8.2 数学建模的主要步骤 课件（共20张PPT）高一上学期数学 北师大版 必修第一册

(共20张PPT)
第八章
数据建模活动（一）
§2 数学建模的主要步骤
1.能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型，解决问题.（数学建模）
2.掌握数学建模的步骤.（逻辑推理）
1.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间 加油量/升 加油时累计里程/千米
2023年10月1日 12 35000
2023年10月15日 60 35600
（注： “累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程）在这段时间内，该车每100千
米平均耗油量是多少？
[答案] 因为第二次加满油箱，加了60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，
行驶600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升.
2.数学建模的主要步骤是什么？
[答案] 提出问题 建立模型 求解模型 检验结果.
探究 数学建模的步骤
俗话说： “物以稀为贵.”一般来说，当市面上某种商品的出售量比较多时，这种
商品的价格就会比较低；而出售量比较少时，价格就会比较高.例如，当市面上的苹果
比较多时，苹果的价格就会降低.这时，如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储，
等到市面上的苹果数量变少、价格上升之后再出售，那么同样多的苹果就可以获得比
较高的销售收入.不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的
延长而增大.
问题1: 针对上述这种日常生活中的现象，我们可以提出一些什么问题呢？
[答案] 我们可以探讨的问题很多.例如，还是上述苹果的问题，为什么会发生这些现
象？什么情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保
鲜存储的成本最低？类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学
手段研究，将是十分困难的.
问题2: 数学建模的步骤是什么？
[答案] 给出问题 分析变量 分析数据 模型分析 确定模型 求解模型 检验
模型.
1.数学建模的一般步骤
①提出问题：实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的，原始的问题往往是一个希望
得到优化的期待，或者是某个不良现象的消失.这就需要透过现象，明确地提出问题.
②建立模型:在一定的知识积累的基础上，预测建立的数学模型，抓住主要因素，摒弃
次要因素，做出适当简化和假设.在假设的基础上，用数学概念表示实际问题，用数学
结构反映实际问题中各个量之间的关系，从不同角度、用不同知识表示同样的问题，
就会得到不同的模型.
③求解模型:这个过程是求解数学问题.值得注意的是，如果目标是求值，一般不容易
求得精确值，这就要根据需要求近似值.
④检验结果:用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际情况.如果不符合实际情况，
就要重新建模.
2.数学建模的过程可用框图表示
1.观察实际情况，发现和提出问题
中国茶文化源远流长、博大精深，为中华民族之国粹.茶叶中含有儿茶素、咖啡碱、
肌醇、叶酸、泛酸，长期饮茶可以解除油腻，帮助消化，还对心血管疾病，如高血压、
冠心病等，有一定的防治作用.
茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，在室温为 的情况下，某
种绿茶用的热水泡制，再等到茶水温度降至 时饮用，可以产生最佳口感？
针对以上生活背景我们能提出什么问题呢？
我们关心的是冲好茶后，大约多长时间茶水才能达到最佳饮用口感.
在这个问题中常量、变量分别是什么？变量之间是什么关系呢？
常量是室温、茶水的初始温度、最佳温度，变量为茶水的温度、经历的时间.
2.收集数据
用秒表计算时间，用温度计或温度传感器测量茶水的温度.
比如在室温为 的情况下，某研究人员每隔1分钟测量一次茶水温度得到以下
的一组数据：
时间/分 0 1 2 3 4 5
水温/ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10
在室温为 的情况下，冲好茶后，大约经过多长时间茶水才能达到最佳饮用口感？
3.数据分析
问题1: 茶水温度是随着时间变化而变化的，是关于时间的函数，到底是什么样的函数呢？
[答案] 我们先根据以上数据在平面直角坐标系中画出散点图（时间为横坐标，茶水温
度为纵坐标），根据散点图观察水温如何根据时间变化，从而确定函数类型.
设茶水温度从开始，经过分钟后，温度变为 ，根据以上数据画出散点图.
问题2: 观察散点图的分布情况，选择我们学习过的什么函数可近似地刻画温度与时间
的关系呢？变量间的关系会是一次函数（直线）吗？
[答案] 若是一次函数，图象将近似是一条直线，若自变量足够大，温度就将变成负值，
可能吗？
考虑泡茶时的室温是恒定的，温度会一直降低下去吗？考虑变量间的关系时我们要考
虑实际情况，泡茶时间和温度的关系不可能是一次函数关系.
问题3: 图中关系会是指数函数吗？
[答案] 回想一下指数函数的性质，无论底数如何，指数函数的图象恒过点 ，
显然不可能是指数函数.
问题4: 图中关系会是指数型函数 吗？
[答案] 该函数倒是可能满足图象过初始点 ，但是指数型函数还有一个重要特征：
有渐近线（无限接近但不相交的直线） 轴.考虑到该实际问题：茶水温度会越来越低，
越来越接近于室温.故该考虑的函数是 .
4.建立模型
由初始条件知，当时，，所以 .
怎么求得 的值呢 可以将已知数据中的一组数据代入求解吗？
若可以，选5组数据中的哪一组数据更好呢？将 代入函数解析式，可得
，从而得到函数解析式；将 代入函数解析
式，可得 .
依次类推，把表中五组数据代入均可得到一个函数，可不可以取一个“中和”一点
的数呢？
.
将五组数据代入，求得解析式或利用五个 的值的算术平均数求得解析式，都可
以近似地反映温度变化和时间变化的关系.在要求结果不是很精确的情况下，选择哪一
个都是可以的.
当然，现在我们只能根据各种情况的图象粗略地判断哪一个模型稍好一些，等我
们学习完高二的最小二乘法后，我们可以更精确地比较哪一种模型更好地反映变量之
间的关系.
5.检验模型
把代入函数，得 ，
.
所以泡制一杯最佳口感的茶水大约需要6分钟.
方法总结
通过这节课的学习，我们知道数学建模的一般步骤：
巩固训练 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，
测量最大积雪深度（单位：）与当年灌溉面积 （单位：公顷）.现有连续10年的
实测资料，如表所示.
年序 最大积雪深度 灌溉面积 公顷
1 15.2 28.6
2 10.4 21.1
3 21.2 40.5
4 18.6 36.6
5 26.4 49.8
6 23.4 45.0
7 13.5 29.2
8 16.7 34.1
9 24.0 45.8
10 19.1 36.9
（1）画出灌溉面积随最大积雪深度变化的散点图.
（2）建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象.
（3）根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为 ，则估计今年的灌溉面积
为多少公顷？
[解析] （1）利用计算机几何画板软件，描点如图甲.
（2）从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，
由此，我们假设灌溉面积
和最大积雪深度满足一次函数模型 .
取其中的两组数据，，代入，
得 解得
这样，我们得到一个函数模型： .作出函数
图象，如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度
较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
（3）当时， ，即当最大积雪深
度为 时，估计灌溉面积为47.4公顷.