专题十八 带电粒子在组合场中的运动
例1 BD [解析] 由r=可知a、b两粒子在y轴左侧区域磁场中的偏转半径比为ra1∶rb1=∶=1∶1,故A错误;粒子a第一次经过y轴时坐标为(0,2ra2),第二次经过y轴时坐标为(0,2ra2-2ra1),第三次经过y轴时坐标为(0,4ra2-2ra1),第四次经过y轴时坐标为(0,4ra2-4ra1),其中ra1=,ra2=,由于B1∶B2=3∶2,故ra1∶ra2=2∶3,4ra2-4ra1>0,因此粒子a第四次经过y轴时是经过y轴正半轴,两粒子在y轴正半轴相遇,故B正确;粒子b第一次经过y轴时坐标为(0,2rb1),第二次经过y轴时坐标为(0,2rb1-2rb2),第三次经过y轴时坐标为(0,4rb1-2rb2),第四次经过y轴时坐标为(0,4rb1-4rb2),其中rb1=ra1,rb2=ra2,令ra1=2r,则ra2=3r,粒子a四次经过y轴的纵坐标为6r、2r、8r、4r,粒子b四次经过y轴的纵坐标为4r、-2r、2r、-4r,对比可知,粒子b第一次经过y轴正半轴时就与粒子a相遇,相遇时二者速度方向相同,都是水平向右,故C错误;二者相遇所用时间相等,有Tb1=Ta1+Ta2,即=+,将B1∶B2=3∶2代入得ma∶mb=1∶5,故D正确.
例2 AD [解析] 若粒子从PN中点射入磁场,根据粒子在电场中做类平抛运动有x0=v0t,y0=·t2,解得E=,选项A正确;粒子从PN中点射入磁场时,=t,速度v1==,选项B错误;设粒子从电场中射出时的速度方向与y轴正方向夹角为θ,则tan θ===,粒子从电场中射出时的速度v=,粒子进入磁场后做匀速圆周运动,则qvB=m,则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN的距离为d=rcos θ,解得d==,选项C错误;当粒子在磁场中运动有最大运动半径时,进入磁场的速度最大,则此时粒子从N点进入磁场,此时竖直最大速度vym=,x0=v0t,射出电场的最大速度vm==,则由qvmB=m,可得最大半径rm==,选项D正确.
例3 (18分)(1) (2) (3)
[解析] (1)带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示,其圆心为O1,对应轨道半径为R,由几何关系可得Rsin θ=L (2分)
由牛顿第二定律有qvB= (2分)
联立可得B= (1分)
(2)设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T,则t1=T (2分)
T= (2分)
联立可得t1= (1分)
(3)设带电粒子在电场中运动的时间为t2,由运动的合成与分解有vcos θ·t2=L (2分)
vsin θ-at2=0 (2分)
由牛顿第二定律有qE=ma (2分)
联立可得E= (2分)
例4 (1) (2) (3)
[解析] (1)电子在匀强磁场中运动时,将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在平行于yOz平面内的匀速圆周运动.设电子入射时沿y轴的分速度大小为vy,电子在圆筒中运动的时间为t.由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v0t
在yOz平面内,设电子做匀速圆周运动的半径为R,周期为T,由洛伦兹力提供向心力得Bevy=m,可得R=
周期T=
若所有电子均能经过O进入电场,则在时间t内电子在平行于yOz平面内恰好运动了若干个完整圆周,有t=nT(n=1,2,3,…)
联立得B=
当n=1时,B有最小值,为
Bmin=
(2)设进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向的夹角为α,如图所示,由几何关系得tan α=
由于v0不变,故当α最大时,vy最大,电子在平行于yOz平面内做圆周运动的半径R=最大,因电子始终未与筒壁碰撞,所以R最大值为Rm=r,此时vy取得最大值vym,α取得最大值θ.
取(1)问中最小的磁感应强度,即B=
联立解得vym=,|tan θ|=
(3)将电子进入电场的运动分解,沿x轴方向做匀速直线运动,沿y轴方向做匀变速直线运动且加速度沿y轴负方向,所以当vy取沿y轴正方向的最大值vym时,电子在电场中运动时沿y轴正方向有最大位移ym,根据匀变速直线运动规律有ym=
由牛顿第二定律知a=
又vym=
联立解得ym=
例5 (1)带正电 (2) (3)
[解析] (1)由带电粒子在左侧电场中由静止释放后加速运动的方向可知粒子带正电(或由带电粒子在磁场中做圆周运动的方向结合左手定则可知粒子带正电).
设粒子在磁场内做圆周运动的速度为v,半径为r,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m
粒子在磁场中运动半个圆周所用的时间Δt=3t0-2t0
粒子在磁场中做圆周运动的周期为T=2Δt
又知T=
联立解得q=
(2)设金属板间的电场强度为E,粒子在金属板间运动的加速度为a,则有
E=
a=
t0~2t0内,粒子在金属板间的电场内做两个对称的类平抛运动,在垂直于金属板方向的位移等于在磁场中做圆周运动的直径,即y=2r
在垂直于金属板方向有y=2×a
在沿金属板方向有D=vt0
联立解得D=,v=
(3)由(1)(2)可知y=
由对称性可知,3t0~4t0内,粒子第二次进入金属板间的电场内,粒子在竖直方向的位移仍为y,由于y
t=4t0后,粒子进入左侧电场,先减速到速度为零,后反向加速,并在t=6t0时刻第三次进入金属板间的电场内,此时粒子距上板的距离为h=D-y=,注意到h=,故粒子恰在加速阶段结束时碰到金属板.
粒子第一次、第二次进出金属板间的电场过程中,电场力做功为0,粒子第三次进入金属板间的电场后,电场力做功为qEh,设粒子在左侧电场中运动时电场力做功为W左,根据动能定理有
W左=mv2
电场力对粒子做的总功为W=W左+qEh
联立解得W=
例6 (1) (2) (3)
[解析] (1)当离子轨迹与y=L相切时速度最大
由几何关系Rcos 60°+L=R
得R=2L
洛伦兹力提供向心力,qv1B1=
不进入区域Ⅱ的最大速度v1=
在磁场中的运动时间t=T=
(2)粒子在区域Ⅰ、Ⅱ内的圆周运动半径R1=,R2=
设离子以最小速度v2到达y=L处时速度方向与x轴夹角为θ,由几何关系
区域Ⅰ内R1(cos θ-cos 60°)=L
区域Ⅱ内R2(1-cos θ)=
到达y=处离子的最小速度v2=
(3)将磁场沿y方向分为很多宽度为Δy的微小区域,每个小区域内可看作匀强磁场
设离子经过区域上边界时速度方向与x轴夹角为θ,经过小区域方向偏转Δθ,由几何关系
Δy=[cos(θ-Δθ)-cos θ]
(或由x方向动量定理qBvyΔt=mΔvx)
则离子进入第四象限的最小速度v3满足
磁感应强度大小分布
代入得v3=
进入第四象限的离子数与总离子数之比
η==
变式1 (1) (2)
[解析] (1)设粒子在第一象限做匀速圆周运动的半径为r,由几何关系有r2=+
解得r=5L
由Bqv=m
解得B=
(2)粒子从P到Q,电场力做正功,洛伦兹力不做功,由动能定理有3E0qd=mv2
解得E0=
设粒子速度与y轴负方向的夹角为θ,如图所示
由几何关系可得θ=53°
粒子在经过第二象限磁场时的水平方向上,由动量定理有
即B0q×3d=mvsin 53°
解得B0=
变式2 (1) (2)v0 (3)(4+2)L
[解析] (1)由几何关系得r=L
qv0B1=m
解得B1=
(2)方法一:设粒子刚进入第三象限磁场时的速度为v1,则v1=v0cos 60°=
粒子在第一个磁场中运动有qv1B=m
r1=2L
由几何关系,粒子出磁场时速度方向与水平方向的夹角为30°,则粒子刚进入电场区域时水平方向的速度为v1x=v1cos 30°=
竖直方向的速度为v1y=v1sin 30°=
-=2aL
qE=ma
粒子刚进入第三象限中的第二个磁场区域时的速度大小为v2==v0
方法二:设粒子刚进入第三象限磁场时的速度为v1,则v1=v0cos 60°=
qEL=m-m
v2=v0
(3)方法一:设粒子在第三象限运动过程中,从右向左在第n层磁场中运动速度为vn,轨道半径为rn,则有qEL=m-m
qvnB=m
则vn=v0,rn=2L
设粒子进入第n层电场时,速度方向与水平方向的夹角为αn,从第n层电场左边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn,粒子在电场中运动时,垂直电场线方向的速度分量不变,有vn-1sin αn-1=vnsin θn-1
rnsin αn-rnsin θn-1=L
解得rnsin αn-rn-1sin αn-1=L
可知r1sin α1、r2sin α2、r3sin α3、……rnsin αn是一组等差数列,公差为L,可得rnsin αn=r1sin α1+L=nL
将rn=2L代入,得sin αn=
由于sin αn≤1,则n≤4
由于n>1,且为整数,故n的最大值为4,此时sin θ4=sin α4=
r5=2L
即粒子在第5层磁场中到达轨迹最左端,此时速度竖直向下,由几何关系得轨迹最左端距离第5层磁场右边界距离为Δx=r5-r5sin θ4=L
综上,轨迹最左端离y轴的水平距离为xm=n·2L+Δx=L
qBx磁=mvy
由动能定理得qEL=m-m
得x磁=2L
L解得4则n=5,xm=(n-1)L+x磁=L专题十八 带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在一般组合场中的运动
1.组合场
电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,电场、磁场交替出现.
