第三章 函数概念与性质 课件（10份打包）

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3.3　幂函数
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　幂函数
一般地,函数 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数.
知识归纳
y=xα
x
α
知识点二　常见幂函数的图象和性质
定义域 R R R
值域 R R
奇偶性 函数 函数 函数 函数
函数
单调性 在(-∞,+∞) 上单调 在(-∞,0]上单调 ,在(0,+∞)上单调 在(-∞,+∞)上单调 在(-∞,0)上单调 ,在(0,+∞)上单调 在[0,+∞)上单调
定点 {x|x≠0}
[0,+∞)
[0,+∞)
{y|y≠0}
[0,+∞)
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
递增
递减
递增
递增
递减
递减
递增
(1,1)
『知识拓展』
一般幂函数的图象和性质
当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(不过点(0,1)),除此以外幂函数的图象都是曲线.
奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非
偶函数
在(0,+∞) 上的 单调性 当α<0时,单调递减;当α>0时,单调递增 基础自测
1.已知f(x)=(a-1)xa为幂函数,则f(-2)等于(　　)
C
【解析】 因为f(x)是幂函数,所以a-1=1,得a=2,则f(x)=x2,f(-2)=4.故选C.
2.以下结论中,正确的为(　　)
[A]当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线
[B]幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点
[C]若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则y=xα在定义域内y随x的增大而增大
[D]幂函数的图象不可能在第四象限,但可能在第二象限
D
【解析】 当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故A不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不过点(0,0),故B不正确;幂函数y=x-1的图象关于原点对称,但其在定义域内不是增函数,故C不正确.故选D.
3.下图给出4个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是(　　)
A
4.(人教A版必修第一册P91练习T2改编)比较大小.(用“<”或“>”连接)
<
(2)(-1.2)3　　　　(-1.25)3;
>
【解析】 (2)因为函数y=x3在R上是增函数,且-1.2>-1.25,
所以(-1.2)3>(-1.25)3.
(3)5.25-1　　　　5.26-1.
>
【解析】 (3)因为函数y=x-1在(0,+∞)上单调递减,且5.25<5.26,
所以5.25-1>5.26-1.
关键能力·素养培优
题型一　幂函数的概念
[例1] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为(　　)
[A]4 [B]3
[C]2 [D]1
C
【解析】 幂函数的一般表达式为y=xα,逐一对比可知题干中的幂函数有①y=x3,⑤y=x.故选C.
·解题策略·
幂函数解析式的特征
(1)xα的系数是1.
(2)xα的底数是自变量,指数α为常数.
(3)项数只有一项.
[变式训练] 已知函数f(x)=(m2-4m+5)xm+2m-n(m∈R)为幂函数,则n-m等于
(　　)
[A]-1 [B]1
[C]-2 [D]2
D
【解析】 由幂函数的定义得m2-4m+5=1,且2m-n=0,解得m=2,n=4,
故n-m=2.故选D.
题型二　幂函数的图象
B
·解题策略·
(1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性.
(2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按逆时针方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图).
(3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y=xα中 α的符号,根据图象的对称性确定α是奇数还是偶数.
[变式训练] 若幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则(　　)
[A]-1[B]n<-1,0[C]-11
[D]n<-1,m>1
B
【解析】 由图象知,y=xm在(0,+∞)上单调递增,所以m>0,y=xm的图象增长得越来越慢,所以m<1,y=xn在(0,+∞)上单调递减,所以n<0,又当x>1时,y=xn的图象在y=x-1图象的下方,所以n<-1.故选B.
[例3] (苏教版必修第一册P140例2)试比较下列各组数的大小:
(1)1.13,0.893;
题型三　利用幂函数单调性比较大小
【解】 (1)因为函数y=x3在区间[0,+∞)上单调递增,又1.1>0.89,
所以1.13>0.893.
·解题策略·
利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
[A]a>b>c>d [B]c>a>b>d
[C]a>c>b>d [D]c>a>d>b
B
(1)求f(x)的解析式;
题型四　幂函数性质的综合运用
(2)若f(3-a)>f(2a-1),求实数a的取值范围.
·解题策略·
(1)解答幂函数的综合问题时,应注意以下两点:
①充分利用幂函数的图象、性质,如图象所过定点、单调性、奇偶性等;
②注意运用常见的思想方法,如分类讨论、数形结合思想.
(2)解不等式时,一般不要代入求解,应该用单调性转化为不等式求解,另外要注意函数的定义域对变量的限制.
(1)求m和k的值;
(2)求满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围.
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第2课时　分段函数
1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数,能研究有关性质.
3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式,则称其为分段函数.
知识归纳
·疑难解惑·
(1)分段函数本质:函数在定义域不同的范围内,有着不同的对应关系.
(2)分段函数的定义域是各段范围的并集,值域为各段上值域的并集.
基础自测
1.(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　 )
AD
【解析】 A,D是分段函数;B,C不满足函数的定义,不是分段函数.故选AD.
[A]-3 [B]3
[C]-4 [D]4
A
【解析】 f(-1)=1+2=3,f(3)=32-2×3+3=6,f(-1)-f(3)=3-6=-3.故选A.
[A](-∞,-1) [B](-1,0)
[C](-1,0] [D][0,+∞)
C
4.(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数y=-|x|的图象是(　　)
D
[A] [B] [C] [D]
关键能力·素养培优
题型一　分段函数求值(范围)
(2)若f(a)=3,求实数a的值;
【解】 (2)当a≤-2时,f(a)=a+1≤-1,f(a)=3无解;
当-2当a≥2时,f(a)=2a-1=3,解得a=2.
综上,a=2或a=1.
(3)若f(m)>m,求实数m的取值范围.
