体与斜面间动摩擦因数为0.45
C.拉力F的大小为9.6 N
D.拉力F的大小为19.2 N
11.如图所示,一竖直圆管质量为M,下端距水平地面的高度为H,顶端塞有一质量为m的小球.圆管由静止自由下落,与地面发生多次弹性碰撞,且每次碰撞时间均极短;在运动过程中,管始终保持竖直.已知M=4m,球和管之间的滑动摩擦力大小为4mg,g为重力加速度的大小,不计空气阻力.
(1)求管第一次与地面碰撞后的瞬间,管和球各自的加速度大小;
(2)管第一次落地弹起后,在上升过程中球没有从管中滑出,求管上升的最大高度;
(3)管第二次落地弹起的上升过程中,球仍没有从管中滑出,求圆管长度应满足的条件.(共109张PPT)
第15讲 动能定理及其应用
必备知识自查
核心考点探究
素养提升
◆
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
备用习题
一、动能
1.定义：物体由于______而具有的能量.
2.公式： _ ______.
运动
3.单位：焦耳， .
4.标矢性：动能是______，只有正值.
标量
二、动能定理
1.内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的
______.
2.表达式： _ _____________.
3.物理意义：________做的功是物体动能变化的量度.
变化
合外力
【辨别明理】
1.一定质量的物体动能变化时,速度一定变化,但速度变化时,动能不一定变
化.( )
√
2.如果物体所受的合力为零,那么合力对物体做功一定为零.( )
√
3.物体做变速运动时,动能一定变化.( )
×
4.动能不变时,合力一定为零.( )
×
考点一 动能定理的理解与基本应用
考向一 动能定理的理解
1.动能定理公式中“”体现的“三个关系”
数量关系 合力的功与物体动能的变化可以等量代换
单位关系 国际单位都是焦耳
因果关系 合力做功是物体动能变化的原因
2.对动能定理中“力”的两点理解：
(1)“力”可以同时作用，也可以不同时作用.
(2)“力”既可以是恒力，也可以是变力.
3.适用范围：直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、各个力同时做
功、分段做功均可用动能定理.
例1 [2024·山西长治模拟] 如图所示，一物体位于光滑水平面上，在两竖
直平面内恒力、的作用下，物体水平向右发生了一段位移， 与水平
方向的夹角为 ，做的功为，与水平方向的夹角为 ，做的功为
，则物体动能的增加量为( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 两个力对物体做功为 ，根据动能定理可知，物
体动能的增加量为 ，故选D.
√
例2 (多选)如图所示，电梯质量为，在它的水平底板上放置一质量为
的物体.电梯在钢索的拉力作用下竖直向上做加速运动，当电梯的速度由
增大到时，上升高度为(重力加速度为 ).在这个过程中，下列说法
正确的是( )
A.对物体，动能定理的表达式为，其中 为
支持力做的功
B.对物体，动能定理的表达式为，其中 为合力做的功
C.对物体，动能定理的表达式为 ，其
中 为支持力做的功
D.对电梯，其所受合力做功为
√
√
[解析] 电梯上升的过程中，对物体做功的有重力和支持力 ，这两个
力做的总功才等于物体动能的增量，故A、B错误，C正确;对电梯，无论有
几个力对它做功，由动能定理可知，其合力做的功一定等于其动能的变化
量，故D正确.
考向二 动能定理的基本应用
1.应用流程
2.注意事项
动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相
对地面静止的物体为参考系.
例3 [2024·广西南宁模拟] 如图所示，将一截面为矩形
的特殊材料静置于水平面上，从距材料上表面高度为
处由静止释放一个质量为 的小球(可视为质点)，小球
进入材料后恰好能运动至材料中距上表面为 的位置.已
知小球在该材料中所受的阻力 为大小恒定但
未知的系数，为小球在材料中运动的位移大小 .重力
加速度为，不计空气阻力，则 的大小为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据题意，由动能定理有 ，
由于，则有 ，联立
解得 ，故选B.
变式1 [2024·湖北武汉模拟] 如图甲所示，倾角为 的斜面体固定在水平
面上，其中斜面的长度为，一质量为 可视为质点的物块从静止开始由
斜面体的顶端滑到底端，物块与斜面体之间的动摩擦因数与到 点的距
离按图乙所示的规律变化，重力加速度为 ，则物块在斜面的中点速度
大小为( ).
