专题九 “子弹打木块”模型和“滑块—木板”模型
例1 (1) d
(2) (3)
[解析] (1)木板和子弹组成的系统满足动量守恒,设共同速度为v,则mv0=(M+m)v
得v=
由能量守恒定律得Ffd=m-(M+m)v2
解得Ff=
对木板由动能定理得Ffx=Mv2
综合解得x=d
(2)对木板由动量定理得Ff·t=Mv
又Ff=
解得t=
(3)这个过程中产生的热量Q=Ffd=
变式1 AC [解析] 以子弹A、B和木块组成的系统为研究对象,系统的外力矢量和为零,则系统的动量守恒,A正确;由动量守恒定律得mAvA-mBvB=0,即子弹A的初动量与子弹B的初动量大小相等,由于木块始终保持静止状态,则两子弹对木块的推力大小相等,则两子弹所受的阻力大小相等,设为Ff,根据动能定理,对子弹A有-FfdA=0-EkA,得EkA=FfdA,对子弹B有-FfdB=0-EkB,得EkB=FfdB,由于dA=2dB,则A、B的加速度之比aA∶aB=2∶1,两子弹的初动能关系为EkA=2EkB,又EkA==、EkB==,则得2mA=mB,vA=2vB,则子弹B的质量是子弹A的质量的2倍,子弹A的初速度大小是子弹B的初速度大小的2倍,B错误,C正确;若子弹A向右射入木块,A与木块组成的系统动量守恒,子弹A与木块相对静止时具有向右的共同速度,由能量守恒定律可知,系统损失的机械能ΔE=FfdA'EkB,则dB'>dB,综上所述可知dA'<2dB',D错误.
例2 (1)大小为40 N,方向竖直向下 (2)4 m/s (3)0.15
[解析] 根据题意,可知A、C质量为m=2 kg,B的质量为M=6 kg,细绳OP长为l=1.6 m,初始时细绳与竖直方向夹角θ=60°.
(1)A从开始运动到最低点有
mgl=m-0
对在最低点的A受力分析,根据牛顿第二定律得F-mg=
解得v0=4 m/s,F=40 N
根据牛顿第三定律可知,细绳OP所受的拉力大小为40 N,方向竖直向下
(2)A与C相碰时,水平方向动量守恒,由于碰后A竖直下落,可知mv0=0+mvC
解得vC=4 m/s
(3)A、C碰后,C相对B滑行4 m后与B共速,对C、B分析,运动过程中根据动量守恒定律可得mvC=v
根据能量守恒定律得
μmgL相对=m-v2
联立解得μ=0.15
例3 (1) (2)L (3)L
[解析] (1)小木块恰好不与挡板碰撞,根据动量守恒定律有mv0=2mv
解得v=
(2)对系统,由能量守恒定律有
m-=μmgL
解得μ=
若小木块以v0的速度水平冲上静止的木板,对系统,根据动量守恒定律有m=2mv'
解得v'=
对系统,根据能量守恒定律有m-×2m=μmgx
解得x=L
则有d=x-L=L
(3)设木块与挡板碰撞前瞬间木块速度大小为v1,木板速度大小为v2,则有mv0=mv1+mv2,m=m+m+μmgL
解得v1=v0,v2=v0
由于两者质量相等,碰撞后速度交换,即有v1'=v0,v2'=v0
碰撞前木板做加速度大小为a=μg的匀加速直线运动,碰撞后木板做加速度大小为a=μg的匀减速直线运动,则有x1=+=L
变式2 (1)3 m/s (2)1.3 m (3)0.45 s
[解析] (1)从物块滑上木板,到木板与物块第一次共速的过程中,根据动量守恒定律有m1v0=(m1+m2)v
解得v=3 m/s
(2)设木板与物块第一次达到共速时,物块到木板左端的距离为l1,根据功能关系有μm1gl1=m1-(m1+m2)v2
解得l1=0.4 m
由题意可知,木板与墙第一次碰撞后瞬间,物块与木板的速度大小均为v,之后的一段时间内,二者先做匀减速运动,加速度大小分别为
a1=μg=5 m/s2
a2==15 m/s2
木板速度减小至零所用时间为t1==0.2 s
此时木板右端到墙的距离为x==0.3 m
物块的速度大小为v1=v-a1t1=2 m/s
物块与木板相对运动的距离为l2=+x=0.8 m
假设木板与物块第二次达到共同速度v'时还未与墙发生第二次碰撞,根据动量守恒定律有m1v1=(m1+m2)v'
解得v'=1.5 m/s
木板速度从零加速至v'过程中,物块仍相对木板滑动,易知木板加速度大小仍等于a2,所以该过程中木板向右运动的距离为x'==0.075 m木板速度从零加速至v'过程所经历的时间为t2==0.1 s
物块与木板的相对位移大小为l3=t2-t2=0.1 m
木板与墙第二次碰撞前物块距木板左端的距离为L=l1+l2+l3=1.3 m
(3)从木板与物块第二次达到共同速度v'到与墙发生第二次碰撞所经历的时间为t3==0.15 s
木板从第一次与墙碰撞到第二次与墙碰撞所经历的时间为t=t1+t2+t3=0.45 s专题九 “子弹打木块”模型和“滑块—木板”模型
1.D [解析] 从子弹射入沙袋到它们摆动达到最大偏角的过程中,系统水平方向动量守恒,故A错误;子弹打入沙袋时有能量损失,所以子弹、沙袋和小车组成的系统机械能不守恒,故B错误;子弹射入沙袋后,子弹、沙袋和小车组成的系统水平方向动量守恒,但摆动过程中,子弹、沙袋和小车组成的系统所受合力不等于零,系统的动量不守恒,机械能守恒,故C错误,D正确.
2.B [解析] 子弹穿入木块过程系统的动量守恒,内能增加,机械能减少,A错误;根据动量守恒定律有mv0=(m+M)v,可得共速速度v= m/s=100 m/s,B正确;根据能量守恒定律有FfL=m-(m+M)v2,可得阻力Ff=3000 N,C错误;对木块由动量定理有Fft=Mv,木块和子弹发生相对运动的时间t=×10-3 s,D错误.