【解】 (3)当m≤-2时,f(m)=m+1>m恒成立,所以m≤-2;
当-2m,解得m<-1或m>0,所以-2当m≥2时,f(m)=2m-1>m,解得m>1,所以m≥2.
综上,实数m的取值范围是{m|m<-1或m>0}.
·解题策略·
(1)求分段函数的函数值的方法:先确定所求函数值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应的自变量的值,切记要检验.
(3)解分段函数不等式的方法:在每段函数定义域限制之下结合每段函数的解析式解不等式,然后将各段的解集取并集.
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)求f(f(1));
[例2] (湘教版必修第一册P75例8)画出函数f(x)=|x-2|+|x+1|的图象.
题型二　分段函数的图象
【解】 为了去掉绝对值符号,需分段讨论:
当x<-1时,f(x)=(2-x)+(-x-1)=1-2x;
当-1≤x≤2时,f(x)=2-x+x+1=3;
当x>2时,f(x)=x-2+x+1=2x-1.
分段画出f(x)的图象,如图所示.
·解题策略·
分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意衔接点处点的虚实,保证不重不漏.
(2)对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.
[变式训练] 某通讯公司欲采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(单位:min)与相应话费y(单位:元)之间的函数图象如图所示,则y与x之
间的函数关系式为　 .
[例3] 某厂生产某种零件,每个零件的出厂单价初始定为52元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于41元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为41元
题型三　分段函数的实际应用
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式.
·解题策略·
分段函数的实际应用
(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时,往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系,而分段函数图象也需要分段画出.
(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点,即明确自变量的取值区间,对每一个区间进行分类讨论,从而写出相应的函数解析式.
[变式训练] 下表为某市居民用水阶梯水价表(单位:元/m3).
阶梯 户年用水量/m3 水价 其中 自来 水费 水资 源费 污水
处理费
第一阶梯 0～180(含) 5.00 2.1 1.5 1.4
第二阶梯 180～260(含) 7.00 4.1 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费y(单位:元)与用水量x(单位:m3)的函数关系式.
(2)若某户居民一年交水费1 110元,求其中水资源费和污水处理费分别为多少
【解】 (2)当0≤x≤180时,y∈[0,900],当180因为210×1.5=315,210×1.4=294,
所以该户居民水资源费为315元,污水处理费为294元.
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第2课时　函数的最大(小)值
1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值.3.会借助函数的单调性求最值.4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　函数的最值
1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:
(1) x∈D,都有f(x) M;
(2) x0∈D,使得 .
那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.
知识归纳
≤
f(x0)=M
2.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足:
(1) x∈D,都有f(x) M;
(2) x0∈D,使得 .
那么,我们称M是函数y=f(x)的最小值.
≥
f(x0)=M
·疑难解惑·
(1)最大(小)值的几何意义:函数图象上最高(低)点的纵坐标.
(2)并不是所有的函数都有最大(小)值,比如y=x,x∈R.
(3)一个函数至多有一个最大(小)值,但取得最大(小)值时的x0可以有多个.
(4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性.
(5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M),那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值,只有同时满足定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大(小)值,否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立,但3不是f(x)的最大值,0才是它的最大值.
基础自测
1.已知f(x)是定义在R上的函数,那么“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”是“函数f(x)存在最大值”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
B
【解析】 只有“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”且“存在x0∈R,使得f(x0)=M”,这时f(x)的最大值才是M,所以充分性不满足;当f(x)的最大值是M时,对任意x∈R总有f(x)≤M恒成立,所以必要性满足,故“存在实数M,使得对任意x∈R总有f(x)≤M”是“函数f(x)存在最大值”的必要不充分条件.故选B.
B
3.函数f(x)=x2-2x,x∈[-1,1)的值域是(　　)
[A][-1,3] [B](-1,3]
[C](-1,3) [D][-1,3)
B
【解析】 由f(x)的解析式可知,对称轴方程为x=1,所以函数在[-1,1)上单调递减,又f(-1)=3,f(1)=-1,所以值域为(-1,3].故选B.
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
A
【解析】 由已知,当x≤1时,f(x)=-x单调递减,f(1)=-1,此时f(x)≥-1,当x>1时,f(x)=x2单调递增,且f(x)>1,所以f(x)min=f(1)=-1.故选A.
关键能力·素养培优
题型一　利用图象求函数的最值
·解题策略·
利用图象求函数最值的方法
(1)根据函数解析式在函数定义域内作出函数图象.
(2)根据图象找出最高点和最低点.
(3)图象最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.
【解】 函数f(x)的大致图象如下:
由图可知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为[0,+∞),值域为[-1,+∞).
题型二　利用函数的单调性求函数的最值
(1)判断函数f(x)在区间[-1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论;
(2)求f(x)在区间[-1,5]上的最值.
·解题策略·
(1)利用单调性求最值的一般步骤.
①判断函数的单调性;
②利用单调性写出最值.
(2)函数的最值与单调性的关系.
①若函数在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b);
②若函数在闭区间[a,b]上单调递增,则f(x)在[a,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a);
③求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
(1)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)求f(x)在(1,3]上的值域.
[例3] 已知二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+4.
(1)若a=2,求f(x)在[-2,3]上的最值;
题型三　二次函数的最值
【解】 (1)当a=2时,f(x)=x2-2x+4,x∈[-2,3].
因为f(x)图象的对称轴为直线x=1,所以f(x)在[-2,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增.又f(-2)=12,f(1)=3,f(3)=7,
所以当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=3,当x=-2时,f(x)取得最大值f(-2)=12.
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
【解】 (2)二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+4图象的对称轴为直线x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=1-2(a-1)+4=7-2a;
当1所以f(x)min=f(a-1)=(a-1)2-2(a-1)2+4=-a2+2a+3;
当a-1≥2,即a≥3时,f(x)在[1,2]上单调递减,所以f(x)min=f(2)=22-4(a-1)+4=12-4a.