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由图乙可知该过程中，物块与斜面体之间的动摩擦因数随位移均
匀增加，则物块从到斜面中点的过程中动摩擦因数的平均值为 ，
则摩擦力的平均值为 ，则物块由 滑到斜面中点的过程
中克服摩擦力做的功为 ，对物块由 到斜面中
点的过程中，由动能定理得 ，解得
，故选D.
考点二 应用动能定理求变力做功
例4 [2024·湖南长郡中学模拟] 某水上乐园的滑道
示意图如图所示，质量 的人从螺旋滑道
顶端由静止开始滑下，经过倾斜滑道和水平滑道后
落入水中.已知螺旋滑道顶端到水平滑道的高度
A. B. C. D.
，水平滑道到水面的高度，重力加速度取 ，
运动过程中将人视为质点，不计空气阻力.若人的落水点到水平滑道末端
的水平距离 ，则人在滑道上滑动过程中克服阻力做的功为( )
√
[解析] 人在滑道上运动的过程中，有 ，人离开滑道后做平抛运动，水平方向有，竖直方向有 ，联立解得
，故选C.
变式2 某位工人师傅用如图所示的装置，将重物从地面沿竖直方向拉到楼
上，在此过程中，工人师傅沿地面以速度 向右做匀速直线运动，当质量
为的重物上升高度为时轻绳与水平方向成 角，重力加速度大小为 ，
滑轮的质量和摩擦均不计,在此过程中，下列说法正确的是( )
A.人的速度比重物的速度小
B.轻绳对重物的拉力大于重物的重力
C.重物做匀速直线运动
D.绳的拉力对重物做的功为
√
[解析] 将人的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向
分解，沿绳子方向的速度大小等于重物 的速度，
根据速度的分解可知，当绳子与水平方向的夹角
为 时， ，故 ，A错误；人
在向右匀速运动的过程中，绳子与水平方向的夹
角减小，所以重物的速度增大，重物做加速上升运动，由牛顿第二定律可
知，绳子的拉力大于重物的重力，B正确，C错误；当重物 上升高度为
时，重物的速度 ，重物由地面上升高度的过程中，根据动
能定理可知 ，解得 ，D错误.
[技法点拨]
1.应用动能定理应抓好“两个状态、一个过程”.“两个状态”即研究对象的始、
末状态，确定在两个状态下研究对象的速度或动能情况；“一个过程”即研
究过程，确定这一过程中研究对象的受力情况、位置变化或位移情况.
2.动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于直线运动，
也适用于曲线运动.
考点三 动能定理与图像问题的结合
1.图像与横轴所围“面积”或图像斜率的含义
2.解决图像问题的基本步骤
(1)观察题目给出的图像，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所
表示的物理意义.
(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式.
(3)将推导出的物理规律与数学上对应的标准函数关系式相对比，找出图
线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解
答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量.
考向一 图像问题
例5 [2024·河北保定模拟] 如图甲所示，质量为的物块初始时静止在倾角为 的斜面上，施加给物块一沿斜面的恒定拉力，使物块开始沿斜面运动，物块运动了 时撤去拉力.物块的动能随物块沿斜面上滑距离 变化的部分图像如图乙所示，物块与斜面间的最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，重力加速度大小取 .下列说法正确的是( )
A.物块受到的滑动摩擦力大小为1.5N
B.恒定拉力的大小为
C.物块与斜面间的动摩擦因数为
D.物块运动到最高点后会沿斜面下滑
√
[解析] 物块从运动到 过程中，根据动能定理得
，解得 ，故A错误；
物块从运动到 过程中，根据动能定理
得，解得 ，故B错误；
物块受到的滑动摩擦力 ，解得 ，故C正确；
物块运动到最高点后，重力沿斜面向下的分力 ，最大静摩擦力 ，所以物块运动到最高点后，最大静摩擦力大于重力沿斜面向下的分力，即物块静止，故D错误.
变式3 (多选)[2024·湖北宜昌模拟] 一质量为 的物体在水平拉力的作
用下，由静止开始在水平地面上沿轴运动，出发点为 轴零点，拉力做的
功与物体坐标的关系如图所示.物体与水平地面间的动摩擦因数为 ，
重力加速度大小取 .下列说法正确的是( )
A.在时，拉力的功率为
B.在时，物体的动能为
C.从运动到 ，物体克服摩擦力做
的功为
D.从运动到 的过程中，物体的速
度最大为
√
√
√
[解析] 由于拉力在水平方向，则拉力做的功为
，可看出图像的斜率代表拉力 ,
在物体运动的过程中根据动能定理有
，则 时物体的速度
为， 时，拉力为 ，则此时拉力的功率
， 时物体的动能为 ，故A错误，B正确；
从运动到 ，物体克服摩擦力做的
功为，故C正确；根据
图像可知在的过程中，
的过程中 ，由于物体受到的摩擦力恒
为，则物体在 处速度最大，且
根据选项A、B分析可知此时的速度为 ，故D正确.
