5.3一元一次方程的应用
【知识点1】由实际问题抽象出一元一次方程 1
【知识点2】一元一次方程的应用 2
【题型1】积分问题 4
【题型2】配套调配问题 4
【题型3】航行问题 5
【题型4】求进价 6
【题型5】求标价 6
【题型6】求打折 7
【题型7】销售综合问题 8
【题型8】等积变形 9
【题型9】增长率问题 9
【题型10】求盈亏 10
【题型11】追及问题 11
【题型12】工作量为整体“1”问题 11
【题型13】相遇问题 12
【题型14】具体工作量问题 13
【题型15】图表信息问题 13
【题型16】销售问题中的方案决策问题 14
【题型17】面积体积问题 15
【题型18】综合问题 17
【题型19】计费问题 17
【题型20】盈不足问题 18
【知识点1】由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
1.（2025 广州模拟）“广州新机场”来啦！其选址佛山高明区，定位已经明确为“粤港澳大湾区国际航空枢纽之一、广州国际航空枢纽的重要组成部分、大湾区西部综合交通枢纽”．分为两期规划目标：近期规划目标年为2035年，远期规划目标年为2050年．若近期规划目标及远期规划目标共可满足年旅客吞吐量11000万人次，且远期规划目标是近期规划目标的2倍还多2000万人次．设近期规划目标为年旅客吞吐量x万人次，根据题意，可列方程为（ ）
A．2x+2000=11000 B．2x-2000=11000
C．x+2x-2000=11000 D．x+2x+2000=11000
2.（2025春 衡南县期末）“顺风”汽车队车辆数是“速达”汽车队车辆数的2倍，现从“顺风”队调9辆去“速达”队后，“顺风”队汽车数是“速达”队汽车数的1.5倍，求“顺风”和“速达”两队原来各有汽车多少辆？若设“速达”队原来有汽车x辆，根据题意，得（ ）
A．2x-9=1.5（x+9） B．2x=1.5x+9
C．x-9=1.5x+9 D．2x-9=-1.5x
【知识点2】一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=×100%）；（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；
（5）行程问题（路程=速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
1.（2024秋 庐阳区期末）如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若AB=14，则图中阴影部分的面积S为：（ ）
A．S=104 B．S=120 C．S=224 D．S=344
2.（2024秋 汤阴县期末）父亲与小强下棋（设没有平局），父亲胜一盘记2分，小强胜一盘记3分，下了10盘后，两人得分相等，则小强胜的盘数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3.（2025 长沙模拟）日历上按照以下四个选项的图框圈出了三个数a,b,c,其中一个图框圈出的三个数的和为24，则这个图框是四个选项中的（ ）
A． B． C． D．
【题型1】积分问题
【典型例题】某队参加比赛，开局9场不败，积21分，比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，该队共胜( )
A.7场 B.6场 C.5场 D.4场
【举一反三1】李明是学校的篮球小明星，在一场篮球比赛中，他一人得了21分，如果他投进的2分球比3分球多3个(没有罚球)，那么他投进的2分球有( )
A.2个 B.3个 C.6个 D.7个
【举一反三2】某学校8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制(参加比赛的队，每两队之间进行一场比赛)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班级共胜________场比赛.
【举一反三3】篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？若设胜x场，可列一元一次方程： ；
【举一反三4】某校班际篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分，如果某班在第一轮的28场比赛中得48分，那么这个班胜了多少场？
【举一反三5】某次中国男子篮球职业联赛(即CBA)，北京首钢队在前21轮比赛中，积35分位列第七位，按比赛规则，胜一场得2分，负一场得1分，那么截止12月23日北京首钢队共胜了多少场？
【题型2】配套调配问题
【典型例题】在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处调多少人到甲处，若设应从乙处调x人到甲处，则下列方程中正确的是( )
A.272+x=(196－x) B.(272－x)=196－x C.×272+x=196－x D.(272+x)=196－x
【举一反三1】已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为( )
A.518=2(106+x) B.518－x=2×106 C.518－x=2(106+x) D.518+x=2(106－x)
【举一反三2】有一个班去划船，计划租若干条船，这时班长说，若再增加一条船，则每条船坐6人，若减少一条船，则每条船坐9人，这个班共有( )人.
A.32 B.36 C.40 D.48
【举一反三3】某企业原有管理人员与营销人员人数之比为3:2，总人数为180人.为了扩大市场，从管理人员中抽调 人参加营销工作，就能使营销人员的人数是管理人员人数的2倍.
【举一反三4】一个车间加工轴杆和轴承，每人每天平均可以加工轴杆12根或者轴承16个，1根轴杆与2个轴承为一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？
【题型3】航行问题
【典型例题】一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶要用4小时；从乙码头到甲码头逆流行驶要用5小时.已知水流速度为3千米/小时，则船在静水中的平均速度是( )
A.6千米/小时 B.9千米/小时 C.27千米/小时 D.54千米/小时
【举一反三1】飞机在A、B两城之间飞行，顺风速度是1000千米/时，逆风速度是960千米/时，则风的速度是( )
A.40千米/时 B.30千米/时 C.20千米/时 D.10千米/时
【举一反三2】甲、乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的航速与水速分别是( )
A.24千米/时，8千米/时
B.22.5千米/时，2.5千米/时
C.18千米/时，24千米/时
D.12.5千米/时，1.5千米/时
【举一反三3】一轮船行驶于A，B两个码头之间，顺水时需5小时，逆水时需7小时，已知水流速度是5km/h.若设船在静水的速度为x km/h，则船在顺水的速度为 km/h，船在逆水的速度为 km/h，由A，B两码头的距离是定值，由题意可列方程为： .
【举一反三4】轮船沿江从A港顺流行驶到B港比从B港返回A港少3小时，若船速为26千米/时，水流速度为2千米/时，则A港和B港相距______千米.
【举一反三5】一架飞机飞行于两城市之间，顺风需要5小时30分，逆风需要6小时，已知风速每小时24千米，则两座城市相距多少千米.
【题型4】求进价
【典型例题】一家商店将某种商品按进货价提高100%后，又以6折优惠售出，售价为60元，则这种商品的进货价是( )
A.120元 B.100元 C.72元 D.50元
【举一反三1】某商品的标价为400元，8折销售仍赚120元，则商品进价为( )
A.150元 B.200元 C.300元 D.440元
【举一反三2】某商品连续两次涨价20%后的价格为1 440元，则这种商品原价为 元.
【举一反三3】红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡(注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款)，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物.
（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？
（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？
【举一反三4】某商场开展消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张).某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元.求该电饭煲的进价.
【题型5】求标价
【典型例题】开元商场把进价为1 875元的某商品按标价的九折出售，仍获利20%，则该商品的标价为( )
A.2 000元 B.2 500元 C.2 800元 D.3 000元
【举一反三1】某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是( )
A.350元 B.400元 C.450元 D.500元
【举一反三2】某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少？设定价为x元，则下列方程中正确的是( )
A.x－20=x+25 B.x+25=x－20 C.x－25=x+20 D.x+20=x+25
【举一反三3】小华到新华书店购买一套丛书，该丛书八五折销售(即按原价的85%销售)比打九折销售时少3元钱，那么这套丛书的原价是 元.
【举一反三4】某商品的进价为300元，按标价的六折销售时，利润率为5%，则商品的标价为 元．
【举一反三5】一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元.如果按标价的8折出售，将盈利40元.
求：（1）每件服装的标价是多少元？
（2）为保证不亏本，最多能打几折？
【题型6】求打折
【典型例题】白云商店购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元，现为了扩大销售量，把每件的销售价降低x%出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则求x时，可列方程( )
A.0.9×(10－8)=10 x%－8
B.0.9×(10－8)=10(1－x%)－8
C.90%×10=(10－8)(1－x%)
D.90%×10=(10－8)(1－x%)－8
【举一反三1】某种商品的进价为800元，出售标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，如果要使得利润率为5%，那么销售时应该打( )
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
【举一反三2】某种商品的进价为800元，出售标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，如果要使得利润率为5%，那么销售时应该打( )
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
【举一反三3】一款新型的太阳能热水器进价2 000元，标价3 000元.若商场要求以利润率不低于5%的售价打折出售，设销售员出售此商品最低可打x折，由题意列方程，得（ ）
A.3 000x=2 000(1－5%)
B.3 000x－2 000=2 000×5%
C.3 000·=2 000(1－5%)
D.3 000·=2 000(1+5%)
【题型7】销售综合问题
【典型例题】今年国庆长假期间，涪洋镇“家家福”超市某商品按标价打八折销售，小玲购了一件该商品，付款56元，则该项商品的标价为( )元.
A.56 B.68 C.70 D.72
【举一反三1】小王去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每斤3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊主：“多买按八折，你要多少斤？”小王报了数量后摊主同意按八折卖给小王，并说：“之前一人只比你少买5斤就是按标价，还比你多花了3元呢！”则小王购买豆角的重量是( )
A.25斤 B.20斤 C.30斤 D.15斤
【举一反三2】某人以八折优惠价买一套服装省了25元，那么买这套服装实际用了( )
A.31.25元 B.60元 C.125元 D.100元
【举一反三3】小王去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每斤3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊主：“多买按八折，你要多少斤？”小王报了数量后摊主同意按八折卖给小王，并说：“之前一人只比你少买5斤就是按标价，还比你多花了3元呢！”则小王购买豆角的重量是( )
A.25斤 B.20斤 C.30斤 D.15斤
【举一反三4】某一天，蔬菜经营户王大叔花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示：
他当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？
【举一反三5】张校长暑假将带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若全票价为240元.
