5.2一元一次方程的解法
【知识点1】等式的性质 1
【知识点2】同解方程 2
【知识点3】解一元一次方程 2
【题型1】认识等式 3
【题型2】利用移项解一元一次方程 4
【题型3】把数字系数化为1 5
【题型4】利用去括号解一元一次方程 5
【题型5】利用合并同类项解一元一次方程 6
【题型6】利用去分母解决问题 6
【题型7】利用去括号解决实际问题 6
【题型8】等式的性质 7
【题型9】利用合并同类项解决有关问题 8
【题型10】利用去分母解一元一次方程 8
【题型11】利用移项解有关一元一次方程的实际应用问题 9
【题型12】等式性质的应用 10
【知识点1】等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
1.（2024秋 茌平区期末）下列等式变形中，一定成立的是（ ）
A．若x=y,则
B．若，则x=-2
C．若x=y,则2-x=2-y
D．若2x-3=x-1，则2x-x=-1-3
2.（2025春 龙海区期中）下列方程变形正确的是（ ）
A．由4+x=6得x=6+4 B．由3x=-5得x=-
C．由y=0得y=4 D．由3-x=-2得x=3+2
3.（2024秋 永善县期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若ac=bc,则a=b B．若，则a=b
C．若2a-b=4，则b=4-2a D．若，则x=2
【知识点2】同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
（或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）
1.（2024春 高县期末）若方程2x-3=5-6x与方程2mx=3-的解相同，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2.（2024秋 安宁区校级期末）关于x的方程2x+5a=3的解与方程2x+2=0的解相同，则a的值是（ ）
A．1 B．4 C． D．-1
【知识点3】解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
1.（2025春 顺德区期末）将方程去分母，变形正确的是（ ）
A．2（x+1）-3（x-2）=1 B．2（x+1）-3（x-2）=6
C．3（x+1）-2（x-2）=1 D．3（x+1）-2（x-2）=6
2.（2024秋 金水区期末）下面是关于x的一元一次方程的求解过程，对于每一步的运算，其中依据表述错误的是（ ）
解方程：．
解：去分母，得2（9x+11）=x-12．①
去括号，得18x+22=x-12．②
移项，得18x-x=-12-22．③
合并同类项，得17x=-34．④
方程两边同时除以17，得x=-2.
A．①分数的基本性质 B．②乘法分配律
C．③等式的基本性质 D．④合并同类项法则
【题型1】认识等式
【典型例题】下列说法中，正确的是( )
A.方程是等式 B.等式是方程 C.含有字母的等式是方程 D.不含字母的方程是等式
【举一反三1】列等式表示：比b的一半小7的数等于a与b的和.( )
A.(b－7)＝a+b B.b－=a+b C.b+7=a+b D.b－7=a+b
【举一反三2】由m=4－x，m=y－3，可得出x与y的关系是( )
A.x+y=7 B.x+y=－7 C.x+y=1 D.x+y=－1
【举一反三3】列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为 .
【举一反三4】列等式表示：“x的2倍与8的和等于10”上述等式可列为： .
【举一反三5】判断下列各式哪些是等式，哪些不是等式，并说明为什么.
（1）5+3×4=17；
（2）S=ab；
（3）a(b+c)=ab+ac；
（4）2x－2y；
（5）3x=2x+7；
（6）2＜3.
【题型2】利用移项解一元一次方程
【典型例题】对于“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程，移项与合并同类项得( )
A.(a－c)x=d－b B.(a－c)x=b－d C.(a+c)x=b+d D.(a－c)x=b+d
【举一反三1】下列解方程的过程中错误的是( )
A.方程2x+5=－4，变形为2x=－4+5
B.方程2x－5=－4，变形为2x=－4+5
C.方程3x=8－x，变形为3x+x=8
D.方程8－x=3x，变形为x+3x=8
【举一反三2】通过移项将下列方程变形，正确的是( )
A.由5x－7=2，得5x=2－7
B.由6x－3=x+4，得3－6x=4+x
C.由8－x=x－5，得－x－x=－5－8
D.由x+9=3x－1，得3x－x=－1+9
【举一反三3】如图是小宁解方程7－2x＝－4x＋5的过程.①代表的运算步骤为________，该步骤对方程进行变形的依据是________.
【举一反三4】若关于x的方程2x－a＝0的解比4x＋7＝3x＋8的解大2，求a的值.
【举一反三5】若3m－2x=7是关于x的方程，在解这个方程时，粗心的小明误将－2x看作2x，得方程的解为x=3，请你帮小明求出原方程的解.
【题型3】把数字系数化为1
【典型例题】方程x=3的解是( )
A.x=6 B.x= C.x= D.x=
【举一反三1】方程x＝9的解是( )
A.x=3 B.x=－3 C.x=27 D.x=－27
【举一反三2】方程=1.2的解为( )
A.x=3.6 B.x=0.36 C.x=36 D.x=0.036
【举一反三3】方程2x=0的解是( )
A.x=－2 B.x=0 C.x＝ D.x＝－
【举一反三4】在等式3× －2× =15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数，且等式成立.则第一个方格内的数是______.