考向二 其他图像与动能定理的结合
例6 (多选)[2024·四川德阳模拟] 将一质量为 的物块(可视为质点)静置
于光滑的水平地面上，某时刻起，在水平外力 的作用下，物块开始做直
线运动，其动能随时间 变化的规律如图所示，下列关于物块的描述正
确的是( )
A.物块做匀加速直线运动
B.物块运动过程中加速度越来越小
C.末物块的加速度大小为
D.内水平外力做功的功率为
√
√
[解析] 根据题意，由动能定理有，则 图像的斜率为
，可知图像的斜率表示外力 的功率，由图像可知，
斜率保持不变，即外力的功率不变，则 内水平外力做功的功率
为，由公式 可知，物块速度逐渐增大，则外力 逐
渐减小，则物块做加速度减小的加速运动，
故A、D错误，B正确；
由公式可知，末物块的速度为 ，则外力的大小为 ，物块的加速度大小为 ，故C正确.
例7 (多选)[2024·河北沧州模拟] 如图甲所示，质量为 的物块静止在
水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数为，重力加速度取 ，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，给物块施加一个水平向右的拉力，拉力随
物块运动的位移变化规律如图乙所示，则( )
A.物块运动的最大速度为11m/s B.物块运动的最大速度为
C.物块运动的最远距离为 D.物块运动的最远距离为
√
√
[解析] 当拉力 时，物块的速度最大，由图乙可知，这时物
块运动的位移为，根据动能定理，可得，利用 图
像中图线与坐标轴所围面积表示拉力做功，有
，解得 ，故A正确，B错误；假设拉
力为零时，物块的速度不为零，再运动一段时间速度才为零,则
，
解得 ，故C正确，D错误.
素养提升 动能定理在多过程问题中的应用
运用动能定理解决多过程问题，有两种思路
(1)分阶段应用动能定理
①若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理.
②物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在
各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一
个或几个分过程，结合动能定理，各个击破.
(2)全过程(多个过程)应用动能定理
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态
时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而
避开每个运动过程的具体细节，大大简化运算.
例8 [2024·云南昆明模拟] 如图所示，一个小球的
质量，沿倾角 的固定斜面从顶
端由静止开始下滑，小球滑到底端时与 处的挡
(1) 小球第一次滑到底端时的速度大小 ；
[答案]
[解析] 由动能定理得
解得
板碰撞后反弹(小球与挡板碰撞过程无能量损失，即碰撞前后速度等大反
向)，已知、间距离为，， ，
，取 ，小球视为质点.求：
例8 [2024·云南昆明模拟] 如图所示，一个小球的
质量，沿倾角 的固定斜面从顶
端由静止开始下滑，小球滑到底端时与 处的挡
(2) 小球由开始下滑到最终静止的过程中所通过的总路程.
[答案]
板碰撞后反弹(小球与挡板碰撞过程无能量损失，即碰撞前后速度等大反
向)，已知、间距离为，， ，
，取 ，小球视为质点.求：
[解析] 小球最终一定停在处，小球从 处由静
止下滑到最终停在 处的全过程，由动能定理得
解得
变式4 (多选)[2024·黑龙江牡丹江模拟] 滑板运动
是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱.如图是
滑板运动的轨道，和是两段光滑圆弧形轨道，
是一段长 的水平轨道.一运动员从轨道上的点以 的
速度下滑，经轨道后冲上轨道，到点时速度减为零，随后继续从
开始无初速度自然滑下，如此往复在轨道中滑行，运动员不再通过蹬地等
动作加速或者减速.已知、距水平轨道的高度分别为、
，运动员的质量，不计圆弧轨道上的摩擦，取 ，
下列说法正确的是 ( )
A.运动员第一次经过点时的速率是
B.运动员第一次经过点时的速率是
C.运动员与轨道的动摩擦因数为
D.运动员最终停在轨道，且最终停在距点 的位置
√
√
√
[解析] 运动员从点到 点过程，由动能定理得，代入数据解得 ，故A正确； 运动员从点到 点过程，由动能定理得，代入数据解得 ，故B错误；
运动员从点到 点过程，由动能定理得，代入数据解得 ，故C正确；运动员从点出发到最终停在 轨道，由动能定理有 ，代入数据解得，所以运动员最终停在 轨道，且最终停在距点 的位置，故D正确.