（1）若学生有3人和5人，甲旅行社需费用多少元？乙旅行社呢？
（2）学生人数为多少时两个旅行社的收费相同？
【题型8】等积变形
【典型例题】要锻造直径为60 mm，高为30 mm的圆柱体钢坯，需截取直径为40 mm的圆柱体钢坯的高为（ ）
A.67.5mm B.45mm C.135mm D.90mm
【举一反三1】内径为120 mm的圆柱形玻璃杯，和内径为300 mm，内高为32 mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（ ）
A. 150 mm B. 200 mm C. 250 mm D. 300 mm
【举一反三2】图1是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 cm3.
【举一反三3】如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，求这个长方形色块图的面积．
【题型9】增长率问题
【典型例题】两年期定期储蓄的年利率为2.25%，某人存入银行一笔钱，到期时，共得利息675元，则他的存款额为( )
A.20 000元 B.18 000元 C.15 000元 D.12 000元
【举一反三1】某工厂大力推进科技创新，使今年单位成品的成本较去年降低了20%.已知今年单位成品的成本为8元，则去年单位成品的成本为( )
A.10元 B.9元 C.9.6元 D.10.6元
【举一反三2】由于人民生活水平的不断提高，购买理财产品成为一个热门话题.某银行销售A，B，C三种理财产品，在去年的销售中，稳健理财产品C的销售金额占总销售金额的40%.由于受国际金融危机的影响，今年A，B两种理财产品的销售金额都将比去年减少20%，因而稳健理财产品C是今年销售的重点.若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年稳健理财产品C的销售金额应比去年增加____________%.
【举一反三3】某房地产公司在全国一、二、三线城市都有房屋开发项目，在去年的房屋销售中，一线城市的销售金额占总销售金额的40%.由于两会召开国家对房价实施分类调控，今年二线、三线城市的销售金额都将比去年减少15%，因而房地产商决定加大一线城市的销售力度.
若要使今年的总销售金额比去年增长5%，求今年一线城市销售金额比去年增加的百分率.
【题型10】求盈亏
【典型例题】某商场将一款品牌时装按标价打九折出售，可获利80%；若按标价打七折出售，可获利( )
A.30% B.40% C.50% D.56%
【举一反三1】新华书店销售甲、乙两种书籍，分别卖得1 560元和1 350元，其中甲种书籍盈利25%，而乙种书籍亏本10%，则这一天新华书店共盈亏情况为( )
A.盈利162元 B.亏本162元 C.盈利150元 D.亏本150元
【举一反三2】某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中他( )
A.不赚不赔 B.赚9元 C.赔18元 D.赚18元
【举一反三3】某羽绒服专卖店，在初冬时以600元/件购进一款羽绒服20件，以每件提价20%进行标价并卖出15件，后来天气逐渐变暖，店家只能在标价的基础上打8折卖掉另5件，那么店家在买卖这20件羽绒服中盈利了 元.
【举一反三4】学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元.店方表示：如果多购可以优惠.结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.
【举一反三5】某商场以每件120元的价格购进了某种品牌的衬衫600件，并以每件140元的价格销售了500件，由于天气原因，商场准备采取促销措施，问剩下的衬衫促销价格定为每件多少元时，销售完这批衬衫恰好盈利10 800元？
【题型11】追及问题
【典型例题】在400米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑260米，两人同地、同时、同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于（ ）
A.10分 B.15分 C.20分 D.30分
【举一反三1】父子二人早上去公园晨练，父亲从家出发跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，如父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需 ( )
A.8分钟 B.9分钟 C.10分钟 D.11分钟
【举一反三2】甲、乙两车都以90 km/h的速度在一段笔直的高速公路上匀速行驶，甲车在前，乙车在后，当甲车刚好驶进一个50 m隧道的道口时，乙车此时按了一下喇叭，而甲车的驾驶员在刚出隧道道口时，听到了后面乙车传来的喇叭声(假设声音的速度为340 m/s)，则甲、乙两车之间的距离为( )
A.580 m B.630 m C.680 m D.730 m
【举一反三3】甲、乙两人练习赛跑，甲每秒钟跑8米，乙每秒钟跑6米，若甲让乙先跑100米，则甲追上乙所需的时间是( )
A.40秒 B.45秒 C.50秒 D.60秒
【举一反三4】甲、乙两汽车站相距190 km，一辆汽车以30 km/h的速度从甲地开往乙地，出发2 h后，一辆摩托车以50 km/h的速度也从甲地开往乙地，摩托车需要多长时间才能追上汽车？
【举一反三5】小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他.
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
【题型12】工作量为整体“1”问题
【典型例题】甲、乙两个人给花园浇水，甲单独做需要4小时完成任务，乙单独做需要6小时完成任务，现在由甲、乙合作，完成任务需( )小时.
A.2.4 B.3.2 C.5 D.10
【举一反三1】一个蓄水池有甲、乙两个进水管，单独开甲管20小时可以注满水池，单独开乙管12小时可以注满水池，那么两管齐开注满水池，需要( )
A.15小时 B.6小时 C.7.5小时 D.8小时
【举一反三2】一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时，现先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合作.完成整个过程一共需要多少小时？若设一共需要x小时，则所列的方程是( )
A.×5+(+)(x+5)=1
B.×5+(x+5)=1
C.×5+(+)(x－5)=1
D.×5+(x－5)=1
【举一反三3】某地下管道由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时相向施工，要________天可以完成铺设.
【举一反三4】为了方便学生进行体育锻炼，某学校计划要建一个室内运动场，现有甲、乙两个工程队，若由甲队单独完成需要15天，由乙队单独完成需要20天，假设由甲工程队先单独做8天，然后乙工程队加入合作，则还需要多少天才能完成此项工程？
【举一反三5】一项工程由甲单独做需12天完成，由乙单独做需8天完成，若两人合作3天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做多少天？
【题型13】相遇问题
【典型例题】甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑.6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇.那么小狗共跑了( )米.
A.444 B.446 C.448 D.450
【举一反三1】一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )
A.7.5秒 B.6秒 C.5秒 D.4秒
【举一反三2】甲、乙两车分别从相距360 km的A、B两地出发，甲车速度为72 km/h，乙车速度为48 km/h.两车同时出发，相向而行， h后两车相遇.
【举一反三3】一辆慢车从A地开往300 km外的B地，同时，一辆快车从B地开往A地，已知慢车速度为40 km/h，快车速度是慢车速度的1.5倍，它们出发 小时后两车相距100 km.
【举一反三4】我国幅员辽阔，南北相距约5 500千米，一架客机由南疆向北飞行，同时一架侦察机由北疆向南飞行，结果5小时相遇，又知侦察机的速度是客机的1.5倍，请你列出方程并算出侦察机的速度.
【题型14】具体工作量问题
【典型例题】已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则( )
A.2x＋3(72－x)＝30 B.3x＋2(72－x)＝30 C.2x＋3(30－x)＝72 D.3x＋2(30－x)＝72
【举一反三1】加工1 500个零件，甲单独做需要12小时，乙单独做需要15小时，若两个合做需x小时，依题意可列方程( )
A. ()x=1 500 B. (+)x=1 500 C. ()x=1 500 D. (+)x=1
【举一反三2】某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产了60件，设原计划每小时生产y个零件，可列方程为 .
【举一反三3】近年来，各地旅游业迅速崛起，某风景旅游区为了打造一条靓丽的风光带，将一段长为360米的河道整治任务安排给甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治河道24米，乙工程队每天整治河道16米，甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道？
【题型15】图表信息问题
【典型例题】某小区实行“阶梯水价”收费，用水不超过10吨，每吨收费a元；超过10吨，超过部分每吨加收1元，某用户12月份用水14吨，缴纳水费32元，根据题意列方程为( )
A.10a＋4(a＋1)＝32 B.10a－4(a＋1)＝32 C.10(a＋1)＝32 D.14(a＋1)－4＝32
【举一反三1】学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同.下表记录了3名参赛学生的得分情况，若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是( )
A.80 B.76 C.75 D.70
【举一反三2】在“五一劳动节”期间，某商场对该商场商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买售价为80元/件的商品n件时，实际付款504元，则n＝____________.
【举一反三3】公园门票价格规定如表：
某校七年级一班和二班共102人去游园，其中一班有40多人，不足50人.经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1 422元.问：
（1）两个班各有多少学生？
（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则要比两个班都以班为单位购票省多少元钱？
（3）如果七年级一班单独组织去游园，作为组织者的你认为如何购票才最省钱？
【题型16】销售问题中的方案决策问题
【典型例题】文具店销售某种笔，每支1.8元，小华去购买这种笔，买好后结账时，同去的小寒对他说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在还便宜3.6元”，小华说：“那就多买一个吧.”根据两人的对话可知，小华结账时实际付了( )
A.54元 B.52.2元 C.48.6元 D.46.9元
【举一反三1】小王一家四口人和两个姑姑及其一家人，一起到某景点旅游，此景点收费标准如下：不超过5人按每人50元收门票，若超过5人，超过的每人门票将打六折，结果比单独去每人少花10元钱，那么两个姑姑家一共去的人数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】某同学花了30元钱购买图书馆会员证，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张4元，要想使得办会员证比不办会员证合算，该同学去图书馆阅览应超过( )
A.8次 B.9次 C.10次 D.11次
【举一反三3】某地有甲、乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案：甲超市购物全场8.8折.乙超市购物①不超过200元，不给予优惠；②超过200元而不超过600元，打9折；③超过600元，其中的600元仍打9折，超过600元的部分打8折.假设两家超市相同商品的标价都一样，当标价总额是________元时，甲、乙两家超市实付款一样.