3.C [解析] 设子弹质量为m,木块质量为M,由于最终都达到共同速度,根据动量守恒定律有mv0=(m+M)v,可知共同速度v相同,则根据ΔE=m-(m+M)v2=Q,可知子弹与硬木和子弹与软木构成的系统机械能减小量相同,故两个系统产生的内能Q一样多,故A、B错误;根据功能关系有Q=Ff·d,可知产生的内能Q相同时,摩擦力Ff越小,子弹打入深度d越大,所以子弹在软木中打入深度较大,故C正确,D错误.
4.D [解析] 以小车和木块组成的系统为研究对象,所受合外力为零,因此系统动量守恒,由于摩擦力的作用,木块速度减小,小车速度增大,木块速度减小到最小时,小车速度达到最大,最后木块、小车以共同速度运动.以初速度方向为正方向,根据动量守恒定律有mv=v',解得v'=,木块减少的动量为mv-mv',与车表面粗糙程度无关,小车获得的动量为Mv',与车面粗糙程度无关,故选D.
5.BC [解析] 设子弹在木块中运动的时间为t,以子弹为研究对象,根据动量定理可得-Fft=m-mv0,解得t=;设子弹射出木块时,木块的速度为v1,根据系统动量守恒可得mv0=m+3mv1,解得v1=v0,根据位移关系可得L=x子-x木=t-t,解得t=,故选B、C.
6.D [解析] 设C刚滑到木板B上时,B的速度为v2,由动量守恒定律得Mv0=Mv1+v2,得v2=2 m/s,方向与C的初速度方向相同,即A的最大速度为2 m/s,以滑块C与木板B为研究对象,设木板B的最终速度为v3,由动量守恒定律得Mv1+m2v2=v3,得v3=4.5 m/s,方向与C初速度方向相同,故A、B、C错误;由能量守恒定律可知,整个过程中A、B、C组成的系统损失的机械能为ΔE=M-m1-=57.5 J,故D正确.
7.AD [解析] 根据能量守恒定律有ΔEkB=ΔEkA+Q,故B、C错误;画出物体B和木板A的速度时间图线分别如图中1和2所示,图中1和2之间的面积表示板长l,1与t轴所围的面积表示物体B的位移x1,2与t轴所围的面积表示木板A的位移x2,由图易知.x1>l,x2Q>ΔEkA,故A、D正确.
8.(1)2 kg 0.15 (2)8 m
(3)12 N·s
[解析] (1)取滑块P的速度方向为正方向,由动量守恒定律可得
mv1+Mv2=v3
其中v1=3 m/s,v2=1 m/s,v3=2 m/s
解得M=2 kg
在0~2 s内由v-t图像可知,P的加速度aP== m/s2=-1.5 m/s2
由牛顿第二定律可得-μ1mg=maP
解得μ1=0.15
(2)由v-t图像可知,在0~2 s内,物块P的位移x1=t=9 m
木板Q的位移x2=t=1 m
所以木板的长度L=x1-x2=8 m
(3)由v-t图像可知,在0~2 s内,木板Q的加速度为
aQ== m/s2=0.5 m/s2
由牛顿第二定律可得
μ1mg-μ2g=MaQ
解得木板与地面间的动摩擦因数
μ2=0.05
碰撞后的整体由动量定理有
-μ2gt2=0-v3
解得t2=4 s
地面摩擦力对木板的冲量I=-μ2g=-12 N·s
9.(1) (2)2
(3)s=0.5x(0[解析] (1)设两木板碰撞前瞬间长木板A的速度为v1,碰撞后的速度为v2,碰前A的加速度为a,对长木板A,由牛顿第二定律得μ·2mg=ma
两木板碰撞前A做初速度为零的匀加速直线运动,对A根据运动学公式=2a·
A、B碰撞过程中A、B组成的系统动量守恒,以向右为正方向,由动量守恒定律得mv1=2mv2
解得v2=
(2)A、B碰撞过程,对系统,由能量守恒定律有m=·2m+Q1
解得Q1=μmgL
物块C滑上木板时的初速度大小为v,最终C与两板相对静止时的速度为v3,整个过程A、B、C组成的系统动量守恒,以向右为正方向,由动量守恒定律有2mv=(2m+m+m)v3
由能量守恒定律有·2mv2=+Q1+μ·2mg(2L-)
解得v=2
(3)若初始间距为x,设两木板碰撞前瞬间长木板A的速度为v4,碰撞后A的速度为v5,因碰撞损失的能量为Q2,则A碰前加速过程有
2ax=
A与B碰撞过程系统动量守恒,以向右为正方向,由动量守恒定律得mv4=2mv5
由能量守恒定律有
m=·2m+Q2
从C滑上长木板A到与长木板相对静止,由能量守恒定律有
·2mv2=+Q2+μ·2mg
解得s=0.5x
设碰撞时物块C的速度为v6,物块C相对于长木板A的位移为Δx,A碰前A与C动量守恒,以向右为正方向,由动量守恒定律有2mv=mv4+2mv6
由能量守恒定律有·2mv2=m+·2m+μ·2mgΔx
且Δx≤L
解得0故s与x的关系为s=0.5x(0
“子弹打木块”模型
1.模型图示
2.模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中,系统的动量守恒.
(2)系统的机械能有损失.
3.两种情景
(1)子弹嵌入木块中,两者速度相等,机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒:mv0=(m+M)v
能量守恒:Q=Ff·x=m-(M+m)v2
(2)子弹穿透木块
动量守恒:mv0=mv1+Mv2
能量守恒:Q=Ff·d=m-M+m
例1 [2024·天津红桥模拟] 光滑水平面上有一静止的质量为M的木板,现有一颗质量为m、速率为v0的子弹沿水平方向击中木板,进入木板的深度为d(未击穿),且冲击过程中阻力恒定.