【举一反三5】若－3x=，则x=___________.
【举一反三6】在等式3× －2× =15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数，且等式成立.则第一个方格内的数是______.
【举一反三7】若－3x=，则x=___________.
【题型4】利用去括号解一元一次方程
【典型例题】解方程4.5(x＋0.7)＝9x时，最简便的方法应该首先( )
A.去括号 B.移项 C.方程两边同时乘10 D.方程两边同时除以4.5
【举一反三1】若A=2x2－8x，B=x2+2x+1，则使A－2B=－10的x的值是( )
A. B.3 C. D.
【举一反三2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于1，则关于x的方程(a+b)x2+3cd x－p2=0的解为 .
【举一反三3】解方程：2(5x－10)－3(2x+5)=1.
【题型5】利用合并同类项解一元一次方程
【典型例题】下列合并正确的是( )
A.由－3x+2x=1，得x=1
B.由x+2x+3x=9，得5x=9
C.由－x+2x－3x=5，得－4x=5
D.由x+x－x＝2，得－x=2
【举一反三1】方程－2x－x＝－1－2的解为( )
A.x＝－1 B.x＝1 C.x＝3 D.x＝－3
【举一反三2】已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是________.
【举一反三3】方程8x－2x＝－6＋7的解是________.
【举一反三4】解下列方程：
（1）2y＋6y＝11－3；
（2）12x－10x＝－10＋9＋15.
【题型6】利用去分母解决问题
【典型例题】若关于x的方程a+=4(x－1)的解为x=3，则a的值为( )
A.22 B.10 C.15 D.－2
【举一反三1】如果方程2－＝的解也是方程2－＝0的解，那么a的值是( )
A.7 B.5 C.3 D.以上都不对
【举一反三2】某数与8的和的等于这个数的，则这个数为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】甲仓库的货物是乙仓库货物的2倍，从甲仓库调5吨到乙仓库，这时甲仓库剩余的货物恰好比乙仓库的一半多1吨，设乙仓库原有x吨，则可列方程为 .
【举一反三4】某校七年级四个班为“希望工程”捐款，七(1)班捐的钱是四个班捐款总和的，七(2)班捐的钱是四个班捐款总和的，七(3)班捐的钱是四个班捐款总和的，七(4)班捐了169元，求出四个班的总捐款数.
【题型7】利用去括号解决实际问题
【典型例题】某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000度，全年用电量15万度.如果设上半年每月平均用电x度，则所列方程正确的是( )
A.6x+6(x－2 000)=150 000
B.6x+6(x+2 000)=150 000
C.6x+6(x－2 000)=15
D.6x+6(x+2 000)=15
【举一反三1】小明买了80分和2元的邮票共16枚，花了18元8角，若设他买80分邮票x枚，则可列方程（ ）
A.80x+2(16－x)=18.8 B.8x+2(16－x)=18.8 C.0.8x+2(16－x)=18.8 D.80x+2(16－x)=188
【举一反三2】对有理数a、b，规定运算★的意义是：a★b=a×b+a－b，则方程2x★3=5的解是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三3】对于非零的两个有理数a、b，规定a&b=b－a，若1&(2x+1)=1，则x的值为 .
【举一反三4】已知“★”表示新的一种运算符号，且规定如下运算规律：m★n=3m－2n，若2★x=0，则x= .
【举一反三5】在9月份刚刚结束的女排世界杯中，中国女排在损兵折将的不利局面下，时隔十二年再夺世界杯冠军.为给中国队加油，中国某公司组织部分员工到日本名古屋现场观看了最后一场同日本队的比赛，已知该公司购买了每张3 000日元和每张4 000日元的门票共8张，总费用为27 000日元.请问该公司购买了这两种门票各多少张？
【题型8】等式的性质
【典型例题】下列各种变形中，不正确的是( )
A.从2+x=5可得到x=5－2
B.从3x=2x－1可得到3x－2x=－1
C.从5x=4x+1可得到4x－5x=1
D.从6x－2x=－3可得到6x=2x－3
【举一反三1】由等式4x－3=3x+4，得x=7的变形是( )
A.等式两边都除以4 B.等式两边都加上3 C.等式两边都加上(3x－3) D.等式两边都减去(3x－3)
【举一反三2】如果3x+5=8，那么3x=8－ .
【举一反三3】阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？
2(x－1)－1＝3(x－1)－1.
两边同时加上1，得2(x－1)＝3(x－1)……第一步
两边同时除以(x－1)，得2＝3……………第二步
【举一反三4】王老师在黑板上写了一个等式(m－3)x＝5(m－3)，小明说x＝5；小刚说不一定，当x≠5时，这个等式也可能成立.你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由.
【题型9】利用合并同类项解决有关问题
【典型例题】某月有五个星期日，已知五个日期的和为75，则这个月的最后一个星期日是( )
A.28号 B.29号 C.30号 D.31号
【举一反三1】三个数的比是5:12:13，这三个数的和为180，则最大数比最小数大( )
A.48 B.42 C.36 D.30
【举一反三2】一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为( )
A.54 B.27 C.72 D.45
【举一反三3】一套满分120分的数学试题中，基础题、中档题、难题的比例为7:2:1，小明如果做对了所有基础题，他至少能够得 分.