【举一反三4】为培养学生良好的书写习惯，某校组织学生每天抽出一些时间，开展“书为心画，字为心声”练字书写活动.活动初期，初一年级需要在文具店购买钢笔和字帖分发给学生练习，每购买一支钢笔，则需配备两本字帖搭配练习.甲、乙两家文具店的标价相同，每支钢笔的价格比每本字帖的价格多20元，而且一支钢笔的价格刚好与三本字帖的价格相同.
（1）一支钢笔和一本字帖的价格各是多少元？
（2）已知初一年级有980名学生，现两家文具店的优惠如下：
甲文具店：全场商品购物超过20 000元，超出20 000元的部分打八五折；
乙文具店：相同商品，“买十件赠一件”.
请问在哪家文具店购买比较优惠？
【举一反三5】某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元.该工厂的生产能力是：制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨.这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此设计两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余的直接销售鲜奶.
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并且恰好4天完成.
问：你认为选择哪种方案获利多？为什么？
【题型17】面积体积问题
【典型例题】如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为( )cm2.
A.400 B.500 C.300 D.750
【举一反三1】桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15厘米，各装有10厘米高的水，而且甲、乙、丙三个杯子的底面积分别为60、80、100平方厘米.现小明将甲、乙两杯内的一些水倒入丙杯，过程中水没有溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3:4:5，则甲杯内水的高度变为多少厘米？( )
A.5.4 B.5.7 C.7.2 D.7.5
【举一反三2】用A，B两种规格的长方形纸板(如图1)无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为32 cm的正方形，已知A种长方形的宽为1 cm，则B种长方形的面积是( )
A.10 cm2 B.12 cm2 C.14 cm2 D.16 cm2
【举一反三3】桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15厘米，各装有10厘米高的水，而且甲、乙、丙三个杯子的底面积分别为60、80、100平方厘米.现小明将甲、乙两杯内的一些水倒入丙杯，过程中水没有溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3:4:5，则甲杯内水的高度变为多少厘米？( )
A.5.4 B.5.7 C.7.2 D.7.5
【举一反三4】用A，B两种规格的长方形纸板(如图1)无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为32 cm的正方形，已知A种长方形的宽为1 cm，则B种长方形的面积是( )
A.10 cm2 B.12 cm2 C.14 cm2 D.16 cm2
【题型18】综合问题
【典型例题】某人以每小时5千米的速度从家步行到单位上班，下班时以每小时4千米的速度按原路返回，结果下班时比上班时多用10分钟，如果设上班时所用的时间为x小时，则下列根据题意所列方程正确的是( )
A.5x=4(x－) B.5x＝4(x+) C.5(x－)＝4x D.5(x+)＝4x
【举一反三1】一列火车长150 m，以15 m/s的速度通过600 m的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是( )
A.30 s B.40 s C.50 s D.60 s
【举一反三2】从甲站到乙站原需16小时.采用“和谐”号动力车组提速后，列车行驶速度提高了176千米/时，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，则列车提速后的速度是( )
A.236千米/时 B.246千米/时 C.256千米/时 D.266千米/时
【举一反三3】小明与小彬骑自行车周日去郊外游玩，事先决定早晨8点出发，预计每小时骑7.5千米，上午10时可到达目的地.出发前他们决定上午9点到达目的地，那么实际每小时要骑_________千米.
【举一反三4】京－沈高速铁路河北承德段通过一隧道，估计一列火车从车头进入隧道到车尾离开隧道共需45秒，整列火车完全在隧道的时间为32秒，车身长180米，设隧道长为x米，可列方程为 .
【举一反三5】今年春节期间，张华同学和父母一起到距离家200公里的景区旅游.出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶120公里时，发现油箱剩余油量为33升；已知油箱中剩余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由.
【题型19】计费问题
【典型例题】某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费( )
A.60元 B.66元 C.75元 D.78元
【举一反三1】某出租车的收费标准是：起步价7元(只要行驶距离不超过3 km，都需付款7元)，超过3 km，往后每增加1千米增收2.4元(不足1 km按1 km计算).现从A地到B地共支出车费19元.那么，他行驶的最大路程是( )
A.9 km B.8 km C.7 km D.5 km
【举一反三2】某市出租车起步价是5元(3公里及3公里以内为起步价)，以后每公里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元，则此出租车行驶的路程可能为( )
A.5.5公里 B.6.9公里 C.7.5公里 D.8.1公里
【举一反三3】某种出租车的收费标准是：起步价5元(即行驶距离不超过3千米都需付5元车费)，超过3千米以后，每增加0.5千米，加收0.9元(不足0.5千米按0.5千米计).某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19.4元，则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是 .
【举一反三4】某城市按以下规定按月收取天然气费：用天然气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户10月份的天然气费为66元，则该用户10月份使用天然气多少立方米？
【题型20】盈不足问题
【典型例题】班主任老师在七年级(1)班新生分组时发现，若每组7人则多2人，若每组8人则少4人，那么这个班的学生人数是( )人.
A.40 B.44 C.51 D.56
【举一反三1】有x辆客车，若每辆客车乘50人，则还有10人不能上车；若每辆车乘52人，则只有2人不能上车，下列4个方程正确的是( )
A.50x+10=52x－2 B.50x－10=52x－2 C.50x+10=52x+2 D.50x－10=52x+2
【举一反三2】一篮苹果分给小朋友们，如果每人分4个苹果，则多6个，如果每人分5个苹果，则最后一个小朋友只能有4个，共有 个小朋友.
【举一反三3】A厂库存钢材为100吨，每月用去15吨；B厂库存钢材82吨，每月用去9吨.若经过x个月后，两厂库存钢材相等，可列方程为____________________________，解得x＝________.
【举一反三4】甲乙两运输队，甲队原有32人，乙队原有28人，若从乙队调走一些人到甲队，那么甲队人数恰好是乙队人数的2倍，问从乙队调走了多少人到甲队？5.3一元一次方程的应用
【知识点1】由实际问题抽象出一元一次方程 1
【知识点2】一元一次方程的应用 2
【题型1】积分问题 5
【题型2】配套调配问题 7
【题型3】航行问题 8
【题型4】求进价 10
【题型5】求标价 11
【题型6】求打折 12
【题型7】销售综合问题 13
【题型8】等积变形 15
【题型9】增长率问题 17
【题型10】求盈亏 18
【题型11】追及问题 19
【题型12】工作量为整体“1”问题 21
【题型13】相遇问题 22
【题型14】具体工作量问题 23
【题型15】图表信息问题 24
【题型16】销售问题中的方案决策问题 26
【题型17】面积体积问题 29
【题型18】综合问题 31
【题型19】计费问题 32
【题型20】盈不足问题 34
【知识点1】由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量=各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
1.（2025 广州模拟）“广州新机场”来啦！其选址佛山高明区，定位已经明确为“粤港澳大湾区国际航空枢纽之一、广州国际航空枢纽的重要组成部分、大湾区西部综合交通枢纽”．分为两期规划目标：近期规划目标年为2035年，远期规划目标年为2050年．若近期规划目标及远期规划目标共可满足年旅客吞吐量11000万人次，且远期规划目标是近期规划目标的2倍还多2000万人次．设近期规划目标为年旅客吞吐量x万人次，根据题意，可列方程为（ ）
A．2x+2000=11000 B．2x-2000=11000
C．x+2x-2000=11000 D．x+2x+2000=11000
【答案】D
【分析】设近期规划目标为年旅客吞吐量x万人次，根据“近期规划目标及远期规划目标共可满足年旅客吞吐量11000万人次”列出方程，即可求解．
【解答】解：根据题意得，x+2x+2000=11000，
故选：D．
2.（2025春 衡南县期末）“顺风”汽车队车辆数是“速达”汽车队车辆数的2倍，现从“顺风”队调9辆去“速达”队后，“顺风”队汽车数是“速达”队汽车数的1.5倍，求“顺风”和“速达”两队原来各有汽车多少辆？若设“速达”队原来有汽车x辆，根据题意，得（ ）
A．2x-9=1.5（x+9） B．2x=1.5x+9
C．x-9=1.5x+9 D．2x-9=-1.5x
【答案】A
【分析】设“速达”汽车队原来有x辆汽车，则“顺风”汽车队原来有2x辆汽车，根据从“顺风”队调9辆去“速达”队后，“顺风”队汽车数是“速达”队汽车数的1.5倍列出方程．
【解答】解：设“速达”汽车队原来有x辆汽车，则“顺风”汽车队原来有2x辆汽车，调出9辆后有汽车（2x-9）辆，而现在“速达”汽车队有汽车（x+9）辆，
由题意，得2x-9=1.5（x+9）．
故选：A．
【知识点2】一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=×100%）；（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；
（5）行程问题（路程=速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
1.（2024秋 庐阳区期末）如图，在周长为60的长方形ABCD中放入六个相同的小长方形，若AB=14，则图中阴影部分的面积S为：（ ）
A．S=104 B．S=120 C．S=224 D．S=344
【答案】A
【分析】设小长方形的宽为x,则小长方形的长为（14-2x），根据大长方形的周长为60，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再利用图中阴影部分的面积S=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论．
【解答】解：设小长方形的宽为x,则小长方形的长为（14-2x），
根据题意得：2[（14-2x）+3x+14]=60，
解得：x=2，
∴S=14×-6（14-2x） x=14×-6×（14-2×2）×2=104．
故选：A．
2.（2024秋 汤阴县期末）父亲与小强下棋（设没有平局），父亲胜一盘记2分，小强胜一盘记3分，下了10盘后，两人得分相等，则小强胜的盘数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】设小强胜了x盘，则父亲胜了（10-x）盘，根据3×小强胜的盘数=2×父亲胜的盘数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设小强胜了x盘，则父亲胜了（10-x）盘，
根据题意得：3x=2（10-x），
解得：x=4．
答：小强胜了4盘．
故选：C．
3.（2025 长沙模拟）日历上按照以下四个选项的图框圈出了三个数a,b,c,其中一个图框圈出的三个数的和为24，则这个图框是四个选项中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】日历问题，先观察这个日历的情况，且结合各个选项的三个数a,b,c的位置关系进行列式计算，即可作答．
【解答】解：根据日历特征及三个数a,b,c的位置关系逐项分析判断如下：
A．∵b=a+8，c=b+7=a+15，
∴a+a+8+a+15=24，
解得，选项A不符合题意；
B．∵b=a+6，c=b+8=a+14，
∴a+a+6+a+14=24，
解得，选项B不符合题意；
C．∵b=a+6，c=b+6=a+12，
∴a+a+6+a+12=24，
解得a=2，选项C符合题意；
D．∵b=a+1，c=a+7，
∴a+a+1+a+7=24，
解得，选项D不符合题意；
故选：C．
【题型1】积分问题
【典型例题】某队参加比赛，开局9场不败，积21分，比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，该队共胜( )
A.7场 B.6场 C.5场 D.4场
【答案】B
【解析】设该队共胜x场，由题意得3x+(9－x)=21，解得x=6.