·解题策略·
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴方程为x=m为例,x∈[a,b].
当图象开口向下时,可用类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
[变式训练] 已知二次函数f(x)=x2-2x+3.
(1)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值;
【解】 f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.则f(x)的图象开口向上,其对称轴方程为x=1,
(1)f(x)在[-2,1]上单调递减,在(1,3]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=2.
又因为f(-2)>f(3),所以f(x)max=f(-2)=11.
(2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).
【解】 (2)①当t>1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,所以g(t)=f(t)=t2-2t+3;
②当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,g(t)=f(1)=2;
③当t+1<1,即t<0时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,所以g(t)=f(t+1)=t2+2.
[例4] 某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系:
题型四　函数最值的实际应用
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式 y=f(x)(注明函数定义域);
(2)若日销售利润为P元,根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,才能获得最大的日销售利润.
【解】 (2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4 860=
-3(x-42)2+432,x∈[30,54].
当x=42时,日销售利润最大,最大值为432元,即当销售单价为42元时,获得最大的日销售利润.
·解题策略·
解应用题的步骤是①审清题意;②建立数学模型,将实际问题转化为数学问题;③总结结论,回归题意.
[变式训练] 某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润L(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中x为销售量,单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为(　　)
[A]90万元 [B]60万元
[C]120万元 [D]120.25万元
C
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3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或单调递减)和增函数、减函数的概念.2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念.3.能运用定义法证明函数的单调性.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　函数的单调性
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D:如果 x1,x2∈I,当x1 x2时,都有f(x1) f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是 .
如果 x1,x2∈I,当x1 x2时,都有f(x1) f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是
.
知识归纳
<
<
增函数
<
>
减函数
·疑难解惑·
(1)单调性定义中的三个性质:
①同区间性,即x1,x2∈I;②任意性,即不可以用区间I上的特殊值代替;③有序性,即要规定x1,x2的大小.
(2)“单调递增(递减)”“x1,x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”这三者可以知二求一.
(3)区间I可以是整个定义域D,也可以是定义域的非空真子集,即应在函数的定义域内研究其单调性.
(4)单调递增(递减)是函数的局部性质,增(减)函数是函数的整体性质.
·疑难解惑·
知识点二　单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间.
单调递增
单调递减
基础自测
1.已知函数y=f(x)在[-1,2]上的图象如图,则函数的单调递增区间为(　　)
[A][-1,0] [B][0,1]
[C][-1,2] [D][1,2]
B
【解析】 若函数单调递增,则对应图象为上升趋势,由题图可知y=f(x)的单调递增区间为[0,1].故选B.
2.已知f(x)在(2,5)上单调递减, x1,x2∈(2,5),若x1(　　)
[A]f(x1)[C]f(x1)>f(x2) [D]以上都可能
C
【解析】 因为f(x)在(2,5)上单调递减,所以 x1,x2∈(2,5),若x1则f(x1)>f(x2).故选C.
[A](-∞,+∞)
[B](0,+∞)
[C](-∞,0)∪(0,+∞)
[D](-∞,0),(0,+∞)
D
4.(人教A版必修第一册P100复习参考题3 T4改编)已知函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则(　　)
B
关键能力·素养培优
题型一　利用图象求函数的单调区间
[例1] 已知函数f(x)=x2-4|x|.
(1)将f(x)写成分段函数的形式,并作出函数的图象;
(2)写出其单调区间(不用证明).
【解】 (2)由图可知,f(x)的单调递增区间为[-2,0],[2,+∞);单调递减区间为(-∞,-2],[0,2].
·解题策略·
(1)求函数单调区间时,若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等,则可根据其单调性写出函数的单调区间;若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出,则可作出其图象,根据图象写出其单调区间.
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接两个单调区间,而要用“和”连接或用“,”分开.
[变式训练] 已知函数f(x)=|x2-5x+6|,则函数f(x)的单调递增区间是(　　)
C
题型二　函数单调性的证明
·解题策略·
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值并规定大小:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1(2)作差变形:作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法,转化为易判断正负的关系式.
(3)定号:确定f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,进行分类讨论.
(4)结论:根据定义确定单调性.
[例3] 若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
[A][-3,0)
[B](-∞,-3]
[C][-2,0]
[D][-3,0]
题型三　函数单调性的应用
D
[A](-3,-2] [B](-3,-1]
[C][-2,-1] [D](-2,-1]
C
[典例迁移2] 已知f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,且f(x-1)A
·解题策略·
由函数单调性求参数范围的处理方法
(1)由函数解析式求参数:若为二次函数——判断其图象的开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件;若为一次函数——由单调性决定一次项系数的正负.若为分段函数——数形结合,每一段的函数的单调性均要考虑,并注意临界值的大小,探求参数满足的条件.
(2)当函数f(x)的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”去掉,列出关于自变量的不等式(组),然后求解,并注意函数的定义域.
培优拓展　复合函数的单调性
C
·反思总结·
形如y=f(g(x))的函数为y=g(x),y=f(x)的复合函数,y=g(x)为内层函数,y=f(x)为外层函数.当y=g(x)单调递增,y=f(x)单调递增时,函数y=f(g(x))单调递增;当y=g(x)单调递增,y=f(x)单调递减时,函数y=f(g(x))单调递减;当y=g(x)单调递减,y=f(x)单调递增时,函数y=f(g(x))单调递减;当y=g(x)单调递减,y=f(x)单调递减时,函数y=f(g(x))单调递增.简称为“同增异减”.