【举一反三4】某蔬菜基地三天的总产量是8390千克，第二天比第一天多产560千克，第三天比第一天的多1200千克.问三天各产多少千克蔬菜？
【题型10】利用去分母解一元一次方程
【典型例题】将方程－＝1去分母后得到方程6x－3－2x－2＝6，其错误的原因是( )
A.分母的最小公倍数找错
B.去分母时，漏乘了分母为1的项
C.去分母时，分子部分的多项式未添加括号，造成符号错误
D.去分母时，分子未乘相应的数
【举一反三1】解方程3－=1，在下列去分母运算中，正确的是( )
A.3－(x+2)=3 B.9－x－2=1 C.9－(x+2)=3 D.9－x+2=3
【举一反三2】若+1与互为相反数，则a= .
【举一反三3】根据下列解方程x－=－的过程，补全解答步骤：
解：去分母，得6x－3(x－1)=4－2(x+2)，( )
去括号，得 (括号前为负号，去括号时要变号)，
移项，得_______________( )，
整理，得5x=－3(合并同类项)，
( )，得x=－.( )
【举一反三4】在解方程3(x＋1)－(x－1)＝2(x－1)－(x＋1)时，可先将(x＋1)，(x－1)分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程(x＋1)＝(x－1)，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：5(2x＋3)－(x－2)＝2(x－2)－(2x＋3).
【题型11】利用移项解有关一元一次方程的实际应用问题
【典型例题】如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为( )cm2.
A.400 B.500 C.300 D.750
【举一反三1】墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可得方程为( )
A.2(x+10)=10×4+6×2 B.2(x+10)=10×3+6×2 C.2x+10=10×4+6×2 D.2(x+10)=10×2+6×2
【举一反三2】如图，一个酒瓶的容积为500毫升，瓶子内还剩有一些黄酒.当瓶子正放时，瓶内黄酒的高度为12厘米，倒放时，空余部分的高度为8厘米，则瓶子的底面积为________平方厘米.(1毫升＝1立方厘米)
【举一反三3】有一种用来画圆的工具板(如图所示)，工具板长21 cm，上面依次排列着大小不等的五个圆(孔)，其中最大圆的直径为3 cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2 cm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5 cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5 cm，相邻两圆的间距d均相等.
（1）直接写出其余四个圆的直径长；
（2）求相邻两圆的间距.
【题型12】等式性质的应用
【典型例题】下列结论中正确的是( )
A.若x+3=y－7，则x=4
B.若7y－6=5－2y，则7y+6=17－2y
C.若0.25x=－4，则x=－1
D.若8x=－8x，则8=8
【举一反三1】下面是小玲同学在一次课堂测验中利用等式的性质解方程的过程，其中正确的是( )
A.－x－5＝4，得x＝4＋5
B.5y=－3y+9，得2y＝9
C.x＋7＝26，得x＝19
D.－5x＝20，得x＝－
【举一反三2】有一个密码系统，其原理由下面的框图所示．当输出为10时，则输入的x的值为 ．
【举一反三3】用等式的性质解下列方程：
（1）3x+1=7；
（2）3x+2=x+1.
【举一反三4】已知x＝－2是关于x的方程3x＋4＝＋m的解，求式子2m2－4m＋1的值.5.2一元一次方程的解法
【知识点1】等式的性质 1
【知识点2】同解方程 3
【知识点3】解一元一次方程 4
【题型1】认识等式 5
【题型2】利用移项解一元一次方程 6
【题型3】把数字系数化为1 8
【题型4】利用去括号解一元一次方程 9
【题型5】利用合并同类项解一元一次方程 10
【题型6】利用去分母解决问题 11
【题型7】利用去括号解决实际问题 12
【题型8】等式的性质 14
【题型9】利用合并同类项解决有关问题 15
【题型10】利用去分母解一元一次方程 16
【题型11】利用移项解有关一元一次方程的实际应用问题 18
【题型12】等式性质的应用 19
【知识点1】等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
1.（2024秋 茌平区期末）下列等式变形中，一定成立的是（ ）
A．若x=y,则
B．若，则x=-2
C．若x=y,则2-x=2-y
D．若2x-3=x-1，则2x-x=-1-3
【答案】C
【分析】按照等式的性质1和等式的性质2来逐个选项分析即可得答案．
【解答】解：A、若x=y,则，不符合题意；
B、若，则x=-18，不符合题意；
C、若x=y,则2-x=2-y,符合题意；
D、若2x-3=x-1，则2x-x=-1+3，不符合题意，
故选：C．
2.（2025春 龙海区期中）下列方程变形正确的是（ ）
A．由4+x=6得x=6+4 B．由3x=-5得x=-
C．由y=0得y=4 D．由3-x=-2得x=3+2
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立．即可解决．