[技法点拨]
往复运动问题的过程比较复杂，但这类问题往往有一定的规律.学生在分
析这类问题时常把眼光盯在“细节”上，忽略问题的“宏观特性”，使思维陷
入“死循环”而丢分.有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性，而描
述运动的物理量多数是变化的，且重复次数常常是无限次或者很难确定的.
求解这类问题时若运用牛顿第二定律及运动学公式将非常繁琐，甚至无法
解出.而动能定理只关注物体的初、末状态，不关注运动过程的细节，所
以用动能定理可方便快捷地分析这类问题.
例9 [2024·湖南张家界模拟] 儿童乐园里的弹珠游戏不仅具有娱乐性还可以锻炼儿童的眼手合一能力.如图所示，游戏装置固定在水平地面上，由弧形轨道 ，竖直圆轨 道，水平直轨道 平滑连接而成，弧形轨道底端与圆轨道间略错开，不影响小球旋转后进入水平轨道. 已知圆轨道半径 ，弧形轨道和圆轨道均光滑，小球与水平直轨道间的动摩擦因数从 开始沿轨道均匀减少，为到端的距离.
[答案]
质量 的小球从离地高处由静止释放.(重力加速度大小取
，空气阻力不计)
(1) 若小球能通过轨道的最高点，则 至少多大；
[解析] 若小球恰好通过 点，由重力提供向心力有
对小球从开始下滑到 点过程，由动能定理得
解得
(2) 若小球不脱离轨道，且小球能进入水平直轨道的光滑区域，求 的取
值范围；
[答案]
[解析] 小球从圆轨道下滑在段减速运动，设恰减速后进入光滑区域. 对小球运动的全过程，由动能定理得
由，解得
代入得，可得
故
(3) 若在竖直圆轨道点正上方开一段缺口，、 点关于对称，小球能沿路径 运动，当缺口所对的圆心角 为多大时最小？ 的最小值为多少？
[答案] ;
[解析] 要使小球飞过缺口经过 点回到圆轨道，从释放到点，由动能定理得
从到 的斜抛过程有、
解得
和取等时最小,则 ，
可知当 时
动能定理的理解与基本应用
1.(多选)如图所示，有甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力 分别
拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离 .甲在光滑水平面上，乙在
粗糙水平面上.下列关于力 对甲、乙做的功和甲、乙两物体获得的动能的
说法中正确的是( )
A.力 对甲做功多
B.力 对甲、乙两个物体做的功一样多
C.甲物体比乙物体获得的动能大
D.甲、乙两个物体获得的动能相同
√
√
[解析] 由可知，两种情况下力 对甲、乙两个物体做的
功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有 ，对乙有
，可知 ，C正确，D错误.
2.某水上乐园设备公司设计一款水滑梯，设计简图如图所示，倾斜滑道与
水平滑道材料相同且平滑连接.游客的质量为，倾斜滑道高度为 、倾角
为 ，游客与滑道间的动摩擦因数为 ，游客在水平滑道上停止点到
点的水平距离为 ，下列说法正确的是( )
A.和 一定时， 越大，则 越大
B.和 一定时， 越大，则 越小
C.和 一定时，的大小与 、 无关
D.和 一定时，越小，则 越大
√
[解析] 对游客从最高点下滑至 点的过程，根据动能定理可得
，整理得 ，所以与和 角
无关，故C正确.
3.如图所示，固定斜面的倾角为 ，质量为 的滑块从距挡板的距离为
处以初速度 沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为 ，滑块所
受摩擦力小于重力沿斜面向下的分力.若滑块每次与挡板相碰均无机械能
损失，重力加速度为 ，则滑块经过的总路程是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 滑块最终要停在斜面底部，设滑块经过的总路程为 ，对滑块运动
的全程应用动能定理得 ，解得
，选项A正确.
应用动能定理求变力做功
4.(多选)[2023·广东卷] 人们用滑道从高处向低处运送货物.如图所示，可
看作质点的货物从圆弧滑道顶端点静止释放,沿滑道运动到圆弧末端 点
时速度大小为.已知货物质量为,滑道高度为.且过 点的切
线水平,重力加速度取.关于货物从点运动到 点的过程，下列说
法正确的有( )
A.重力做的功为
B.克服阻力做的功为
C.经过点时向心加速度大小为
D.经过点时对轨道的压力大小为
√
√
√
[解析] 重力做功 ，A错误；
由动能定理,解得,B正确；
货物经过 点时的向心加速度为，C正确；
货物经过 点时，由牛顿第二定律，解得 ，
由牛顿第三定律可知，货物经过 点时对轨道的压力大小为 ，D正确.
