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第2课时 一元二次
不等式的应用
【课程标准要求】
1.熟练掌握分式不等式的解法.2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.3.构建一元二次函数模型,解决实际问题.
关键能力·素养培优
[例1] 解下列不等式.
题型一 解简单的分式不等式
·解题策略·
分式不等式的解法
·解题策略·
[变式训练] 解下列不等式.
题型二 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用
·解题策略·
已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循:
(1)根据解集来判断二次项系数的符号;
(2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式;
(3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
[变式训练] (多选)如图,二次函数y=ax2+bx+c的对称轴方程为x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则下列说法正确的是( )
[A]a>0
[B] m∈R,a+b≥am2+bm
[C]ax+c>0的解集为{x|x<3}
BCD
题型三 一元二次不等式的实际应用
[例3] (湘教版必修第一册P56例8)已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L(m)与速度v(km/h)之间有如下关系式:L=k·M·v2,其中k是比例系数,且k>0,M是汽车质量(t).若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36 km/h的速度行驶时,从刹车到停车需要走20 m.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,为保证安全,要在发现前面20 m处有障碍物时能在离障碍物5 m 以外处停车,则最高速度应低于多少(设司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s)
·解题策略·
解不等式应用题的步骤
[变式训练] (苏教版必修第一册P67例3)某小型服装厂生产一种风衣,日销货量x件(x∈N*)与货价p元/件之间的关系为p=160-2x,生产x件所需成本为C=500+30x元.问:该厂日产量多大时,日获利不少于1 300元 (假设该厂每天生产的风衣可以全部售完)
【解】 由题意,得(160-2x)x-(500+30x)≥1 300,
化简,得x2-65x+900≤0,
解得20≤x≤45.
故该厂日产量在20件至45件时,日获利不少于 1 300元.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
第 1课时 不等关系与不等式
1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步掌握用作差法比较两实数的大小.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 不等关系与不等式
知识归纳
常见的文字语言与符号语言之间的转换.
文字 语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于等于、 至少、不低于 小于等于、
至多、不超过
符号 语言 >
<
≥
≤
知识点二 实数大小比较的基本事实
依据 a>b ;
a=b a-b=0;
a
结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的 与 的大小
a-b>0
a-b<0
差
0
·疑难解惑·
(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式.
(2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小.
(3)对于某些问题,也可采用取中间值的方法比较大小.
知识点三 重要不等式
一般地, a,b∈R,有a2+b2 2ab,当且仅当 时,等号成立.
≥
a=b
基础自测
1.(人教A版必修第一册P40练习T1改编)下列说法错误的是( )
[A]a与b的和是非正数可表示为“a+b<0”
[B]甲的体重为x kg,乙的体重为y kg,则甲比乙重可表示为“x>y”
[C]某变量x至少为a可表示为“x≥a”
[D]某变量y不超过a可表示为“y≤a”
A
【解析】 因为非正数小于等于0,所以不等式应为a+b≤0,故A错误,其余选项都正确.故选A.
2.(x+1)(x-1)与x2的大小关系为( )
[A](x+1)(x-1)>x2
[B](x+1)(x-1)[C](x+1)(x-1)=x2
[D]不能确定
B
【解析】 由x2-(x+1)(x-1)=x2-(x2-1)=1>0,得x2>(x+1)(x-1).故选B.
3.若A=a2+2ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )
[A]A≤B [B]A≥B
[C]AB [D]A>B
B
【解析】 由A=a2+2ab,B=4ab-b2,得A-B=a2+2ab-(4ab-b2)=(a-b)2≥0,所以A≥B.故选B.
4.某商品包装上标有质量500±1 g,若用x(单位:g)表示商品的质量,则该商品的质量可用含绝对值的不等式表示为 .
|x-500|≤1
【解析】 根据题意知该商品的质量与500 g作差的绝对值小于等于1.故不等式为|x-500|≤1.