【解答】解：A、根据等式性质1，等式两边都减去4，应得到x=6-4；
B、根据等式性质2，3x=-5两边都除以3应得到x=-；
C、根据等式性质2，y=0两边都乘以4应得到y=0；
D、根据等式性质1，等式两边都加x+2，即可得到x=3+2；
综上所述，D正确；
故选：D．
3.（2024秋 永善县期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若ac=bc,则a=b B．若，则a=b
C．若2a-b=4，则b=4-2a D．若，则x=2
【答案】B
【分析】性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案．
【解答】解：A、若ac=bc,当c=0时，a≠b,错误，不符合题意；
B、若，则a=b,正确，符合题意；
C、若2a-b=4，则b=2a-4，错误，不符合题意；
D、若，则x=6×（-3）=-18，错误，不符合题意；
故选：B．
【知识点2】同解方程
定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
（或者说，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，那么这两个方程叫做同解方程．）
1.（2024春 高县期末）若方程2x-3=5-6x与方程2mx=3-的解相同，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【分析】求出第二个方程的解，把x的值代入第一个方程，求出m的值即可．
【解答】解：∵2x-3=5-6x,
∴x=1，
把x=1代入2mx=3-得，
2m=3-1，
解得：m=1．
故选：A．
2.（2024秋 安宁区校级期末）关于x的方程2x+5a=3的解与方程2x+2=0的解相同，则a的值是（ ）
A．1 B．4 C． D．-1
【答案】A
【分析】根据方程的解相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由2x+5a=3，得x=；
由2x+2=0，得x=-1．
由关于x的方程2x+5a=3的解与方程2x+2=0的解相同，得
=-1．
解得a=1．
故选：A．
【知识点3】解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
1.（2025春 顺德区期末）将方程去分母，变形正确的是（ ）
A．2（x+1）-3（x-2）=1 B．2（x+1）-3（x-2）=6
C．3（x+1）-2（x-2）=1 D．3（x+1）-2（x-2）=6
【答案】D
【分析】方程两边同乘6即可去掉分母．
【解答】解：，
去分母，得3（x+1）-2（x-2）=6，
故选：D．
2.（2024秋 金水区期末）下面是关于x的一元一次方程的求解过程，对于每一步的运算，其中依据表述错误的是（ ）
解方程：．
解：去分母，得2（9x+11）=x-12．①
去括号，得18x+22=x-12．②
移项，得18x-x=-12-22．③
合并同类项，得17x=-34．④
方程两边同时除以17，得x=-2.
A．①分数的基本性质 B．②乘法分配律
C．③等式的基本性质 D．④合并同类项法则
【答案】A
【分析】根据解一元一次方程的每一步变形判断即可．
【解答】解：去分母，得2（9x+11）=x-12，（等式的基本性质）①
去括号，得18x+22=x-12，（乘法分配律）②
移项，得18x-x=-12-22，（等式的基本性质）③
合并同类项，得17x=-34，（合并同类项法则）④
方程两边同时除以17，得x=-2．
依据表述错误的是①，
故选：A．
【题型1】认识等式
【典型例题】下列说法中，正确的是( )
A.方程是等式 B.等式是方程 C.含有字母的等式是方程 D.不含字母的方程是等式
【答案】A
【解析】因为方程是含有未知数的等式，所以A正确.
故选：A.
【举一反三1】列等式表示：比b的一半小7的数等于a与b的和.( )
A.(b－7)＝a+b B.b－=a+b C.b+7=a+b D.b－7=a+b
【答案】D
【解析】根据题意列出方程b－7=a+b.
故选：D.
【举一反三2】由m=4－x，m=y－3，可得出x与y的关系是( )
A.x+y=7 B.x+y=－7 C.x+y=1 D.x+y=－1
【答案】A
【解析】由m=4－x，m=y－3，得4－x=y－3，化简得x+y=7.
故选：A.
【举一反三3】列等式表示“比a的3倍大5的数等于a的4倍”为 .
【答案】3a+5=4a
【解析】由题意，得3a+5=4a.
【举一反三4】列等式表示：“x的2倍与8的和等于10”上述等式可列为： .
【答案】2x+8=10
【解析】由题意，得2x+8=10.
【举一反三5】判断下列各式哪些是等式，哪些不是等式，并说明为什么.
（1）5+3×4=17；
（2）S=ab；
（3）a(b+c)=ab+ac；
（4）2x－2y；
（5）3x=2x+7；
（6）2＜3.
【答案】解：（1）（2）（3）（5）是等式；（4）不是等式，因为没有等号；（6）不是等式，是不等式.
【题型2】利用移项解一元一次方程
【典型例题】对于“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程，移项与合并同类项得( )
A.(a－c)x=d－b B.(a－c)x=b－d C.(a+c)x=b+d D.(a－c)x=b+d
【答案】A
【解析】ax+b=cx+d，移项合并得(a－c)x=d－b.
故选：A.