(1)子弹与木板间的阻力为多大 在这个过程中,木板的位移是多少
(2)冲击时间是多少
(3)这个过程中产生的热量Q是多少
变式1 (多选)[2024·湖南长沙模拟] 如图所示,木块静止在光滑水平面上,子弹A、B从两侧同时水平射入木块,木块始终保持静止,子弹A射入木块的深度是B的2倍.假设木块对子弹的阻力大小恒定,A、B做直线运动且不会相遇,则A、B运动的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.木块和子弹A、B组成的系统动量守恒
B.子弹B的初速度大小是子弹A的初速度大小的2倍
C.子弹B的质量是子弹A的质量的2倍
D.若子弹A向右射入木块,与木块相对静止后,子弹B再向左射入木块,最终A进入的深度仍是B的2倍
“滑块—木板”模型
1.模型图示
2.模型特点
(1)系统的动量守恒,但机械能不守恒,摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能.
(2)若滑块未从木板上滑下,当两者速度相同时,木板速度最大,相对位移最大.
(3)根据能量守恒定律,系统损失的动能ΔEk=Ek0,可以看出,滑块的质量越小,木板的质量越大,动能损失越多(另外,ΔEk=Q=FfΔx,Δx为滑块与木板间的相对路程).
(4)该类问题既可以从动量、能量角度求解,相当于完全非弹性碰撞拓展模型,也可以从力和运动的角度借助图像求解.
例2 [2024·甘肃卷] 如图所示,质量为2 kg的小球A(视为质点)在细绳O'P和OP作用下处于平衡状态,细绳O'P=OP=1.6 m,与竖直方向的夹角均为60°.质量为6 kg的木板B静止在光滑水平面上,质量为2 kg的物块C静止在B的左端.剪断细绳O'P,小球A开始运动.(重力加速度g取10 m/s2)
(1)求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力.
(2)A在最低点时,细绳OP断裂.A飞出后恰好与C左侧碰撞(时间极短),碰后A竖直下落,C水平向右运动.求碰后C的速度大小.
(3)A、C碰后,C相对B滑行4 m后与B共速.求C和B之间的动摩擦因数.
例3 [2024·江苏苏州模拟] 如图所示,长为L、质量为m的足够长的木板静止于光滑的水平面上,在木板上右端固定一竖直轻质弹性挡板,一质量也为m的小木块以初速度v0水平冲上木板,最后恰好不与挡板碰撞,已知重力加速度大小为g.
(1)求小木块的最终速度大小v;
(2)若小木块以v0的速度水平冲上静止的木板,则最终小木块与挡板间的距离d为多少 (木块与挡板碰撞时间极短且不考虑能量损失)
(3)在(2)的条件下,求木块与木板相对静止前木板通过的位移大小x1.
变式2 [2024·湖南衡阳模拟] 如图所示,物块(可视为质点)以v0=4 m/s的初速度滑上原来静止在光滑水平地面上的长木板,两者达到相同速度后向右运动,某时刻木板与右方的竖直墙发生碰撞,已知物块质量为m1=3 kg,木板质量为m2=1 kg,物块与木板间的动摩擦因数μ=0.5,重力加速度g取10 m/s2.板与墙的碰撞为弹性碰撞,时间极短,并且木板足够长,物块始终在木板上.求:
(1)木板与墙第一次碰撞前瞬间的速度v:
(2)木板与墙第二次碰撞前物块距木板左端的距离L:
(3)木板从第一次与墙碰撞到第二次与墙碰撞所经历的时间.专题九 “子弹打木块”模型和“滑块—木板”模型 (限时40分钟)
1.[2024·江苏南京一中模拟] 如图所示,在光滑水平轨道上有一小车,它下面用轻绳系一沙袋.有一子弹水平射入沙袋后并不穿出,子弹射入沙袋的时间极短,则下列说法中正确的是 ( )
A.从子弹射入沙袋到沙袋摆到最高点的过程中,子弹、沙袋和小车组成的系统动量守恒
B.从子弹射入沙袋到沙袋摆到最高点的过程中,子弹、沙袋和小车组成的系统机械能守恒
C.从子弹射入沙袋后到沙袋摆到最高点的过程中,子弹、沙袋和小车组成的系统动量和机械能都守恒
D.从子弹射入沙袋后到沙袋摆到最高点的过程中,子弹、沙袋和小车组成的系统动量不守恒但机械能守恒
2.[2024·湖北黄冈模拟] 如图所示,质量是10 g的子弹(可看成质点),以300 m/s的速度射入质量为20 g、长度为0.1 m、静止在光滑水平桌面上的木块.若子弹恰好未射出木块,假设子弹与木块之间的阻力恒定不变,则下列说法正确的是 ( )
A.木块和子弹构成的系统动量守恒,机械能守恒
B.木块和子弹最终的速度大小v=100 m/s
C.木块和子弹之间的阻力大小Ff=4×103 N
D.木块和子弹发生相对运动的时间t=1×10-3 s
3.[2024·广东广州模拟] 如图所示,光滑水平面上分别放着两块质量、形状相同的硬木和软木,两颗完全相同的子弹均以相同的初速度分别打进两种木头中,最终均留在木头内,已知软木对子弹的摩擦力较小,以下判断正确的是 ( )
A.子弹与硬木摩擦产生的内能较多
B.两个系统产生的内能不一样大
C.子弹在软木中打入深度较大
D.子弹在硬木中打入深度较大
4.[2024·北京四中模拟] 如图所示,质量为M的小车置于光滑的水平面上,车的上表面粗糙,有一质量为m的木块以初速度v0水平地滑至车的上表面,若车表面足够长,则 ( )
A.由于车表面粗糙,小车和木块所组成的系统动量不守恒
B.车表面越粗糙,木块减少的动量越多
C.车表面越粗糙,小车增加的动量越少
D.木块的最终速度为v0
5.(多选)[2024·湖南长沙模拟] 如图所示,质量为3m的木块静止放置在光滑水平面上,质量为m的子弹(可视为质点)以初速度v0水平向右射入木块,水平射出木块时速度变为,已知木块的长为L,假设子弹在木块中的阻力恒为Ff.则子弹在木块中运动的时间为 ( )
