第26章 二次函数 单元测试（含答案）华东师数学大版九年级下册
文档属性
| 名称 | 第26章 二次函数 单元测试（含答案）华东师数学大版九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 106.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-29 15:30:49 | ||
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文档简介
华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中不是二次函数的有（ ）
A．y=（x-1）2 B．
C．y=3x2+2x-1 D．y=（x+1）2-x2
2．二次函数y=ax2-3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．抛物线y=-（x+2）2的顶点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（-2，0） C．（0，2） D．（0，-2）
4．抛物线y=x2向下平移一个单位得到抛物线（ ）
A．y=（x+1）2 B．y=（x-1）2 C．y=x2+1 D．y=x2-1
5．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=-1，x2=3，则抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
6．如图，抛物线y=x2-2x与直线y=3相交于点A、B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为（ ）
A．（-1，0） B．（0，0） C．（1，0） D．（3，0）
7．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于x轴对称，则它们的顶点相距（ ）
A．4个单位长度 B．个单位长度
C．12个单位长度 D．个单位长度
8．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m,BC=2m,AD=4m,如图2所示，则点C到AD的距离为（ ）
A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m
9．已知函数y1=mx2+n,y2=nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m时，到达最大高度4m,篮圈距地面3m,设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为y=-+4；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,则他能成功拦截．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．如图，点A（a,b）是抛物线y=x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c,d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=；⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x-3）=4的两个根，且x1＜x2，则x1＜-1＜x2＜3．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共5小题）
13．抛物线y=-3（x-4）2+5的顶点坐标是 ______．
14．将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的函数图象的表达式是______．
15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0），若点A（-2，n），B（2，n），P（2m-1，y1），Q（m2+2，y2）都在该函数图象上，则y1和y2的大小关系是 ______．
16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列说法：①2a+b=0；②b2-4ac＜0；③若（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④4a-2b+c＞0；⑤x=-1是一元二次方程ax2+（b-c）x=0（a≠0）的解，其中正确的有______．（填写正确的序号）
17．定义：若存在实数m＞0，对于任意的函数值y,都满足-m≤y≤m,则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y=-x2+1（t-3≤x≤t,t＞0）的图象向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足时，则t的取值范围是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … -3 -4 -3 0 5 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出该二次函数图象与x轴的交点坐标．
19．已知二次函数y=（x+1）（x+a）（其中a是常数）的图象经过点A（4，5），B（m,n），
（1）求a的值；
（2）求该抛物线的对称轴；
（3）当n＜5时，求m的取值范围．
20．天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．（2025 西宁一模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-3，0），B两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为点D，对称轴是直线l.
（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）求四边形ADCB的面积；
（3）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于点A（-1，0）、点B（4，0），与y轴交于点C．点P是第一象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，连接PC，当∠PCB=2∠CBA时，求点P的坐标；
（3）如图，过点P作PD⊥BC于点D，求的最大值．
华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、B 3、B 4、D 5、A 6、C 7、C 8、B 9、A 10、B 11、B 12、D
二．填空题（共5小题）
13、（4，5）； 14、y=3（x+2）2-4； 15、y1≤y2； 16、①④⑤； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵抛物线经过点（0，-3），（2，-3），（1，-4），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-4），
设抛物线解析式为y=a（x-1）2-4，
把（0，-3）代入得a（0-1）2-4=-3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x-1）2-4；
（2）∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
即该二次函数图象与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）．
19、解：（1）∵二次函数y=（x+1）（x+a）的图象经过点A（4，5），
∴5（4+a）=5，
∴a=-3；
（2）∵a=-3，
∴y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3，
∴该抛物线的对称轴为x=-=1；
（3）由（2）知A（4，5）关于对称轴的对称点为（-2，5），
∴当n＜5时，m的取值范围为-2＜m＜4．
20、解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b,
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y=-x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W=（x-10）y
=（x-10）（-x+40）