2.“电偏转”和“磁偏转”的比较
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以v0⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力)
受力情况 只受恒定的电场力F=Eq 只受大小恒定的洛伦兹力F=qvB
运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动
运动轨迹 抛物线 圆弧
求解方法 利用类平抛运动的规律得x=v0t,y=at2,a=,tan θ= 根据牛顿第二定律和向心力公式可得qvB=m,T=,t=
说明:(1)如图甲所示,若粒子以某一角度θ斜射入匀强电场,则粒子在电场中做匀变速曲线运动,分析时可看成沿分速度v1方向的匀速直线运动和沿分速度v2方向的匀变速直线运动的合成;
(2)如图乙所示,若粒子以某一角度θ斜射入匀强磁场,则在垂直于磁场的方向上,粒子以分速度v1做匀速圆周运动,在平行于磁场的方向上,粒子以分速度v2做匀速直线运动,粒子的运动轨迹为螺旋线.
3.求解的几个关键环节
(1)划分运动的过程:将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段,对不同的阶段选取不同的规律处理.
(2)确定运动衔接点:粒子从一个场区进入另一个场区的速度往往是联系两种运动的桥梁,所以确定粒子在衔接点的速度(大小、方向)往往是解决组合场问题的关键.
(3)画出运动轨迹:根据受力分析和运动分析,大致画出粒子的运动轨迹图,有利于形象、直观地解决问题.
考向一 磁场与磁场的组合
例1 (多选)[2024·河北石家庄模拟] 如图所示,在y轴的左侧区域存在磁感应强度大小为B1、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,在y轴的右侧区域存在磁感应强度大小为B2、方向也垂直于纸面向里的匀强磁场,且B1∶B2=3∶2.在原点O处同时发射两个质量分别为ma和mb的带电粒子a、b,粒子a以速率va沿x轴正方向运动,粒子b以速率vb沿x轴负方向运动,已知粒子a带正电,粒子b带负电,电荷量相等,且两粒子的速率满足mava=mbvb.若在此后的运动中,当粒子a第4次经过y轴(出发时经过y轴不算在内)时,恰与粒子b相遇.粒子重力不计.下列说法正确的是 ( )
A.粒子a、b在y轴左侧区域磁场中的偏转半径之比为3∶2
B.两粒子在y轴正半轴相遇
C.粒子a、b相遇时的速度方向相反
D.粒子a、b的质量之比为1∶5
[反思感悟]
考向二 先电场后磁场
例2 (多选)[2023·海南卷] 如图所示,质量为m、带电荷量为+q的带电粒子,从原点以初速度v0射入第一象限内的电磁场区域,在0x0区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,控制电场强度(E值有多种可能),可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上,则 ( )
A.粒子从NP中点射入磁场,电场强度满足E=
B.粒子从NP中点射入磁场时速度为v0
C.粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为
D.粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
[反思感悟]
考向三 先磁场后电场
例3 [2024·福建福州模拟] 如图所示,在xOy平面内,x>0空间存在方向垂直平面向外的匀强磁场,第三象限空间存在方向沿x轴正方向的匀强电场.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),
以大小为v、方向与y轴正方向夹角θ=60°的速度沿纸面从坐标为(0,L)的P1点进入磁场中,然后从坐标为(0,-L)的P2点进入电场区域,最后从x轴上的P3点(图中未画出)垂直于x轴射出电场.求:
(1)磁场的磁感应强度大小B;
(2)粒子从P1点运动到P2点所用的时间t1;
(3)电场强度的大小E.
规范答题区 自评项目 (共100分) 自评 得分
书写工整无涂抹(20分)
有必要的文字说明(20分)
使用原始表达式、无代数过程(30分)
有据①②得③等说明(10分)
结果为数字的带有单位,求矢量的有方向说明(20分)
例4 [2024·湖南卷] 如图所示,有一内半径为2r、长为L的圆筒,左右端面圆心O'、O处各开有一小孔.以O为坐标原点,取O'O方向为x轴正方向,建立xyz坐标系.在筒内x≤0区域有一匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向沿x轴正方向;筒外x≥0区域有一匀强电场,场强大小为E,方向沿y轴正方向.一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子,电子初速度方向均在xOy平面内,且在x轴正方向的分速度大小均为v0.已知电子的质量为m、电荷量为e,设电子始终未与筒壁碰撞,不计电子之间的相互作用及电子的重力.
(1)若所有电子均能经过O进入电场,求磁感应强度B的最小值;
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B,若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ,求tan θ的绝对值;
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B,求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移.
带电粒子在交变组合场中的运动
1.交变场常见的类型
(1)电场周期性变化,磁场不变.
(2)磁场周期性变化,电场不变.
(3)电场、磁场均周期性变化.
2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路
例5 [2024·广东卷] 如图甲所示,两块平行正对的金属板水平放置,板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压.金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场,右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B.一带电粒子在t=0时刻从左侧电场某处由静止释放,在t=t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内,在t=2t0时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场,并在t=3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场.已知金属板的板长是板间距离的倍,粒子质量为m.忽略粒子所受的重力和场的边缘效应.
(1)判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q;
(2)求金属板的板间距离D和带电粒子在t=t0时刻的速度大小v;
(3)求从t=0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中,电场力对粒子做的功W.
素养提升 正则动量及其应用
在高中阶段,正则动量可按以下方法进行推导:
带电粒子在匀强磁场中若仅受洛伦兹力的作用,可将洛伦兹力F和速度v正交分解到直角坐标系xOy中,建立分量之间的关系为Fx=qBvy,Fy=qBvx,即x轴方向的分力取决于y轴方向的分速度,y轴方向的分力取决于x轴方向的分速度,利用微元法结合动量定理可得正则动量的使用要点在于:要研究哪个方向的位移大小,就列与该方向垂直方向的动量定理.相比传统的画出实际运动轨迹的处理方法,引入正则动量概念可以简化求解此类问题的数学关系,避开了复杂的轨迹描绘和几何运算,只需进行始末状态的分析,更加简捷明晰,从宏观上直达物理问题的本质.
例6 [2023·浙江6月选考] 利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术.如图所示,Oxy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x 轴的区域Ⅰ和Ⅱ,其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场,区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场,方向均垂直纸面向里,区域Ⅱ的下边界与x轴重合.位于(0,3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束,沿纸面射向磁场区域.不计离子的重力及离子间的相互作用,并忽略磁场的边界效应.
(1)求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t;
(2)若B2=2B1,求能到达y=处的离子的最小速度v2;
(3)若B2=y,且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在~范围,求进入第四象限的离子数与总离子数之比η.
变式1 [2024·河北石家庄模拟] 现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动.如图所示,在真空的坐标系中,第一象限和第四象限存在着垂直纸面向里的匀强磁场,第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域,交替分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里匀强磁场,调节电场强度和磁感应强度大小,可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向.现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放,粒子恰好以速度大小v从y轴上的Q点进入第一象限,经过x轴上的M点时速度方向刚好沿x轴正向.已知Q点坐标为(0,L),M点坐标为(3L,0),不计粒子重力及运动时的电磁辐射.
(1)求第一、四象限中匀强磁场的磁感应强度B的大小;
(2)求第二象限中电场强度大小E0和磁感应强度大小B0.
变式2 [2024·四川成都模拟] 如图所示,在第一象限中有一匀强磁场(图中未画出),一带正电的粒子(不计重力)从y轴上A点沿x轴正向以初速度v0进入匀强磁场区域,A点坐标为(0,L),从x轴上的C点出磁场并进入第四象限的匀强电场区域,方向与x轴负向成60°角.粒子经过此电场区域后恰好垂直于y轴进入第三象限的电、磁场区域,它们的宽度都为L,其中磁感应强度为B=,电场强度为E=,粒子的质量为m、电荷量为q,虚线边界有电场.求:
(1)第一象限中匀强磁场的磁感应强度B1的大小;
(2)粒子刚进入第三象限中的第二个磁场区域时的速度大小;
(3)整个运动过程中,粒子距离y轴的最远距离.专题十八 带电粒子在组合场中的运动(A)
1.AC [解析] 粒子在MN右侧运动半个周期后回到MN左侧,再运动半个周期后的速度方向与入射方向相同,在MN右侧运动的时间t1=T1=×=,在MN左侧运动的时间t2=T2=×=,因此粒子的速度方向再次与入射方向相同时运动的时间为t=t1+t2=,故A正确,B错误;在MN右侧粒子位移为L1=2R1=,在MN左侧粒子位移为L2=2R2=,因此粒子的速度方向再次与入射方向相同时,粒子与O点间的距离L=L2-L1=,故C正确,D错误.
2.B [解析] 根据左手定则可知,电子从P点沿垂直于磁场的方向射入左侧匀强磁场时,受到的洛伦兹力方向向上,所以电子运动的路径为PDMCNEP,故A错误;由题图可知,电子在左侧匀强磁场中运动的半径是在右侧匀强磁场中运动的半径的一半,根据r=可知B1=2B2,故B正确,D错误;电子从射入磁场到回到P点的过程中,在左侧匀强磁场中运动了两个半圆,即运动了一个周期,在右侧匀强磁场中运动了半个周期,所以用时为t=+=,故C错误.
3.AD [解析] 粒子在电场中加速,设加速的位移为x,则根据动能定理有qEx=mv2,解得v=,粒子在磁场中运动时,其轨迹如图所示,a粒子运动轨迹的圆心为O,b粒子运动轨迹的圆心为O',根据几何知识可知,r2·sin 30°+r1=r2,则r1∶r2=1∶2,根据洛伦兹力提供向心力,有r=,联立可得∶=1∶4,v1∶v2=2∶1,故A正确,B错误;粒子在磁场中运动的周期T==,粒子在磁场中运动的时间t=T,则两粒子的运动时间之比t1∶t2=3∶8,故C错误,D正确.