[跟踪训练] 已知f(x)=x2,若g(x)=f(1-x2),则g(x)(　　)
[A]在区间(0,1)上单调递减
[B]在区间(-1,0)上单调递减
[C]在区间(-∞,0)上单调递增
[D]在区间(0,+∞)上单调递增
A
【解析】 g(x)=f(1-x2)是y=u2与u=1-x2的复合函数,列表如下:
x的取 值范围 u=1-x2的 单调性 u的取 值范围 y=u2的 单调性 g(x)=f(1-x2)=
(1-x2)2的单调性
(-∞,-1) 单调递增 (-∞,0) 单调递减 单调递减
(-1,0) 单调递增 (0,1) 单调递增 单调递增
(0,1) 单调递减 (0,1) 单调递增 单调递减
(1,+∞) 单调递减 (-∞,0) 单调递减 单调递增
由表可知,A正确.故选A.
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3.4　函数的应用(一)
【课程标准要求】
1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用,能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.2.能将实际问题转化为熟悉的模型,建立合适的数学模型解决简单的实际问题.
必备知识·归纳落实
知识点　常见的几类函数模型
1.一次函数模型
形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,一次函数的图象为直线.
2.二次函数模型
(2)二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型,依据实际问题建立二次函数模型,写出解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时也可以依据二次函数的单调性求最值,从而解决最大、最小值等问题.
知识归纳
3.常用的幂函数模型有两个:y=kxn,y=k(1+x)n(k,n是常数,k≠0),当n=1,2时,就是特殊的一次函数和二次函数模型.
4.分段函数模型
(1)分段函数模型.
分段函数是指函数解析式由几段组成的函数,根据自变量取值范围的不同,由题设确定出不同的函数关系式.
(2)分段函数模型的应用.
①分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式.
②要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象去求解.
基础自测
1.已知在一定范围内,某种产品的购买量y(单位:t)与单价x(单位:元)之间满足一次函数关系.如果购买1 000 t,则每吨800元;如果购买2 000 t,则每吨700元.若一客户购买400 t,则其价格为每吨(　　)
[A]820元 [B]840元
[C]860元 [D]880元
C
2.某产品的总成本y(单元:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=
3 000+20x-0.1x2(0[A]100台 [B]120台
[C]150台 [D]180台
C
【解析】 依题意,利润g(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)≥0,
整理得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150,
又x∈(0,240),所以最低产量是150台.故选C.
[A]1.5 min [B]2 min
[C]3 min [D]4 min
D
4.(人教A版必修第一册P96习题3.4 T1改编)已知某学校宿舍与办公室相距a m.某同学有材料要送交给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍.在这个过程中,这位同学行进的速度v(t)和行走的路程S(t)都是时间t的函数,则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的(　　)
[A]①② [B]③④
[C]①④ [D]②③
A
关键能力·素养培优
题型一　一次函数模型
[例1] 为了改善学校办公条件,某校计划购买A,B两种型号的笔记本电脑共15台,已知A型笔记本电脑每台5 200元,B型笔记本电脑每台6 400元,设购买A型笔记本电脑x台,购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元.
(1)求出y关于x的函数解析式.
【解】 (1)由题知购买A型笔记本电脑x台,则购买B型笔记本电脑(15-x)台,
所以y=5 200x+6 400(15-x)=-1 200x+96 000.所以y关于x的函数解析式为y=-1 200x+96 000,x∈N.
(2)若因为经费有限,学校预算不超过9万元,且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,请问:学校共有几种购买方案 哪种方案费用最少 求出费用最少的方案所需的费用.
【解】 (2)因为学校预算不超过9万元,购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,
又函数y=-1 200x+96 000在定义域上单调递减,
所以当x=10时,y取得最小值,即ymin=84 000,此时15-x=5.
故学校共有6种购买方案,当购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少,该方案所需费用为84 000元.
·解题策略·
一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)当一次项系数为正时,一次函数在其定义域上为增函数;当一次项系数为负时,一次函数在其定义域上为减函数.
(3)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是设元、列式、求解.
[变式训练] 某通讯公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使用的A,B两种卡在某市范围内每月(按30天计)的通话时间x(单位:min)与通话费用y(单位:元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1,y2与通话时间x之间的函数解析式;
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
题型二　二次函数模型
[例2] 某超市销售一种水果,进价为每箱40元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱72元,每月可销售60箱.经市场调查发现:若这种水果的售价每箱降低2元,则平均每月的销量将增加10箱.设每箱水果降价x元(x为偶数),平均每月的销量为y箱.
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.
【解】 (1)因为每箱价格降低2元,平均每月多销售10箱,所以每箱降价x元(x为偶数),平均每月多销售5x箱,
根据题意知y=5x+60(0≤x≤32,且x为偶数).
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元,则如何定价才能使每月销售这种水果的利润最大 最大利润是多少元
【解】 (2)设每月销售这种水果的利润为w,
则w=(72-x-40)(5x+60)-500=-5x2+100x+1 420=-5(x-10)2+1 920,
当x=10时,w取得最大值,最大值为1 920.
故当售价为62元时,每月销售这种水果的利润最大,最大利润是1 920元.
·解题策略·
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法:根据实际问题建立函数模型,写出解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意:取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[变式训练] 据市场分析,某海鲜加工公司当月某产品的产量在10 t至25 t时,月总成本y(单位:万元)可以看作月产量x(单位:t)的二次函数.当月产量为10 t时,月总成本为20万元;当月产量为15 t时,月总成本最低为17.5万元,为二次函数的顶点.
(1)写出月总成本y关于月产量x的函数关系式.
【解】 (1)设y=a(x-15)2+17.5(a≠0),将x=10,y=20代入上式,得20=25a+17.5,解得a=0.1.
所以y=0.1(x-15)2+17.5(10≤x≤25).
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润
【解】 (2)设最大利润为Q(x),
则Q(x)=1.6x-y=1.6x-[0.1(x-15)2+17.5]=-0.1(x-23)2+12.9(10≤x≤25).
