华东师大版九年级下 第27章 圆 单元测试
一.选择题(共12小题)
1.如图,点F是正五边形ABCDE的边CD延长线上的一点,连接EF,若EF=ED,则∠DEF的度数为( )
A.72° B.54° C.36° D.18°
2.如图,在⊙O中,∠ABC=60°,则∠AOC等于( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.如图,已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且∠ABC=120°,那么∠AOC等于( )
A.125° B.120° C.110° D.100°
4.如图,AB是半圆O的直径,C、D是半圆上的两点,∠ADC=105°,则∠CAB等于( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
5.(2024秋 四川校级期中)如图,点A、B、C、D都在⊙O上,OA⊥BC,∠CDA=25°,则∠AOB=( )
A.50° B.40° C.30° D.25°
6.如图,弦AB⊥OC,垂足为点C,连接OA,若OC=8,AB=12,则sinA等于( )
A. B. C. D.
7.杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥,桥面呈拱形.该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥,此圆拱桥的跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)约为3.2m,拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)约为2m,则此桥拱的半径是( )
A.1.62m B.1.64m C.1.14m D.3.56m
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E,若AB=1,BC=3,则阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
9.在△ABC中,AB=2,BC=4,∠ABC=30°,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点D,则图中两部分的面积之差(S2-S1)是( )
A. B. C. D.
10.如图,AB是⊙O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则⊙O的半径为( )
A.1 B. C. D.
11.如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆与x轴交于A、B两点,弦CD⊥AB,AC与y轴相交于点P,若点A的坐标为(4a,0),且AP=2PC.则弦CD的长为( )
A.4a B.-4a C. D.
12.小聪同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论:如图1,⊙O中,OM⊥弦AB于点M,ON⊥弦CD于点N,若OM=ON,则AB=CD.运用以上结论解决问题:如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O为△ABC的内角平分线的交点,以O为圆心,OB为半径的⊙O与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G.若AD=9,CF=2,则△ABC的周长为( )
A.36 B.40 C.45 D.以上都不对
二.填空题(共5小题)
13.圆心角为60°的扇形面积为8.96平方厘米,它所在圆的面积是 ______平方厘米.
14.如图,A,B,C是⊙O上三点,OC⊥AB.若∠AOC=50°,则∠BAC= ______°.
15.(2025 房山区一模)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,若∠BCD=20°,则∠ABD的度数为 ______.
16.如图,⊙O是△ABC的外接圆,连接OA,OB.若⊙O的半径为5,AB=8,则cos∠ACB的值为 ______.
17.如图,在等腰直角△ABC中,斜边AB的长度为8,以AC为直径作圆,点P为半圆上的动点,连接BP,取BP的中点M,则CM的最小值为 ______.
三.解答题(共5小题)
18.如图,△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径,过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D,过点O作OH⊥BC于点H,延长OH交CD于点N.
(1)求证:∠BCD=∠DON;
(2)若OB=BD,AC=6,求NH的长.
19.如图,AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点B,AC与⊙O交于点D,且AD=CD.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)设E是AB左侧的圆周上一点(不包含点A、B),连接CE.
①若E是的中点,求sin∠BCE;
②在①的条件下,试判断∠ACE和∠BCE的大小关系,并说明理由.
20.如图,以Rt△ABC的一边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O,∠B的平分线BE交AC于D,交⊙O于E,过E作EF∥AC交BA的延长线于F.
(1)判断EF是否是⊙O切线,并证明你的结论;
(2)连接AE,若,AB=10,求点C到直线AB的距离.
21.如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,CD⊥AB于D.
(1)求证:∠ACB=90°;
(2)若CD=4cm,AB=10cm,求AD的长.
22.如图,AB是⊙O的直径,射线BC交⊙O于点D,E是劣弧AD上一点,且BE平分∠FBA,过点E作EF⊥BC于点F,延长FE和BA的延长线交于点G.
(1)证明:GF是⊙O的切线;
(2)若AB=8,,求DB的长;
(3)在(2)的基础上,求图中阴影部分的面积.
