3.3探索与表达规律
【知识点1】规律型：数字的变化类 1
【知识点2】规律型：图形的变化类 2
【题型1】数或式的表达规律 4
【题型2】图形的表达规律 7
【知识点1】规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
1.（2024春 西安校级期中）根据（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1 的规律，则22024+22023+22022+ +22+2+1的个位数字是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
【答案】D
【分析】由题意可发现规律，再将x=2代入进行计算可得22024+22023+22022+ +22+2+1=22025-1，然后根据2n-1的末位数字的规律，即可解答．
【解答】解：根据题意得：，
把x=2代入得：（2-1）（22024+22023+22022+ +22+2+1）=22025-1，
∴22024+22023+22022+ +22+2+1=22025-1，
∵21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31， ，
∴2n-1的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的，
∵2025÷4=506 1，
∴22025-1的末位数字为1．
故选：D．
2.（2024春 蓬莱区期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
（a+b）0=1
（a+b）1=a+b
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
按照上述规律，则（a+b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．29 B．29+2 C．210 D．210+2
【答案】C
【分析】根据已有等式，推出（a+b）n的展开式的系数之和为2n，即可得出结果．
【解答】解：（a+b）1=a+b,系数之和为1+1=2=21；
（a+b）2=a2+2ab+b2，系数之和为1+2+1=4=22；
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，系数之和为1+3+3+1=8=23；
，
∴（a+b）n的展开式的系数之和为2n，
∴（a+b）10展开式中所有项的系数和是210；
故选：C．
【知识点2】规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
1.（2023秋 沈丘县期末）请你从下列选项中的四个图形中，选一个小人放到图中问号的位置，最合适的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知图形得出变化规律，小人从左边直接移到最右边，依次这样移动，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：小人的移动规律是从左边直接移到最右边，依次这样移动，故选一个小人放到图中问号的位置最合适．
故选：A．
2.（2024秋 宁阳县期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中OA1=A1A2=A2A3= =A7A8=1，那么OA8的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】OA1=1，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算OA8的长．
【解答】解：∵OA1=1，
∴由勾股走理可得，
，
…，
，
∴．
故选：C．
【题型1】数或式的表达规律
【典型例题】如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是( )
A.90 B.96 C.150 D.156
【答案】D
【解析】第1个数为0，
第2个数为：2+4+6＝12，
第3个数为：12+8+10+12＝42，
第4个数为：42+14+16+18＝90，
第5个数为：90+20+22+24＝156，
故选：D．
【举一反三1】按一定规律排列的多项式：a+b，a3+b2，a5+b3，a7+b4，a9+b5，…，第n个多项式是( )
A.a2n﹣1+bn B.a2n+1+bn C.a2n﹣1+bn+1 D.a2n+1+bn+1
【答案】A
【解析】由题可知，多项式的第一项依次为：a，a3，a5， ，a2n﹣1，
多项式的第二项依次为：b，b2，b3， ，bn，
∴第n个多项式是：a2n﹣1+bn，
故选：A．
【举一反三2】如图是三角形数阵7＝2×3+1，12＝2×5+2，则：若x，y相等，则用含x的式子表示m，m＝ ．
【答案】3x
【解析】∵前边两个三角形数阵中右下角的数字等于左下角数字的2倍再加上上面的数字，
∴第三个数阵中三个字母之间的关系为：m＝2y+x，
又∵x，y相等，
∴m＝2x+x＝3x．
故答案为：3x．
【举一反三3】请观察：﹣、1、﹣、1、﹣、…则第100个数是 ．
【答案】
【解析】∵＝(﹣1)1×，
1＝(﹣1)2×，
＝(﹣1)3×，
1＝(﹣1)4×，
＝(﹣1)5×，
…
∴第n个数为：(﹣1)n×，
∴第100个数为：(﹣1)100×＝．
故答案为：．
【举一反三4】一个三位数能不能被3整除，只要看这个数的各位数字的和能不能被3整除，这是为什么？四位数能否被3整除是否也有这样的规律？你还能得到哪些结论？
【答案】解：理由：设这个三位数为：100a+10b+c,
则：100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)，
所以只要(a+b+c)能被3整除，9(11a+b)+(a+b+c)就能被3整除；
四位数能被3整除也有这样的规律，
多位数能不能被3整除，只要看这个数的各位数字的和能不能被3整除．
【举一反三5】将连续奇数1，3，5，7，…排成如图所示的数表．
(1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？
(2)设中间数为a,如何用代数式表示十字形框中五个数之和？
(3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？
(4)十字框中的五个数之和能等于2 012吗？能等于2 015吗？能等于2 075吗？
【答案】解：(1)由题意，得5+13+15+17+25=75．
75÷15=5．
因此十字框中的五个数的和是中间数15的5倍；
(2)设中间数为a,则其余的4个数分别为a-2，a+2，a-10，a+10，
由题意，得a+a-2+a+2+a-10+a+10=5a.