4.(1) (2)
[解析] (1)电子在磁场中的运动轨迹如图所示
设电子在匀强磁场Ⅰ、Ⅱ中做匀速圆周运动的半径分别为R1、R2,电子在磁场中做匀速圆周运动有
evB=
evλB=
由于最终能回到O点,由几何关系,可得
R2=2R1
联立解得λ=
(2)电子在磁场Ⅰ中的运动周期T1=
电子在磁场Ⅱ中的运动周期T2==
设电子经过三段轨迹的时间分别为t1、t2、t3,由几何关系可得
O到N的圆心角为60°,则t1=T1
N到M的圆心角为300°,则t2=T2
M到O的圆心角为60°,则t3=T1
电子从射入磁场到第一次回到O点所用的时间为t=t1+t2+t3
联立以上式子,解得t=
5.BC [解析] 该粒子所受洛伦兹力向下,根据左手定则可知,该带电粒子一定带负电,A错误;根据牛顿第二定律有qv0B=m,解得r=2 m,由于粒子经过P、M两点时速度方向分别与y轴、虚线垂直,所以做圆周运动的圆心为原点O,则O、M之间的距离为2 m,B正确;粒子在电场中运动时,垂直于x轴方向的分初速度为vy=v0cos 30°=150 m/s,垂直于x轴方向的加速度为ay==2×106 m/s2,在垂直于x轴方向上减速运动过程中,有=2ayy,解得减速运动的位移y≈0.02 m,M点到x轴的距离为d=rsin 30°=1 m,所以粒子第一次穿过虚线后与x轴间的最小距离约为ymin=d-y≈0.98 m,C正确,D错误.
6.(1) (2)Bv0
(3)
[解析] (1)由题意可知,粒子速度对应b(v0,v0)点时开始在磁场中运动,所以粒子在磁场中做圆周运动的线速度大小为v==v0
设粒子做圆周运动的半径为r,周期为T,根据洛伦兹力提供向心力有
qvB=m
解得r=
由圆周运动规律得T=
解得T=
(2)根据题意,粒子速度用图示的直角坐标系内一个点P(vx,vy)表示,则图中闭合曲线即速度矢量变化曲线,已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等,说明速度变化率大小相等,即加速度大小相等,则在匀强电场中和在匀强磁场中的加速度大小相等,根据a=可得=
解得E=Bv0
(3)根据粒子的速度矢量变化图作出粒子在匀强电场和匀强磁场中运动的轨迹如图所示
粒子先在匀强电场中做类平抛运动,再在匀强磁场中做匀速圆周运动,后又在匀强电场中做逆向类平抛运动直到速度垂直于电场,由速度矢量变化图可知,粒子在匀强电场中运动的总时间t1与在匀强磁场中运动的总时间t2的关系为=
其中t2=T
P点沿图中闭合曲线移动1周回到a点时,粒子位移的大小s=|y2-2y1|
其中y2=r
y1=v0t1
联立解得s=
7.(1) (2)[解析] (1)如图所示,粒子从A点至C点做类平抛运动,垂直电场方向有2h=v0t1
平行电场方向有h=a
根据牛顿第二定律有qE=ma
联立解得E=
(2)粒子在C点速度的竖直分量vCy=at1=v0
故粒子在C点的速度为vC==v0
方向为斜向右下方与HK夹角为45°,当粒子恰好不从MN边界出射时,粒子轨迹如图轨迹①所示,
设此种情况下,粒子在磁场中轨迹半径为r1,由几何知识有r1+r1sin 45°=2h
解得r1=2(2-)h
粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qvCB1=m
解得B1=
当粒子恰好不从PQ边界出射时,粒子轨迹如图轨迹②所示,由几何知识得r2-r2sin 45°=2h
解得r2=2(2+)h
粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvCB2=m
解得B2=
所以Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小范围为
1.(多选)[2024·四川成都模拟] 如图所示,空间存在方向垂直于纸面向里的分界磁场,其中在MN左侧区域的磁感应强度大小为B,在MN右侧区域的磁感应强度大小为3B.一质量为m、电荷量为q、重力不计的带电粒子以平行纸面的速度v从MN上的O点垂直MN射入磁场,此时开始计时,当粒子的速度方向再次与入射方向相同时,下列说法正确的是 ( )
A.粒子运动的时间是
B.粒子运动的时间是
C.粒子与O点间的距离为
D.粒子与O点间的距离为
2.[2024·黑龙江哈尔滨模拟] 如图所示,两匀强磁场的方向相同,以虚线MN为理想边界,左、右两侧磁场的磁感应强度大小分别为B1、B2.今有一质量为m、电荷量为e的电子从MN上的P点沿垂直于磁场方向射入左侧匀强磁场中,其运动轨迹为图中虚线所示的“心”形图线,则以下说法正确的是 ( )
A.电子运动的路径为PENCMDP
B.B1=2B2
C.电子从射入磁场到回到P点用时为
D.B1=4B2
3.(多选)如图所示,在x轴上方第一象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场,x轴下方存在沿y轴正方向的匀强电场.a、b两个重力不计的带电粒子分别从电场中的同一点P由静止释放后,经电场加速从M点射入磁场并在磁场中发生偏转.最后从y轴离开磁场时,速度大小分别为v1和v2,v1的方向与y轴垂直,v2的方向与y轴正方向成60°角.a、b两粒子在磁场中运动的时间分别记为t1和t2,则以下比值正确的是 ( )
A.v1∶v2=2∶1
B.v1∶v2=1∶2
C.t1∶t2=3∶2
D.t1∶t2=3∶8
4.如图所示,虚线ab上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场Ⅰ,下方存在方向相同、磁感应强度大小为λB的匀强磁场Ⅱ,虚线ab为两磁场的分界线.M、O、N位于分界线上,点O为MN的中点.一电子从O点射入磁场Ⅰ,速度方向与分界线ab的夹角为30°,电子离开O点后依次经N、M两点回到O点.已知电子的质量为m,电荷量为e,重力不计,求:
(1)λ的值;
(2)电子从射入磁场到第一次回到O点所用的时间.
5.(多选)[2024·山西太原模拟] 如图所示,在直角坐标系xOy的第一象限内有一虚线,虚线与x轴正方向间的夹角为θ=30°.虚线上方有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B=0.75×10-3 T.虚线下方到第四象限内有与虚线平行、电场强度E=20 N/C的匀强电场.一比荷=2×105 C/kg的带电粒子从y轴正半轴上的P点以速度v0=300 m/s沿x轴正方向射入磁场,粒子进入磁场后,从虚线上的M点(图中未画出)垂直于虚线方向进入电场(不计粒子所受重力),则 ( )
A.该带电粒子一定带正电
B.O、M之间的距离为2 m
C.粒子第一次穿过虚线后与x轴间的最小距离约为0.98 m
D.粒子第一次穿过虚线后能击中x轴
6.[2024·新课标卷] 一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子始终在同一水平面内运动,其速度可用图示的直角坐标系内一个点P(vx,vy)表示,vx、vy分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量.粒子出发时P位于图中a(0,v0)点,粒子在水平方向的匀强电场作用下运动,P点沿线段ab移动到b(v0,v0)点;随后粒子离开电场,进入方向竖直、磁感应强度大小为B的匀强磁场,P点沿以O为圆心的圆弧移动至c(-v0,v0)点;然后粒子离开磁场返回电场,P点沿线段ca回到a点.已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等.不计重力.求:
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期;
(2)电场强度的大小;
(3)P点沿图中闭合曲线移动1周回到a点时,粒子位移的大小.
7.[2024·广东深圳模拟] 如图所示,MHN和PKQ为竖直方向的平行边界线,水平线HK将两边界围成区域分为上下两部分,其中Ⅰ区域内为竖直向下的匀强电场,Ⅱ区域内为垂直纸面向外的匀强磁场,一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从左边界A点以初速度v0垂直边界进入Ⅰ区域,从C点离开Ⅰ区域进入Ⅱ区域.已知AH=h,HC=2h,粒子重力不计.
(1)求Ⅰ区域匀强电场的电场强度E的大小;
(2)若两竖直边界线距离为4h,粒子从Ⅱ区域左边界射出,求Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小范围.专题十八 带电粒子在组合场中的运动(B)
1.AD [解析] 要使粒子的运动轨迹如题图乙所示,由左手定则知粒子做圆周运动的周期应为T0=,若粒子的初始位置在a处,对应时刻应为t=T0=T,同理可判断B、C、D选项,故A、D正确.
2.AB [解析] 设粒子在原点的入射角为θ,在左、右侧磁场中的轨迹半径分别为r和,如图所示,有rcos θ=,又2rsin θ=a,解得θ=45°,r=,粒子在左、右两侧磁场中运动的圆心角分别为180°和270°,周期之比为2∶1,故运动时间之比为4∶3,选项A、B正确;粒子离x轴的最远距离为y=+cos 45°=a,选项C错误;粒子离y轴的最远距离为x=a++sin 45°=a,选项D错误.
3.AD [解析] 若h=,则在电场中,由动能定理得qEh=mv2,在磁场中,由牛顿第二定律得qvB=m,联立解得r=a,根据几何关系可知,粒子垂直于CM射出磁场,故A正确,B错误;若h=,同理可得r=a,根据几何关系可知,粒子平行于x轴射出磁场,故C错误,D正确.