【举一反三1】下列解方程的过程中错误的是( )
A.方程2x+5=－4，变形为2x=－4+5
B.方程2x－5=－4，变形为2x=－4+5
C.方程3x=8－x，变形为3x+x=8
D.方程8－x=3x，变形为x+3x=8
【答案】A
【解析】A.方程2x+5=－4，变形为2x=－4－5，错误；
B.方程2x－5=－4，变形为2x=－4+5，正确；
C.方程3x=8－x，变形为3x+x=8，正确；
D.方程8－x=3x，变形为x+3x=8，正确.
故选：A.
【举一反三2】通过移项将下列方程变形，正确的是( )
A.由5x－7=2，得5x=2－7
B.由6x－3=x+4，得3－6x=4+x
C.由8－x=x－5，得－x－x=－5－8
D.由x+9=3x－1，得3x－x=－1+9
【答案】C
【解析】A.由5x－7=2，得5x=2+7，故选项错误；
B.由6x－3=x+4，得6x－x=3+4，故选项错误；
C.由8－x=x－5，得－x－x=－5－8，故选项正确；
D.由x+9=3x－1，得3x－x=9+1，故选项错误.
故选：C.
【举一反三3】如图是小宁解方程7－2x＝－4x＋5的过程.①代表的运算步骤为________，该步骤对方程进行变形的依据是________.
【答案】移项 等式的性质1
【举一反三4】若关于x的方程2x－a＝0的解比4x＋7＝3x＋8的解大2，求a的值.
【答案】解：4x＋7＝3x＋8得x＝1，
所以2x－a＝0的解为x＝3，
把x＝3代入2x－a＝0得a＝6.
【举一反三5】若3m－2x=7是关于x的方程，在解这个方程时，粗心的小明误将－2x看作2x，得方程的解为x=3，请你帮小明求出原方程的解.
【答案】解：由题意，得x=3是方程3m+2x=7的解，
所以，3m+6=7，m=，
将m=代入方程3m－2x=7，得1－2x=7，
解得x=－3．
原方程的解为x=－3.
【题型3】把数字系数化为1
【典型例题】方程x=3的解是( )
A.x=6 B.x= C.x= D.x=
【答案】A
【解析】系数化为1，得x=6.
故选：A.
【举一反三1】方程x＝9的解是( )
A.x=3 B.x=－3 C.x=27 D.x=－27
【答案】D
【解析】x＝9方程两边同除以，系数化为1得x=－27.
故选：D.
【举一反三2】方程=1.2的解为( )
A.x=3.6 B.x=0.36 C.x=36 D.x=0.036
【答案】B
【解析】方程两边同时乘以0.3，得x=0.36.
故选：B.
【举一反三3】方程2x=0的解是( )
A.x=－2 B.x=0 C.x＝ D.x＝－
【答案】B
【解析】方程2x=0，两边同时除以2，得x=0.
故选：B.
【举一反三4】在等式3× －2× =15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数，且等式成立.则第一个方格内的数是______.
【答案】3
【解析】设第一个方格内的数是x，则3x－2×(－x)=15，解得x=3.
【举一反三5】若－3x=，则x=___________.
【答案】－
【解析】方程－3x=，解得x=－.
【举一反三6】在等式3× －2× =15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数，且等式成立.则第一个方格内的数是______.
【答案】3
【解析】设第一个方格内的数是x，则3x－2×(－x)=15，解得x=3.
【举一反三7】若－3x=，则x=___________.
【答案】－
【解析】方程－3x=，解得x=－.
【题型4】利用去括号解一元一次方程
【典型例题】解方程4.5(x＋0.7)＝9x时，最简便的方法应该首先( )
A.去括号 B.移项 C.方程两边同时乘10 D.方程两边同时除以4.5
【答案】D
【举一反三1】若A=2x2－8x，B=x2+2x+1，则使A－2B=－10的x的值是( )
A. B.3 C. D.
【答案】A
【解析】由题意得(2x2－8x)－2(x2+2x+1)=－10，解得x=.
故选：A.
【举一反三2】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于1，则关于x的方程(a+b)x2+3cd x－p2=0的解为 .
【答案】x=
【解析】∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于1，∴a+b=0，cd=1，p2=1，
∴原方程可化为3x－1=0，解得x=.
【举一反三3】解方程：2(5x－10)－3(2x+5)=1.
【答案】解：去括号得10x－20－6x－15=1，移项合并得4x=36，解得x=9.
【题型5】利用合并同类项解一元一次方程
【典型例题】下列合并正确的是( )
A.由－3x+2x=1，得x=1
B.由x+2x+3x=9，得5x=9
C.由－x+2x－3x=5，得－4x=5
D.由x+x－x＝2，得－x=2
【答案】D
【解析】A.由－3x+2x=1，得－x=1，本选项错误；
B.由x+2x+3x=9，得到6x=9，本选项错误；
C.由－x+2x－3x=5，得－2x=5，本选项错误；
D.由x+x－x＝2 ，得－x=2，本选项正确.
故选：D.
【举一反三1】方程－2x－x＝－1－2的解为( )
A.x＝－1 B.x＝1 C.x＝3 D.x＝－3
【答案】B
【解析】－2x－x＝－1－2，合并同类项，得－3x＝－3，系数化为1，得x＝1.
故选：B.
【举一反三2】已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是________.