A. B.
C. D.
6.如图所示,光滑水平地面上并排放置着质量分别为m1=1 kg、m2=2 kg的木板A、B,一质量M=2 kg的滑块C(可视为质点)以初速度v0=10 m/s从A左端滑上木板,C滑离木板A时的速度大小为v1=7 m/s,最终C与木板B相对静止,则 ( )
A.木板B与滑块C最终均静止在水平地面上
B.木板B的最大速度为5 m/s
C.木板A的最大速度为1 m/s
D.整个过程,A、B、C组成的系统机械能减少了57.5 J
7.(多选)[2024·江西九江模拟] 一质量为M、长为l的长木板A静止放在光滑的水平面上,质量为m的物体B(视为质点)以初速度v0从A的左端滑上长木板A的上表面,到B从A的右端滑下的过程中,B的动能减少量为ΔEkB,A的动能增加量为ΔEkA,A、B间存在摩擦,摩擦生热为Q,关于ΔEkB、ΔEkA、Q的值.下列可能的是 ( )
A.ΔEkB=7 J、ΔEkA=2 J、Q=5 J
B.ΔEkB=7 J、ΔEkA=5 J、Q=5 J
C.ΔEkB=3 J、ΔEkA=2 J、Q=5 J
D.ΔEkB=5 J、ΔEkA=2 J、Q=3 J
8.[2024·广西南宁一中模拟] 如图甲所示,“L”形木板Q静止于粗糙水平地面上,质量m=2 kg的滑块P以6 m/s的初速度滑上木板,经过一段时间后滑块P与Q相撞.两者运动的v-t图像如图乙所示,重力加速度大小g取10 m/s2.求:
(1)“L”形木板Q的质量M,P、Q间的动摩擦因数μ1;
(2)木板的长度L;
(3)地面摩擦力对木板的冲量大小I.
9.[2024·山西晋中模拟] 如图所示,两块完全相同的长木板A、B静置于光滑水平面上,长木板的质量为m、长度为L.两板间初始距离为,质量为2m的物块C(可看作质点)以某一水平初速度v(未知)从A的左端滑上长木板,物块C在滑至A的右端前,长木板A、B会发生碰撞(碰撞时间极短),两板碰后粘在一起.当物块C与两板相对静止时,离B板右端的距离为,物块与长木板间的动摩擦因数为μ,重力加速度大小为g.
(1)求长木板A碰撞后的速度大小;
(2)求物块C滑上长木板A时的初速度大小;
(3)若两板间初始距离为x,其他条件不变,最终物块C离B板右端的距离为s,求s与x的关系式.(共84张PPT)
专题九 “子弹打木块”模型和“滑块—
木板”模型
题型一 “子弹打木块”模型
题型二 “滑块—木板”模型
◆
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备用习题
题型一 “子弹打木块”模型
1.模型图示
2.模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒.
(2)系统的机械能有损失.
3.两种情景
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：
能量守恒：
(2)子弹穿透木块
动量守恒：
能量守恒：
例1 [2024·天津红桥模拟] 光滑水平面上有一静止的质量为 的木板，现
有一颗质量为、速率为 的子弹沿水平方向击中木板，进入木板的深度
为 (未击穿)，且冲击过程中阻力恒定.
(1) 子弹与木板间的阻力为多大？在这个过程中，木板的位移是多少？
[答案] ;
[解析] 木板和子弹组成的系统满足动量守恒，设共同速度为 ，则
得
由能量守恒定律得
解得
对木板由动能定理得
综合解得
例1 [2024·天津红桥模拟] 光滑水平面上有一静止的质量为 的木板，现
有一颗质量为、速率为 的子弹沿水平方向击中木板，进入木板的深度
为 (未击穿)，且冲击过程中阻力恒定.
(2) 冲击时间是多少？
[答案]
[解析] 对木板由动量定理得
又
解得
例1 [2024·天津红桥模拟] 光滑水平面上有一静止的质量为 的木板，现
有一颗质量为、速率为 的子弹沿水平方向击中木板，进入木板的深度
为 (未击穿)，且冲击过程中阻力恒定.
(3) 这个过程中产生的热量 是多少？
[答案]
[解析] 这个过程中产生的热量
变式1 (多选)[2024·湖南长沙模拟] 如图所示，木块静止在光滑水平面上，
子弹、从两侧同时水平射入木块，木块始终保持静止，子弹 射入木块
的深度是的2倍.假设木块对子弹的阻力大小恒定，、 做直线运动且不
会相遇，则、 运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.木块和子弹、 组成的系统动量守恒
B.子弹的初速度大小是子弹 的初速度大小的2倍
C.子弹的质量是子弹 的质量的2倍
D.若子弹向右射入木块，与木块相对静止后，子弹 再向左射入木块，
最终进入的深度仍是 的2倍
√
√
[解析] 以子弹、 和木块组成的系统为研究对象，
系统的外力矢量和为零，则系统的动量守恒，A正确；
由动量守恒定律得 ，即子弹的初动量与子弹 的初动量大小相等，由于木块始终保持静止状态，则两子弹对木块的推力大小相等，则两子弹所受的阻力大小相等，设为，根据动能定理，对子弹有，得 ，对子弹有，得，由于，则、 的加速度之比，两子弹的初动能关系为 ，又、，则得 ， ， 则子弹的质量是子弹的质量的2倍，
子弹的初速度大小是子弹 的初速度大小的2倍，B错误，C正确；若子弹向右射入木块， 与木块组成的系统动量守恒，子弹 与木块相对静止时具有向右的共同速度，由能量守恒定律可知，系统损失的机械能
，则，子弹 再向左射入木块，由于、 与木块组成的系统动量守恒，由前面的分析可知，系统初动量为零，由动量守恒定律可知，最终、 与木块都静止，子弹射入木块过程，由能量守恒定律可知，系统损失的机械能，则，综上所述可知 ，D错误.
题型二 “滑块—木板”模型
1.模型图示
2.模型特点
(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等
于系统减少的机械能.
(2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位
移最大.
(3)根据能量守恒定律，系统损失的动能 ，可以看出，滑块
的质量越小，木板的质量越大，动能损失越多(另外， ，
为滑块与木板间的相对路程).
(4)该类问题既可以从动量、能量角度求解，相当于完全非弹性碰撞拓展
模型，也可以从力和运动的角度借助图像求解.