4.(1) (2) (3)
[解析] (1)粒子恰好从半圆边界的最左端穿出磁场,则有 r=
根据牛顿第二定律有qv0B=m
解得B=
(2)根据题意,由粒子在电场中运动时轨迹的对称性,设粒子射出磁场的位置为Q,作出粒子运动轨迹如图所示
由几何关系有OQ=2×Rcos 30°=R
粒子在电场中做类斜上抛运动,根据对称性可知OQ=v0cos θ·t1,v0sin θ=at1
又有qE=ma
解得E=
(3)粒子从P点再次进入磁场后,根据对称性可知,粒子的运动轨迹仍刚好与磁场边界相切,并从O点射出磁场,则粒子在磁场中运动的时间
t磁=2××=
粒子在电场中运动的时间
t电=4t1=
因此粒子在电场和磁场中运动的总时间t=t磁+t电=
5.(1) (2)πL (3)F=
[解析] (1)乙粒子在Ⅰ区的运动轨迹如图所示
由洛伦兹力提供向心力有
qv0B=m
由几何关系得sin 30°=
联立解得磁感应强度的大小B=
(2)根据对称性可知,乙在磁场中运动的时间为
t1=2××
根据对称性可知,甲粒子到P点时的速度方向沿x轴正方向,甲粒子在Ⅲ区电场中沿着直线从P点到O点,由运动学公式有
d=v0t1+a
由牛顿第二定律有
a=
其中E0=
联立解得Ⅲ区宽度d=πL
(3)甲粒子经过O点时的速度为v甲=v0+at1
因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动,则甲的位置坐标为x1=v甲t
同时甲所在处的电场强度E1=0,即
ωt=kx1
联立解得v甲=3v0,k=
设乙粒子经过Ⅲ区的时间为t2,乙粒子在Ⅳ区运动的时间为t0,则t=t0+t2
乙所在处的电场强度E2=ωt-kx2,即
=ω(t0+t2)-kx2
整理可得x2=3v0(t0+t2)-
对甲有x1=3v0(t0+t2)
则Δx=x1-x2=
化简可得乙追上甲前F与Δx间的关系式为
F=
6.(1)2v0 (2) (3) (4)+d-
[解析] (1)粒子进入电场后水平方向做匀速直线运动,竖直方向做类竖直上抛运动,则有vMcos 60°=v0
解得vM=2v0
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动,其轨迹如图所示
根据几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径满足Rsin 30°=R-d解得R=2d
由洛伦兹力充当向心力有Bqv0=m
解得B=
(3)对粒子受力分析可知,速度在x轴的分量会产生x轴的阻力与y轴负方向的洛伦兹力;速度在y轴的分量,会产生y轴的阻力与x轴负方向的洛伦兹力,其受力分析如图所示
在x轴上,由动量定理有-(kvx+Bqvy)Δt=mΔvx
由微元法累加后可得-kx-Bqy=m(0-v0)
其中y=d
解得x=
则Q点的坐标为,0
(4)同理在y轴上有-(kvy-Bqvx)Δt=mΔvy
微元法叠加后可得-ky+Bqx=m(vQ-0)
解得vQ=-
阻力使得粒子速度减小,在轨迹切线方向有-kvΔt=mΔv
沿着轨迹切线方向由动量定理,可得速度的变化量Δv=vQ-v0
微元叠加后可得-kl=mΔv
解得轨迹的长度为l=v0+-=+d-专题十八 带电粒子在组合场中的运动(B) (限时40分钟)
1.(多选)[2024·湖南衡阳模拟] 某一空间中存在着磁感应强度B大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示),规定垂直纸面向里的磁场方向为正.为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→b→e→f的顺序做“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹),下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用,其他力不计) ( )
A.若粒子的初始位置在a处,在t=T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
B.若粒子的初始位置在f处,在t=时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C.若粒子的初始位置在e处,在t=T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
D.若粒子的初始位置在b处,在t=时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
2.(多选)[2024·辽宁大连模拟] 在x>0的空间中存在垂直于 xOy平面的磁场,x=a两侧的匀强磁场方向相反,x>a区域的磁感应强度大小为0A.粒子在左右两磁场中运动的时间之比为4∶3
B.粒子在原点的速度方向与x轴成45°角
C.粒子离x轴的最远距离为a
D.粒子离y轴的最远距离为a
3.(多选)如图所示,在x轴的上方有沿y轴负方向的匀强电场,电场强度大小为E,在x轴的下方等腰三角形CDM区域内有垂直于xOy平面由内向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,其中C、D在x轴上,它们到原点O的距离均为a,θ=45°.现将一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上的P点由静止释放,设P点到O点的距离为h,不计重力作用与空气阻力的影响.下列说法正确的是 ( )
A.若h=,则粒子垂直于CM射出磁场
B.若h=,则粒子平行于x轴射出磁场
C.若h= ,则粒子垂直于CM射出磁场
D.若h=,则粒子平行于x轴射出磁场
4.[2024·江苏常熟模拟] 如图所示,水平虚线MN上方一半径为R的半圆区域内(包括边界)有垂直于纸面向里的匀强磁场,半圆形磁场的圆心O在MN上,虚线下方有平行纸面向上的范围足够大的匀强电场.一个质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从O点以大小为v0的初速度垂直MN平行纸面射入磁场,恰好从半圆边界的最左端穿出磁场,不计粒子的重力.
(1)求磁感应强度的大小;
(2)若粒子射入磁场的速度v0与ON的夹角θ=60°,粒子在磁场中运动后进入电场,一段时间后又从P点进入磁场,且OP=R,求电场强度大小;
(3)在(2)中,粒子在电场和磁场中运动的总时间为多少
5.[2024·辽宁卷] 现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度.简化模型如图所示:Ⅰ、Ⅱ区宽度均为L,存在垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度等大反向;Ⅲ、Ⅳ区为电场区,Ⅳ区电场足够宽,各区边界均垂直于x轴,O为坐标原点.甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为+q、质量均为m的粒子.如图所示,甲、乙平行于x轴向右运动,先后射入Ⅰ区时速度大小分别为v0和v0.甲到P点时,乙刚好射入Ⅰ区.乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°.甲到O点时,乙恰好到P点.已知Ⅲ区存在沿+x方向的匀强电场,电场强度大小E0=.不计粒子重力及粒子间相互作用,忽略边界效应及变化的电场产生的磁场.
(1)求磁感应强度的大小B.
(2)求Ⅲ区宽度d.
(3)Ⅳ区x轴上的电场方向沿x轴,电场强度E随时间t、位置坐标x的变化关系为E=ωt-kx,其中常系数ω>0,ω已知、k未知,取甲经过O点时t=0.已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动,设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为F,甲、乙间距为Δx,求乙追上甲前F与Δx间的关系式(不要求写出Δx的取值范围)
6.[2024·福建厦门模拟] 如图所示,直角坐标系xOy平面内,第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿y轴正方向的匀强电场,E、B大小均未知.质量为m、电荷量为-q(q > 0)的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°角射入电场,经电场偏转后以速度v0从点P(0,d)垂直y轴进入磁场,最后从N点与x轴正方向成60°角射出磁场,不计粒子重力.
(1)求粒子进入电场时的速度大小;
(2)求磁感应强度B的大小;
(3)若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力Ff=kv(k为已知常量),粒子恰好从Q点(图中未标出)垂直x轴射出磁场,求Q点的坐标;
(4)在第(3)问的情况下,求粒子从P点运动到Q点的轨迹长度.(共151张PPT)
专题十八 带电粒子在组合场中的运动
题型一 带电粒子在一般组合场中的运动
题型二 带电粒子在交变组合场中的运动
◆
作业手册
素养提升 正则动量及其应用
作业手册(A)
作业手册(B)
答案核查【听】
答案核查【作】
备用习题
题型一 带电粒子在一般组合场中的运动
1.组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，电场、磁场交替出现.
2.“电偏转”和“磁偏转”的比较
电偏转 磁偏转
偏转条件
受力情况
运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动
电偏转 磁偏转
运动轨迹 抛物线 ___________________________________________________________________ 圆弧
_________________________________________________________________
续表
电偏转 磁偏转
求解方法
续表
说明：(1)如图甲所示，若粒子以某一角度 斜射入匀强电场，则粒子在
电场中做匀变速曲线运动，分析时可看成沿分速度 方向的匀速直线运动
和沿分速度 方向的匀变速直线运动的合成；
(2)如图乙所示，若粒子以某一角度 斜射入匀强磁场，则在垂直于磁场
的方向上，粒子以分速度 做匀速圆周运动，在平行于磁场的方向上，粒
子以分速度 做匀速直线运动，粒子的运动轨迹为螺旋线.
3.求解的几个关键环节
(1)划分运动的过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同
的阶段选取不同的规律处理.
(2)确定运动衔接点：粒子从一个场区进入另一个场区的速度往往是联系
两种运动的桥梁，所以确定粒子在衔接点的速度(大小、方向)往往是解决
组合场问题的关键.
(3)画出运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹
图，有利于形象、直观地解决问题.
例1 (多选)[2024·河北石家庄模拟] 如图所示,在 轴的左侧区域存在磁感
应强度大小为、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,在 轴的右侧区域存在
磁感应强度大小为、方向也垂直于纸面向里的匀强磁场,且 .
在原点处同时发射两个质量分别为和的带电粒子、, 粒子 以速率沿轴正方向运动,粒子以速率沿轴负方向
运动,已知粒子 带正电,粒子带负电,电荷量相等,
且两粒子的速率满足 .
考向一 磁场与磁场的组合
若在此后的运动中,当粒子第4次经过轴(出发时经过轴不算在内)时,恰与粒子 相遇.粒子重力不计.下列说法正确的是( )
A.粒子、在 轴左侧区域磁场中的偏转
半径之比为
B.两粒子在 轴正半轴相遇
C.粒子、 相遇时的速度方向相反
D.粒子、的质量之比为
√
√
[解析] 由可知、两粒子在 轴左侧区域磁场
中的偏转半径比为,故A错误;
粒子 第一次经过 轴时坐标为,第二次经过轴
时坐标为 ,第三次经过 轴时坐标为
,第四次经过 轴时坐标为,其中 ,,由于,故 , , 因此粒子 第四次经过轴时是经过轴正半轴,
两粒子在 轴正半轴相遇,故B正确;粒子第一次经过 轴
时坐标为,第二次经过轴时坐标为 ,
第三次经过轴时坐标为,第四次经过 轴
时坐标为,其中, ,令
,则,粒子四次经过 轴的纵坐标为、、、,粒子四次经过 轴的纵坐标为、、、,对比可知,粒子第一次经过 轴正半轴时就与粒子 相遇,相遇时二者速度方向相同,都是水平向右,故C错误;二者相遇所用时间相等,有,即 ,将 代入得 ,故D正确.