【答案】4
【解析】根据题意，将x＝m代入方程3x－2m＝4，得3m－2m＝4，即m＝4.
【举一反三3】方程8x－2x＝－6＋7的解是________.
【答案】x＝
【解析】合并同类项，得6x＝1，
系数化为1，得x＝.
【举一反三4】解下列方程：
（1）2y＋6y＝11－3；
（2）12x－10x＝－10＋9＋15.
【答案】解：（1）合并同类项，得8y＝8，
系数化为1，得y＝1.
（2）合并同类项，得2x＝14，
系数化为1，得x＝7.
【题型6】利用去分母解决问题
【典型例题】若关于x的方程a+=4(x－1)的解为x=3，则a的值为( )
A.22 B.10 C.15 D.－2
【答案】C
【解析】把x=3代入方程，得a+=8，解得a=15.
故选：C.
【举一反三1】如果方程2－＝的解也是方程2－＝0的解，那么a的值是( )
A.7 B.5 C.3 D.以上都不对
【答案】A
【解析】2－＝，
去分母得12－2(x＋1)＝x＋7，
去括号得12－2x－2＝x＋7，
移项得－2x－x＝7－12＋2，
合并同类项得－3x＝－3，
系数化为1得x＝1.
将x＝1代入2－＝0得2－＝0，
去分母得6－(a－1)＝0，
去括号得6－a＋1＝0，
解得a＝7.
故选：A.
【举一反三2】某数与8的和的等于这个数的，则这个数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设这个数为x，可得(x+8)＝x，解得x=.
故选：A.
【举一反三3】甲仓库的货物是乙仓库货物的2倍，从甲仓库调5吨到乙仓库，这时甲仓库剩余的货物恰好比乙仓库的一半多1吨，设乙仓库原有x吨，则可列方程为 .
【答案】2x－5=(x+5)+1
【解析】首先设乙仓库原有x吨，则甲仓库的货物有2x吨，从甲仓库调5吨到乙仓库后甲仓库有(2x－5)吨，乙仓库有(x+5)吨，
根据关键语句“甲仓库剩余的货物恰好比乙仓库的一半多1吨，”可得方程2x－5=(x+5)+1.
【举一反三4】某校七年级四个班为“希望工程”捐款，七(1)班捐的钱是四个班捐款总和的，七(2)班捐的钱是四个班捐款总和的，七(3)班捐的钱是四个班捐款总和的，七(4)班捐了169元，求出四个班的总捐款数.
【答案】解：设四个班捐款的总和是x元，由题意得x－x－x－x=169，解得x=676.
【题型7】利用去括号解决实际问题
【典型例题】某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000度，全年用电量15万度.如果设上半年每月平均用电x度，则所列方程正确的是( )
A.6x+6(x－2 000)=150 000
B.6x+6(x+2 000)=150 000
C.6x+6(x－2 000)=15
D.6x+6(x+2 000)=15
【答案】A
【解析】设上半年每月平均用电x度，在下半年每月平均用电为(x－2 000)度，由题意得，6x+6(x－2 000)=150 000.
故选：A.
【举一反三1】小明买了80分和2元的邮票共16枚，花了18元8角，若设他买80分邮票x枚，则可列方程（ ）
A.80x+2(16－x)=18.8 B.8x+2(16－x)=18.8 C.0.8x+2(16－x)=18.8 D.80x+2(16－x)=188
【答案】C
【解析】小明买80分邮票x枚，则2元的邮票(16－x)枚，各自乘各自的单价，相加得总价18.8元.
还要注意单位的换算，80分=0.8元，根据题意得0.8x+2(16－x)=18.8.
故选：C.
【举一反三2】对有理数a、b，规定运算★的意义是：a★b=a×b+a－b，则方程2x★3=5的解是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】由题意，得6x+2x－3=5，解得x=1.
故选：B.
【举一反三3】对于非零的两个有理数a、b，规定a&b=b－a，若1&(2x+1)=1，则x的值为 .
【答案】
【解析】由题意得(2x+1)－1=1，解得x=.
【举一反三4】已知“★”表示新的一种运算符号，且规定如下运算规律：m★n=3m－2n，若2★x=0，则x= .
【答案】3
【解析】由题意得3×2－2x=0，解得x=3.
【举一反三5】在9月份刚刚结束的女排世界杯中，中国女排在损兵折将的不利局面下，时隔十二年再夺世界杯冠军.为给中国队加油，中国某公司组织部分员工到日本名古屋现场观看了最后一场同日本队的比赛，已知该公司购买了每张3 000日元和每张4 000日元的门票共8张，总费用为27 000日元.请问该公司购买了这两种门票各多少张？
【答案】解：设每张3 000日元的门票买了x张，则每张4 000日元的门票买了(8－x)张，
由题意得3 000x+4 000(8－x)=27 000，解得x=5.
所以买4 000日元每张的门票张数为：8－5=3(张).
答：每张3 000日元的门票买了5张，每张4 000日元的门票买了3张.