所以当月产量为23 t时,可获最大利润12.9万元.
[例3] 某种品牌的饼干,其100 g装的售价为1.6元,其400 g装的售价为4.8元,假定该商品的售价由三部分组成:生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为m,包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n,利润率为20%,试写出该种饼干900 g装的合理售价.
题型三　幂函数模型
·解题策略·
(1)注意数学、物理中有一些基本的公式也是幂函数模型.例如,圆的面积公式S=πr2,正方体的体积公式V=a3等.
(2)含有二次根式的可以利用换元转化为二次函数模型.
[变式训练] 在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量R(单位:cm3/s)与管道半径r(单位:cm)的四次方成正比.
(1)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s,求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量R的函数解析式;
(2)已知(1)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量.(精确到
1 cm3/s)
题型四　分段函数模型
(1)若要使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台机器人
·解题策略·
应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
(3)分段函数的值域或最值求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.
(1)当1≤x≤10时,若该设备每小时的平均耗电量不超过2 kW·h,求x的取值范围;
(2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间.
②当10因为W(6)感谢观看(共31张PPT)
3.1.2　函数的表示法
第1课时　函数的表示法
1.掌握函数的三种表示法.2.掌握函数图象的作法和应用.3.会求函数的解析式.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　函数的表示法
函数的三种表示法:解析法、列表法和图象法.
解析法,就是用 表示两个变量之间的对应关系.
列表法,就是 来表示两个变量之间的对应关系.
图象法,就是用 表示两个变量之间的对应关系.
这三种方法是常用的函数表示法.
解析式
知识归纳
列出表格
图象
·知识辨析·
三种表示法的区别与联系
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念.
(2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数.
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主.
基础自测
1.购买某种饮料x瓶,所需钱数为y元.若每瓶2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为(　　)
[A]y=2x
[B]y=2x(x∈R)
[C]y=2x(x∈{1,2,3,…})
[D]y=2x(x∈{1,2,3,4})
【解析】 题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},结合选项知D正确.故选D.
D
2.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是(　　)
[A]甲比乙先出发
[B]乙比甲跑的路程多
[C]甲、乙两人的速度相同
[D]甲先到达终点
D
【解析】 当t=0时,s=0,甲、乙同时出发;甲、乙路程一样,故A,B错误;甲跑完全程s所用的时间少于乙跑完全程所用时间,故甲先到达终点,则甲速度比乙速度快,则C错误,D正确.故选D.
3.对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 7 4 5 8 1 3 4
则f(f(1))的值为(　　)
[A]1 [B]3
[C]4 [D]5
C
【解析】 由题表可得,f(1)=7,所以f(f(1))=f(7)=4.故选C.
4.(人教A版必修第一册P73习题3.1 T6改编)已知函数f(x)=kx+b为一次函数,且f(2)=-1,f(4)=3,则f(-1)=(　　)
[A]3 [B]-3
[C]-7 [D]7
C
关键能力·素养培优
[例1] 已知函数f(x)如表所示,则不等式f(f(x))≥0的解集为(　　)
题型一　列表法表示函数
x -2 -1 0 1 2
f(x) 2 1 0 -1 -2
A
[A]{1,2,0} [B]{-1,-2,0}
[C]{1,2} [D]{-1,-2}
【解析】 由f(f(x))≥0,得f(x)=0或f(x)=-1 或f(x)=-2.当f(x)=0时,x=0;当f(x)=-1时,x=1;当f(x)=-2时,x=2.综上所述,不等式f(f(x))≥0的解集为{1,2,0}.故选A.
·解题策略·
求解用列表法表示的函数问题时,应根据表格中自变量对应的函数值求解.
[变式训练] 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
C
x 4 5 6 7
f(x) 7 6 4 5
x 3 4 5 6
g(x) 4 6 5 4
下列能满足g(f(x))[A]3 [B]4
[C]5 [D]7
【解析】 对于A,当x=3时,f(3)无意义,A错误;对于B,当x=4时,f(4)=7,所以g(f(4))=g(7)无意义,B错误;对于C,当x=5时,f(5)=6,g(5)=5,所以g(f(5))=
g(6)=4,f(g(5))=f(5)=6,则g(f(5))[例2] 作出下列函数的图象,并写出函数的值域.
(1)y=-x-1,x∈{1,2,3,4};
题型二　图象法表示函数
【解】 (1)列表:
x 1 2 3 4
y -2 -3 -4 -5
描点作图,图象是一组离散的点,如图①所示,函数的值域为{-2,-3,-4,-5}.
(3)y=(x-2)2.
【解】 (3)法一(描点法)　利用描点法作出函数图象,图象是抛物线,如图③所示,函数的值域为[0,+∞).
法二(图象变换法)　先作出函数y=x2的图象,然后把它向右平移2个单位长度,就得到函数y=(x-2)2的图象,如图④所示,函数的值域为[0,+∞).
·解题策略·
作函数y=f(x)图象的方法
(1)描点法:列表、描点、连线.
注意点:①要在定义域内作图;②要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
·解题策略·
(2)图象变换法.
①左加右减:函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y=f(x+a)的图象.
②上加下减:函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y=f(x)+b的图象.
注意点:左右移动加减的是自变量,且不带系数与符号,上下移动加减的是函数值.
A
[A] [B] [C] [D]
[例3] (1)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式;
题型三　求函数的解析式
【解】 (1)f(x+1)=x2+4x+1=(x+1)2+2(x+1)-2,所以f(x)=x2+2x-2.
[典例迁移1] (1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
[典例迁移2] (1)已知f(x)+3f(-x)=x2-2x,求f(x)的解析式;
·解题策略·
求函数解析式的常用方法
(1)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.换元时注意t的取值范围.
(2)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替等式两边所有的g(x)即可.