故选：B.
【举一反三1】李明是学校的篮球小明星，在一场篮球比赛中，他一人得了21分，如果他投进的2分球比3分球多3个(没有罚球)，那么他投进的2分球有( )
A.2个 B.3个 C.6个 D.7个
【答案】C
【解析】设他投进x个2分球，则他投进(x－3)个3分球，由题意得2x＋3(x－3)＝21，
解得x＝6，即他一共投进了6个2分球.
故选：C.
【举一反三2】某学校8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制(参加比赛的队，每两队之间进行一场比赛)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班级共胜________场比赛.
【答案】4
【解析】8个班级进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余7个班级比赛，则总比赛场数为7，
设赢了x场，则平了(7－x)场，由题意得3x＋(7－x)＝15，解得x＝4.
则该班级共胜4场比赛.
【举一反三3】篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？若设胜x场，可列一元一次方程： ；
【答案】2x+10－x=16
【解析】若设胜x场，则负(10－x)场，由题意得2x+10－x=16.
【举一反三4】某校班际篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜1场得3分，负1场得1分，如果某班在第一轮的28场比赛中得48分，那么这个班胜了多少场？
【答案】解：设这个班要胜x场，则负(28－x)场，由题意得，3x+(28－x)=48，2x=20，
解得x=10.
答：这个班胜了10场.
【举一反三5】某次中国男子篮球职业联赛(即CBA)，北京首钢队在前21轮比赛中，积35分位列第七位，按比赛规则，胜一场得2分，负一场得1分，那么截止12月23日北京首钢队共胜了多少场？
【答案】解：设北京首钢队共胜了x场，则负了(21－x)场，由题意得2x+(21－x)=35，
解得x=14.
答：北京首钢队共胜了14场.
【题型2】配套调配问题
【典型例题】在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处调多少人到甲处，若设应从乙处调x人到甲处，则下列方程中正确的是( )
A.272+x=(196－x) B.(272－x)=196－x C.×272+x=196－x D.(272+x)=196－x
【答案】D
【解析】设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为(272+x)人，乙处现有的工作人数为(196－x)人.
根据“乙处工作的人数是甲处工作人数的”，列方程得(272+x)=196－x.
故选：D.
【举一反三1】已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，则可列方程为( )
A.518=2(106+x) B.518－x=2×106 C.518－x=2(106+x) D.518+x=2(106－x)
【答案】C
【解析】设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，可得518－x=2(106+x).
故选：C.
【举一反三2】有一个班去划船，计划租若干条船，这时班长说，若再增加一条船，则每条船坐6人，若减少一条船，则每条船坐9人，这个班共有( )人.
A.32 B.36 C.40 D.48
【答案】B
【解析】设原来计划租x条船，由题意，得6(x+1)=9(x－1)，6x+6=9x－9，解得x=5，
6×(5+1)=36，则这个班36个人.
故选：B.
【举一反三3】某企业原有管理人员与营销人员人数之比为3:2，总人数为180人.为了扩大市场，从管理人员中抽调 人参加营销工作，就能使营销人员的人数是管理人员人数的2倍.
【答案】48
【解析】180×=108(人)，180－108=72(人)，
设从管理人员中抽调x人参加营销工作，依题意有2(108－x)=72+x，解得x=48.
则从管理人员中抽调48人参加营销工作，就能使营销人员的人数是管理人员人数的2倍.
【举一反三4】一个车间加工轴杆和轴承，每人每天平均可以加工轴杆12根或者轴承16个，1根轴杆与2个轴承为一套，该车间共有90人，应该怎样调配人力，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套？
【答案】解：设x个人加工轴杆，(90－x)个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套，
根据题意得：12x×2=16(90－x)，
去括号得24x=1440－16x，
移项合并得40x=1440，
解得x=36.
则调配36个人加工轴杆，54个人加工轴承，才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套.
【题型3】航行问题
【典型例题】一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶要用4小时；从乙码头到甲码头逆流行驶要用5小时.已知水流速度为3千米/小时，则船在静水中的平均速度是( )
A.6千米/小时 B.9千米/小时 C.27千米/小时 D.54千米/小时
【答案】C
【解析】设船在静水中的平均速度是x千米/小时，根据题意得4(x+3)=5(x－3)，
去括号得：4x+12=5x－15，解得x=27，则船在静水中的平均速度是27千米/小时.
故选：C.
【举一反三1】飞机在A、B两城之间飞行，顺风速度是1000千米/时，逆风速度是960千米/时，则风的速度是( )
A.40千米/时 B.30千米/时 C.20千米/时 D.10千米/时
【答案】C
【解析】设风的速度是x千米/时，则1 000－x=960+x，解得x=20.
故风的速度是20千米/时.
故选：C.
【举一反三2】甲、乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的航速与水速分别是( )
A.24千米/时，8千米/时
B.22.5千米/时，2.5千米/时
C.18千米/时，24千米/时
D.12.5千米/时，1.5千米/时
【答案】B
【解析】设水流的速度为x千米/时，根据题意得－x=+x，解得x=2.5，
所以这艘轮船在静水中的航速－x=22.5(千米/时)，水速是2.5千米/时.
故选：B.
【举一反三3】一轮船行驶于A，B两个码头之间，顺水时需5小时，逆水时需7小时，已知水流速度是5km/h.若设船在静水的速度为x km/h，则船在顺水的速度为 km/h，船在逆水的速度为 km/h，由A，B两码头的距离是定值，由题意可列方程为： .
【答案】(x+5) (x－5) 5(x+5)=7(x－5)
【解析】船在顺水的速度=船在静水的速度+水流速度，船在逆水的速度=船在静水的速度－水流速度.
【举一反三4】轮船沿江从A港顺流行驶到B港比从B港返回A港少3小时，若船速为26千米/时，水流速度为2千米/时，则A港和B港相距______千米.
【答案】504
【解析】设A港和B港相距x千米，根据题意，得－=3，
解这个方程，得x=504.
【举一反三5】一架飞机飞行于两城市之间，顺风需要5小时30分，逆风需要6小时，已知风速每小时24千米，则两座城市相距多少千米.
【答案】解：设飞机的平均速度为x千米/小时，由题意得，(x+24)=6(x－24)，
解得x=552，则两座城市相距为：6×(552－24)=3168(千米).
【题型4】求进价
【典型例题】一家商店将某种商品按进货价提高100%后，又以6折优惠售出，售价为60元，则这种商品的进货价是( )
A.120元 B.100元 C.72元 D.50元
【答案】D
【解析】设进货价为x元，由题意得(1+100%)x 60%=60，解得x=50.
故选：D.
【举一反三1】某商品的标价为400元，8折销售仍赚120元，则商品进价为( )
A.150元 B.200元 C.300元 D.440元
【答案】B
【解析】设该商品的进价为x元，则：400×80%－x=120，解得x=200.
则该商品的进价为200元.
故选：B.
【举一反三2】某商品连续两次涨价20%后的价格为1 440元，则这种商品原价为 元.
【答案】1 000
【解析】设这种商品的原价为x元，由题意得(1+20%)(1+20%)x=1 440，解得x=1 000.
故这种商品原价为1 000元.
【举一反三3】红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡(注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款)，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物.
（1）顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？
（2）小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
（3）小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元？
【答案】解：（1）设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等.