5.某同学参加学校运动会立定跳远项目比赛，从起跳至着地的整个过程如
图所示，测量得到比赛成绩是，目测空中脚离地最大高度约为 .
已知他的质量约为，重力加速度取 ，忽略空气阻力，则起
跳过程该同学所做的功约为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 该同学起跳后做抛体运动，从起跳至达到最大高度的过程中，其
在竖直方向做加速度为的匀减速直线运动，则有 ，故竖
直方向初速度为 ；其在水平方向做匀速直线运动，则有
.根据速度的合成可知起跳时的
速度为，因该同学的质量
约为 ，根据动能定理得起跳过程该同学所做的功约为，最接近 ，C正确，A、B、D错误.
动能定理与图像问题的结合
6.质量为 的物块放在粗糙水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始
运动，物块的动能与其发生的位移 之间的关系如图所示.已知物块与水
平面间的动摩擦因数，重力加速度取 ，则下列说法正确
的是( )
A.时物块的速度大小为
B.时物块的加速度大小为
C.在前的过程中拉力对物块做的功为
D.在前的过程中物块所经历的时间为
√
[解析] 由图像可知时动能为 ，则速度 ，
故A错误.图像的斜率表示合力， 内合力，
内合力 ，所以内物体的加速度为
， 内物块的加速度为
，故B错误.
对物块运动全过程，由动能定理得 ，解得，
故C错误.设过程所用的时间为 ，过程所用的时间为，
则有 ，，,其中 ,
，联立解得， ，
故总时间为 ，D正确.
7.(多选)如图甲所示，质量为 的物体静止在水平粗糙的地面上，在一
水平外力的作用下运动，外力和物体克服摩擦力做的功 与物体位移
的关系如图乙所示，时撤去外力，重力加速度取 .下列
分析正确的是( )
A.物体与地面之间的动摩擦因数为0.2
B.物体运动的最大位移为
C.物体在前运动过程中的加速度为
D.时，物体的速度为
√
√
√
[解析] 由 对应题图乙可知，物体与地面之间的滑动摩擦力
，由，解得，A正确；由 对应题图乙可
知，前内，拉力，所以物体在前 运动过程中的加速度
，C正确； 时，由动能定理得，
解得物体的速度为 ，
D正确；物体运动的最大位移
，B错误.
8.(多选)在某一粗糙的水平面上，一质量为 的物体在水平恒定拉力的作用下做匀速直线运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图像.已知重力加速度 取 .根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有( )
A.物体与水平面间的动摩擦因数
B.合力对物体所做的功
C.物体做匀速运动时的速度
D.物体运动的时间
√
√
√
[解析] 物体做匀速直线运动时，拉力与滑动摩擦力 大小相等，物体与
水平面间的动摩擦因数为 ，A正确；减速过程由动能定理得
，根据 图像中图线与坐标轴围成的面积可以估
算力做的功，而 ，由此可求得合力对物体所做的功，及
物体做匀速运动时的速度 ，B、C正确；因为物
体做非匀变速运动，所以运动时间无法求出，D错误.
素养提升 动能定理在多过程问题中的应用
9.一木块 置于水平桌面上，其截面如图所示，
是圆周，圆半径为，斜面与水平线
、等高的夹角为 .质量为 的光滑小球
(可看作质点)从点上方 高度处自由释放，能通过圆弧经
(1) 若小球刚好通过点，求释放高度 ；
[答案]
点飞出，不计空气阻力，重力加速度为 ，假设木块始终保持静止.
[解析] 小球恰好能从 点出射，由重力提供向心力，
根据牛顿第二定律有
解得
从释放点到点，根据动能定理有 ，
解得
9.一木块 置于水平桌面上，其截面如图所示，
是圆周，圆半径为，斜面与水平线
、等高的夹角为 .质量为 的光滑小球
(可看作质点)从点上方 高度处自由释放，能通过圆弧
(2) 若在(1)题所求的高度由静止释放小球，求小球运动到点
点与点等高 时地面受到的摩擦力；
[答案] ，方向向右
经点飞出，不计空气阻力，重力加速度为 ，假设木块始终保持静止.