关键能力·素养培优
[例1] 某公司因发展需要,需购入一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买 6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
题型一 用不等式(组)表示不等关系
·解题策略·
(1)仔细审题,注意同一个题目的单位是否一致.
(2)用适当的不等号连接,多个不等关系用不等式组表示.
(3)注意隐性不等关系,如由变量的实际意义限制的范围.
[变式训练] 在某校新生军训考核评比中,甲班的分数高于乙班的分数,甲班和乙班的分数之和大于170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y,则用不等式组表示为( )
D
题型二 作差法比较大小
[例2] 设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
[典例迁移1] 比较(a-1)(a-3)与(a-2)2的大小.
【解】 因为(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a+3-(a2-4a+4)=-1<0,
所以(a-1)(a-3)<(a-2)2.
·解题策略·
作差法比较两个实数大小的基本步骤
题型三 作差法证明不等式
·解题策略·
作差法是证明不等式的一种常用方法,一般要将不等式转化为两个式子差的形式,再通过恰当的等价变形来确定差的符号,从而证明原不等式成立.
[变式训练] 已知x,y∈R,求证:x2+2y2≥2xy+2y-1.
【证明】 x2+2y2-(2xy+2y-1)
=x2+2y2-2xy-2y+1
=(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1)
=(x-y)2+(y-1)2≥0,
当且仅当x=y=1时,等号成立,所以x2+2y2≥2xy+2y-1.
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2.3 二次函数与
一元二次方程、不等式
第 1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
【课程标准要求】
1.从函数观点看一元二次方程,了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式,经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
必备知识·归纳落实
知识点一 一元二次不等式
知识归纳
1.一般地,我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式是 或 ,其中a,b,c均为常数,a≠0.
3.一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的 叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.
一个
2
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
实数x
·疑难解惑·
(1)一元二次不等式需要从以下三个方面理解:
①一元即只含有一个未知数,其他字母均为常数或参数;
②未知数的最高次数必须为2,且其系数不能为0;
③必须是整式不等式.
(2)函数的零点不是点,而是函数的图象与x轴交点的横坐标,就是方程的根.
知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
{x|xx2}
R
{x|x1
·温馨提示·
(1)若二次项系数为正数的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集.
(2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集.
基础自测
1.不等式x2≤9的解集为( )
[A]{x|x≤3}
[B]{x|-3[C]{x|-3≤x≤3}
[D]{x|x≥3或x≤-3}
C
【解析】 不等式x2≤9可化为(x+3)(x-3)≤0,解得-3≤x≤3,所以不等式的解集为{x|-3≤x≤3}.故选C.
2.不等式x2+4x+4<0的解集是( )
[A]{x|x≠-2} [B]{x|-2≤x≤2}
[C] [D]{x|x=-2}
C
【解析】 原不等式可化为(x+2)2<0,显然解集为 .故选C.
3.(人教A版必修第一册P53练习T1(1)改编)不等式(x-3)(5-x)<0的解集为
( )
[A]{x|3[B]{x|x<3或x>5}
[C]{x|-5[D]{x|x<-5或x>-3}
B
【解析】 由(x-3)(5-x)<0可得(x-3)(x-5)>0,解得x<3或x>5,故不等式的解集为{x|x<3或x>5}.故选B.
4.下列关于x的不等式:①x2>0;②-x2-x≤5;③ax2>2;④x3+5x-6>0;⑤mx2-5y<0;⑥ax2+bx+c>0.其中是一元二次不等式的是 .
①②
【解析】 由一元二次不等式的定义可知,①②是一元二次不等式.
关键能力·素养培优
[例1] (苏教版必修第一册P66例1)解下列不等式:
(1)x2-7x+12>0;
题型一 解不含参数的一元二次不等式
【解】 (1)方程x2-7x+12=0的解为x1=3,x2=4.
根据y=x2-7x+12的图象(图①),可得原不等式的解集为{x|x<3或x>4}.