【题型8】等式的性质
【典型例题】下列各种变形中，不正确的是( )
A.从2+x=5可得到x=5－2
B.从3x=2x－1可得到3x－2x=－1
C.从5x=4x+1可得到4x－5x=1
D.从6x－2x=－3可得到6x=2x－3
【答案】C
【解析】A.根据等式性质1，等式两边都减2，即可得到x=5－2；
B.根据等式性质1，等式两边都减2x，即可得到3x－2x=－1；
C.根据等式性质1，等式两边都减4x，应得到5x－4x=1；
D.根据等式性质1，等式两边都加2x，即可得到6x=2x－3.
故选：C.
【举一反三1】由等式4x－3=3x+4，得x=7的变形是( )
A.等式两边都除以4 B.等式两边都加上3 C.等式两边都加上(3x－3) D.等式两边都减去(3x－3)
【答案】D
【解析】等式的两边都减去(3x－3)，得x=7.
故选：D.
【举一反三2】如果3x+5=8，那么3x=8－ .
【答案】5
【解析】由3x+5=8，得到3x=8－5.
【举一反三3】阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？
2(x－1)－1＝3(x－1)－1.
两边同时加上1，得2(x－1)＝3(x－1)……第一步
两边同时除以(x－1)，得2＝3……………第二步
【答案】解：错在第二步，因为根据等式性质2，等式两边同除以不等于0的数，结果才相等，这里x－1恰好等于0.
【举一反三4】王老师在黑板上写了一个等式(m－3)x＝5(m－3)，小明说x＝5；小刚说不一定，当x≠5时，这个等式也可能成立.你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由.
【答案】解：小明的说法错误，小刚的说法正确，
理由如下：当m－3＝0时，x可以为任意数，
当m－3≠0时，x＝5.
【题型9】利用合并同类项解决有关问题
【典型例题】某月有五个星期日，已知五个日期的和为75，则这个月的最后一个星期日是( )
A.28号 B.29号 C.30号 D.31号
【答案】B
【解析】设最后一个星期日是x号，则其他四个星期的号数分别为x－7，x－14，x－21，x－28，
根据题意列方程得x+(x－7)+(x－14)+(x－21)+(x－28)=75，
x+x－7+x－14+x－21+x－28=75，
5x－70=75，
即5x=145，x=29，
则这个月的最后一个星期日是29号.
故选：B.
【举一反三1】三个数的比是5:12:13，这三个数的和为180，则最大数比最小数大( )
A.48 B.42 C.36 D.30
【答案】A
【解析】设每一份为x，则三个数分别表示为5x，12x，13x，
依题意得：5x+12x+13x=180，解得x=6则5x=30，13x=78，78－30=48.
故选：A.
【举一反三2】一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为( )
A.54 B.27 C.72 D.45
【答案】D
【解析】设原数的个位数字是x，则十位数字是9－x.
根据题意得：10x+(9－x)=10(9－x)+x+9，解得x=5，9－x=4，则原来的两位数为45.
故选：D.
【举一反三3】一套满分120分的数学试题中，基础题、中档题、难题的比例为7:2:1，小明如果做对了所有基础题，他至少能够得 分.
【答案】84
【解析】设基础题、中档题、难题分别有7x，2x，x分，根据题意列出方程7x+2x+x＝120，
∴x＝12，∴小明至少能够得到7x＝84分.
【举一反三4】某蔬菜基地三天的总产量是8390千克，第二天比第一天多产560千克，第三天比第一天的多1200千克.问三天各产多少千克蔬菜？
【答案】解：设第一天生产x千克蔬菜，则第二天生产(x+560)千克蔬菜，第三天生产(x+1 200)千克蔬菜，
由题意得x+x+560+x+1 200=8 390，解得x=2340，x+560=2 900(千克)，56x+1200=3150(千克).
答：第一天生产2 340千克蔬菜，第二天生产2 900千克蔬菜，第三天生产3 150千克蔬菜.
【题型10】利用去分母解一元一次方程
【典型例题】将方程－＝1去分母后得到方程6x－3－2x－2＝6，其错误的原因是( )
A.分母的最小公倍数找错
B.去分母时，漏乘了分母为1的项
C.去分母时，分子部分的多项式未添加括号，造成符号错误
D.去分母时，分子未乘相应的数
【答案】C
【解析】去分母，得3(2x－1)－2(x－1)＝6，
整理得6x－3－2x＋2＝6，
所以错误的原因是去分母时，分子部分的多项式未添加括号，造成符号错误.
故选：C.
【举一反三1】解方程3－=1，在下列去分母运算中，正确的是( )
A.3－(x+2)=3 B.9－x－2=1 C.9－(x+2)=3 D.9－x+2=3
【答案】C
【解析】方程两边同乘以3，得9－(x+2)=3.
故选：C.
【举一反三2】若+1与互为相反数，则a= .
【答案】
【解析】根据相反数和为0得+1+=0，
去分母得a+3+2a－7=0，
合并同类项得3a－4=0，
移项得3a=4，
系数化为1，得a=.