答：5个数之和为5a；
(3)设设中间数为b,则其余的4个数分别为b-2，b+2，b-10，b+10，
由题意，得b+b-2+b+2+b-10+b+10=5b,
∴这五个数的和还是中间这个数的5倍；
(4)设中间的一个数为x,则其余的4个数分别为x-2，x+2，x-10，x+10，
由题意，得x+x-2+x+2+x-10+x+10=2012，
解得：x=402.4．
∵402.4是小数，
∴不存在十字框中五数之和等于2 012，
同理5个数之和等于2 015，解得x=403，403在第二列，可以得出5个数之和等于2 015；
同理5个数之和等于2 075，解得x=415，415在第三列，可以得出5个数之和等于2 075．
【题型2】图形的表达规律
【典型例题】把黑色棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1颗棋子，第②个图案中有3颗棋子，第③个图案中有6颗棋子，…，按此规律排列下去，则第6个图案中棋子的颗数为( )
A.19 B.21 C.23 D.25
【答案】B
【解析】观察图形的变化可知：
第①个图案中有1颗棋子，
第②个图案中有1+2＝3颗棋子，
第③个图案中有1+2+3＝6颗棋子，
…，
则第⑥个图案中棋子的个数为：1+2+3+4+5+6＝21(颗)．
故选：B．
【举一反三1】观察如图图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形中的黑点一共有( )
A.42个 B.45个 C.57个 D.63个
【答案】B
【解析】第1个图形有3＝3×1＝3个点，
第2个图形有3+6＝3×(1+2)＝9个点，
第3个图形有3+6+9＝3×(1+2+3)＝18个点；
……，
第n个图形有3+6+9+…+3n＝3×(1+2+3+…+n)＝个点，
当n＝5时，＝45，
故选：B．
【举一反三2】用棋子摆出下列一组图形：
按照这种规律摆下去，请问用48枚棋子的是第 图．
【答案】22
【解析】由所给图形可知，
第1个图形所用棋子的个数为：6＝1×3+3；
第2个图形所用棋子的个数为：9＝2×3+3；
第3个图形所用棋子的个数为：12＝3×3+3；
第4个图形所用棋子的个数为：15＝4×3+3；
…，
所以第n个图形所用棋子的个数为(3n+3)个，
令3n+3＝48，解得n＝15，
故所摆的是第15个图形．
故答案为：15．
【举一反三3】如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，则第n个图案中黑色瓷砖比白色瓷砖多 个．
【答案】(2n﹣1)
【解析】由所给图形可知，
第1个图形中黑色瓷砖比白色瓷砖多的个数为：1＝1×2﹣1；
第2个图形中黑色瓷砖比白色瓷砖多的个数为：3＝2×2﹣1；
第3个图形中黑色瓷砖比白色瓷砖多的个数为：5＝3×2﹣1；
…，
所以第n个图形中黑色瓷砖比白色瓷砖多的个数为(2n﹣1)个．
故答案为：(2n﹣1)．
【举一反三4】用火柴棒按下图的方式搭图形.