(2)-x2-2x+3≥0;
【解】 (2)不等式两边同乘以-1,得x2+2x-3≤0.
方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.
根据y=x2+2x-3的图象(图②),
可得原不等式的解集为{x|-3≤x≤1}.
(3)x2-2x+1<0;
【解】 (3)方程x2-2x+1=0有两个相同的解x1=x2=1.
根据y=x2-2x+1的图象(图③),可得原不等式的解集为 .
(4)x2-2x+2>0.
【解】 (4)因为Δ<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解 .
根据y=x2-2x+2的图象(图④),
可得原不等式的解集为R.
·解题策略·
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,左侧二次项系数为正.
(2)对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式Δ.
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式Δ说明方程无实根.
(4)根据一元二次方程的根的情况画出对应的二次函数图象.
(5)根据图象写出不等式的解集.
[变式训练] 解下列不等式.
(1)2x2-3x-2>0;
(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;
(4)x2-4x+5<0.
【解】(4)因为x2-4x+5=0的判别式Δ<0,所以方程x2-4x+5=0无解.
根据y=x2-4x+5的图象(如图④),原不等式的解集为 .
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0(a∈R).
【解】 原不等式可化为(ax-2)(x-2)>0.
(1)当a=0时,原不等式为-2(x-2)>0,
解得x<2.
·解题策略·
在解含参数的一元二次不等式时常从以下三个方面进行考虑.
(1)不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
(2)不等式对应的方程根的讨论:两个不同实根(Δ>0),两个相同实根(Δ=0),无实根(Δ<0).
(3)不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1[变式训练] 解关于x的不等式ax2+2x+1<0.
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2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 基本不等式及其几何解释
知识归纳
≤
a=b
算术平均数
几何平均数
不小于
≥
重合
a=b
·疑难解惑·
(1)在基本不等式中要求a>0,b>0,勿忘等号成立的条件为a=b.
(2)基本不等式也称为均值不等式.
『知识拓展』
知识点二 基本不等式与最值
已知x,y都是正数.
(1)若x+y=S(和为定值),则当 时,积xy取得最大值 .
(2)若xy=P(积为定值),则当 时,和x+y取得最小值 .
x=y
x=y
·轻松记忆·
和定积最大,积定和最小.
基础自测
1.下列说法正确的是( )
C
2.若m>0,n>0,mn=81,则m+n的最小值是( )
D
[A]-1 [B]3 [C]4 [D]5
D
4.(人教A版必修第一册P46练习T4改编)若0 ,此时x= .
关键能力·素养培优
[例1] (多选)下面四个推导过程正确的有( )
题型一 基本不等式的理解
AD
·解题策略·
[变式训练] 下列不等式正确的是( )
C
题型二 直接利用基本不等式求最值
(2)已知x>0,y>0,若xy=2,求2x+y的最小值;
(3)已知1≤x≤4,求(6-x)(x+2)的最大值.
·解题策略·
利用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的原则.
(1)一正:各项必须为正.
(2)二定:各项之和或各项之积为定值.
(3)三相等:必须验证等号成立的条件是否具备.以上三点缺一不可.
题型三 配凑法求最值
·解题策略·
配凑法求最值包括两个常见的类型:
(1)当代数式整体上是和的形式时,需要配凑两项的积为定值,此时,对于题目中的分式的分母一般需要“保护”,为了使另一项与这个项的积为定值,需要对另一项配凑常数,即采用“加上减去法”.
(2)当代数式整体上是积的形式时,需要配凑两项的和为定值,此时,对于题目中的某个因式中的项常需要配系数,即采用“乘上除去法”.
不管哪种类型,配凑后要保证各量满足基本不等式“一正、二定、三相等”的条件,同时要注意验证等号成立的条件.
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第2课时 基本不等式的应用
1.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一 利用基本不等式证明不等式
·解题策略·
利用基本不等式证明不等式的注意点
(1)此类问题的关键是:所证不等式中大多有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果.