根据题意得300+0.8x=x，解得x=1500，所以，当顾客消费少于1500元时不买卡合算；
当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；
当顾客消费大于1500元时买卡合算.
（2）小张买卡合算，3500－(300+3500×0.8)=400，所以小张能节省400元钱.
（3）设进价为y元，根据题意得(300+3500×0.8)－y=25%y，解得y=2480.
答：这台冰箱的进价是2480元.
【举一反三4】某商场开展消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张).某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元.求该电饭煲的进价.
【答案】解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为(1＋50%)x元，售价为80%×(1＋50%)x元，
根据题意得80%×(1＋50%)x－128＝568，解得x＝580.
答：该电饭煲的进价为580元.
【题型5】求标价
【典型例题】开元商场把进价为1 875元的某商品按标价的九折出售，仍获利20%，则该商品的标价为( )
A.2 000元 B.2 500元 C.2 800元 D.3 000元
【答案】B
【解析】设该商品的标价为x元，则售价为0.9x元，根据题意得0.9x－1875=1 875×20%，解得x=2 500，即标价为2 500元.
故选：B.
【举一反三1】某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是( )
A.350元 B.400元 C.450元 D.500元
【答案】B
【解析】设该服装标价为x元，由题意得0.6x－200=200×20%，解得x=400.
故选：B.
【举一反三2】某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少？设定价为x元，则下列方程中正确的是( )
A.x－20=x+25 B.x+25=x－20 C.x－25=x+20 D.x+20=x+25
【答案】B
【解析】设定价为x元，由题意得x+25=x－20.
故选：B.
【举一反三3】小华到新华书店购买一套丛书，该丛书八五折销售(即按原价的85%销售)比打九折销售时少3元钱，那么这套丛书的原价是 元.
【答案】60
【解析】设这套丛书的原价是x元，根据题意得：90%x－85%x=3，即5%x=3，解得x=60，则这套丛书的原价是60元.
【举一反三4】某商品的进价为300元，按标价的六折销售时，利润率为5%，则商品的标价为 元．
【答案】525
【解析】设标价为x元，则=5%，解得x=525.
【举一反三5】一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元.如果按标价的8折出售，将盈利40元.
求：（1）每件服装的标价是多少元？
（2）为保证不亏本，最多能打几折？
【答案】解：（1）设每件服装标价为x元，0.5x+20=0.8x－40，0.3x=60，解得x=200.
故每件服装标价为200元.
（2）设能打x折，由（1）可知成本为0.5×200+20=120，列方程得200×=120，解得x=6.
故最多能打6折.
【题型6】求打折
【典型例题】白云商店购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元，现为了扩大销售量，把每件的销售价降低x%出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则求x时，可列方程( )
A.0.9×(10－8)=10 x%－8
B.0.9×(10－8)=10(1－x%)－8
C.90%×10=(10－8)(1－x%)
D.90%×10=(10－8)(1－x%)－8
【答案】B
【解析】因为每件的销售价降低x%出售，卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%.
可列方程10(1－x%)－8=0.9×(10－8).
故选：B.
【举一反三1】某种商品的进价为800元，出售标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，如果要使得利润率为5%，那么销售时应该打( )
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
【答案】B
【解析】设销售时应该打x折，由题意得1 200×0.1x－800=800×5%，解得x=7，
则销售时应该打7折.
故选：B.
【举一反三2】某种商品的进价为800元，出售标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，如果要使得利润率为5%，那么销售时应该打( )
A.6折 B.7折 C.8折 D.9折
【答案】B
【解析】设销售时应该打x折，由题意得1 200×0.1x－800=800×5%，解得x=7，
则销售时应该打7折.
故选：B.
【举一反三3】一款新型的太阳能热水器进价2 000元，标价3 000元.若商场要求以利润率不低于5%的售价打折出售，设销售员出售此商品最低可打x折，由题意列方程，得（ ）
A.3 000x=2 000(1－5%)
B.3 000x－2 000=2 000×5%
C.3 000·=2 000(1－5%)
D.3 000·=2 000(1+5%)
【答案】D
【解析】利润率=×100%，而利润=售价—进价，售价＝标价×，
据此可以列出方程3 000=2 000(1+5%).
故选：D.
【题型7】销售综合问题
【典型例题】今年国庆长假期间，涪洋镇“家家福”超市某商品按标价打八折销售，小玲购了一件该商品，付款56元，则该项商品的标价为( )元.
A.56 B.68 C.70 D.72
【答案】C
【解析】设商品的标价为x元，由题意得80%x=56，解得x=70，即商品的标价为70元.
故选：C.
【举一反三1】小王去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每斤3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊主：“多买按八折，你要多少斤？”小王报了数量后摊主同意按八折卖给小王，并说：“之前一人只比你少买5斤就是按标价，还比你多花了3元呢！”则小王购买豆角的重量是( )
A.25斤 B.20斤 C.30斤 D.15斤
【答案】C
【解析】设小王购买豆角的重量是x斤，则3×0.8x＝3(x－5)－3，
整理得2.4x＝3x－18，解得x＝30.
即小王购买豆角的数量是30斤.
故选：C.
【举一反三2】某人以八折优惠价买一套服装省了25元，那么买这套服装实际用了( )
A.31.25元 B.60元 C.125元 D.100元
【答案】D
【解析】设这件衣服的原价为x元，则降价后的价格为0.8x元，由题意，得x－0.8x=25，
解得x=125，0.8x=100.
故选：D.
【举一反三3】小王去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每斤3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊主：“多买按八折，你要多少斤？”小王报了数量后摊主同意按八折卖给小王，并说：“之前一人只比你少买5斤就是按标价，还比你多花了3元呢！”则小王购买豆角的重量是( )
A.25斤 B.20斤 C.30斤 D.15斤
【答案】C
【解析】设小王购买豆角的重量是x斤，则3×0.8x＝3(x－5)－3，
整理得2.4x＝3x－18，解得x＝30.
即小王购买豆角的数量是30斤.
故选：C.
【举一反三4】某一天，蔬菜经营户王大叔花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，到菜市场按零售价卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示：
他当天批发了黄瓜和茄子各多少千克？卖完这些黄瓜和茄子共赚了多少元？
【答案】解：设王大叔当天批发了黄瓜x千克，茄子(40－x)千克.
根据题意得2.4x＋2(40－x)＝90，解得x＝25，40－x＝15，
25×(3.6－2.4)＋15×(2.8－2)＝42(元).
答：王大叔当天批发了黄瓜和茄子分别是25千克、15千克. 卖完这些黄瓜和茄子共赚了42元.
【举一反三5】张校长暑假将带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若全票价为240元.
（1）若学生有3人和5人，甲旅行社需费用多少元？乙旅行社呢？
（2）学生人数为多少时两个旅行社的收费相同？
【答案】解：（1）当学生有3人时，甲旅行社的费用：240+240×3×50%=600(元)，
乙旅行社的费用：(3+1)×240×60%=576(元)；
当学生有5人时，甲旅行社的费用：240+240×5×50%=840(元)，
乙旅行社的费用：(5+1)×240×60%=864(元).
（2）设学生数为x人，由题意得240+240×50%x=(x+1)×240×60%，解得x=4.
答：学生为4人时两个旅行社的收费相同.
【题型8】等积变形
【典型例题】要锻造直径为60 mm，高为30 mm的圆柱体钢坯，需截取直径为40 mm的圆柱体钢坯的高为（ ）
A.67.5mm B.45mm C.135mm D.90mm
【答案】A
【解析】设钢坯的高为x mm，由题得，解得x=67.5.
故选：A.
【举一反三1】内径为120 mm的圆柱形玻璃杯，和内径为300 mm，内高为32 mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（ ）
A. 150 mm B. 200 mm C. 250 mm D. 300 mm
【答案】B
【解析】设玻璃杯的内高为x mm，由题得，解得x=200，
则玻璃杯内高为200 mm.
故选：B.
【举一反三2】图1是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影后将其折叠成图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 cm3.
【答案】1 000
【解析】设长方体的高为x cm，由题得2x+x+2x+x=30，解得x=5，
所以它的体积为20×10×5=1 000 cm3.
【举一反三3】如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，求这个长方形色块图的面积．
【答案】解：设C的边长为x，则D、E、F、B的边长分别为x，x+1，x+2，x+3，
根据长方形的长相等，得x+x+x+1=x+2+x+3，解得x=4，
于是长方形的长为13，宽为11，面积为13×11=143.
【题型9】增长率问题
【典型例题】两年期定期储蓄的年利率为2.25%，某人存入银行一笔钱，到期时，共得利息675元，则他的存款额为( )
A.20 000元 B.18 000元 C.15 000元 D.12 000元
【答案】C
【解析】设存款额为x元，由题意得2.25%×2x=675，解得x=15 000.
故选：C.
【举一反三1】某工厂大力推进科技创新，使今年单位成品的成本较去年降低了20%.已知今年单位成品的成本为8元，则去年单位成品的成本为( )
A.10元 B.9元 C.9.6元 D.10.6元
【答案】A
【解析】设去年成本x元，根据题意可得x(1－20%)=8，解得x=10，故去年成本为10元.
故选：A.
【举一反三2】由于人民生活水平的不断提高，购买理财产品成为一个热门话题.某银行销售A，B，C三种理财产品，在去年的销售中，稳健理财产品C的销售金额占总销售金额的40%.由于受国际金融危机的影响，今年A，B两种理财产品的销售金额都将比去年减少20%，因而稳健理财产品C是今年销售的重点.若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年稳健理财产品C的销售金额应比去年增加____________%.