考向二 先电场后磁场
例2 (多选)[2023·海南卷] 如图所示，质量为、带电荷量为 的带电粒
子，从原点以初速度射入第一象限内的电磁场区域，在 ,
、为已知区域内有竖直向上的匀强电场，在 区域
内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度值有多种可能 ，可让粒
子从射入磁场后偏转打到
接收器 上，则( )
A.粒子从中点射入磁场，电场强度满足
B.粒子从中点射入磁场时速度为
C.粒子在磁场中做圆周运动的圆心到的距离为
D.粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是
√
√
[解析] 若粒子从 中点射入磁场，根据粒子在
电场中做类平抛运动有, ,解
得,选项A正确；粒子从 中点射入磁
场时， ,速度 ,选项B错误；设粒子从
电场中射出时的速度方向与 轴正方向夹角为 ，
则 ,粒子从电场中
射出时的速度 ,粒子进入磁场后做匀速圆
周运动，则 ,则粒子进入磁场后做圆周
运动的圆心到的距离为 ,解得
,选项C错误；
当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，
进入磁场的速度最大，则此时粒子从 点
进入磁场，此时竖直最大速度
, ,射出电场的最大速度
,则由 ,可得最大半径
,选项D正确.
例3 [2024·福建福州模拟] 如图所示，在 平
面内， 空间存在方向垂直平面向外的匀强
磁场，第三象限空间存在方向沿 轴正方向的匀
强电场.一质量为、电荷量为 的带正电粒子
(不计重力)，以大小为、方向与 轴正方向夹角
的速度沿纸面从坐标为的 点
进入磁场中，然后从坐标为的点进入电场区域，最后从 轴上
的点(图中未画出) 垂直于 轴射出电场.求：
考向三 先磁场后电场
(1) 磁场的磁感应强度大小 ；
[答案]
[解析] 带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示，其
圆心为，对应轨道半径为 ，由几何关系可得
(2分)
由牛顿第二定律有 (2分)
联立可得 (1分)
例3 [2024·福建福州模拟] 如图所示，在 平面内，
空间存在方向垂直平面向外的匀强磁场，第三象限
空间存在方向沿轴正方向的匀强电场.一质量为 、电荷
量为的带正电粒子(不计重力)，以大小为、方向与 轴
(2) 粒子从点运动到点所用的时间 ；
[答案]
正方向夹角 的速度沿纸面从坐标为的 点进入磁场中，
然后从坐标为的点进入电场区域，最后从轴上的 点
(图中未画出)垂直于 轴射出电场.求：
[解析] 设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 ，
则
(2分)
(2分)
联立可得 (1分)
例3 [2024·福建福州模拟] 如图所示，在 平面内，
空间存在方向垂直平面向外的匀强磁场，第三象限
空间存在方向沿轴正方向的匀强电场.一质量为 、电荷
量为的带正电粒子(不计重力)，以大小为、方向与 轴
(3) 电场强度的大小 .
[答案]
正方向夹角 的速度沿纸面从坐标为的 点进入磁场中，
然后从坐标为的点进入电场区域，最后从轴上的 点
(图中未画出)垂直于 轴射出电场.求：
[解析] 设带电粒子在电场中运动的时间为 ，由运动的合
成与分解有 (2分)
(2分)
由牛顿第二定律有
(2分)
联立可得 (2分)
例4 [2024·湖南卷] 如图所示，有一内半径为 、长为
的圆筒，左右端面圆心、处各开有一小孔.以 为
坐标原点，取方向为轴正方向，建立 坐标系.在
(1) 若所有电子均能经过进入电场，求磁感应强度 的最小值；
[答案]
筒内区域有一匀强磁场,磁感应强度大小为,方向沿 轴正方向；筒外
区域有一匀强电场，场强大小为，方向沿轴正方向.一电子枪在
处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在平面内，且在
轴正方向的分速度大小均为.已知电子的质量为、电荷量为 ，设电子
始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力.
[解析] 电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿 轴的
匀速直线运动和在平行于 平面内的匀速圆周运动.设
电子入射时沿轴的分速度大小为 ，电子在圆筒中运动
的时间为.由电子在轴方向做匀速直线运动得
在平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为 ，周期
为 ，由洛伦兹力提供向心力得,可得
周期
若所有电子均能经过进入电场，则在时间 内电子在平
行于 平面内恰好运动了若干个完整圆周，有
联立得
当时， 有最小值，为
(2) 取(1)问中最小的磁感应强度，若进入磁场中电子
的速度方向与 轴正方向最大夹角为 ,求 的绝对值；
[答案]
例4 [2024·湖南卷] 如图所示，有一内半径为 、长为的圆筒，左右端面圆心、处各开有一小孔.以 为坐标原点，取方向为轴正方向，建立 坐标系.在筒内区域有一匀强磁场,磁感应强度大小为,方向沿 轴正方向；筒外区域有一匀强电场，场强大小为，方向沿轴正方向.一电子枪在 处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在平面内，且在 轴正方向的分速度大小均为.已知电
子的质量为、电荷量为 ，设电子始终未与筒壁碰
撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力.
[解析] 设进入磁场中电子的速度方向与 轴正方向
的夹角为 ，如图所示，由几何关系得
由于不变，故当 最大时, 最大，电子在平行
于平面内做圆周运动的半径 最大，因
电子始终未与筒壁碰撞，所以最大值为，此时 取得最大值
， 取得最大值 .取(1)问中最小的磁感应强度，即
联立解得,
例4 [2024·湖南卷] 如图所示，有一内半径为 、长为的圆筒，左右端面圆心、处各开有一小孔.以 为坐标原点，取方向为轴正方向，建立 坐标系.在筒内区域有一匀强磁场,磁感应强度大小为,方向沿 轴正方向；筒外区域有一匀强电场，场强大小为，方向沿轴正方向.一电子枪在 处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在平面内，且在 轴正方向的分速度大小均为.已知电子的质量为、电荷量为 ，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子
之间的相互作用及电子的重力.
(3) 取(1)问中最小的磁感应强度，求电子在
电场中运动时 轴正方向的最大位移.
[答案]
[解析] 将电子进入电场的运动分解，沿 轴方向做匀速直线运动，沿轴
方向做匀变速直线运动且加速度沿 轴负方向，所以当取沿轴正方向
的最大值 时，电子在电场中运动时沿轴正方向有最大位移 ，根据匀
变速直线运动规律有
由牛顿第二定律知
又
联立解得
题型二 带电粒子在交变组合场中的运动
1.交变场常见的类型
(1)电场周期性变化，磁场不变.
(2)磁场周期性变化，电场不变.
(3)电场、磁场均周期性变化.
2.分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路
例5 [2024·广东卷] 如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为、周期为 的交变电压.金属板左侧存在一水平
向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度
大小为 .
一带电粒子在时刻从左侧电场某处由静止释放，在 时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在 时刻第一次离开金属板间的电场、水平向右进入磁场，并在 时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场.已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为 .忽略粒子
所受的重力和场的
边缘效应.
(1) 判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量 ;
[答案] 带正电;
[解析] 由带电粒子在左侧电场中由静止释放后加速运动的方向可知粒子带正电(或由带电粒子在磁场中做圆周运动的方向结合左手定则可知粒子带正电).
设粒子在磁场内做圆周运动的速度为，半径为 ，根据洛伦兹力
提供向心力有
粒子在磁场中运动半个圆周所用的时间
粒子在磁场中做圆周运动的周期为
又知
联立解得
(2) 求金属板的板间距离和带电粒子在时刻的速度大小 ;
[答案] ;
[解析] 设金属板间的电场强度为 ，粒子在金属板间运动的加速度为 ，则有
内，粒子在金属板间的电场内做两个对称的类平抛运动，在垂直于金属板方向的位移等于在磁场中做圆周运动的直径，即
在垂直于金属板方向有
在沿金属板方向有
联立解得，
(3) 求从 时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对
粒子做的功 .
[答案]
[解析] 由(1)(2)可知
由对称性可知， 内，粒子第二次进入金属板间的电场内，粒子在竖直方向的位移仍为，由于 ，故粒子不会碰到金属板.
后，粒子进入左侧电场，先减速到速度为零,后反向加速，并在 时刻第三次进入金属板间的电场内，此时粒子距上板的距离为
，注意到
，故粒子恰在加速阶段
结束时碰到金属板.
粒子第一次、第二次进出金属板间的电场过程中，电场力做功为0，粒子第三次进入金属板间的电场后，电场力做功为 ，设粒子在左侧电场中运动时电场力做功为 ，根据动能定理有 电场力对粒子做的总功为 联立解得
素养提升 正则动量及其应用
在高中阶段，正则动量可按以下方法进行推导：
带电粒子在匀强磁场中若仅受洛伦兹力的作用，可将洛伦兹力和速度
正交分解到直角坐标系中，建立分量之间的关系为 ,
,即轴方向的分力取决于轴方向的分速度, 轴方向的分力取决
于 轴方向的分速度,利用微元法结合动量定理可得
, ,正则
动量的使用要点在于：要研究哪个方向的位移大小，就列与该方向垂直方
向的动量定理.相比传统的画出实际运动轨迹的处理方法，引入正则动量
概念可以简化求解此类问题的数学关系，避开了复杂的轨迹描绘和几何运
算，只需进行始末状态的分析，更加简捷明晰，从宏观上直达物理问题的
本质.
例6 [2023·浙江6月选考] 利用磁场实现离子偏转是科学
仪器中广泛应用的技术.如图所示， 平面(纸面)的第
一象限内有足够长且宽度均为、边界均平行 轴的区
域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为 的匀强磁
(1) 求离子不进入区域Ⅱ的最大速度及其在磁场中的运动时间 ；
[答案] ;
场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为 的磁场，方向均垂直纸面向里，区域
Ⅱ的下边界与轴重合.位于处的离子源能释放出质量为 、电荷量为
、速度方向与轴夹角为 的正离子束，沿纸面射向磁场区域.不计离
子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应.
[解析] 当离子轨迹与 相切时速度最大
由几何关系
得
洛伦兹力提供向心力，
不进入区域Ⅱ的最大速度
在磁场中的运动时间
例6 [2023·浙江6月选考] 利用磁场实现离子偏转是科学
仪器中广泛应用的技术.如图所示， 平面(纸面)的第
一象限内有足够长且宽度均为、边界均平行 轴的区
域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为 的匀强磁
(2) 若，求能到达处的离子的最小速度 ;
[答案]
场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为 的磁场，方向均垂直纸面向里，区域
Ⅱ的下边界与轴重合.位于处的离子源能释放出质量为 、电荷量为
、速度方向与轴夹角为 的正离子束，沿纸面射向磁场区域.不计离
子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应.