例2 [2024·甘肃卷] 如图所示，质量为的小球(视为质点)在细绳
和作用下处于平衡状态，细绳 ，与竖直方向的夹角
均为 .质量为的木板静止在光滑水平面上，质量为的物块 静
止在的左端.剪断细绳，小球开始运动.(重力加速度取 )
(1) 求运动到最低点时细绳 所受的拉力.
[答案] 大小为 ，方向竖直向下
[解析] 根据题意，可知、质量为，的质量为 ，细绳
长为，初始时细绳与竖直方向夹角 . 从开始运动到最低点有
对在最低点的受力分析，根据牛顿第二定律得
解得，
根据牛顿第三定律可知，细绳所受的拉力大小为 ，方向竖直向下
例2 [2024·甘肃卷] 如图所示，质量为的小球(视为质点)在细绳
和作用下处于平衡状态，细绳 ，与竖直方向的夹角
均为 .质量为的木板静止在光滑水平面上，质量为的物块 静
止在的左端.剪断细绳，小球开始运动.(重力加速度取 )
(2) 在最低点时，细绳断裂.飞出后恰好与 左侧碰撞(时间极短)，碰
后竖直下落，水平向右运动.求碰后 的速度大小.
[答案]
[解析] 与相碰时，水平方向动量守恒，由于碰后 竖直下落，可知
解得
例2 [2024·甘肃卷] 如图所示，质量为的小球(视为质点)在细绳
和作用下处于平衡状态，细绳 ，与竖直方向的夹角
均为 .质量为的木板静止在光滑水平面上，质量为的物块 静
止在的左端.剪断细绳，小球开始运动.(重力加速度取 )
(3) 、碰后，相对滑行后与共速.求和 之间的动摩擦因数.
[答案] 0.15
[解析]、碰后，相对滑行后与共速，对、 分析，运动过程中根据动量守恒定律可得
根据能量守恒定律得
联立解得
例3 [2024·江苏苏州模拟] 如图所示，
长为、质量为 的足够长的木板静
(1) 求小木块的最终速度大小 ；
[答案]
[解析] 小木块恰好不与挡板碰撞，根据动量守恒定律有
解得
止于光滑的水平面上，在木板上右端固定一竖直轻质弹性挡板，一质量也
为的小木块以初速度 水平冲上木板，最后恰好不与挡板碰撞，已知重
力加速度大小为 .
例3 [2024·江苏苏州模拟] 如图所示，
长为、质量为 的足够长的木板静
(2) 若小木块以 的速度水平冲上静止的木板，则最终小木块与挡板间
的距离 为多少？(木块与挡板碰撞时间极短且不考虑能量损失)
[答案]
止于光滑的水平面上，在木板上右端固定一竖直轻质弹性挡板，一质量也
为的小木块以初速度 水平冲上木板，最后恰好不与挡板碰撞，已知重
力加速度大小为 .
[解析] 对系统，由能量守恒定律有
解得
若小木块以 的速度水平冲上静止
的木板，对系统，根据动量守恒定律
有
解得
对系统，根据能量守恒定律有
解得
则有
例3 [2024·江苏苏州模拟] 如图所示，
长为、质量为 的足够长的木板静
(3) 在(2)的条件下，求木块与木板相对静止前木板通过的位移大小 .
[答案]
止于光滑的水平面上，在木板上右端固定一竖直轻质弹性挡板，一质量也
为的小木块以初速度 水平冲上木板，最后恰好不与挡板碰撞，已知重
力加速度大小为 .
[解析] 设木块与挡板碰撞前瞬间木块速度大小为，木板速度大小为 ，
则有 ，
解得，
由于两者质量相等，碰撞后速度交换，即有，
碰撞前木板做加速度大小为 的匀加速直线运动，碰撞后木板做加速
度大小为 的匀减速直线运动，则有
变式2 [2024·湖南衡阳模拟] 如图所示，物块
(可视为质点)以 的初速度滑上原来
(1) 木板与墙第一次碰撞前瞬间的速度
[答案]
静止在光滑水平地面上的长木板，两者达到相同速度后向右运动，某时刻
木板与右方的竖直墙发生碰撞，已知物块质量为 ，木板质量为
，物块与木板间的动摩擦因数，重力加速度取 .
板与墙的碰撞为弹性碰撞，时间极短，并且木板足够长，物块始终在木板
上.求：
[解析] 从物块滑上木板，到木板与物块第一次
共速的过程中，根据动量守恒定律有
解得
变式2 [2024·湖南衡阳模拟] 如图所示，物块
(可视为质点)以 的初速度滑上原来
(2) 木板与墙第二次碰撞前物块距木板左端的距离
[答案]
静止在光滑水平地面上的长木板，两者达到相同速度后向右运动，某时刻
木板与右方的竖直墙发生碰撞，已知物块质量为 ，木板质量为
，物块与木板间的动摩擦因数，重力加速度取 .
板与墙的碰撞为弹性碰撞，时间极短，并且木板足够长，物块始终在木板
上.求：
[解析] 设木板与物块第一次达到共速时，物块
到木板左端的距离为 ，根据功能关系有
解得
由题意可知，木板与墙第一次碰撞后瞬间，物块与木板的速度大小均为 ，
之后的一段时间内，二者先做匀减速运动，加速度大小分别为
木板速度减小至零所用时间为
此时木板右端到墙的距离为
物块的速度大小为
物块与木板相对运动的距离为
假设木板与物块第二次达到共同速度 时还未与墙发生第二次碰撞，根据
动量守恒定律有
解得
木板速度从零加速至 过程中，物块仍相对木
板滑动，易知木板加速度大小仍等于 ，所以
该过程中木板向右运动的距离为 ，故假设成立
木板速度从零加速至 过程所经历的时间为 物块与木板的
相对位移大小为
木板与墙第二次碰撞前物块距木板左端的距离
为
变式2 [2024·湖南衡阳模拟] 如图所示，物块
(可视为质点)以 的初速度滑上原来
(3) 木板从第一次与墙碰撞到第二次与墙碰撞所经历的时间.