【答案】30
【解析】设今年产品C的销售金额应比去年增加x，
根据题意得：0.4(1+x)+(1－40%)(1－20%)=1，解得x=30%.
【举一反三3】某房地产公司在全国一、二、三线城市都有房屋开发项目，在去年的房屋销售中，一线城市的销售金额占总销售金额的40%.由于两会召开国家对房价实施分类调控，今年二线、三线城市的销售金额都将比去年减少15%，因而房地产商决定加大一线城市的销售力度.
若要使今年的总销售金额比去年增长5%，求今年一线城市销售金额比去年增加的百分率.
【答案】解：设今年一线城市销售金额比去年增加x，
根据题意得40%x－(1－40%)×15%=5%，解得x=35%.
答：今年一线城市销售金额比去年增加35%.
【题型10】求盈亏
【典型例题】某商场将一款品牌时装按标价打九折出售，可获利80%；若按标价打七折出售，可获利( )
A.30% B.40% C.50% D.56%
【答案】B
【解析】设按标价打七折出售，设可获利x，再设成本为a元，
根据题意，得=，解得x=0.4=40%.
即按标价打七折出售，可获利40%.
故选：B.
【举一反三1】新华书店销售甲、乙两种书籍，分别卖得1 560元和1 350元，其中甲种书籍盈利25%，而乙种书籍亏本10%，则这一天新华书店共盈亏情况为( )
A.盈利162元 B.亏本162元 C.盈利150元 D.亏本150元
【答案】A
【解析】设甲、乙两种书籍的进价分别为x元和y元，
则(1+25%)x=1 560，解得x=1 248(元)；(1－10%)y=1 350，解得y=1 500(元).
而(1 560+1 350)－(1 248+1 500)=162，所以这一天新华书店共盈亏情况为盈利162元.
故选：A.
【举一反三2】某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，在这次买卖中他( )
A.不赚不赔 B.赚9元 C.赔18元 D.赚18元
【答案】C
【解析】设在这次买卖中原价都是x元，
则可列方程(1+25%)x=135，解得x=108，比较可知，第一件赚了27元，
第二件可列方程(1－25%)x=135，解得x=180，比较可知亏了45元，
两件相比则一共亏了18元.
故选：C.
【举一反三3】某羽绒服专卖店，在初冬时以600元/件购进一款羽绒服20件，以每件提价20%进行标价并卖出15件，后来天气逐渐变暖，店家只能在标价的基础上打8折卖掉另5件，那么店家在买卖这20件羽绒服中盈利了 元.
【答案】1 680
【解析】设店家在买卖这20件羽绒服中盈利了x元，
由题意，得15×6001+20%+5×6001+20%×80%=600×20+x，解得x=1 680.
即店家在买卖这20件羽绒服中盈利了1 680元.
【举一反三4】学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元.店方表示：如果多购可以优惠.结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.
【答案】解：设每套课桌椅的成本为x元，由题意得60×(100－x)=72×(100－3－x)，
解得x=82.
答：每套课桌椅的成本为82元.
【举一反三5】某商场以每件120元的价格购进了某种品牌的衬衫600件，并以每件140元的价格销售了500件，由于天气原因，商场准备采取促销措施，问剩下的衬衫促销价格定为每件多少元时，销售完这批衬衫恰好盈利10 800元？
【答案】解：设剩下的衬衫促销价格定为每件x元，
则由题得(140－120)×500+(x－120)×100=10 800，解得x=128.
答：剩下的衬衫促销价格定为每件128元时，销售完这批衬衫恰好盈利10 800元.
【题型11】追及问题
【典型例题】在400米跑道上有两人练中长跑，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑260米，两人同地、同时、同向起跑，t分钟后第一次相遇，t等于（ ）
A.10分 B.15分 C.20分 D.30分
【答案】A
【解析】当甲、乙两人再次相遇时，甲比乙多跑了400米，列方程得260t+400=300t，解得t=10.
故选：A.
【举一反三1】父子二人早上去公园晨练，父亲从家出发跑步到公园需30分钟，儿子只需20分钟，如父亲比儿子早出发5分钟，儿子追上父亲需 ( )
A.8分钟 B.9分钟 C.10分钟 D.11分钟
【答案】C
【解析】从家到公园的路程设为整体1，设儿子追上父亲所需的时间是x分钟，
根据题意得，解得x=10.
故选：C.
【举一反三2】甲、乙两车都以90 km/h的速度在一段笔直的高速公路上匀速行驶，甲车在前，乙车在后，当甲车刚好驶进一个50 m隧道的道口时，乙车此时按了一下喇叭，而甲车的驾驶员在刚出隧道道口时，听到了后面乙车传来的喇叭声(假设声音的速度为340 m/s)，则甲、乙两车之间的距离为( )
A.580 m B.630 m C.680 m D.730 m
【答案】B
【解析】设甲、乙两车之间的距离为x千米，90 km/h=25 m/s，×340=x+50，x=630，
两车之间的距离为630m.
故选：B.
【举一反三3】甲、乙两人练习赛跑，甲每秒钟跑8米，乙每秒钟跑6米，若甲让乙先跑100米，则甲追上乙所需的时间是( )
A.40秒 B.45秒 C.50秒 D.60秒
【答案】C
【解析】设甲追上乙所需的时间是x秒，根据题意得：8x=6x+100，解得x=50.
则甲追上乙所需的时间是50秒.
故选：C.
【举一反三4】甲、乙两汽车站相距190 km，一辆汽车以30 km/h的速度从甲地开往乙地，出发2 h后，一辆摩托车以50 km/h的速度也从甲地开往乙地，摩托车需要多长时间才能追上汽车？
【答案】解：设摩托车需要x小时长时间才能追上汽车，依题意有(50－30)x=30×2，
解得x=3，故摩托车需要3小时长时间才能追上汽车.
【举一反三5】小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他.
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
【答案】解：（1）先设小明爸爸追上小明用了x分钟，那么小明走了(x+5)分钟，
由题意得80(x+5)=180x，解得x=4，
所以小明爸爸追上小明用了4分钟.
（2）小明此时已经行走的路程为80×9=720米，
所以追上小明时，距离学校的距离为1 000－720=280米.
【题型12】工作量为整体“1”问题
【典型例题】甲、乙两个人给花园浇水，甲单独做需要4小时完成任务，乙单独做需要6小时完成任务，现在由甲、乙合作，完成任务需( )小时.
A.2.4 B.3.2 C.5 D.10
【答案】A
【解析】设现在由甲、乙合作，完成任务需要x小时，将总工作量看作“1”，
依题意得()x＝1，解得x＝2.4.
故选：A.
【举一反三1】一个蓄水池有甲、乙两个进水管，单独开甲管20小时可以注满水池，单独开乙管12小时可以注满水池，那么两管齐开注满水池，需要( )
A.15小时 B.6小时 C.7.5小时 D.8小时
【答案】C
【解析】把满蓄水池看成单位1，则甲管的水速为，乙管的水速为，
设两管齐开需x小时，则(+)x=1，解得x=7.5.
故选：C.
【举一反三2】一项工程甲单独做要20小时，乙单独做要12小时，现先由甲单独做5小时，然后乙加入进来合作.完成整个过程一共需要多少小时？若设一共需要x小时，则所列的方程是( )
A.×5+(+)(x+5)=1
B.×5+(x+5)=1
C.×5+(+)(x－5)=1
D.×5+(x－5)=1
【答案】C
【解析】设一共需要x小时，则甲乙共同工作了(x－5)小时，由题意得×5+(+)(x－5)=1.
故选：C.
【举一反三3】某地下管道由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时相向施工，要________天可以完成铺设.
【答案】8
【解析】设要x天可以完成铺设，甲工程队单独铺设需要12天，则甲的工作效率为；
乙工程队单独铺设需要24天，则乙的工作效率为，所以()x＝1，解得x＝8.
所以要8天可以完成铺设.
【举一反三4】为了方便学生进行体育锻炼，某学校计划要建一个室内运动场，现有甲、乙两个工程队，若由甲队单独完成需要15天，由乙队单独完成需要20天，假设由甲工程队先单独做8天，然后乙工程队加入合作，则还需要多少天才能完成此项工程？
【答案】解：设还需要x天才能完成此项工程，根据题意得+(+)x=1，解得x=4.
答：还需要4天才能完成此项工程.
【举一反三5】一项工程由甲单独做需12天完成，由乙单独做需8天完成，若两人合作3天后，剩下部分由乙单独完成，乙还需做多少天？
【答案】解：设乙还需做x天.由题意得++=1，解得x=3.
答：乙还需做3天.
【题型13】相遇问题
【典型例题】甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发，分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑.6秒钟后，一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑，遇到乙后，又从乙处以每秒6米的速度向甲跑，如此往返直至甲、乙第一次相遇.那么小狗共跑了( )米.
A.444 B.446 C.448 D.450
【答案】A
【解析】设甲乙两人相遇需要的时间为x秒，则2x+3x=400，解得x=80，
则小狗跑了80－6=74秒，小狗跑的路程为74×6=444米.
故选：A.
【举一反三1】一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )
A.7.5秒 B.6秒 C.5秒 D.4秒
【答案】D
【解析】设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是x秒，则x=80，解得x=4.
故选：D.