[解析] 粒子在区域Ⅰ、Ⅱ内的圆周运动半径
,
设离子以最小速度到达处时速度方向与
轴夹角为 ，由几何关系
区域Ⅰ内
区域Ⅱ内
到达处离子的最小速度
(3) 若 ，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在
~ 范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比 .
[答案]
[解析] 将磁场沿方向分为很多宽度为 的微小
区域，每个小区域内可看作匀强磁场
设离子经过区域上边界时速度方向与轴夹角为 ，
经过小区域方向偏转 ，由几何关系
(或由方向动量定理 )
则离子进入第四象限的最小速度 满足
磁感应强度大小分布
代入得
进入第四象限的离子数与总离子数之比
变式1 [2024·河北石家庄模拟] 现代科学仪器常利用
电场、磁场控制带电粒子的运动.如图所示，在真空
的坐标系中，第一象限和第四象限存在着垂直纸面向
里的匀强磁场，第二象限内有边界互相平行且宽度均
为 的六个区域，交替分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向
里匀强磁场，调节电场强度和磁感应强度大小，可以控制飞出的带电粒子
的速度大小及方向.现将质量为、电荷量为的带正电粒子在边界 处由
静止释放，粒子恰好以速度大小从轴上的点进入第一象限，经过 轴
上的点时速度方向刚好沿轴正向.已知点坐标为， 点坐标为
，不计粒子重力及运动时的电磁辐射.
(1) 求第一、四象限中匀强磁场的磁感应强度 的大小；
[答案]
[解析] 设粒子在第一象限做匀速圆周运动的半径为 ，
由几何关系有
解得
由
解得
(2) 求第二象限中电场强度大小 和磁感应强度大小 .
[答案] ;
[解析] 粒子从到 ，电场力做正功，洛伦兹力不做功，由动能定理有
解得
设粒子速度与轴负方向的夹角为 ，如图所示
由几何关系可得
粒子在经过第二象限磁场时的水平方向上，
由动量定理有
即
解得
变式2 [2024·四川成都模拟] 如图所示，在第一
象限中有一匀强磁场(图中未画出)，一带正电的粒
子(不计重力)从轴上点沿轴正向以初速度 进
入匀强磁场区域，点坐标为，从轴上的
点出磁场并进入第四象限的匀强电场区域，方向与轴负向成 角.粒子
经过此电场区域后恰好垂直于 轴进入第三象限的电、磁场区域，它们的宽
度都为，其中磁感应强度为 ，电场强度为，粒子的质量
为、电荷量为 ，虚线边界有电场.求：
(1) 第一象限中匀强磁场的磁感应强度 的大小；
[答案]
[解析] 由几何关系得
解得
(2) 粒子刚进入第三象限中的第二个磁场区域时的速度大小；
[答案]
[解析] 方法一：设粒子刚进入第三象限磁场时的速度为，则
粒子在第一个磁场中运动有
由几何关系，粒子出磁场时速度方向与
水平方向的夹角为 ，则粒子刚进入电场区域时水平方向的速度为
竖直方向的速度为
粒子刚进入第三象限中的第二个
磁场区域时的速度大小为
方法二：设粒子刚进入第三象限磁场时的速度为 ，
则
(3) 整个运动过程中，粒子距离 轴的最远距离.
[答案]
[解析] 方法一：设粒子在第三象限运动过程中，从右向左在第层磁场
中运动速度为 ，轨道半径为，则有
则，
设粒子进入第 层电场时，速度方向与水平
方向的夹角为，从第 层电场左边界穿出
时速度方向与水平方向的夹角为 ，粒子在
电场中运动时，垂直电场线方向的速度分量不变，有
解得
可知、、 、
是一组等差数列，公差为 ，
可得
将代入，得
由于，则
由于，且为整数，故 的最大值为4，此时
即粒子在第5层磁场中到达轨迹最左端，此时
速度竖直向下，由几何关系得轨迹最左端距离
第5层磁场右边界距离为
综上，轨迹最左端离 轴的水平距离为
方法二：设在第 个磁场中最远，则由动量定理得
由动能定理得
得
解得
则，
带电粒子在一般组合场中的运动
1.如图所示，在平面直角坐标系内有边长为 的正方形
，为坐标原点，边和轴重合，边与 轴重
合，、、、为四边中点，正方形 上半区域存
在垂直于纸面向外的匀强磁场(未画出)，下半区域存在
垂直于纸面向里的匀强磁场，上下两个区域内磁感应强
度大小相等.一个不计重力、质量为 、电荷量绝对值为
、带负电的粒子从点以速度沿与成 角进入磁场，之后恰
好从 点进入上半区域的磁场.
(1) 求磁场区域内磁感应强度的大小；
[答案]
[解析] 在下半区域，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为
由
解得 .
1.如图所示，在平面直角坐标系内有边长为 的正方形
，为坐标原点，边和轴重合，边与 轴重
合，、、、为四边中点，正方形 上半区域存在
垂直于纸面向外的匀强磁场(未画出)，下半区域存在垂直
于纸面向里的匀强磁场，上下两个区域内磁感应强度大
小相等.一个不计重力、质量为、电荷量绝对值为 、带
(2) 粒子离开磁场区域后打中轴上的点，求点的坐标以及粒子从 点运
动到 点的时间.
[答案] ;
负电的粒子从点以速度沿与成 角进入磁场，之后恰好从
点进入上半区域的磁场.
[解析] 粒子经过点时速度方向也和成 角进入
上半区域，恰好经过 点
由几何关系可知 ，
所以点的坐标为
粒子在磁场中运动的周期为
粒子在下半区域运动的时间 ，在上半区域
运动的时间
粒子射出磁场区域后运动到点的时间
所以粒子从点运动到 点的时间为
.
2.如图甲所示，在 平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化， 的变化周期为，的变化周期为 ，变化规律分别如图乙和图丙所示.在时刻从 点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为，方向沿轴正方向，在轴上有一点 (图中未标出)，坐标为 .
带电粒子在交变组合场中的运动
若规定垂直于纸面向里为磁感应强度的正方向，轴正方向为电场强度的正方向，、、 为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足 ，粒子的比荷满足 .求：
(1) 在 时，粒子的位置坐标；
[解析] 在 时间内，粒子做匀速圆周运动，根据
洛伦兹力提供向心力可得
解得，
则粒子在时间内转过的圆心角
所以在时，粒子的位置坐标为 .
[答案]
(2) 粒子偏离 轴的最大距离；
[答案]
[解析] 粒子运动的轨迹如图所示. 在时间内，粒子在电场中做匀
加速直线运动，在 时刻，粒子的速度
在时间内运动的位移
在 时间内，粒子做匀速圆周运动，运动的轨迹半径
故粒子偏离轴的最大距离
.
(3) 粒子运动至 点的时间.
[答案]
[解析] 粒子在平面内做周期性运动的周期为 ，
粒子在一个周期内向右运动的距离
、间的距离为
所以粒子运动至点的时间
.
3.为了研究带电粒子在磁场中的运动情况，
设计了如图甲所示的封闭装置.该装置由一
个边长为的正方体和一个直径、高均为
的半圆柱叠加而成，半圆柱的正方形平面与
正方体的上表面重合，装置内部是空心的.
以正方体上表面中心 为坐标原点，垂直于
正方体的三个侧面分别建立、、 坐标轴. 装置内部存在磁场，磁感应强
度沿、、方向的分量、、随时间变化的规律如图乙所示， 已
知.
处有一正离子源，该离子源以同一速率不
断沿 轴正方向发射电荷量 为、质量为
的离子.已知 时刻发射的离子恰好平
行于 轴撞击到装置内壁， .不考虑
离子间的碰撞、相互作用及离子重力，也
不考虑因磁场突变所产生的电场对离子运
动的影响，离子撞击到装置内壁后立即被吸收.
(1) 求离子发射时的速率 ；
[答案]
[解析] 由题图乙可知在时间内只有方向存在磁场，且离子也刚好运动了四分之一圆周，由几何关系可知，离子在磁场中运动的轨迹半径为
根据牛顿第二定律有
联立解得
(2) 求 时刻发射的离子：
① 在 时刻的位置坐标；
[答案]
[解析] 至这段时间内，装置内同时存在沿 方向和 方向的磁场，根据磁感应强度的合成可知此时合磁感应强度大小为 时刻离子所受洛伦兹力方向指向 的角平分线，其运动轨迹如图甲所示，
其中、、、分别为对应棱的中点，这段时间
内离子在平面 内运动，经过 时间离子恰好
运动半周到达点，根据牛顿第二定律有
联立解得离子运动的轨迹半径为
根据几何关系可知，离子在时刻的位置即 点的坐标为 .
② 在磁场中做匀速直线运动的时间.