(1)按图示规律填空：
(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 根火柴棒．
【答案】解：(1)按图示规律填空：
(2)由(1)可得出规律：按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要(4n+1)根火柴棒；
故答案为：(4n+1)．
【举一反三5】(1)按图1方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
(2)按图2方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
【答案】解：(1)∵摆1张餐桌上可以坐6人，
摆2张餐桌上可以坐8人，
摆3张餐桌上可以坐10人，
…
∴摆n张餐桌共可以坐6+2(n-1)=(2n+4)人；
∴摆4张桌子可坐2×4+4=12(人)，摆5张桌子2×5+4=14(人)；
(2)∵摆1张餐桌上可以坐6(人)，
摆2张餐桌上可以坐10(人)，
摆3张餐桌上可以坐14(人)，
…
∴摆n张餐桌共可以坐6+4(n-1)=(4n+2)人；
∴摆4张桌子可坐4×4+4=18(人)，摆5张桌子4×5+2=22(人)．3.3探索与表达规律
【知识点1】规律型：数字的变化类 1
【知识点2】规律型：图形的变化类 2
【题型1】数或式的表达规律 3
【题型2】图形的表达规律 4
【知识点1】规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
1.（2024春 西安校级期中）根据（x-1）（x+1）=x2-1，（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1，（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1 的规律，则22024+22023+22022+ +22+2+1的个位数字是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
2.（2024春 蓬莱区期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”．
（a+b）0=1
（a+b）1=a+b
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
按照上述规律，则（a+b）10展开式中所有项的系数和是（ ）
A．29 B．29+2 C．210 D．210+2
【知识点2】规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
1.（2023秋 沈丘县期末）请你从下列选项中的四个图形中，选一个小人放到图中问号的位置，最合适的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024秋 宁阳县期末）图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中OA1=A1A2=A2A3= =A7A8=1，那么OA8的长为（ ）
A． B． C． D．3
【题型1】数或式的表达规律
【典型例题】如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成如图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是12，第三个数是42，…，依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是( )
A.90 B.96 C.150 D.156
【举一反三1】按一定规律排列的多项式：a+b，a3+b2，a5+b3，a7+b4，a9+b5，…，第n个多项式是( )
A.a2n﹣1+bn B.a2n+1+bn C.a2n﹣1+bn+1 D.a2n+1+bn+1
【举一反三2】如图是三角形数阵7＝2×3+1，12＝2×5+2，则：若x，y相等，则用含x的式子表示m，m＝ ．
【举一反三3】请观察：﹣、1、﹣、1、﹣、…则第100个数是 ．
【举一反三4】一个三位数能不能被3整除，只要看这个数的各位数字的和能不能被3整除，这是为什么？四位数能否被3整除是否也有这样的规律？你还能得到哪些结论？
【举一反三5】将连续奇数1，3，5，7，…排成如图所示的数表．
(1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？
(2)设中间数为a,如何用代数式表示十字形框中五个数之和？
(3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？
(4)十字框中的五个数之和能等于2 012吗？能等于2 015吗？能等于2 075吗？
【题型2】图形的表达规律
【典型例题】把黑色棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1颗棋子，第②个图案中有3颗棋子，第③个图案中有6颗棋子，…，按此规律排列下去，则第6个图案中棋子的颗数为( )
A.19 B.21 C.23 D.25
【举一反三1】观察如图图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形中的黑点一共有( )
A.42个 B.45个 C.57个 D.63个
【举一反三2】用棋子摆出下列一组图形：
按照这种规律摆下去，请问用48枚棋子的是第 图．
【举一反三3】如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，则第n个图案中黑色瓷砖比白色瓷砖多 个．
【举一反三4】用火柴棒按下图的方式搭图形.
(1)按图示规律填空：
(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要 根火柴棒．
【举一反三5】(1)按图1方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
(2)按图2方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式继续排列餐桌，摆4张桌子可坐多少人？摆5张桌子呢？摆n张桌子呢？