(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
[变式训练] 已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求证:
题型二 基本不等式的应用
[例2] 某公园为了美化游园环境,计划修建一个如图所示的总面积为900 m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1 m的小路,中间A,B,C,D四个矩形区域将种植鲜花(其中A,B,C,D大小完全相同).设矩形花园的一条边长为x m,矩形A的一条边长为a m.
(1)用含有x的代数式表示a,并写出x的取值范围;
(2)当x的值为多少时,才能使鲜花的种植面积最大,并求出面积的最大值.
·解题策略·
利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义.
(2)构造定值,利用基本不等式求最值.
(3)检验等号成立的条件是否满足题意.
(4)得出结论.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
培优拓展 基本不等式的推广
AC
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第2课时 等式性质与
不等式性质
1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 等式性质
知识归纳
性质1:如果a=b,那么b=a.
性质2:如果a=b,b=c,那么a=c.
性质3:如果a=b,那么a±c=b±c.
性质4:如果a=b,那么ac=bc.
知识点二 不等式的基本性质
序号 性质 性质内容 注意
1 对称性 a>b
2 传递性 a>b,b>c
3 可加性 a>b a+c b+c
ba>c
>
>
<
>
>
an>bn
·疑难解惑·
(2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算.
基础自测
1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是( )
[A]a>b>-b>-a [B]a>-b>-a>b
[C]a>-b>b>-a [D]a>b>-a>-b
C
【解析】 因为a+b>0,b<0,所以a>-b>0,0>b>-a,所以a>-b>b>-a.故选C.
2.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项正确的是( )
[A]a+d>b+c [B]a+c>b+d
[C]ad>bc [D]ac>bd
B
【解析】 因为a>b,c>d,根据不等式的同向可加性得a+c>b+d,故B正确;其余选项都可以举反例说明是错误的.故选B.
3.与a>b等价的不等式是( )
D
4.(人教A版必修第一册P43习题2.1 T5改编)已知3≤x≤7,1≤y≤2,则x+2y的最大值为 ,最小值为 .
11
【解析】 因为3≤x≤7,1≤y≤2,则2≤2y≤4,所以5≤x+2y≤11,所以x+2y的最大值为11,最小值为5.
5
关键能力·素养培优
[例1] (多选)对于任意实数a,b,c,d,下列四个命题为真命题的是( )
[A]若a>b,c≠0,则ac>bc
[B]若ac2>bc2,则a>b
[C]若aab>b2
[D]若a>b>0,c>d,则ac>bd
题型一 利用不等式的基本性质判断命题真假
BC
【解析】 对于A,当a>b,c<0时,acbc2,可得c2>0,则a>b,即B正确;对于C,由ab·a,即a2>ab,由ab·b,即ab>b2,因此a2>ab>b2,即C正确;对于D,若a=2>b=1>0,c=-1>d=-2,则ac=bd=-2,即D错误.故选BC.
·解题策略·
利用不等式的性质判断命题真假的两种方法
(1)直接法:对于真命题,利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于假命题,只需举出一个反例即可.
(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则,一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.
[变式训练] (多选)下列说法正确的是( )
CD
题型二 利用不等式的基本性质证明不等式
[例2] (人教B版必修第一册P65例2)(1)已知a>b,cb-d.
【证明】 (1)因为a>b,cb,-c>-d,
所以a-c>b-d.
·解题策略·
(1)利用不等式的性质证明不等式,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用性质时要注意性质适用的前提条件.
(2)这种利用不等式的性质证明的题目一般也可以使用作差法,但是作差法的变形有时比较复杂.
题型三 利用不等式的性质求代数式的取值范围
·解题策略·
·解题策略·
(2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变;同乘一个负数,不等号变为相反的方向.因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负.
(3)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.同向不等式的两边可以相加,但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.
[变式训练] 已知实数a,b满足1≤a+b≤8,3≤a-b≤4.
(1)求实数a,b的取值范围;
(2)求2a-5b的取值范围.
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