【举一反三2】甲、乙两车分别从相距360 km的A、B两地出发，甲车速度为72 km/h，乙车速度为48 km/h.两车同时出发，相向而行， h后两车相遇.
【答案】3
【解析】设x小时两车相遇，根据题意得出(72+48)x=360，解得：x=3.
则3小时两车相遇.
【举一反三3】一辆慢车从A地开往300 km外的B地，同时，一辆快车从B地开往A地，已知慢车速度为40 km/h，快车速度是慢车速度的1.5倍，它们出发 小时后两车相距100 km.
【答案】2或4
【解析】①未相遇时，设它们出发x小时后相距100 km，则根据题意得40x+60x=300－100，解得x=2.
②相遇后，设它们出发x小时后相距100 km，则40x+60x=300+100，解这个方程得x=4，
即两车出发后2小时或4小时相距100 km.
【举一反三4】我国幅员辽阔，南北相距约5 500千米，一架客机由南疆向北飞行，同时一架侦察机由北疆向南飞行，结果5小时相遇，又知侦察机的速度是客机的1.5倍，请你列出方程并算出侦察机的速度.
【答案】解：设客机的速度是x千米/时，则侦察机的速度是1.5x千米/时，
根据题意得5(1.5x+x)=5 500，解得x=440，1.5x=660.
答：侦察机的速度是660千米/时.
【题型14】具体工作量问题
【典型例题】已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则( )
A.2x＋3(72－x)＝30 B.3x＋2(72－x)＝30 C.2x＋3(30－x)＝72 D.3x＋2(30－x)＝72
【答案】D
【解析】设男生有x人，则女生有(30－x)人，根据题意可得3x＋2(30－x)＝72.
故选：D.
【举一反三1】加工1 500个零件，甲单独做需要12小时，乙单独做需要15小时，若两个合做需x小时，依题意可列方程( )
A. ()x=1 500 B. (+)x=1 500 C. ()x=1 500 D. (+)x=1
【答案】B
【解析】设两个合做需x小时，由题意可得，甲每小时完成个；乙每小时完成个.
根据等量关系列方程：(+)x=1 500.
故选：B.
【举一反三2】某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成了任务，而且还多生产了60件，设原计划每小时生产y个零件，可列方程为 .
【答案】12(y+10)=13y+60
【解析】设原计划每小时生产y个零件，则实际每小时生产(y+10)个零件.
根据等量关系列方程得：12(y+10)=13y+60.
【举一反三3】近年来，各地旅游业迅速崛起，某风景旅游区为了打造一条靓丽的风光带，将一段长为360米的河道整治任务安排给甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治河道24米，乙工程队每天整治河道16米，甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道？
【答案】解：设甲工程队整治了x m的河道，则乙工程队整治了(360－x)m的河道，
根据题意可得+=20，解得x=120，故360－120=240(m).
答：甲工程队整治了120 m的河道，则乙工程队整治了240 m的河道.
【题型15】图表信息问题
【典型例题】某小区实行“阶梯水价”收费，用水不超过10吨，每吨收费a元；超过10吨，超过部分每吨加收1元，某用户12月份用水14吨，缴纳水费32元，根据题意列方程为( )
A.10a＋4(a＋1)＝32 B.10a－4(a＋1)＝32 C.10(a＋1)＝32 D.14(a＋1)－4＝32
【答案】A
【举一反三1】学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同.下表记录了3名参赛学生的得分情况，若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是( )
A.80 B.76 C.75 D.70
【答案】B
【解析】根据表格数据，A学生答对20道得分100，可知每答对一道题得100÷20＝5(分)；
设答错或不答一道题扣x分，由B学生答对18道题，答错或不答2道题得分88，
可得18×5－2x＝88，解得x＝1，
由以上计算可知，答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分，小亮答对16道题，
则有16×5－(20－16)×1＝76(分).
故选：B.
【举一反三2】在“五一劳动节”期间，某商场对该商场商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买售价为80元/件的商品n件时，实际付款504元，则n＝____________.
【答案】7或8
【解析】设小华打折前应付款x元，
①打折前购物金额超过400元，但不超过600元，
由题意得0.9x＝504，解得x＝560，560÷80＝7(件)；
②打折前购物金额超过600元，
由题意得600×0.8＋(x－600)×0.6＝504，解得x＝640，640÷80＝8(件).
所以n＝7或8.
【举一反三3】公园门票价格规定如表：
某校七年级一班和二班共102人去游园，其中一班有40多人，不足50人.经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1 422元.问：
（1）两个班各有多少学生？
（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则要比两个班都以班为单位购票省多少元钱？
（3）如果七年级一班单独组织去游园，作为组织者的你认为如何购票才最省钱？
【答案】解：（1）设一班有x人，则15x＋13(102－x)＝1 422，解得x＝48，102－48＝54，
答：一班有48人，二班有54人.
（2）1 422－102×11＝300(元).
答：两个班联合购票要比分别购票省300元.
（3）七年级一班单独组织去游园，如果按实际人数购票，需花费48×15＝720(元)，
若购买51张票，需花费51×13＝663(元)，
663＜720，
答：七年级一班单独组织去游园，直接购买51张票更省钱.
【题型16】销售问题中的方案决策问题
【典型例题】文具店销售某种笔，每支1.8元，小华去购买这种笔，买好后结账时，同去的小寒对他说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在还便宜3.6元”，小华说：“那就多买一个吧.”根据两人的对话可知，小华结账时实际付了( )
A.54元 B.52.2元 C.48.6元 D.46.9元
【答案】C
【解析】依题意得：1.8(x－1)－1.8×0.9x＝3.6，解得x＝30，则1.8×0.9x＝1.8×0.9×30＝48.6.
则小华结账时实际付了48.6元.
故选：C.
【举一反三1】小王一家四口人和两个姑姑及其一家人，一起到某景点旅游，此景点收费标准如下：不超过5人按每人50元收门票，若超过5人，超过的每人门票将打六折，结果比单独去每人少花10元钱，那么两个姑姑家一共去的人数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】设两个姑姑家一共去的人数是x，
根据题意得50(x＋4)－50×5－50(x＋4－5)×60%＝10(x＋4)，解得x＝6.
即两个姑姑家一共去了6人.
故选：D.
【举一反三2】某同学花了30元钱购买图书馆会员证，只限本人使用，凭证购入场券每张1元，不凭证购入场券每张4元，要想使得办会员证比不办会员证合算，该同学去图书馆阅览应超过( )
A.8次 B.9次 C.10次 D.11次
【答案】C
【解析】设该同学去图书馆阅览次数为x时，办会员证与不办会员证花费相同，
则30＋1·x＝4x，解得x＝10，所以去的次数超过10时，办会员证合算.
故选：C.
【举一反三3】某地有甲、乙两家超市，春节来临之际两个超市分别给出了不同的促销方案：甲超市购物全场8.8折.乙超市购物①不超过200元，不给予优惠；②超过200元而不超过600元，打9折；③超过600元，其中的600元仍打9折，超过600元的部分打8折.假设两家超市相同商品的标价都一样，当标价总额是________元时，甲、乙两家超市实付款一样.
【答案】750
【解析】设当标价总额是x元时，甲、乙两家超市实付款一样.
当一次性购物标价总额恰好是600元时，
甲超市实付款为600×0.88＝528(元)，
乙超市实付款为600×0.9＝540(元).
因为528＜540，所以x＞600.
根据题意得0.88x＝600×0.9＋0.8(x－600)，解得x＝750.
所以当标价总额是750元时，甲、乙两家超市实付款一样.
【举一反三4】为培养学生良好的书写习惯，某校组织学生每天抽出一些时间，开展“书为心画，字为心声”练字书写活动.活动初期，初一年级需要在文具店购买钢笔和字帖分发给学生练习，每购买一支钢笔，则需配备两本字帖搭配练习.甲、乙两家文具店的标价相同，每支钢笔的价格比每本字帖的价格多20元，而且一支钢笔的价格刚好与三本字帖的价格相同.
（1）一支钢笔和一本字帖的价格各是多少元？
（2）已知初一年级有980名学生，现两家文具店的优惠如下：
甲文具店：全场商品购物超过20 000元，超出20 000元的部分打八五折；
乙文具店：相同商品，“买十件赠一件”.
请问在哪家文具店购买比较优惠？
【答案】解：（1）设字帖的价格是x元，则钢笔的价格是3x元，
依题意有3x－x＝20，解得x＝10，则3x＝3×10＝30.
答：一支钢笔的价格是30元，一本字帖的价格是10元.
（2）可知购买钢笔980支，购买字帖1 960本，
所以全部金额为980×30＋1 960×10＝49 000(元)，
在甲文具店的应付金额为20 000＋(49 000－20 000)×0.85＝44 650(元).
买十件赠一件，980件可以少买89件，1 960本可以少买178本，
在乙文具店的应付金额为(980－89)×30＋(1 960－178)×10＝44 550(元)，
44 650＞44 550，
答：在乙文具店购买比较优惠.
【举一反三5】某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1 200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2 000元.该工厂的生产能力是：制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨.这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此设计两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余的直接销售鲜奶.
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并且恰好4天完成.
问：你认为选择哪种方案获利多？为什么？
【答案】解：方案一利润：4×2 000+5×500=10 500（元）
方案二：设x吨制成奶片，则（9－x)吨制成酸奶，依题意得x+=4，
解得x=1.5，则9－x=7.5，
方案二利润：1.5×2 000+7.5×1 200=12 000（元），
10 500<12 000，选择方案二获利多.