[答案]
静止在光滑水平地面上的长木板，两者达到相同速度后向右运动，某时刻
木板与右方的竖直墙发生碰撞，已知物块质量为 ，木板质量为
，物块与木板间的动摩擦因数，重力加速度取 .
板与墙的碰撞为弹性碰撞，时间极短，并且木板足够长，物块始终在木板
上.求：
[解析] 从木板与物块第二次达到共同速度 到
与墙发生第二次碰撞所经历的时间为
木板从第一次与墙碰撞到第二次与墙碰撞所经
历的时间为
“子弹打木块”模型
1.质量为的子弹以某一初速度击中静止在光滑水平地面上质量为 的
木块，并陷入木块一定深度后与木块相对静止，甲、乙两图表示了这一过
程开始和结束时子弹和木块可能的相对位置，设木块对子弹的阻力大小恒
定，下列说法正确的是( )
A. 越大，子弹射入木块的时间越短
B. 越大，子弹射入木块的深度越浅
C.无论、、 的大小如何，都只可能是甲图所示的情形
D.若较小，则可能是甲图所示情形；若 较大，则可能是乙图所示情形
√
[解析] 由动量守恒定律得 ，则对木块由动量定理得
，解得，则越大， 越大，选项A错误；由
功能关系得，解得 ，则
越大，越大，选项B错误;对木块由动能定理得 ，解得
，则，，
即无论、、 的大小如何，都只
可能是甲图所示的情形，选项C正确，D错误.
2.如图所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹、 从木块两侧
同时射入木块，最终都停在木块内，这一过程中木块始终保持静止.若子
弹射入的深度大于子弹 射入的深度，则( )
A.子弹的质量一定比子弹 的质量大
B.入射过程中子弹受到的阻力比子弹 受到的阻力大
C.子弹在木块中运动的时间比子弹 在木块中运动的时间长
D.子弹射入木块时的初动能一定比子弹 射入木块时的初动能大
√
[解析] 由于木块始终保持静止状态，则两子弹对木块的推力大小相等，
即两子弹所受的阻力大小相等，设为，根据动能定理，对子弹 有
，得；对子弹有 ，得
，由于，则有子弹入射时的初动能 ，故B错
误，D正确.两子弹和木块组成的系统动量守恒，
则有，而，
则，故A错误.子弹、 从木块两侧同时射入木块，木块始终保
持静止，分析得知，两子弹在木块中运动的时间必定相等，否则木块就
会运动，故C错误.
“滑块—木板”模型
3.如图所示，质量 的平板小车静止在
竖直弹性墙壁左侧的光滑水平地面上，质量
的铁块(视为质点)以大小 的
初速度向右滑上平板小车上表面左端，小车第一次与墙壁碰撞前瞬间恰好
与铁块达到共同速度，之后小车与墙壁发生多次正碰(每次碰撞前小车与
铁块已达到共同速度)，碰撞中无机械能损失，碰撞时间极短，最终铁块
恰好静止在小车的右端.铁块与小车上表面间的动摩擦因数 ，重力
加速度大小取 .求：
(1) 从铁块滑上小车上表面至小车与墙壁第一次碰撞的时间 ；
[答案]
[解析] 设小车第一次与墙壁碰撞前瞬间的速度大小为 ，
根据动量守恒定律有
解得
对小车，根据动量定理有
解得
3.如图所示，质量 的平板小车静止在竖直弹
性墙壁左侧的光滑水平地面上，质量 的铁块
(2) 全过程中铁块相对小车滑动的总时间以及小车的长度 ；
[答案] ;
(视为质点)以大小 的初速度向右滑上平板小车上表面左端，小
车第一次与墙壁碰撞前瞬间恰好与铁块达到共同速度，之后小车与墙壁发
生多次正碰(每次碰撞前小车与铁块已达到共同速度)，碰撞中无机械能损
失，碰撞时间极短，最终铁块恰好静止在小车的右端.铁块与小车上表面
间的动摩擦因数，重力加速度大小取 .求：
[解析] 小车第一次与墙壁碰撞后的一段时间内，铁块向右
做匀减速直线运动，小车向左做匀减速直线运动，小车的
速度先减为零，然后小车在摩擦力的作用下向右做匀加速直线运动，直到
小车与铁块第二次达到共同速度，此后铁块与小车一起向右做匀速直线运
动直到小车与墙壁发生第二次碰撞，小车不断与墙壁碰撞，铁块在小车上
滑行，系统的机械能不断减少，直到铁块与小车均静止且铁块恰好在小车
的右端，对铁块，根据动量定理有 解得
根据功能关系有
解得
3.如图所示，质量 的平板小车静止在竖直弹
性墙壁左侧的光滑水平地面上，质量 的铁块
(3) 从小车与墙壁第一次碰撞至小车静止，小车运动的总路程 .
[答案]
(视为质点)以大小 的初速度向右滑上平板小车上表面左端，小
车第一次与墙壁碰撞前瞬间恰好与铁块达到共同速度，之后小车与墙壁发
生多次正碰 (每次碰撞前小车与铁块已达到共同速度)，碰撞中无机械能损
失，碰撞时间极短，最终铁块恰好静止在小车的右端.铁块与小车上表面
间的动摩擦因数，重力加速度大小取 .求：
[解析] 经分析可知，小车每一次与墙壁碰撞后都先向
左做匀减速直线运动至静止，再向右做匀加速直线运动
至与铁块达到共同速度后再与墙壁碰撞，在两次碰撞间
的运动过程中，系统动量守恒，有
解得
设第一次碰撞后小车向左运动的最大距离为 ，对小车，根据动能定理有
解得
设第次碰撞后小车向左运动的最大距离为 ，对小车根据动能定理有
同理有
可得
根据对称性，结合数学知识可得
其中
解得
4.如图所示，光滑水平地面上放置着质量为的长木板和质量为 的滑块，长木板的左端放有质量为的滑块(可看成质点).现给、 组成的整体施加水平向右的瞬时冲量，此后、 一起向右运动，经过一段时间后与发生碰撞 (时间极短)，再经过一段时间后、 再次一起向右运动，且此后、之间的距离保持不变. 已知、 间的动摩擦因数为，重力加速度取 ，求：
(1) 获得冲量后瞬间、 的速度；
[答案] ，方向水平向右
[解析] 以、 为整体，由动量定理可得
解得获得冲量后瞬间、 的速度为
，方向水平向右
4.如图所示，光滑水平地面上放置着质量为
的长木板和质量为 的滑
(2) 、 碰撞时损失的机械能；
[答案]
块，长木板的左端放有质量为的滑块(可看成质点).现给、
组成的整体施加水平向右的瞬时冲量，此后、 一起向右运
动，经过一段时间后与发生碰撞 (时间极短)，再经过一段时间后、
再次一起向右运动，且此后、之间的距离保持不变. 已知、 间的动摩
擦因数为，重力加速度取 ，求：
[解析] 、 碰撞瞬间，由动量守恒定律可得
在、碰撞后到、 再次共速的过程中，、 组成的系统由动量守恒
可得
根据题意有
联立解得，
、 碰撞时损失的机械能为
4.如图所示，光滑水平地面上放置着质量为
的长木板和质量为 的滑
(3) 要保证滑块不脱离长木板，长木板 的最小长度.