(3)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,则可设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可.
·解题策略·
(4)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或互为倒数的关系时,可构造方程组求解.
注意:写解析式时,应注明定义域.
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第2课时　奇偶性的应用
1.掌握用奇偶性求函数解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响,并能用以比较大小、求最值和解不等式.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一　根据函数的奇偶性求函数的解析式
[例1] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+4,求f(x)的解析式.
·解题策略·
(1)已知函数在某区间上的解析式及函数的奇偶性,求其对称区间或整个定义域上的解析式的方法如下:①“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式就把x设在哪个区间上;②将已知区间上对应的解析式代入;③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而得出f(x)的解析式.
提醒:涉及奇函数在R上的解析式,不要忘记当x=0时,f(0)=0的特殊情况.
(2)已知函数f(x),g(x)的组合运算解析式与奇偶性,则把x换为-x,构造方程组求解.
题型二　利用函数的奇偶性与单调性比较大小
[A]b[C]aD
·解题策略·
比较大小的求解策略
(1)若自变量在同一个单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)若自变量不在同一个单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上,然后利用单调性比较大小.
[变式训练] 已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为(　　)
[A]f(1)>f(-10)
[B]f(1)[C]f(1)=f(-10)
[D]f(1),f(-10)的大小关系不定
D
【解析】 依题意,奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,但无法确定f(x)在R上的单调性,所以f(1)和f(-10)的大小关系不定.故选D.
[例3] 已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上单调递增,则f(x-1)≥
f(2x)的解集为(　　)
题型三　利用函数的单调性与奇偶性解不等式
D
·解题策略·
利用函数的奇偶性与单调性解不等式的步骤
(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系.
(2)由已知或利用奇偶性得出该区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的对应关系“f”,转化为解不等式(组)的问题.
提醒:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时,需转化为“f(x)”的形式,如已知f(1)=0,若f(x-1)<0,则f(x-1)[变式训练] 已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.若f(2)=0,则f(x)≥0的解集为(　　)
[A][-2,2]
[B](-∞,-2]∪[0,2]
[C][-2,0]∪[2,+∞)
[D](-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞)
B
【解析】 由题意,奇函数f(x)的定义域为R,则f(0)=0,f(-2)=0,且f(x)在[-1,0]上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,可作出f(x)的大致图象.由图象可知f(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,2].故选B.
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第2课时　函数的概念(二)
1.理解区间的概念,并且能够利用区间表示集合.2.会判断两个函数是不是同一个函数.3.会求函数的定义域和简单函数的值域.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　区间的概念
设a,b∈R,且a知识归纳
定义 名称 区间 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a[a,b]
(a,b)
{x|a≤x{x|a{x|x≥a} — [a,+∞)
[a,b)
(a,b]
{x|x>a} — (a,+∞)
{x|x≤b} — (-∞,b]
{x|x·疑难解惑·
(1)区间只能表示连续的数集,开闭不能混淆.
(2)用数轴表示区间时,要特别注意实心点与空心点的区别.
(3)区间是实数集的一种表示形式,集合的运算仍然成立.
(4)“∞”是一个符号,而不是一个数. 特别地,实数集R可以用区间表示为
(-∞,+∞).
知识点二　同一个函数
如果两个函数的 相同,并且 完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
定义域
对应关系
基础自测
1.区间(0,2]等于(　　)
[A]{0,2} [B]{(0,2]}
[C]{x|0【解析】 根据区间的定义可知(0,2]={x|0C
[A][2,+∞) [B](2,+∞)
[C](-∞,2] [D](-∞,2)
A
3.下列四个函数中,与y=2x表示同一个函数的是(　　)
D
4.已知区间(2a-1,7],则实数a的取值范围是　　 　　.(用区间表示)
(-∞,4)
【解析】 依题意得2a-1<7,解得a<4,所以实数a的取值范围为(-∞,4).
关键能力·素养培优
[例1] 求下列函数的定义域:
题型一　求函数的定义域
·解题策略·
(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零.
(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零.
(3)若f(x)中含x0,则要注意x≠0.
(4)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义(即求各个式子有意义的交集).
D
[2,3)∪(3,5]
[例2] (北师大版必修第一册P54例1)下列各组中的两个函数是不是同一个函数
题型二　同一个函数的判断
【解】 (1)因为f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是[0,+∞),两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.
(2)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2;
【解】 (2)因为两个函数的对应关系不同,所以不是同一个函数.
【解】 (3)因为f(x)的定义域是{x|x≠-1},g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不同,所以不是同一个函数.
【解】 (4)f(x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同,但它们的定义域及对应关系都相同,所以是同一个函数.
·解题策略·
判断两个函数是不是同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时,必须是等价变形.
[变式训练] (多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　 　)
BC
[例3] 求下列函数的值域:
题型三　求简单函数的值域
(2)y=x2-4x+6(1≤x≤5);
【解】 (2)由y=x2-4x+6=(x-2)2+2,可得其图象的对称轴为直线x=2,所以当x=2时,函数取得最小值2;
又由当x=1时,y=3,当x=5时,y=11,所以函数的最大值为11.
所以函数y=x2-4x+6在区间[1,5]上的值域为[2,11].
·解题策略·
(1)求函数的值域,应先确定定义域,由定义域及对应关系确定函数的值域.
(2)求函数值域的常用方法.
①对一些简单的函数,用观察法直接求解;
②对于二次函数,常用配方法求值域;
③对于分式类型的函数,采用分离常数法,转化为反比例函数的形式,便于求
值域;
④对于带根号的函数,常用换元法转化为有理函数,间接地求原函数的值域.
[变式训练] 求下列函数的值域.
