7.2.1 古典概型的概率计算公式 课件（共32张PPT）-高一上学期数学 北师大版 必修第一册

(共32张PPT)
第七章
概率
§2 古典概型
2.1 古典概型的概率计算公式
1.理解古典概型的定义.（数学抽象）
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.（数学运算）
阅读教材，回答下列问题：
1.在初中我们已经学过概率，那么什么叫作概率？
[答案] 对于一个事件，我们通常用一个数 来表示该事件发生的
可能性的大小，这个数就称为随机事件 的概率.
2.随机事件的概率范围是多少？
[答案] .
3.什么样的试验模型可以称为古典概型？
[答案] 具有如下特征：
（1）有限性：样本空间为有限样本空间；
（2）等可能性：每次试验中,样本空间的各个样本点出现的可能性相等.
则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．
4.古典概型的计算公式是什么？
[答案] ．
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 古典概型中每一个事件都只含有一个样本点.( )
×
（2） 古典概型中每一个事件含有的样本点个数一样多.( )
×
（3） 古典概型中样本点可以无数多个.( )
×
（4） 古典概型中样本点出现的可能性有可能不同.( )
×
2.集合，，，4，，从， 中各取一个数，则这两数之和等于5的概
率是( ) .
B
A. B. C. D.
[解析] 从A，B中各取一个数，共有6种等可能的组合，其中两数之和等于5的有2种，
所以 ，故选B.
3.下列试验是古典概型的为________.（填序号）
①从6名同学中选出1人参加数学竞赛，每人被选中的概率；
②同时掷两枚骰子，点数之和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
①②④
[解析] ①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型，因为
不符合等可能性，近三天中是否降雨受多方面因素影响.
4.某棋社有20名爱好象棋的棋友.已知社团中棋艺技能分为高级、中级和初级三个等级，
其中中级棋友有11人，现从棋社中抽取一名棋友，若抽取到高级棋友的概率是 ，则
抽取到初级棋友的概率是_____.
0.25
[解析] 由题意知，高级棋友有（人）， 初级棋友有
（人），
从棋社中抽取到初级棋友的概率是 .
探究1 随机事件的概率
随机事件发生的可能性，我们可以用概率来刻画它．
问题1: 在摸奖票时，销售人员告诉你中奖的概率为 ，这表示什么意思？
[答案] 表示你中奖的可能性有 ，或者说明奖票箱内中奖的奖票占总奖票的一半．
问题2: 中奖概率为 ，能说明摸奖票两次一定中奖吗？
[答案] 不能，中奖概率为 ，指的是每次摸奖票的可能性，摸奖票两次可以两次都
不中奖，也可以都中奖，也可以一次中奖，一次不中奖．
问题3: 某一天上学路上碰到堵车，这时候上学迟到的可能性会大大增加，如果迟到的
可能性是 ，则说明迟到的概率是多少？
[答案] 概率为0.3．
1.概率
对于一个随机事件，我们通常用一个数 来表示该事件发生的可
能性的大小，这个数就称为随机事件 的概率.它度量了随机事件发生的可能性的大小，
是对随机事件统计规律的数量刻画．
2.概率的性质
（1）对任意的事件，都有 ；
（2）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即， ．
例1 在天气预报中，有降雨概率预报，例如预报“明天降雨的概率为0.8”，这是指
( ) .
B
A.明天该地区有的地方降雨，有 的地方不降雨
B.明天该地区降雨的可能性为
C.气象台的专家中有的专家认为会降雨，另外有 的专家认为不降雨
D.明天该地区有 的时间降雨，其他时间不降雨
[解析] “明天降雨的概率为0.8”指的是“明天该地区降雨的可能性是 ”，即明天下雨
的可能性比较大．
方法总结
概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，概率意义下的“可能性”是大
量随机事件的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．
巩固训练 下列结论正确的是( ) .
C
A.设事件的概率为，则必有
B.事件的概率，则事件 是必然事件
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效.现在胃
溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为
D.某种种子的发芽率为 ，则某人种下100粒种子，一定有80粒发芽
[解析] 因为，所以A项不正确；若事件A是必然事件，则 ，故B
项不正确；对于D项，种子的发芽率为 ，若种下100粒种子，则可能会有80粒发芽，
故D项不正确.故选C．
探究2 古典概型的定义
小明掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面向上.
问题1: 这个试验共有哪几种结果？样本点总数是多少？
[答案] 共有正正、正反、反正、反反四种结果，样本点总数是4.
问题2: 事件恰有一次正面向上 包含哪些试验结果？
[答案] 正反、反正.
问题3: 我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚质地均匀的硬币的试验及掷一枚质地均匀
的骰子的试验，它们的共同特征有哪些？
[答案] 可以发现，它们具有如下共同特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每次试验中，每个样本点发生的可能性相等.