华东师大版九年级下 第27章 圆 单元测试
(参考答案)
一.选择题(共12小题)
1、C 2、C 3、B 4、D 5、A 6、C 7、B 8、C 9、D 10、B 11、D 12、B
二.填空题(共5小题)
13、53.76; 14、25; 15、70°; 16、; 17、;
三.解答题(共5小题)
18、(1)证明:连接OC,如图.
∵CD为⊙O的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠OCD=90°,
即∠OCB+∠BCD=90°,
∵OH⊥BC,
∴∠HBO+∠HOB=90°,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,
∴∠BCD=∠HOB,即∠BCD=∠DON;
(2)解:∵OH⊥BC,
∴BH=CH.
∵点O为AB的中点,AC=6,
∴OH为△ABC的中位线,
∴OH∥AC,且,
∴∠DON=∠A,∠DNO=∠DCA,
∴△DON∽△DAC,
∴,
∵OB=BD,
∴,
∴,
∵AC=6,
∴ON=4,
∴NH=ON-OH=1.
19、解:(1)△ABC是等腰直角三角形,理由如下:
连接BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵AD=DC,
∴BD垂直平分AC,
∴AB=BC,
∵BC与⊙O相切于点B,
∴∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)①连接OE,设CE与OB相交于点F.
∵点E是弧AB的中点,
∴∠BOE=90°,
∴OE∥BC,
∴△OEF∽△BCF,
∴,
∴BF=OB=AB=BC,
∴令BF=x,则BC=3x,
∴FC==x,
∴sin∠BCE==.
②∠ACE>∠BCE,理由如下:
作FH⊥AC 于H,
设BC=a,则BA=a,AC=a,
∵BF=AB=a,
∴AF=AB=a,
∵△AFC的面积=AF BC=AC FH,
∴a×a=a×FH,
∴FH=a,
∴FH>BF,
∵sin∠ACE=,sin∠BCE=,
∴sin∠ACE>sin∠BCE,
∵∠ACE、∠BCE是锐角.
∴∠ACE>∠BCE.
20、(1)证明:EF是⊙O切线,理由如下:
如图,连接OE,
∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC,
∴=,
∴OE⊥AC,
∵EF∥AC,
∴OE⊥EF,
∵OE是⊙O的半径,
∴EF是⊙O的切线;
(2)解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=∠ACB=90°,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
在Rt△AEB中,AB=10,AE=2,
∴BE==4,
∵OA=OE,
∴∠EAO=∠AEO,
∵∠OEF=90°,即∠AEF+∠AEO=90°,
∴∠AEF=∠ABE,
∵∠F=∠F,
∴△FAE∽△FEB,
∴====,
设EF=x,则BF=2x,OF=2x-5,
在Rt△OEF中,EF=x,OE=5,OF=2x-5,
∵OE2+EF2=OF2,即25+x2=(2x-5)2,
解得x=或x=0(舍去),
即EF=,OF=2x-5=,
∵EF∥AC,
∴∠F=∠BAC,
∵∠OEF=∠BCA=90°,
∴△ABC∽△FOE,
∴==,
在Rt△ABC中,AB=10,=,
∴AC=8,BC=6,
∴点C到AB的距离为=.
21、(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°;
(2)解:如图,连接OC,
∵AB=10cm,
∴OA=OC=5cm,
设AD=x cm,则OD=(5-x)cm,
在Rt△OCD中,OC2=OD2+CD2,
∴52=(5-x)2+42,
∴x=2或x=8(舍去),
∴AD=2cm.
22、(1)证明:如图,
∵BE平分∠FBA,
∴∠1=∠2,
∵OB=OE,
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3,
∴OE∥BF,
∵EF⊥BC,
∴OE⊥GF,
∵OE是⊙O的半径,
∴GF是⊙O的切线;
(2)解:过点O作OM⊥BD于M,
∴∠OEF=∠OMF=90°,
∵EF⊥BC,
∴∠EFM=90°,
∴四边形OEFM是矩形,
∴,
∵AB=8,
∴OB=4,
∴,
∵OM⊥BD,
∴BD=2BM=4;
(3)解:∵sin∠OBM==,
∴∠OBM=60°,
∴∠EOG=∠OBM=60°,
∵OE=4,
∴,
∴.