[解析] 在(1)题所求的高度 由静止释放小球，设小球运动到点处的速度
大小为 .由动能定理得
由于小球做圆周运动，有
则小球给木块的压力为 ，对木块受力分析，
在水平方向，有 ，
方向向左由牛顿第三定律知小球运动到 点时
地面受到的摩擦力 ，方向向右.
9.一木块 置于水平桌面上，其截面如图所示，
是圆周，圆半径为，斜面与水平线
、等高的夹角为 .质量为 的光滑小球
(可看作质点)从点上方 高度处自由释放，能通过圆
(3) 若小球经点飞出后第一次能落在斜面 上，求释放高度的范围.
[答案]
弧经点飞出，不计空气阻力，重力加速度为 ，假设木块始终保持静止.
[解析] 由于小球离开 点后做平抛运动，若刚好落到
斜面上的点，则有，
联立得
若小球刚好落到斜面上的点，则有 ，
，
联立有
再由动能定理有
计算后有
要求小球经点飞出后第一次能落在斜面 上，释放
高度应满足
作业手册
1.[2024·四川遂宁模拟] 如图所示，为 圆弧
轨道，为水平直轨道，圆弧的半径为，
的长度也是，重力加速度为.一质量为 的物
体，与两个轨道间的动摩擦因数都为 ，当它
A. B. C. D.
由轨道顶端从静止下滑时，恰好运动到处停止运动，那么摩擦力在
段对物体做的功为 ( )
√
[解析] 物体从到 的过程中，由动能定理得
，解得
，故选D.
2.[2024·山东烟台模拟] 如图所示，摆球(可视为质点)
质量为，悬线长为，把悬线拉直至水平位置 点后
由静止释放摆球.设摆球从运动到最低点 的过程中，
空气阻力的大小不变，重力加速度为 ，则摆球运
动到最低点 时的速率为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设摆球从运动到最低点 的过程中，将运动过
程分为无数小段，每一小段的阻力可视为恒力，则克
服空气阻力做功为 阻，
设摆球从运动到最低点 的过程中，根据动能定理有
，解得 ，故选B.
3.[2024·江苏苏州中学模拟] 质量为、长为的匀质木板以速度 向右运
动，水平地面 点左侧是光滑的，右侧是粗糙的，与木板的动摩擦因数为
，重力加速度为，当木板全部进入时刚好静止，则木板的初速度 是
( )
A. B. C. D.
[解析] 摩擦力与位移为线性关系，可以用平均摩擦力来求摩擦力做功，
根据动能定理得，解得 ，故选A.
√
4.[2024·福建厦门一中模拟] 甲、乙两个物体质量
之比，它们以相同的初速度 在水
平面上做匀减速直线运动，直到停止，其 图
像如图所示.此过程中，两物体所受的摩擦力分别
为甲、乙；克服摩擦力做功分别为、 .
则下列判断正确的是( )
A.甲乙 B.甲乙
C.甲乙 D.甲乙
√
[解析] 根据牛顿第二定律可知，摩擦力
，因， ，
可知甲 乙，根据动能定理
，可知 ，故选B.
5.[2024·四川乐山模拟] 某学校师生参加建模大赛制作了一辆由清洁能源
驱动的小车，模型展示环节小车能在平直轨道上由静止开始沿直线加速行
驶，经过时间速度刚好达到最大值 .设在此加速过程中小车电动机的功
率恒为，小车质量为 ，运行中所受阻力恒定，则下列说法中正确的是
( )
A.加速过程中小车所受合外力恒定不变
B.加速过程中小车前进的距离为
C.加速过程中小车所受阻力恒为
D.加速过程中小车合外力做功为
√
[解析] 这一过程中电动机的功率恒为，根据 ，可知随着小车速度
的增加，小车受到的牵引力逐渐减小，而阻力恒定，故加速过程中小车所
受合外力发生变化，故A错误；当牵引力大小等于阻力时，速度最大，则
加速过程中小车所受阻力为阻 ，故C正确；加速过程中，根据动能
定理可得小车受到的合外力所做的功为阻 ，
可得小车受到的牵引力做的功为阻 ，解得
，故B、D错误.
6.(多选)[2024·江西九江模拟] 高铁现在已
经成了人们出行的最爱的方式之一，九江作
为九省通衢，来商纳贾之地，交通亦十分发
达，某次九江到南昌的 次高铁列车沿
直线运动的 关系如图所示，已知在第1
A.从第1秒末到第5秒末合外力对做功为
B.从第3秒末到第5秒末合外力对做功为
C.从第3秒末到第7秒末合外力对做功为
D.从第6秒末到第7秒末合外力对做功为0.