培优拓展　求抽象函数的定义域
[典例] (1)已知f(x)的定义域为[0,2],求y=f(x+1)的定义域;
【解】 (1)已知f(x)的定义域为[0,2],则0≤x≤2,由0≤x+1≤2,得-1≤x≤1,
即y=f(x+1)的定义域为[-1,1].
(2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x)的定义域;
【解】 (2)已知y=f(x+1)的定义域为[0,2],则0≤x≤2,则1≤x+1≤3,即y=f(x)的定义域为[1,3].
(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1],求函数y=f(x-2)的定义域.
【解】 (3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,则-3≤2x-1≤1,
由-3≤x-2≤1,得-1≤x≤3,即函数y=f(x-2)的定义域为[-1,3].
·反思总结·
(1)已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x)) 的定义域是不等式a≤g(x)≤b的解集,其实质是由g(x)的取值范围求x的取值范围.
(2)已知函数y=f(g(x))的定义域为D,则函数f(x)的定义域是函数y=g(x)在D上的值域.
D
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第三章　函数的概念与性质
3.1　函数的概念及其表示
3.1.1　函数的概念
第 1课时　函数的概念(一)
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素,能求简单函数的函数值,提升数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　函数的概念
实数集
知识归纳
概念 一般地,设A,B是非空的 ,如果对于集合A中的 ,按照某种 的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
任意一个数x
确定
唯一确定
三 要 素 对应 关系 y=f(x),x∈A
定义域 的取值范围A
值域 与x的值相对应的 值的集合{f(x)|x∈A}
x
y
·疑难解惑·
(1)A,B是非空的实数集,定义域是A,值域是集合B的子集.
(2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性.
(3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象、表格或其他的对应关系.
(4)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数.
知识点二　一次函数、二次函数和反比例函数的定义域和值域
1.一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是 ,值域是 .
R
R
R
基础自测
1.下列关于x,y的关系式中,能表示y是x的函数的是(　　)
[A]x+|y|=1 [B]x2+y2=1
[C]2x2+y=1 [D]2x+y2=1
【解析】 对于A,x+|y|=1,当x=0时,得|y|=1,即y=±1,不满足函数定义,故A错误;
对于B,x2+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故B错误;
对于C,2x2+y=1即y=-2x2+1,满足函数定义,故C正确;
对于D,2x+y2=1,当x=0时,得y2=1,即y=±1,不满足函数定义,故D错误.故选C.
C
2.设函数f(x)=3x2-1,则f(a)-f(-a)的值是(　　)
[A]0 [B]3a2-1
[C]6a2-2 [D]6a2
A
【解析】 f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0.故选A.
3.(人教A版必修第一册P64练习T3改编)如图,f:A→B表示从集合A到集合B的函数,若f(a)=2,则a的值为(　　)
[A]1 [B]2
[C]1或2 [D]3
C
【解析】 由题图可知,若f(a)=2,则a=1或2.故选C.
4.下列函数的值域为R的是 (　　)
[A]y=x+1
[B]y=x2
[C]y=-x2+1
A
【解析】 选项A中,y=x+1的定义域为R,值域为R,故A正确;显然其余选项的值域均不为R.故选A.
关键能力·素养培优
[例1] (多选)已知下列集合M,N与对应关系f,则f:M→N为从M到N的函数的是(　 　)
[A]M={1,2,3},N={2,4,6},f:M中的数乘以2
[B]M={1,2,3},N={2,4,6,8},f:M中的数乘以2
[C]M={1,4},N={-2,-1,1,2},f:M中的数开平方
[D]M={-2,-1,1,2},N={1,4},f:M中的数平方
题型一　函数的概念
ABD
【解析】 对于A,B,因为1×2=2∈N,2×2=4∈N,3×2=6∈N,符合题意,故A,B正确;对于C,因为集合M中的1开平方后有±1两个值与其对应,不符合函数的定义,故C错误;对于D,因为(-2)2=22=4∈N,(-1)2=12=1∈N,符合题意,故D正确.故选ABD.
·解题策略·
(1)判断一个对应关系是不是函数的方法.
·解题策略·
(2)判断图形是不是函数关系的步骤.
①任取一条垂直于x轴的直线l.
②在定义域内平行移动直线l.
③若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数.
[变式训练] 设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)
[A]①②③④ [B]②③
[C]①②③ [D]②
B
【解析】 对于①,从题图中可看出,M中有些元素在N中没有对应元素,例如x=1.5,不符合集合M到集合N的函数关系;②③符合集合M到集合N的函数关系;对于④,任取x=1,在图中可看到有两个y值与之对应,不符合函数定义.故选B.
[例2] 已知集合A={1,2},B={3,4},f:A→B为集合A到B的一个函数,写出所有符合条件的函数,并指出其定义域和值域.
题型二　函数的定义域和值域的理解
【解】 满足题意的函数共有4个:
·解题策略·
(1)函数f:A→B有三个要素:定义域、对应关系与值域,但是集合B不一定是函数的值域{f(x)|x∈A},需要明确,值域是B的子集;在这三个要素中,定义域是第一位的,对应关系是第二位的,定义域和对应关系一旦确定,这个函数就确定了,值域随之确定.
(2)当集合A与B都是含有有限个元素的集合时,构建函数f:A→B要注意分类讨论.
[变式训练] 下列四种说法中,正确的是　　　 　.(填序号)
①在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应;②函数的定义域和值域一定是无限集合;③定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了;④若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素.
①③④
【解析】 在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应,①正确;若函数y=0,定义域为R,但值域为{0},②错误;定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了,③正确;由于对任意的x,有唯一的y与之对应,故函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素,④正确.
[例3] (湘教版必修第一册P67例3)已知定义域为R的函数f(x)=x+1和g(x)=x2,计算下列各式:
(1)f(2)+g(3);
题型三　求函数值
【解】 (1)f(2)+g(3)=(2+1)+32=3+9=12.