【题型17】面积体积问题
【典型例题】如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为( )cm2.
A.400 B.500 C.300 D.750
【答案】A
【解析】根设小长方形的长为xcm，则宽为(50－x)cm，
根据题意可得：2x=x+4(50－x)，解得x=40，故50－x=10(cm).
则一个小长方形的面积为10×40=400(cm2).
故选：A.
【举一反三1】桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15厘米，各装有10厘米高的水，而且甲、乙、丙三个杯子的底面积分别为60、80、100平方厘米.现小明将甲、乙两杯内的一些水倒入丙杯，过程中水没有溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3:4:5，则甲杯内水的高度变为多少厘米？( )
A.5.4 B.5.7 C.7.2 D.7.5
【答案】C
【解析】设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3xcm、4xcm、5xcm，
根据题意得：60×10+80×10+100×10=60×3x+80×4x+100×5x，解得x=2.4，
则甲杯内水的高度变为3×2.4=7.2(厘米).
故选：C.
【举一反三2】用A，B两种规格的长方形纸板(如图1)无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为32 cm的正方形，已知A种长方形的宽为1 cm，则B种长方形的面积是( )
A.10 cm2 B.12 cm2 C.14 cm2 D.16 cm2
【答案】B
【解析】设A种长方形的长是x cm，则B种长方形的宽是(4－x)cm，B种长方形的长是(8－x)cm，
依题意有4[(4－x)+(8－x)]＝32，解得x＝4，
(4－x)(8－x)＝(4－2)×(8－2)＝2×6＝12(cm2)，即B种长方形的面积是12 cm2.
故选：B.
【举一反三3】桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15厘米，各装有10厘米高的水，而且甲、乙、丙三个杯子的底面积分别为60、80、100平方厘米.现小明将甲、乙两杯内的一些水倒入丙杯，过程中水没有溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3:4:5，则甲杯内水的高度变为多少厘米？( )
A.5.4 B.5.7 C.7.2 D.7.5
【答案】C
【解析】设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3xcm、4xcm、5xcm，
根据题意得：60×10+80×10+100×10=60×3x+80×4x+100×5x，解得x=2.4，
则甲杯内水的高度变为3×2.4=7.2(厘米).
故选：C.
【举一反三4】用A，B两种规格的长方形纸板(如图1)无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为32 cm的正方形，已知A种长方形的宽为1 cm，则B种长方形的面积是( )
A.10 cm2 B.12 cm2 C.14 cm2 D.16 cm2
【答案】B
【解析】设A种长方形的长是x cm，则B种长方形的宽是(4－x)cm，B种长方形的长是(8－x)cm，
依题意有4[(4－x)+(8－x)]＝32，解得x＝4，
(4－x)(8－x)＝(4－2)×(8－2)＝2×6＝12(cm2)，即B种长方形的面积是12 cm2.
故选：B.
【题型18】综合问题
【典型例题】某人以每小时5千米的速度从家步行到单位上班，下班时以每小时4千米的速度按原路返回，结果下班时比上班时多用10分钟，如果设上班时所用的时间为x小时，则下列根据题意所列方程正确的是( )
A.5x=4(x－) B.5x＝4(x+) C.5(x－)＝4x D.5(x+)＝4x
【答案】B
【解析】设上班时所用的时间为x小时，则下班用时(x+)小时，由题意得，5x=4(x+).
故选：B.
【举一反三1】一列火车长150 m，以15 m/s的速度通过600 m的隧道，从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是( )
A.30 s B.40 s C.50 s D.60 s
【答案】C
【解析】从火车进入隧道口算起，到这列火车完全通过隧道所需时间是x s，
由题意得15x=150+600，解得x=50.
故选：C.
【举一反三2】从甲站到乙站原需16小时.采用“和谐”号动力车组提速后，列车行驶速度提高了176千米/时，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，则列车提速后的速度是( )
A.236千米/时 B.246千米/时 C.256千米/时 D.266千米/时
【答案】C
【解析】设列车提速后的速度是x千米/时，则提速前的速度为(x－176)千米/时，
由题意，得16(x－176)=(16－11)x，解得x=256.
故选：C.
【举一反三3】小明与小彬骑自行车周日去郊外游玩，事先决定早晨8点出发，预计每小时骑7.5千米，上午10时可到达目的地.出发前他们决定上午9点到达目的地，那么实际每小时要骑_________千米.
【答案】15
【解析】设实际每小时要骑x千米，根据题意得7.5×(10－8)=(9－8)x，解得x=15，
则实际每小时骑15千米.
【举一反三4】京－沈高速铁路河北承德段通过一隧道，估计一列火车从车头进入隧道到车尾离开隧道共需45秒，整列火车完全在隧道的时间为32秒，车身长180米，设隧道长为x米，可列方程为 .
【答案】＝
【解析】根据题意得车头进入隧道到车尾离开隧道共需45秒，则其速度是，
整列火车完全在隧道的时间为32秒，则其速度是.
则有方程＝.
【举一反三5】今年春节期间，张华同学和父母一起到距离家200公里的景区旅游.出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶120公里时，发现油箱剩余油量为33升；已知油箱中剩余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由.
【答案】解：设汽车每行驶一公里耗油x升，由题意得，120x=45－33，解得x=0.1，
因为45－200×2×0.1=5＞3，所以如果往返途中不加油，他们能在汽车报警前回到家.
【题型19】计费问题
【典型例题】某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费( )
A.60元 B.66元 C.75元 D.78元
【答案】B
【解析】设4月份用了煤气x立方，则60×0.8+(x－60)×1.2=0.88×x，解得x=75，75×0.88=66元.
故选：B.
【举一反三1】某出租车的收费标准是：起步价7元(只要行驶距离不超过3 km，都需付款7元)，超过3 km，往后每增加1千米增收2.4元(不足1 km按1 km计算).现从A地到B地共支出车费19元.那么，他行驶的最大路程是( )
A.9 km B.8 km C.7 km D.5 km
【答案】B
【解析】设他行程的最大值为x km，则有7+2.4(x－3)=19，解得x=8.
故选：B.
【举一反三2】某市出租车起步价是5元(3公里及3公里以内为起步价)，以后每公里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元，则此出租车行驶的路程可能为( )
A.5.5公里 B.6.9公里 C.7.5公里 D.8.1公里
【答案】B
【解析】设人坐车可行驶的路程最远是x km，根据题意得5+1.6(x－3)=11.4，解得x=7.
观察选项，只有B选项符合题意.
故选：B.
【举一反三3】某种出租车的收费标准是：起步价5元(即行驶距离不超过3千米都需付5元车费)，超过3千米以后，每增加0.5千米，加收0.9元(不足0.5千米按0.5千米计).某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19.4元，则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是 .
【答案】11千米
【解析】设从甲地到乙地经过的路程为x千米，由题意得5+(x－3)÷0.5×0.9=19.4，
解得x=11，即此人从甲地到乙地经过的路的最远可能是11千米.
【举一反三4】某城市按以下规定按月收取天然气费：用天然气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某用户10月份的天然气费为66元，则该用户10月份使用天然气多少立方米？
【答案】解：设该用户10月份使用天然气x立方米，
根据题意列方程得60×0.8＋1.2(x－60)＝66，解得x＝75.
答：该用户10月份使用天然气75立方米.
【题型20】盈不足问题
【典型例题】班主任老师在七年级(1)班新生分组时发现，若每组7人则多2人，若每组8人则少4人，那么这个班的学生人数是( )人.
A.40 B.44 C.51 D.56
【答案】B
【解析】设这个班的学生人数是x人，则由题意得，解得x=44.
故选：B.
【举一反三1】有x辆客车，若每辆客车乘50人，则还有10人不能上车；若每辆车乘52人，则只有2人不能上车，下列4个方程正确的是( )
A.50x+10=52x－2 B.50x－10=52x－2 C.50x+10=52x+2 D.50x－10=52x+2
【答案】C
【解析】由50x+10与52x+2都表示同一个量总人数，即可列出方程为50x+10=52x+2.
故选：C.
【举一反三2】一篮苹果分给小朋友们，如果每人分4个苹果，则多6个，如果每人分5个苹果，则最后一个小朋友只能有4个，共有 个小朋友.
【答案】7
【解析】设共有x个小朋友，则苹果有(4x+6)个，则(4x+6)－5(x－1)=4，
整理得－x+11=4，解得x=7.
【举一反三3】A厂库存钢材为100吨，每月用去15吨；B厂库存钢材82吨，每月用去9吨.若经过x个月后，两厂库存钢材相等，可列方程为____________________________，解得x＝________.
【答案】100－15x＝82－9x 3
【解析】A厂库存钢材为100吨，每月用去15吨，经过x个月后，A厂库存钢材为(100－15x)吨；
B厂库存钢材82吨，每月用去9吨，经过x个月后，B厂库存钢材为(82－9x)吨；
因为经过x个月后，两厂库存钢材相等，所以可得等式100－15x＝82－9x.
解得x＝3.
【举一反三4】甲乙两运输队，甲队原有32人，乙队原有28人，若从乙队调走一些人到甲队，那么甲队人数恰好是乙队人数的2倍，问从乙队调走了多少人到甲队？
【答案】解：设从乙队调走了x人到甲队，根据题意列方程得(28－x)×2=32+x，解得x=8.
答：从乙队调走了8人到甲队.