秒内合外力对做的功为 ，则 ( )
√
√
[解析] 在第1秒末到第5秒末动能的变
化量与第1秒内动能的变化量大小相等，符
号相反,根据动能定理可知，合力的功大小
相等，符号相反，等于 ，故A错误；从第3秒末到第5秒末动能的变化量
与第1秒内动能的变化量相反，根据动能定理可知，合力的功相反，等于
，故B正确；从第5秒末到第7秒末动能的变化量与第1秒内动能的变化
量相同，合力做功相同，即为 ，结合B项可知，从第3秒末到第7秒末合外
力对 做功为0，故C错误；从第6秒末到第7秒末动能变化量是正值，
大小等于第1秒内动能的变化量的，则合力做功为0. ，故D正确.
7.[2024·湖北咸宁模拟] 如图所示，两个斜面体固定在水平面上并用一小段平滑的圆弧衔接于 点.现将一可视为质点的物体由 点无初速度释放，经过一段时间，物体运动到右侧斜面体的最高点为点，该过程中物体在两斜面体上的位移均为 ，物体与两斜面体的动摩擦因数均为 ，物体通过 点时没有机械能的损失，重力加速度为，已知， ， ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.则下列说法正确的是( )
A.
B.物体运动到 点后，物体在右侧斜面体上静止
C.若将右侧斜面体水平放置，物体静止时到点的距离为
D.若将右侧斜面体水平放置，物体静止时到点的距离为5.
√
[解析] 物体从处由静止释放，恰好滑到 速度减为零，由动能定理得 ，解得，故A错误；物体运动到 点后，重力沿斜面向下的分力为
，最大静摩擦力为
，物体不可能静止在右侧的
斜面上，故B错误；若右侧斜面体水平放置，物体从释放到停止运动，由动能定理得 ，
解得 ，故C正确，D错误.
8.[2024·重庆沙坪坝模拟] 如图所示，在倾角为 的光滑固定斜面上， 、
、、四点将斜面三等分.质量为的小滑块以初速度从 点出发，
沿斜面向上运动，滑块滑到点时速度恰好为0，而后下滑.若 部分不光
滑，其余部分光滑，则滑块上行到 点时速度恰好为0，而后下滑过程中说
法正确的是(重力加速度为 )( )
A.滑块所受摩擦力
B.滑块所受摩擦力
C.滑块下滑到点时速度
D.滑块下滑到点时速度
√
[解析] 设斜面长度为 ，根据题意可知，斜面完
全光滑时，滑块从点上滑到 点过程，根据动
能定理可得，当 部
分不光滑时，滑块从点上滑到 点过程，根据动
能定理可得 ，联
立可得 ，故A、B错误；
，联立解得滑块下滑到 点时速度，故C正确；滑块从点下滑到 点过程，根据动能定理可得
，联立解得滑块下滑到
点时速度 ，故D错误.
9.[2024·陕西榆林中学模拟] 如图所示，曲线轨道(足够长)、水平直轨道、竖直圆环轨道 、水平直轨道、竖直半圆形管道间平滑连接，其中圆环轨道 最低点处的入口、出口靠近且相互错开.将一可视为质点、质量为 的小滑块从曲线轨道 上某处由静止释放，其刚好能沿竖直圆环轨道的内侧通过最高点.
已知水平直轨道长为 ，其上铺设了特殊材料，其动摩擦因数为(表示上一点至 点的距离)，水平直轨道长为，动摩擦因数为 ，轨道其余部分的阻力不计，空气阻力不计.竖直圆环轨道的半径为，竖直半圆形管道 的半径可在0. 间调节，半圆形管道的内径远小于其半径、且比滑块尺寸略大，重力加速度取 ，求：
(1) 滑块恰好能通过最高点 时的速度；
[答案]
[解析] 滑块恰好能通过最高点，则
解得
(2) 小滑块释放点的位置高度 ；
[答案] 1.
[解析] 从滑块由释放点到竖直圆环轨道 的最高点，由动能定理有
其中
解得
(3) 从管道点水平抛出后落到水平面上时，其落地点至 点的最大水平
距离.
[答案]
[解析] 滑块由点到 点的过程，由动能定理有
滑块离开点后做平抛运动，则有 、
可得
当0.时，即 时，水平距离达到极大值，由于
0.