[答案]
块，长木板的左端放有质量为的滑块(可看成质点).现给、
组成的整体施加水平向右的瞬时冲量，此后、 一起向右运
动，经过一段时间后与发生碰撞 (时间极短)，再经过一段时间后、
再次一起向右运动，且此后、之间的距离保持不变. 已知、 间的动摩
擦因数为，重力加速度取 ，求：
[解析] 在、碰撞后到、 再次共速的过程
中，、 相互作用的时间为
长木板 的长度至少为
代入数据解得
作业手册
1.[2024·江苏南京一中模拟] 如图所示，在光滑水平轨道上有一小车，它
下面用轻绳系一沙袋.有一子弹水平射入沙袋后并不穿出，子弹射入沙袋
的时间极短，则下列说法中正确的是( )
A.从子弹射入沙袋到沙袋摆到最高点的过程中，
子弹、沙袋和小车组成的系统动量守恒
B.从子弹射入沙袋到沙袋摆到最高点的过程中，
子弹、沙袋和小车组成的系统机械能守恒
C.从子弹射入沙袋后到沙袋摆到最高点的过程中，
子弹、沙袋和小车组成的系统动量和机械能都守恒
D.从子弹射入沙袋后到沙袋摆到最高点的过程中，子
弹、沙袋和小车组成的系统动量不守恒但机械能守恒
√
[解析] 从子弹射入沙袋到它们摆动达到最大偏角的
过程中，系统水平方向动量守恒，故A错误；子弹
打入沙袋时有能量损失，所以子弹、沙袋和小车组
成的系统机械能不守恒，故B错误；子弹射入沙袋
后，子弹、沙袋和小车组成的系统水平方向动量守
恒，但摆动过程中，子弹、沙袋和小车组成的系统
所受合力不等于零，系统的动量不守恒，机械能守
恒，故C错误，D正确.
2.[2024·湖北黄冈模拟] 如图所示，质量是 的子弹(可看成质点)，以
的速度射入质量为、长度为0. 、静止在光滑水平桌面上的
木块.若子弹恰好未射出木块，假设子弹与木块之间的阻力恒定不变，则
下列说法正确的是( )
A.木块和子弹构成的系统动量守恒，机械能守恒
B.木块和子弹最终的速度大小
C.木块和子弹之间的阻力大小
D.木块和子弹发生相对运动的时间
√
[解析] 子弹穿入木块过程系统的动量守恒，内能增
加，机械能减少，A错误；根据动量守恒定律有
，可得共速速度
，B正确；根据能量守恒定律有
，可得阻力 ，C错误；
对木块由动量定理有 ，木块和子弹发生相对运动的时间
，D错误.
3.[2024·广东广州模拟] 如图所示，光滑水平面上分别放着两块质量、形
状相同的硬木和软木，两颗完全相同的子弹均以相同的初速度分别打进两
种木头中，最终均留在木头内，已知软木对子弹的摩擦力较小，以下判断
正确的是( )
A.子弹与硬木摩擦产生的内能较多 B.两个系统产生的内能不一样大
C.子弹在软木中打入深度较大 D.子弹在硬木中打入深度较大
√
[解析] 设子弹质量为，木块质量为 ，由于最终都达到共同速度，根据
动量守恒定律有，可知共同速度 相同，则根据
，可知子弹与硬木和子弹与软木构成的系
统机械能减小量相同，故两个系统产生的内能 一样多，故A、B错误；根
据功能关系有，可知产生的内能相同时，摩擦力 越小，子弹
打入深度 越大，所以子弹在软木中打入深度较大，故C正确，D错误.
4.[2024·北京四中模拟] 如图所示，质量为 的小车置于光滑的水平面上，
车的上表面粗糙，有一质量为的木块以初速度 水平地滑至车的上表面，
若车表面足够长，则( )
A.由于车表面粗糙，小车和木块所组成的系统动量
不守恒
B.车表面越粗糙，木块减少的动量越多
C.车表面越粗糙，小车增加的动量越少
D.木块的最终速度为
√
[解析] 以小车和木块组成的系统为研究对象，所受
合外力为零，因此系统动量守恒，由于摩擦力的作
用，木块速度减小，小车速度增大，木块速度减小
到最小时，小车速度达到最大，最后木块、小车以
共同速度运动. 以初速度方向为正方向，根据动量守
恒定律有，解得 ，木块减
少的动量为 ，与车表面粗糙程度无关，小
车获得的动量为 ，与车面粗糙程度无关，故选D.
5.(多选)[2024·湖南长沙模拟] 如图所示，质量为 的木块静止放置在光
滑水平面上，质量为的子弹(可视为质点)以初速度 水平向右射入木块，
水平射出木块时速度变为，已知木块的长为 ，假设子弹在木块中的阻
力恒为 .则子弹在木块中运动的时间为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 设子弹在木块中运动的时间为 ，以子弹为研究对象，根据动量定
理可得，解得 ；设子弹射出木块时，木块的速
度为，根据系统动量守恒可得，解得 ，根
据位移关系可得，解得 ，故选B、C.