=-x2+50x-400
=-（x-25）2+225，
∵a=-1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
21、解：（1）把A（-3，0），C（0，-3）代入y=x2+bx+c,得，
解得
∴抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3；
∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4；
∴D（-1，-4）；
（2）设直线AC的解析式为 y=kx+m（k≠0），把 A（-3，0），C（0，-3）代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为 y=-x-3，
∴当 x=-1 时y=-2，
∴AC与直线l的交点E（-1，-2），
∵D（-1，-4），E（-1，-2），
∴DE=2，
，
y=x2+2x-3，当y=0时，x2+2x-3=0解得x1=-3，x2=1，
∴B（-1，0），
又∵A（-3，0），
∴AB=4，
∵C（0，-3），
∴OC=3，
∴，
∴S四边形ADCB=S△ADC+S△ABC=3+6=9；
（3）存在，理由：
由点A、C的坐标得，AC=3，
当△AOM与△ABC相似时，存在△ABC∽△AOM或△ABC∽△AMO，
则AM：AC=AO：AB或AM：AB=AO：AC，即AM：3=3：4或AM：4=3：3，
解得：AM=2或，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-x-3，设点M（m,-m-3），
当AM=2时，则（m+3）2+（-m-3）2=（2）2，
解得：m=-1（不合题意的值已舍去），
当AM=时，同理可得，m=-，
即M的坐标为或（-1，-2）．
22、解：（1）由题意得：y=a（x+1）（x-4）=a（x2-3x-4），
则-4a=3，则a=-，
则抛物线的表达式为：y=-x2+x+3；
（2）过点C作CE∥AB，则∠ECB=∠CBA，
∵∠PCB=2∠CBA，则∠PCE=∠CBA，
则tan∠PCE=tan∠CAB=，
则直线PC的表达式为：y=x+3，
联立上式和抛物线的表达式得：x+3=-x2+x+3，
解得：x=0（舍去）或2，
即点P（2，）；
（3）过点P作PT⊥x轴于点T，交CB于点H，作DN⊥PH于点N，
则∠TPD=∠CBA=α，tanα==，则sinα=，cosα=，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=-x+3，
设点P（x,-x2+x+3），则点H（x,-x+3），
则PH=（-x2+x+3）-（-x+3）=-x2+3x,
则DH=PH sinα=PH，BH==（4-x），
则BD=HD+BH=PH+（4-x），
而PD=PH sinα=PH，
则=PH+（4-x）+PH=PH+（4-x）=-（x-）2+≤，
即的最大值为：．
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中不是二次函数的有（ ）
A．y=（x-1）2 B．
C．y=3x2+2x-1 D．y=（x+1）2-x2
2．二次函数y=ax2-3x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．抛物线y=-（x+2）2的顶点坐标是（ ）
A．（2，0） B．（-2，0） C．（0，2） D．（0，-2）
4．抛物线y=x2向下平移一个单位得到抛物线（ ）
A．y=（x+1）2 B．y=（x-1）2 C．y=x2+1 D．y=x2-1
5．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=-1，x2=3，则抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
6．如图，抛物线y=x2-2x与直线y=3相交于点A、B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为（ ）
A．（-1，0） B．（0，0） C．（1，0） D．（3，0）
7．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于x轴对称，则它们的顶点相距（ ）
A．4个单位长度 B．个单位长度
C．12个单位长度 D．个单位长度
8．某校计划举办劳动之星颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“劳”“动”“之”“保”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD，抛物线最高点的五角星（点E）到BC的距离为0.6m,BC=2m,AD=4m,如图2所示，则点C到AD的距离为（ ）
A．2m B．1.8m C．2.4m D．1.5m
9．已知函数y1=mx2+n,y2=nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m,与篮圈中心的水平距离为7m,当球出手后水平距离为4m时，到达最大高度4m,篮圈距地面3m,设篮球运行的轨迹为抛物线，如图所示建立的平面直角坐标系．有下列结论：①抛物线的解析时为y=-+4；②此球不能投中；③若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m,则他能成功拦截．其中正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．如图，点A（a,b）是抛物线y=x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c,d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac=-bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=；⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x-3）=4的两个根，且x1＜x2，则x1＜-1＜x2＜3．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共5小题）
13．抛物线y=-3（x-4）2+5的顶点坐标是 ______．
14．将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的函数图象的表达式是______．
15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0），若点A（-2，n），B（2，n），P（2m-1，y1），Q（m2+2，y2）都在该函数图象上，则y1和y2的大小关系是 ______．
16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列说法：①2a+b=0；②b2-4ac＜0；③若（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④4a-2b+c＞0；⑤x=-1是一元二次方程ax2+（b-c）x=0（a≠0）的解，其中正确的有______．（填写正确的序号）
17．定义：若存在实数m＞0，对于任意的函数值y,都满足-m≤y≤m,则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y=-x2+1（t-3≤x≤t,t＞0）的图象向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足时，则t的取值范围是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … -3 -4 -3 0 5 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）直接写出该二次函数图象与x轴的交点坐标．
19．已知二次函数y=（x+1）（x+a）（其中a是常数）的图象经过点A（4，5），B（m,n），
（1）求a的值；
（2）求该抛物线的对称轴；
（3）当n＜5时，求m的取值范围．
20．天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．（2025 西宁一模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-3，0），B两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为点D，对称轴是直线l.