一般地，若试验 具有如下特征：
（1）有限性：试验的样本空间 的样本点总数有限，即样本空间 为有限样
本空间；
（2）等可能性：每次试验中，样本空间 的各个样本点出现的可能性相等．
则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型．
例2 某袋中有除颜色不同外其他都相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一
个区别于其他球的编号，从中随机摸出1个球.
（1）把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？
（2）把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概
率模型是不是古典概型？
[解析] （1）因为样本点的个数有限，而且每个样本点发生的可能性相同，所以是古
典概型.
（2）把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白球”“取得一个红球”“取
得一个黄球”，共3个样本点.这些样本点个数有限，但“取得一个白球”的概率与“取得
一个红球”或“取得一个黄球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型.
方法总结
判断一个试验是古典概型的依据
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——样本
点的有限性和等可能性.
巩固训练 下列概率模型中，古典概型的个数为( ) .
①从区间 内任取一个数，求取到1的概率;
②从1，2，3， ，10中任取一个数，求取到1的概率;
③在正方形内画一点，求点 恰好为正方形中心的概率;
④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的
可能性相等，故②是古典概型;①和③中的样本空间中样本点的个数不是有限的，故不
是古典概型;④由于硬币质地不均匀，样本点发生的可能性不相等，故④不是古典概型.
探究3 古典概型概率公式的应用
问题1: 掷一枚质地均匀的骰子，共有多少种不同的结果？
[答案] 共有6种不同的结果.
问题2: 掷一枚质地均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数，包含几种结果？
[答案] 包含2，4，6这三种结果.
问题3: 掷一枚质地均匀的骰子，落地时向上的点数为偶数的概率怎样求？
[答案] 记事件为骰子落地时向上的点数为偶数，则 .
对古典概型来说，如果样本空间 包含的样本点总数为，随机事件 包含的样
本点个数为，那么事件发生的概率为 ．
需要说明的是，在现实中不存在绝对均匀的硬币，也没有绝对均匀的骰子.古典概
率模型是从现实中抽象出来的一个数学模型，它有着广泛的应用．
例3 一个盒子里装有标号为1，2，3，4的四张标签，依次选取两张标签.
（1）若标签的选取是无放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率；
（2）若标签的选取是有放回的，求两张标签上的数字为相邻整数的概率．
[解析] （1）选取是无放回的，样本点有，，，，， ，
，，，，，,共12个，其中数字为相邻整数的有 ，
，，，， ,共6个，所以两张标签上的数字为相邻整数的概率
为 ．
（2）选取是有放回的，样本点有，，，，，， ，
，，，，，，，， ,共16个，其中数字为
相邻整数的有，，，，， ,共6个，所以两张标签上的数
字为相邻整数的概率为 ．
方法总结
古典概型问题的解题方法与步骤
（1）明确所求的概率问题属于古典概型；（2）利用列举法、列表法或树状图法
列举出所有可能出现的样本点，计算其总数 ；（3）从所列出的样本点中查出所求概
率的事件包含的样本点数；（4）利用公式 求解.
巩固训练 西周数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，
弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边
的一组正整数称为勾股数.现从，，， ，
，，，，， 这几组勾股数
中随机抽取1组，求被抽出的这组勾股数满足 的概率.
[解析] 从这10组勾股数中随机抽取1组，共10种情况，其中满足 的有
，，，，共4种，故所求概率 .
1.下列关于古典概型的说法正确的是( ) .
D
①试验中所有可能出现的结果为有限个；②每个样本点事件发生的可能性可以不相等；
③每个样本点事件发生的可能性相等；④若样本点总数为，随机事件包含 个样本
点，则 ．
A.②④ B.②③④ C.①②④ D.①③④
[解析] 在①中，由古典概型的概念可知,试验中所有可能出现的结果为有限个，故①
正确；
在②中，由古典概型的概念可知,每个样本点事件发生的可能性相等，故②错误,③正确；
在④中，若样本点总数为，随机事件A包含 个样本点，由古典概型的概率计算公式
知 ，故④正确．
2.如图，一只转盘均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转
动时，指针指向偶数的概率是( ) .
A
A. B. C. D.
[解析] 共有8个数，其中偶数的个数为4，故 ．
3.已知集合，0，1，，从集合中有放回地任取两个元素作为点 的坐标，
则点落在 轴上的概率为( ) .
B
A. B. C. D.
[解析] 要想点落在轴上，只需纵坐标为0，纵坐标是从集合，0，1，
的四个元素中等可能取值，所以纵坐标为0的概率 ．
4.已知,,三人在三天节日中值班，每人值班一天，那么排在 后一天值班的概率
为__.
[解析] ，，三人在三天中值班的情况有，， ，
，，，共6种,其中排在后一天值班的情况有 ，
，共2种,故所求概率为 .