6.如图所示，光滑水平地面上并排放置着质量分别为 、
的木板、，一质量的滑块 (可视为质点)以初速度
从左端滑上木板，滑离木板时的速度大小为 ，
最终与木板 相对静止，则( )
A.木板与滑块 最终均静止在水平地面上
B.木板的最大速度为
C.木板的最大速度为
D.整个过程，、、 组成的系统机械能减少了57.
√
[解析] 设刚滑到木板上时， 的速度为
，由动量守恒定律得
，得，方向与 的初速度方向相同，即的最大速度为,以滑块与木板 为研究对象，设木板的最终速度为 ，由动量守恒定律得 ，得，方向与 初速度方向相同，故A、B、C错误；由能量守恒定律可知，整个过程中、、 组成的系统损失的机
械能为 ，故D正确.
7.(多选)[2024·江西九江模拟] 一质量为、长为的长木板 静止放在光
滑的水平面上，质量为的物体(视为质点)以初速度从 的左端滑上长
木板的上表面，到从的右端滑下的过程中，的动能减少量为 ，
的动能增加量为，、间存在摩擦，摩擦生热为，关于 、
、 的值.下列可能的是( )
A.、、
B.、、
C.、、
D.、、
√
√
[解析] 根据能量守恒定律有 ，故B、
C错误；画出物体和木板 的速度时间图线分别如图
中1和2所示，图中1和2之间的面积表示板长，1与
轴所围的面积表示物体的位移，2与 轴所围的面
积表示木板的位移，由图易知.， ；
又根据动能定理有、 ，又
，则有 ，故A、D正确.
8.[2024·广西南宁一中模拟] 如图甲所示，“”形木板 静止于粗糙水平地
面上，质量的滑块以 的初速度滑上木板，经过一段时间后
滑块与相撞.两者运动的图像如图乙所示，重力加速度大小 取
.求：
(1) “”形木板的质量，、间的动摩擦因数 ；
[答案]
[解析] 取滑块 的速度方向为正方向，由动量守恒定律可得
其中，，
解得
在内由图像可知， 的加速度
由牛顿第二定律可得
解得
8.[2024·广西南宁一中模拟] 如图甲所示，“”形木板 静止于粗糙水平地
面上，质量的滑块以 的初速度滑上木板，经过一段时间后
滑块与相撞.两者运动的图像如图乙所示，重力加速度大小 取
.求：
(2) 木板的长度 ；
[答案]
[解析] 由图像可知，在内，物块的位移
木板的位移
所以木板的长度
8.[2024·广西南宁一中模拟] 如图甲所示，“”形木板 静止于粗糙水平地
面上，质量的滑块以 的初速度滑上木板，经过一段时间后
滑块与相撞.两者运动的图像如图乙所示，重力加速度大小 取
.求：
(3) 地面摩擦力对木板的冲量大小 .
[答案]
[解析] 由图像可知，在内，木板 的加速度为
由牛顿第二定律可得
解得木板与地面间的动摩擦因数
碰撞后的整体由动量定理有
解得
地面摩擦力对木板的冲量
9.[2024·山西晋中模拟] 如图所示，两块完全
相同的长木板、 静置于光滑水平面上，长
木板的质量为、长度为 .两板间初始距离
为，质量为的物块(可看作质点)以某一水平初速度(未知)从 的左端
滑上长木板，物块在滑至的右端前，长木板、 会发生碰撞
(碰撞时间极短)，两板碰后粘在一起. 当物块与两板相对静止时，离 板
右端的距离为，物块与长木板间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为 .
(1) 求长木板 碰撞后的速度大小；
[解析] 设两木板碰撞前瞬间长木板 的速度为，碰撞后的速度为，碰前的加速度为 ，对长木板，由牛顿第二定律得
两木板碰撞前 做初速度为零的匀加速直线运动，对根据运动学公式
A、碰撞过程中、 组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
解得
[答案]
9.[2024·山西晋中模拟] 如图所示，两块完全相
同的长木板、 静置于光滑水平面上，长木
板的质量为、长度为.两板间初始距离为 ，
(2) 求物块滑上长木板 时的初速度大小；
[答案]
质量为的物块(可看作质点)以某一水平初速度(未知)从 的左端滑上
长木板，物块在滑至的右端前，长木板、 会发生碰撞 (碰撞时间极
短)，两板碰后粘在一起.当物块与两板相对静止时，离 板右端的距离为
，物块与长木板间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为 .
[解析] 、 碰撞过程，对系统，由能量守恒
定律有 解得
物块滑上木板时的初速度大小为，最终 与两板相对静止时的速度为，整个过程 、、 组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律有 由能量守恒定律有
解得
9.[2024·山西晋中模拟] 如图所示，两块完全相
同的长木板、 静置于光滑水平面上，长木板
的质量为、长度为.两板间初始距离为 ，质
(3) 若两板间初始距离为，其他条件不变，最终物块离 板右端的距离
为，求与 的关系式.
[答案]
量为的物块(可看作质点)以某一水平初速度(未知)从 的左端滑上长
木板，物块在滑至的右端前，长木板、 会发生碰撞 (碰撞时间极短)，
两板碰后粘在一起.当物块与两板相对静止时，离板右端的距离为 ，
物块与长木板间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为 .
[解析] 若初始间距为 ，设两木板碰撞前瞬间
长木板的速度为，碰撞后的速度为 ，因
碰撞损失的能量为，则 碰前加速过程有
A与 碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得
由能量守恒定律有
从滑上长木板 到与长木板相对静止，由能量守恒定律有
解得
设碰撞时物块的速度为，物块 相对于长木板的位移为，碰前与 动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
且
解得
故与的关系为
热点题型探究
题型一
例1.（1）, （2） （3） 变式1.AC
题型二
例2.（1）大小为，方向竖直向下 （2） （3）0.15
例3.（1） （2） （3）
变式2.（1） （2） （3）
基础巩固练
1.D 2.B 3.C 4.D 5.BC
综合提升练
6.D 7.AD
8.（1） （2） （3）
拓展挑战练
9.（1） （2） （3）