[答案]
[解析] 至 这段时间内装置中的
磁场方向沿 轴负方向，所以离子在这段时
间内运动轨迹所在平面与 平面平行，离
子的运动轨迹在 平面内的投影如图乙所
示，时刻，离子的速度沿 轴负方向；至 这段时间内装置
中的磁场方向沿 轴正方向，所以离子在这段时间内运动轨迹所在平面与
平面平行，离子的运行轨迹在 平面内的投影如图丙所示，时刻，
离子的速度沿 轴正方向；
至这段时间内装置中的磁场方向沿轴负方向，所以离子沿
轴正方向做匀速直线运动，在 时刻离子与装置下底面的距离为
由于 ，所以离子在这段时间内会撞击到装置内壁，
离子在磁场中做匀速直线运动的
时间为
作业手册(A)
1.(多选)[2024·四川成都模拟] 如图所示,空间存在方向垂
直于纸面向里的分界磁场,其中在 左侧区域的磁感应
强度大小为,在 右侧区域的磁感应强度大小为3B.一
质量为、电荷量为 、重力不计的带电粒子以平行纸面
A.粒子运动的时间是 B.粒子运动的时间是
C.粒子与点间的距离为 D.粒子与点间的距离为
的速度从上的点垂直 射入磁场,此时开始计时, 当粒子的速度方
向再次与入射方向相同时,下列说法正确的是( )
√
√
[解析] 粒子在右侧运动半个周期后回到 左侧,再运
动半个周期后的速度方向与入射方向相同,在 右侧运动
的时间 ,
在左侧运动的时间 ,因此粒子
的速度方向再次与入射方向相同时运动的时间为
,故A正确,B错误;
在 右侧粒子位移为,在 左侧粒子
位移为 ,因此粒子的速度方向再次与入射
方向相同时,粒子与 点间的距离 ,故
C正确,D错误.
2.[2024·黑龙江哈尔滨模拟] 如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线
为理想边界，左、右两侧磁场的磁感应强度大小分别为、 .今有一
质量为、电荷量为的电子从上的 点沿垂直于磁场方向射入左侧匀
强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的“心”形图线，则以下说法正确的
是( )
A.电子运动的路径为
B.
C.电子从射入磁场到回到点用时为
D.
√
[解析] 根据左手定则可知，电子从 点沿垂直于磁场的方
向射入左侧匀强磁场时，受到的洛伦兹力方向向上，所以
电子运动的路径为 ，故A错误；由题图可知，
电子在左侧匀强磁场中运动的半径是在右侧匀强磁场中运
动的半径的一半，根据可知 ，故B正确，D错误；
电子从射入磁场到回到 点的过程中，在左侧匀强磁场中运动了两个半圆，
即运动了一个周期，在右侧匀强磁场中运动了半个周期，所以用时为
，故C错误.
3.(多选)如图所示，在 轴上方第一象限内存在垂直
纸面向里的匀强磁场，轴下方存在沿 轴正方向的
匀强电场.、 两个重力不计的带电粒子分别从电场
中的同一点由静止释放后，经电场加速从 点射
入磁场并在磁场中发生偏转.最后从 轴离开磁场时，
速度大小分别为和，的方向与轴垂直，
A. B. C. D.
的方向与轴正方向成 角.、两粒子在磁场中运动的时间分别记为
和 ，则以下比值正确的是 ( )
√
√
[解析] 粒子在电场中加速，设加速的位移为 ，则
根据动能定理有，解得 ，粒
子在磁场中运动时，其轨迹如图所示， 粒子运动
轨迹的圆心为，粒子运动轨迹的圆心为 ，根据
几何知识可知， ，则，根据洛伦兹力提供
向心力，有 ，联立可得， ，故A正确，B
错误；粒子在磁场中运动的周期 ，粒子在磁场中运动的时
间 ，则两粒子的运动时间之比 ，故C错误，D正确.
4.如图所示，虚线 上方存在方向垂直纸面
向里、磁感应强度大小为 的匀强磁场Ⅰ，下
方存在方向相同、磁感应强度大小为 的匀
强磁场Ⅱ，虚线为两磁场的分界线.、 、
(1) 的值；
[答案]
位于分界线上，点为的中点.一电子从 点射入磁场Ⅰ，速度方向与
分界线的夹角为 ，电子离开点后依次经、两点回到 点.已知
电子的质量为，电荷量为 ，重力不计，求：
[解析] 电子在磁场中的运动轨迹如图所示
设电子在匀强磁场Ⅰ、Ⅱ中做匀速圆周运动的半径
分别为、 ，电子在磁场中做匀速圆周运动有
由于最终能回到 点，由几何关系，可得
联立解得
4.如图所示，虚线 上方存在方向垂直纸面
向里、磁感应强度大小为 的匀强磁场Ⅰ，下
方存在方向相同、磁感应强度大小为 的匀
强磁场Ⅱ，虚线为两磁场的分界线.、 、
(2) 电子从射入磁场到第一次回到 点所用的时间.
[答案]
位于分界线上，点为的中点.一电子从 点射入磁场Ⅰ，速度方向与
分界线的夹角为 ，电子离开点后依次经、两点回到 点.已知
电子的质量为，电荷量为 ，重力不计，求：
[解析] 电子在磁场Ⅰ中的运动周期
电子在磁场Ⅱ中的运动周期
设电子经过三段轨迹的时间分别为、、 ，
由几何关系可得
O到的圆心角为 ，则
N到的圆心角为 ，则
M到的圆心角为 ，则
电子从射入磁场到第一次回到 点所用的时间
为
联立以上式子，解得
5.(多选)[2024·山西太原模拟] 如图所示,在直角坐标系的第一象限内有一虚
线, 虚线与 轴正方向间的夹角为 .虚线上方有垂直于纸面向里的匀强磁
场, 磁感应强度大小.虚线下方到第四象限内有与虚线平行、电
场强度 的匀强电场.一比荷的带电粒子从轴正半轴
上的点以速度沿 轴正方向射入磁场,粒子进入磁场后,从虚线上的
点 (图中未画出)垂直于虚线方向进入电场 (不计粒子所受重力),则 ( )
A.该带电粒子一定带正电
B.、之间的距离为
C.粒子第一次穿过虚线后与轴间的最小距离约为0.
D.粒子第一次穿过虚线后能击中 轴
√
√
[解析] 该粒子所受洛伦兹力向下,根据左手定则可知,该带
电粒子一定带负电,A错误;根据牛顿第二定律有
,解得 ,由于粒子经过、 两点时速度
方向分别与 轴、虚线垂直,所以做圆周运动的圆心为原点
, 则、之间的距离为 ,B正确;粒子在电场中运动时,
垂直于 轴方向的分初速度为,
垂直于 轴方向的加速度为,在垂直于 轴
方向上减速运动过程中,有,解得减速运动的位移,点
到 轴的距离为,所以粒子第一次穿过虚线后与 轴间的
最小距离约为 ,C正确,D错误.
6.[2024·新课标卷] 一质量为、电荷量为 的带
电粒子始终在同一水平面内运动，其速度可用图示的直
角坐标系内一个点表示，、 分别为粒子速
度在水平面内两个坐标轴上的分量.粒子出发时 位于图
中 点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，
点沿线段移动到 点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁
感应强度大小为的匀强磁场，点沿以为圆心的圆弧移动至
点；然后粒子离开磁场返回电场，点沿线段回到 点.已知任何相等的
时间内 点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等.不计重力.求：
(1) 粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期；
[答案] ;
[解析] 由题意可知，粒子速度对应 点时
开始在磁场中运动，所以粒子在磁场中做圆周
运动的线速度大小为
设粒子做圆周运动的半径为，周期为 ，根据洛伦兹力提
供向心力有
解得
由圆周运动规律得
解得
[解析] 根据题意，粒子速度用图示的直角坐标系内一个点 表示，则图中闭合曲线即速度矢量变化曲线，已知任何相等的时间内 点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等，说明速度变化率大
小相等，即加速度大小相等，则在匀强电场中和在匀
强磁场中的加速度大小相等，根据 可得
解得
(2) 电场强度的大小；
[答案]
(3) 点沿图中闭合曲线移动1周回到 点时，粒子位移的大小.
[答案]
[解析] 根据粒子的速度矢量变化图作出粒子在匀强电场和匀强磁场中运动的轨迹如图所示
粒子先在匀强电场中做类平抛运动，再在匀强
磁场中做匀速圆周运动，后又在匀强电场中做
逆向类平抛运动直 到速度垂直于电场， 由速度
矢量变化图可知，
粒子在匀强电场中运动的总时间 与在匀强磁场
中运动的总时间的关系为
其中
P点沿图中闭合曲线移动1周回到 点时，粒子位移的大小
其中
联立解得
7.[2024·广东深圳模拟] 如图所示，和 为竖
直方向的平行边界线，水平线 将两边界围成区域分
为上下两部分，其中Ⅰ区域内为竖直向下的匀强电场，
Ⅱ区域内为垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为 、电
荷量为的带正电粒子从左边界点以初速度 垂直边
界进入Ⅰ区域，从 点离开Ⅰ区域进入Ⅱ区域.已知
， ，粒子重力不计.
(1) 求Ⅰ区域匀强电场的电场强度 的大小；
[答案]
[解析] 如图所示，粒子从点至 点做类平抛运动，
垂直电场方向有
平行电场方向有
根据牛顿第二定律有
联立解得
7.[2024·广东深圳模拟] 如图所示，和 为竖直方向
的平行边界线，水平线 将两边界围成区域分为上下两部
分，其中Ⅰ区域内为竖直向下的匀强电场，Ⅱ区域内为垂直纸
面向外的匀强磁场，一质量为、电荷量为 的带正电粒子
从左边界点以初速度垂直边界进入Ⅰ区域，从 点离开Ⅰ区
域进入Ⅱ区域.已知， ，粒子重力不计.
(2) 若两竖直边界线距离为 ，粒子从Ⅱ区域左边界射出，求Ⅱ区域内匀强
磁场的磁感应强度大小范围.
[答案]
[解析] 粒子在点速度的竖直分量
故粒子在点的速度为
方向为斜向右下方与夹角为 ，当粒子恰好
不从 边界出射时，粒子轨迹如图轨迹①所示，
设此种情况下，粒子在磁场中轨迹半径为 ，
由几何知识有
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向
心力有
解得
当粒子恰好不从 边界出射时，粒子轨迹如图轨迹②
所示，由几何知识得
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，
有
解得
所以Ⅱ区域内匀强磁场的磁感应强度大小范围为
作业手册(B)
1.(多选)[2024·湖南衡阳模拟] 某一空间中存在着磁感应强度 大小不变、
方向随时间 做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示),规定垂直纸面向里的
磁场方向为正.为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按
的顺序做“ ”字曲线运动(即如图乙所示的轨
迹),下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用,其他力不计)( )
A.若粒子的初始位置在处,在 时给粒子一
个沿切线方向水平向右的初速度
B.若粒子的初始位置在处,在 时给粒子一
个沿切线方向竖直向下的初速度
C.若粒子的初始位置在处,在 时给粒子
一个沿切线方向水平向左的初速度
D.若粒子的初始位置在处,在 时给粒子一
个沿切线方向竖直向上的初速度
√
√
[解析] 要使粒子的运动轨迹如题图乙所示,由左手定则知粒子做圆周运动
的周期应为,若粒子的初始位置在处,对应时刻应为 ,同
理可判断B、C、D选项,故A、D正确.