当时，落地点至 点的水平距离最大，为
10.(多选)[2024·河北保定模拟] 如图甲所示，固定斜面的倾角 ，一物体
(可视为质点)在沿斜面向上的恒定拉力 作用下，从斜面底端由静止开始沿斜面向
上滑动，经过距斜面底端处的点时撤去拉力.该物体的动能 与它到斜面底
端的距离的部分关系图像如图乙所示.已知该物体的质量 ，该物体先后
两次经过点时的动能之比为 ，该物体与斜面间动摩擦因数处处相同，
，重力加速度取 ，不计空气阻力. 则( )
A.物体与斜面间动摩擦因数为0.3
B.物体与斜面间动摩擦因数为0.45
C.拉力的大小为9. 、
D.拉力的大小为19.
√
√
[解析] 依题意，设物体在运动过程中受到的滑动摩擦力大小为 ，当物体
沿斜面向上运动到 处时，根据动能定理有，运动到 处时，根据动能定理有，物体从斜面顶端向下运动到 处时，根据动能定理有 ，联立以上三式，解得、，故C错误，D正确；根据 ，解得
，故A错误，B正确.
11.如图所示，一竖直圆管质量为 ，下端距水平地面的
高度为，顶端塞有一质量为 的小球.圆管由静止自由
下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极
短；在运动过程中，管始终保持竖直.已知 ，球
和管之间的滑动摩擦力大小为， 为重力加速度的
大小，不计空气阻力.
(1) 求管第一次与地面碰撞后的瞬间，管和球各自的加速度大小；
[答案]
[解析] 管第一次落地弹起的瞬间，小球仍然向下运动.设
此时管的加速度大小为 ，方向向下；球的加速度大小
为，方向向上；球与管之间的摩擦力大小为 ，由牛
顿运动定律有
①
②
联立①②式并代入题给数据，得
， ③
11.如图所示，一竖直圆管质量为 ，下端距水平地面的
高度为，顶端塞有一质量为 的小球.圆管由静止自由
下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极
短；在运动过程中，管始终保持竖直.已知 ，球
和管之间的滑动摩擦力大小为， 为重力加速度的
大小，不计空气阻力.
(2) 管第一次落地弹起后，在上升过程中球没有从管中滑出，求管上升的
最大高度；
[答案]
[解析] 管第一次碰地前与球的速度大小相同.由运动学公
式，碰地前瞬间它们的速度大小均为 ④
方向均向下.管弹起的瞬间，管的速度反向，球的速度方
向依然向下设自弹起时经过时间 ，管与小球的速度刚
好相同.取向上为正方向，由运动学公式有
⑤
联立③④⑤式得 ⑥
设此时管下端的高度为，速度为 .由运动学
公式可得 ⑦
⑧
由③④⑥⑧式可判断此时 .此后，管与小球将以
加速度减速上升 ，到达最高点.由运动学公式有 ⑨
设管第一次落地弹起后上升的最大高度为 ，则 ⑩
可得
11.如图所示，一竖直圆管质量为 ，下端距水平地面的
高度为，顶端塞有一质量为 的小球.圆管由静止自由
下落，与地面发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间均极
短；在运动过程中，管始终保持竖直.已知 ，球
和管之间的滑动摩擦力大小为， 为重力加速度的
大小，不计空气阻力.
(3) 管第二次落地弹起的上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度
应满足的条件.
[答案] 圆管长度大于或等于
[解析] 设第一次弹起过程中球相对管的位移为 .在管开
始下落到上升 这一过程中，由动能定理有
联立 式并代入题给数据得
同理可推得，管与球从再次下落到第二次弹起至最高点
的过程中，球与管的相对位移 为
设圆管长度为 ，管第二次落地弹起后的上升过程中，球不会滑出管外的条件是
联立 式， 应满足条件为
必备知识自查 一、1.运动 2. 4.标量 二、1.变化
2. 3.合外力 【辨别明理】 1.√ 2.√ 3.× 4.×
核心考点探究 考点一 考向一 例1.D 例2.CD
考向二 例3.B 变式1.D 考点二 例4.C 变式2.B
考点三 考向一 例5.C 变式3.BCD 考向二 例6.BC 例7.AC
素养提升 例8.（1） （2） 变式4.ACD
例9.（1） （2） （3）,
基础巩固练
1.D 2.B 3.A 4.B
综合提升练
5.C 6.BD 7.C 8.C
9.（1） （2）1. （3）
拓展挑战练
10.BD 11.（1）， （2） （3）圆管长度大于或等于