【举一反三3】根据下列解方程x－=－的过程，补全解答步骤：
解：去分母，得6x－3(x－1)=4－2(x+2)，( )
去括号，得 (括号前为负号，去括号时要变号)，
移项，得_______________( )，
整理，得5x=－3(合并同类项)，
( )，得x=－.( )
【答案】两边乘以6；6x－3x+3=4－2x－4；6x－3x+2x=4－4－3；移项要变号；系数化为1；两边同除以5
【举一反三4】在解方程3(x＋1)－(x－1)＝2(x－1)－(x＋1)时，可先将(x＋1)，(x－1)分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程(x＋1)＝(x－1)，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：5(2x＋3)－(x－2)＝2(x－2)－(2x＋3).
【答案】解：将(2x＋3)，(x－2)分别看成整体，移项、合并同类项得(2x＋3)＝(x－2)，
去分母得22(2x＋3)＝11(x－2)，
去括号得44x＋66＝11x－22，
移项、合并同类项得33x＝－88，
系数化为1，得x＝－.
【题型11】利用移项解有关一元一次方程的实际应用问题
【典型例题】如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为( )cm2.
A.400 B.500 C.300 D.750
【答案】A
【解析】设小长方形的长为x cm，则宽为(50－x)cm，
根据题意可得2x=x+4(50－x)，解得x=40，故50－x=10(cm).
则一个小长方形的面积为10×40=400(cm2).
故选：A.
【举一反三1】墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为x cm，根据题意，可得方程为( )
A.2(x+10)=10×4+6×2 B.2(x+10)=10×3+6×2 C.2x+10=10×4+6×2 D.2(x+10)=10×2+6×2
【答案】A
【解析】由图知，长方形的一边为10厘米，故设另一边为x厘米.
根据题意得2×(10+x)=10×4+6×2.
故选：A.
【举一反三2】如图，一个酒瓶的容积为500毫升，瓶子内还剩有一些黄酒.当瓶子正放时，瓶内黄酒的高度为12厘米，倒放时，空余部分的高度为8厘米，则瓶子的底面积为________平方厘米.(1毫升＝1立方厘米)
【答案】25
【解析】设瓶子底面积为x平方厘米，根据题意得x·(8＋12)＝500，解得x＝25.
即瓶子的底面积为25平方厘米.
【举一反三3】有一种用来画圆的工具板(如图所示)，工具板长21 cm，上面依次排列着大小不等的五个圆(孔)，其中最大圆的直径为3 cm，其余圆的直径从左到右依次递减0.2 cm.最大圆的左侧距工具板左侧边缘1.5 cm，最小圆的右侧距工具板右侧边缘1.5 cm，相邻两圆的间距d均相等.
（1）直接写出其余四个圆的直径长；
（2）求相邻两圆的间距.
【答案】解：（1）其余四个圆的直径依次为：2.8 cm，2.6 cm，2.4 cm，2.2 cm.
（2）依题意得，4d＋1.5＋1.5＋3＋2.8＋2.6＋2.4＋2.2＝21，∴4d＋16＝21，∴d＝.
【题型12】等式性质的应用
【典型例题】下列结论中正确的是( )
A.若x+3=y－7，则x=4
B.若7y－6=5－2y，则7y+6=17－2y
C.若0.25x=－4，则x=－1
D.若8x=－8x，则8=8
【答案】B
【解析】A、根据等式性质1，x+3=y－7两边都减去3，即可得到x=y－10，故选本项错误；
B、根据等式性质1，7y－6=5－2y两边都加12，即可得到7y+6=17－2y，正确；
C、根据等式性质2，0.25x=－4两边都乘以4，即可得到x=－16，故本选项错误；
D、根据等式性质2，等式两边要除以一个不为0的数，结果才相等，x有可能为0，故本选项错误.
故选：B.
【举一反三1】下面是小玲同学在一次课堂测验中利用等式的性质解方程的过程，其中正确的是( )
A.－x－5＝4，得x＝4＋5
B.5y=－3y+9，得2y＝9
C.x＋7＝26，得x＝19
D.－5x＝20，得x＝－
【答案】C
【解析】A.因为－x－5＝4，所以－x＝4＋5，故本选项错误；
B.因为方程两边同时加3y，所以8y＝9，故本选项错误；
C.因为x＋7＝26，所以x＝26－7＝19，故本选项正确；
D.因为－5x＝20，所以x＝－＝－4，故本选项错误.
故选：C.
【举一反三2】有一个密码系统，其原理由下面的框图所示．当输出为10时，则输入的x的值为 ．
【答案】4
【解析】x+6=10，解得x=4.
【举一反三3】用等式的性质解下列方程：
（1）3x+1=7；
（2）3x+2=x+1.
【答案】解：（1）方程的两边都减1，得3x=6，方程两边都除以3，得x=2.
（2）方程两边都加(－x－2)，得2x=－1，方程得两边都除以2，得x=－.
【举一反三4】已知x＝－2是关于x的方程3x＋4＝＋m的解，求式子2m2－4m＋1的值.
【答案】解：把x＝－2代入方程得，－6＋4＝－1＋m，解得m＝－1，
则2m2－4m＋1＝2×(－1)2－4×(－1)＋1＝7.