2.(多选)[2024·辽宁大连模拟] 在的空间中存在垂直于 平面的磁
场，两侧的匀强磁场方向相反， 区域的磁感应强度大小为
区域的2倍.某带电粒子以速率由原点沿 平面射入该磁场，
在磁场中运动的轨迹如图所示.关于粒子在磁场中的运动，下列说法正确
的是( )
A.粒子在左右两磁场中运动的时间之比为
B.粒子在原点的速度方向与轴成 角
C.粒子离轴的最远距离为
D.粒子离轴的最远距离为
√
√
[解析] 设粒子在原点的入射角为 ，在左、
右侧磁场中的轨迹半径分别为和 ，如图所
示，有，又 ，解得
， ，粒子在左、右两侧磁场
中运动的圆心角分别为 和 ，周期之比为，故运动时间之比
为，选项A、B正确；粒子离 轴的最远距离为 ，
选项C错误；粒子离 轴的最远距离为 ，
选项D错误.
3.(多选)如图所示，在轴的上方有沿 轴负方向的匀强电场，电场强度大小
为，在轴的下方等腰三角形区域内有垂直于 平面由内向外的匀强
磁场，磁感应强度大小为，其中、在轴上，它们到原点 的距离均为
， .现将一质量为、电荷量为的带正电粒子从轴上的 点由静止
释放，设点到点的距离为 ，不计重力作用与空气阻力的影响.下列说法正
确的是( )
A.若，则粒子垂直于 射出磁场
B.若，则粒子平行于 轴射出磁场
C.若 ，则粒子垂直于 射出磁场
D.若，则粒子平行于 轴射出磁场
√
√
[解析] 若 ，则在电场中，由动能定理得
，在磁场中，由牛顿第二定律得
，联立解得 ，根据几何关系可知，粒
子垂直于 射出磁场，故A正确，B错误；若，同理可得 ，
根据几何关系可知，粒子平行于 轴射出磁场，故C错误，D正确.
4.[2024·江苏常熟模拟] 如图所示，水平虚线 上
方一半径为 的半圆区域内(包括边界)有垂直于纸
面向里的匀强磁场，半圆形磁场的圆心在 上，
虚线下方有平行纸面向上的范围足够大的匀强电
场.一个质量为、电荷量为的带正电的粒子从
(1) 求磁感应强度的大小；
[答案]
点以大小为的初速度垂直 平行纸面射入磁场，恰好从半圆边界的最
左端穿出磁场，不计粒子的重力.
[解析] 粒子恰好从半圆边界的最左端穿出磁场，
则有
根据牛顿第二定律有
解得
4.[2024·江苏常熟模拟] 如图所示，水平虚线 上方
一半径为 的半圆区域内(包括边界)有垂直于纸面向里
的匀强磁场，半圆形磁场的圆心在 上，虚线下方
有平行纸面向上的范围足够大的匀强电场.一个质量为
(2) 若粒子射入磁场的速度与的夹角 ，粒子在磁场中运动后
进入电场，一段时间后又从点进入磁场，且 ，求电场强度大小；
[答案]
、电荷量为的带正电的粒子从点以大小为的初速度垂直 平行纸
面射入磁场，恰好从半圆边界的最左端穿出磁场，不计粒子的重力.
[解析] 根据题意，由粒子在电场中运动时
轨迹的对称性，设粒子射出磁场的位置为 ，
作出粒子运动轨迹如图所示
由几何关系有
粒子在电场中做类斜上抛运动，根据对称性
可知，
又有
解得
4.[2024·江苏常熟模拟] 如图所示，水平虚线 上
方一半径为 的半圆区域内(包括边界)有垂直于纸
面向里的匀强磁场，半圆形磁场的圆心在 上，
虚线下方有平行纸面向上的范围足够大的匀强电
场.一个质量为、电荷量为的带正电的粒子从
(3) 在(2)中，粒子在电场和磁场中运动的总时间为多少？
[答案]
点以大小为的初速度垂直 平行纸面射入磁场，恰好从半圆边界的最
左端穿出磁场，不计粒子的重力.
[解析] 粒子从 点再次进入磁场后，根据对称性可知，粒子的运动轨迹仍
刚好与磁场边界相切，并从 点射出磁场，则粒子在磁场中运动的时间
粒子在电场中运动的时间
因此粒子在电场和磁场中运动的总时间
5.[2024·辽宁卷] 现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度.简化模型如图所示：Ⅰ、Ⅱ区宽度均为 ，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，各区边界均垂直于轴， 为坐标原点. 甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为、质量均为 的粒子.如图所示，甲、乙
平行于轴向右运动，先后射
入Ⅰ区时速度大小分别为和.
甲到 点时，乙刚好射入Ⅰ区.乙经过Ⅰ区的速度偏转角为 .甲到 点时，乙恰好到 点.已知Ⅲ区存在沿方向的匀强电场，电场强度大小 .
不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场.
(1) 求磁感应强度的大小 .
[答案]
[解析] 乙粒子在Ⅰ区的运动轨迹如图所示
由洛伦兹力提供向心力有
由几何关系得
联立解得磁感应强度的大小
(2) 求Ⅲ区宽度 .
[答案]
[解析] 根据对称性可知，乙在磁场中运动的时间为
根据对称性可知，甲粒子到点时的速度方向沿 轴正方向，甲粒子在Ⅲ
区电场中沿着直线从点到 点，由运动学公式有
由牛顿第二定律有
其中
联立解得Ⅲ区宽度
(3) Ⅳ区轴上的电场方向沿轴，电场强度随时间、位置坐标 的变化
关系为，其中常系数， 已知、未知，取甲经过 点
时 .已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的电场力大
小为，甲、乙间距为，求乙追上甲前与间的关系式(不要求写出
的取值范围)
[答案]
[解析] 甲粒子经过点时的速度为
因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，则甲的位置坐标为
同时甲所在处的电场强度 ，即
联立解得，
设乙粒子经过Ⅲ区的时间为,乙粒子在Ⅳ区运动的时间为 ，则
乙所在处的电场强度 ，即
整理可得
对甲有
则
化简可得乙追上甲前与 间的关系式为
6.[2024·福建厦门模拟] 如图所示，直角坐标系 平
面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁
场和沿轴正方向的匀强电场，、 大小均未知.质量
为、电荷量为的粒子从轴负半轴 点与
(1) 求粒子进入电场时的速度大小；
[答案]
轴正方向成 角射入电场，经电场偏转后以速度从点垂直 轴
进入磁场，最后从点与轴正方向成 角射出磁场，不计粒子重力.
[解析] 粒子进入电场后水平方向做匀速直线运动，竖直方向做类竖直上
抛运动，则有
解得
6.[2024·福建厦门模拟] 如图所示，直角坐标系 平
面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁
场和沿轴正方向的匀强电场，、 大小均未知.质量
为、电荷量为的粒子从轴负半轴 点与
(2) 求磁感应强度 的大小；
[答案]
轴正方向成 角射入电场，经电场偏转后以速度从点垂直 轴
进入磁场，最后从点与轴正方向成 角射出磁场，不计粒子重力.
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如图所示
根据几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径满足
解得
由洛伦兹力充当向心力有
解得
6.[2024·福建厦门模拟] 如图所示，直角坐标系 平面
内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场和
沿轴正方向的匀强电场，、大小均未知.质量为 、
(3) 若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力( 为已知常量)，
粒子恰好从点(图中未标出)垂直轴射出磁场，求 点的坐标；
[答案]
电荷量为的粒子从轴负半轴点与轴正方向成 角射入电
场，经电场偏转后以速度从点垂直轴进入磁场，最后从点与
轴正方向成 角射出磁场，不计粒子重力.
[解析] 对粒子受力分析可知，速度在轴的分量会产生轴的阻力与 轴负
方向的洛伦兹力；速度在轴的分量，会产生轴的阻力与 轴负方向的洛
伦兹力，其受力分析如图所示
在轴上，由动量定理有
由微元法累加后可得
其中
解得
则点的坐标为,
6.[2024·福建厦门模拟] 如图所示，直角坐标系 平面
内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场和
沿轴正方向的匀强电场，、大小均未知.质量为 、
(4) 在第(3)问的情况下，求粒子从点运动到 点的轨迹长度.
[答案]
电荷量为的粒子从轴负半轴点与轴正方向成 角射入电
场，经电场偏转后以速度从点垂直轴进入磁场，最后从点与
轴正方向成 角射出磁场，不计粒子重力.
[解析] 同理在轴上有
微元法叠加后可得
解得
阻力使得粒子速度减小，在轨迹切线方向有
沿着轨迹切线方向由动量定理，可得速度的变化量
微元叠加后可得
解得轨迹的长度为
热点题型探究 题型一 考向一 例1.BD
考向二 例2.AD 例3.（1） （2） （3）
例4.（1） （2） （3）
题型二 例5.（1）带正电, （2）, （3）
素养提升 例6.（1）, （2） （3） 变式1.（1）
（2）, 变式2.（1） （2） （3）
作业手册（A） 基础巩固练 1.AC 2.B 3.AD 4.（1） （2）
综合提升练 5.BC 6.（1）, （2） （3）
拓展挑战练 7.（1） （2）
作业手册（B） 基础巩固练 1.AD 2.AB 3.AD 4.（1） （2） （3） 综合提升练 5.（1） （2） （3）
拓展挑战练 6.（1） （2） （3） （4）