(2)f(a2)-g(a);
【解】 (2)f(a2)-g(a)=(a2+1)-a2=1.
(3)f(f(f(0))).
【解】 (3)因为f(0)=0+1=1,
所以f(f(0))=f(1)=1+1=2,
从而f(f(f(0)))=f(2)=2+1=3.
·解题策略·
求函数值的方法
(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.
(2)已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.
6
培优拓展　构建函数关系的问题情境
[典例] 试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y=10(1+x)2来描述.
【解】 若限制x的取值范围,例如x∈{x|0某地“桃花节”的观赏人数逐年增加,据有关部门统计,2025年约有10万人次,设观赏人数的年平均增长率为x,2027年观赏人数为y万,则y=10(1+x)2.其中x的取值范围是{x|0·反思总结·
由函数关系构建问题情境的策略
(1)分析条件中的函数解析式,确定其函数类型、定义域、值域、对应关系.
(2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境,必要时,可适当限制x的取值
范围.
(3)既要描述情境,又要描述情境中的定义域、值域和对应关系.
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3.2.2　奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法.3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　函数的奇偶性
知识归纳
函数 偶函数 奇函数
条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D
结论 函数f(x)是 偶函数 函数f(x)是
奇函数
图象性质 关于 对称 关于 对称
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
y轴
原点
·疑难解惑·
(1)函数的奇偶性是函数的整体性质.
(2)先判断定义域是否关于原点对称,对于 x∈D,都有-x∈D,即定义域关于原点对称,还需判断f(-x)与f(x)的关系,若f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若f(-x)=-f(x),则函数是奇函数;若f(-x)≠±f(x),则函数为非奇非偶函数.
(3)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,反之也成立.
(4)若奇函数在原点处有意义,则必有f(0)=0.
(5)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x) 既是奇函数又是偶函数,既奇又偶的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集,但有无数个既奇又偶的函数.
基础自测
1.已知函数y=f(x),x∈[-1,a]是偶函数,则a等于 (　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]无法确定
C
【解析】 因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a=1.故选C.
2.(人教A版必修第一册P85练习T1改编)下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)
[A] [B] [C] [D]
B
【解析】 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.
3.函数f(x)=x3在R上为(　　)
[A]奇函数
[B]偶函数
[C]非奇非偶函数
[D]既是奇函数又是偶函数
A
【解析】 因为当x∈R时,f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x) 恒成立,所以函数f(x)=x3是R上的奇函数.故选A.
4.已知函数f(x)=x3+x+a为奇函数,则a等于(　　)
[A]-1 [B]0
[C]1 [D]2
B
【解析】 因为f(x)=x3+x+a为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(0)=0,所以a=0,经检验符合题意.故选B.
关键能力·素养培优
题型一　函数奇偶性的判断
[例1] (苏教版必修第一册P124例1)判定下列函数是否为偶函数或奇函数:
(1)f(x)=x2-1;
【解】 (1)函数f(x)=x2-1的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),
所以函数f(x)=x2-1是偶函数.
(2)f(x)=2x;
【解】 (2)函数f(x)=2x的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=2(-x)=-2x=-f(x),
所以函数f(x)=2x是奇函数.
(3)f(x)=2|x|;
【解】 (3)函数f(x)=2|x|的定义域是R.
因为对于任意的x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),
所以函数f(x)=2|x|是偶函数.
(4)f(x)=(x-1)2.
【解】 (4)函数f(x)=(x-1)2的定义域是R.
因为f(1)=0,f(-1)=4,所以f(1)≠f(-1),f(1)≠-f(-1).
因此,根据函数奇偶性定义可以知道,函数f(x)=(x-1)2既不是奇函数,也不是偶函数.
·解题策略·
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法.
·解题策略·
(2)图象法.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(2)f(x)=x3-x,x∈[-3,3);
【解】 (2)f(x)的定义域为[-3,3),不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
(3)f(x)=0,x∈[-1,1];
【解】 (3)因为f(x)=0的定义域为[-1,1],关于原点对称,又f(-x)=-f(x)=f(x)=0,所以函数f(x)=0,x∈[-1,1]既是奇函数又是偶函数.
【解】 (4)f(x)的定义域为D={x|x≠0}, x∈D,-x∈D,
当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);
当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).
综上,对 x∈D,都有f(-x)=-f(x).所以f(x) 为奇函数.
题型二　奇、偶函数的图象问题
[例2] 已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴及其左侧的图象,如图所示.
(1)请补足完整函数y=f(x)的图象;
【解】 (1)由题意作出函数图象如图所示:
(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间;
【解】 (2)由图可知,f(x)的单调递增区间为(-1,1).
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
【解】 (3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-22}.
·解题策略·
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据:奇函数 图象关于原点对称,偶函数 图象关于y轴对称.
(2)求解:根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.
[变式训练] 如图,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.
【解】 由偶函数的图象关于y轴对称可作出它在y轴右侧的图象,如图,易知f(1)>f(3).
[例3] 若f(x)=(a+1)x2+(a-1)x+2是闭区间[4-2b,b+1]上的偶函数,则a+b=
　　 　　.
题型三　利用函数的奇偶性求值
6
【解析】 因为f(x)是区间[4-2b,b+1]上的偶函数,则4-2b=-(b+1),解得b=5,
由f(x)=(a+1)x2+(a-1)x+2是偶函数,则f(-x)=f(x),
即(a+1)(-x)2+(a-1)(-x)+2=(a+1)x2+(a-1)x+2,即2(a-1)x=0,则a=1,
所以a+b=6.
6
-12
·解题策略·
利用奇偶性求值的常见类型
(1)求参数值:若解析式含参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数利用待定系数法求解;若定义域含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点和为0求解.
(2)求函数值:利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解,有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
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