（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）求四边形ADCB的面积；
（3）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于点A（-1，0）、点B（4，0），与y轴交于点C．点P是第一象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，连接PC，当∠PCB=2∠CBA时，求点P的坐标；
（3）如图，过点P作PD⊥BC于点D，求的最大值．
华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、B 3、B 4、D 5、A 6、C 7、C 8、B 9、A 10、B 11、B 12、D
二．填空题（共5小题）
13、（4，5）； 14、y=3（x+2）2-4； 15、y1≤y2； 16、①④⑤； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵抛物线经过点（0，-3），（2，-3），（1，-4），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-4），
设抛物线解析式为y=a（x-1）2-4，
把（0，-3）代入得a（0-1）2-4=-3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x-1）2-4；
（2）∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
即该二次函数图象与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）．
19、解：（1）∵二次函数y=（x+1）（x+a）的图象经过点A（4，5），
∴5（4+a）=5，
∴a=-3；
（2）∵a=-3，
∴y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3，
∴该抛物线的对称轴为x=-=1；
（3）由（2）知A（4，5）关于对称轴的对称点为（-2，5），
∴当n＜5时，m的取值范围为-2＜m＜4．
20、解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b,
将（10，30）、（16，24）代入，得：，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y=-x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W=（x-10）y
=（x-10）（-x+40）
=-x2+50x-400
=-（x-25）2+225，
∵a=-1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
21、解：（1）把A（-3，0），C（0，-3）代入y=x2+bx+c,得，
解得
∴抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3；
∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4；
∴D（-1，-4）；
（2）设直线AC的解析式为 y=kx+m（k≠0），把 A（-3，0），C（0，-3）代入得，
解得，
∴直线AC的解析式为 y=-x-3，
∴当 x=-1 时y=-2，
∴AC与直线l的交点E（-1，-2），
∵D（-1，-4），E（-1，-2），
∴DE=2，
，
y=x2+2x-3，当y=0时，x2+2x-3=0解得x1=-3，x2=1，
∴B（-1，0），
又∵A（-3，0），
∴AB=4，
∵C（0，-3），
∴OC=3，
∴，
∴S四边形ADCB=S△ADC+S△ABC=3+6=9；
（3）存在，理由：
由点A、C的坐标得，AC=3，
当△AOM与△ABC相似时，存在△ABC∽△AOM或△ABC∽△AMO，
则AM：AC=AO：AB或AM：AB=AO：AC，即AM：3=3：4或AM：4=3：3，
解得：AM=2或，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-x-3，设点M（m,-m-3），
当AM=2时，则（m+3）2+（-m-3）2=（2）2，
解得：m=-1（不合题意的值已舍去），
当AM=时，同理可得，m=-，
即M的坐标为或（-1，-2）．
22、解：（1）由题意得：y=a（x+1）（x-4）=a（x2-3x-4），
则-4a=3，则a=-，
则抛物线的表达式为：y=-x2+x+3；
（2）过点C作CE∥AB，则∠ECB=∠CBA，
∵∠PCB=2∠CBA，则∠PCE=∠CBA，
则tan∠PCE=tan∠CAB=，
则直线PC的表达式为：y=x+3，
联立上式和抛物线的表达式得：x+3=-x2+x+3，
解得：x=0（舍去）或2，
即点P（2，）；
（3）过点P作PT⊥x轴于点T，交CB于点H，作DN⊥PH于点N，
则∠TPD=∠CBA=α，tanα==，则sinα=，cosα=，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=-x+3，
设点P（x,-x2+x+3），则点H（x,-x+3），
则PH=（-x2+x+3）-（-x+3）=-x2+3x,
则DH=PH sinα=PH，BH==（4-x），
则BD=HD+BH=PH+（4-x），
而PD=PH sinα=PH，
则=PH+（4-x）+PH=PH+（4-x）=-（x-）2+≤，
即的最大值为：．