(共24张PPT)
4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
1.理解对数函数的概念.2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点 对数函数的概念
知识归纳
一般地,函数 叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是 .
y=logax(a>0,且a≠1)
(0,+∞)
·疑难解惑·
(1)对数函数的系数为1.
(2)真数只能是一个x.
(3)底数a>0,且a≠1.
1.下列函数是对数函数的是( )
[A]y=log2x [B]y=ln(x+1)
[C]y=logxe [D]y=logxx
基础自测
A
【解析】 对数函数y=logax(a>0,且a≠1),其中a为常数,x为自变量.对于选项A,符合对数函数定义;对于选项B,真数部分是x+1,不是自变量x,故它不是对数函数;对于选项C,底数是变量x,不是常数,故它不是对数函数;对于选项D,底数是变量x,不是常数,故它不是对数函数.故选A.
C
3.(人教A版必修第一册P131练习T1改编)函数y=log(x-3)(7-x)的定义域是
( )
[A](-∞,7) [B](3,7)
[C](3,4)∪(4,7) [D](3,+∞)
C
4.某种动物的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的函数关系式为y=
alog2(x+1).若这种动物第1年有100只,则第7年它们的数量为 ( )
[A]300只 [B]400只
[C]500只 [D]600只
A
【解析】 由题意知,100=alog2(1+1),解得a=100.则当x=7时,
y=100log2(7+1)=100×3=300.故选A.
关键能力·素养培优
题型一 对数函数的概念
C
·解题策略·
5
题型二 求对数型函数的定义域
(-1,0)∪(0,3]
D
D
·解题策略·
求对数型函数的定义域的注意事项
(1)真数大于0.
(2)底数大于零且不等于1.
(3)对数出现在分母上时,真数除了大于0,还不能为1.
题型三 对数函数模型的应用
(2)如果业务员甲获得10万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元
【解】 (2)由(1)知当0≤x≤20时,奖金不可能为10万元,
所以令2+2log2(x-15)=10,即log2(x-15)=4,解得x=31.
即业务员甲的销售利润是31万元.
·解题策略·
利用对数函数解决应用问题的步骤
(1)列出与对数有关的函数解析式,并根据实际问题确定变量的取值范围.
(2)代入自变量的值后,利用对数的运算性质、换底公式计算.
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第四章 指数函数与对数函数
4.1 指 数
1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性质,能利用根式的性质对根式进行运算.2.理解分数指数幂的含义,掌握根式和分数指数幂的互化.3.掌握实数指数幂的运算性质,并能对代数式进行化简或求值.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 根式的相关概念和性质
1.a的n次方根的定义
一般地,如果 ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
xn=a
知识归纳
2.a的n次方根的表示
[0,+∞)
3.根式的定义
a
4.根式的性质
根据n次方根的定义,根式具有如下性质:
a
|a|
·疑难解惑·
(1)负数没有偶次方根.
知识点二 分数指数幂
3.0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 .
0
没有意义
·疑难解惑·
(2)正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
(3)整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂,即有以下运算性质:
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
『知识拓展』
知识点三 无理数指数幂
1.无理数指数幂:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的
.
2.实数指数幂的运算性质:
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R).
(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).
(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
实数
『知识拓展』
基础自测
[A][0,+∞) [B][1,+∞)
[C][2,+∞) [D]R
B
2.(人教A版必修第一册P107练习T1改编)下列各等式中成立的是( )
B
[A]1 [B]-1
[C]3-2a [D]2a-3
C
B
关键能力·素养培优
题型一 n次方根
·解题策略·
[变式训练] 计算下列各式:
[例2] (湘教版必修第一册P97例5)用分数指数幂的形式表示下列根式的化简结果(式中字母都是正数):
题型二 根式与分数指数幂互化
·解题策略·
根式与分数指数幂互化的规律
(2)如果根式中含有多重根号,要依次用分数指数幂写出.
[变式训练] 用分数指数幂表示下列各式(式中字母均为正数):
[例3] 计算下列各式的值:
题型三 实数指数幂的运算
·解题策略·
关于指数式的化简、求值问题
(1)无论是化简还是求值,一般的运算顺序是先乘方,再乘除,最后加减.
(2)若式子中含有根式,一般把底数中的根式化为指数式,指数中的根式可以保留直接运算.
[例4] 已知x+x-1=3,求下列各式的值:
题型四 实数指数幂的综合运用
(2)x2+x-2;
(3)x2-x-2.
·解题策略·
利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题时,常常运用完全平方公式及其变形公式.
整体代换法是数学变形与计算中常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键.
A
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第2课时 指数函数的图象和性质(二)
1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式.2.掌握指数函数图象和性质的综合应用.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
[例1] (苏教版必修第一册P144例1)比较下列各组数中两个数的大小:
(1)1.52.5,1.53.2;
题型一 利用指数函数的单调性比较大小
【解】 (1)考察指数函数y=1.5x.
因为1.5>1,
所以y=1.5x在R上是增函数.
又因为2.5<3.2,
所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.5-1.2,0.5-1.5;
【解】 (2)考察指数函数y=0.5x.
因为0<0.5<1,
所以y=0.5x在R上是减函数.
又因为-1.2>-1.5,
所以0.5-1.2<0.5-1.5.
(3)1.50.3,0.81.2.
【解】 (3)考察指数函数y=1.5x.
因为1.5>1,
所以y=1.5x在R上是增函数.
又因为0.3>0,
所以1.50.3>1.50=1.
同理0.81.2<0.80=1,
故1.50.3>0.81.2.
·解题策略·
比较幂的大小的方法
(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断.
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断.
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.
B
[变式训练] 下列式子正确的是( )
[A]1.52.9>1.53.4 [B]0.20.4<0.50.4
[C]1.70.2<0.92.5 [D]0.80.5>0.90.4
【解析】 对于A,y=1.5x为增函数,因为2.9<3.4,所以1.52.9<1.53.4,A错误;对于B,y=x0.4在(0,+∞)上单调递增,因为0.2<0.5,所以0.20.4<0.50.4,B正确;对于C,因为y=1.7x为增函数,所以1.70.2>1.70=1,因为y=0.9x为减函数,所以0.92.5<0.90=1,所以1.70.2>0.92.5,C错误;对于D,因为y=0.8x为减函数,所以0.80.5<0.80.4,因为y=x0.4为增函数,所以0.80.4<0.90.4,所以0.80.5<0.90.4,D错误.故选B.
题型二 简单的指数不等式的解法
[例2] 解关于x的不等式:
[典例迁移2] 解不等式:4x-2x-2>0.
【解】 因为4x-2x-2>0,所以(2x)2-2x-2>0,所以(2x+1)(2x-2)>0,又2x+1>1,
所以2x-2>0,所以2x>2,所以x>1.
故原不等式的解集为(1,+∞).
·解题策略·
(1)利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(3)解不等式k·a2x+m·ax+t>0(a>0,且a≠1,k,m≠0),可化为关于“ax”的一元二次不等式,使用换元法.
题型三 指数函数图象和性质的综合运用
(2)判断函数f(x)的单调性,并利用定义加以证明;
·解题策略·
(1)解题过程中要关注、体会性质的应用,如果性质应用不充分,会导致解题步骤繁琐或无法求解,如本题中奇偶性、单调性的应用,可以将复杂的指数运算转化为一元二次不等式问题.
(2)一元二次不等式的恒成立问题,可以结合相应的二次函数的图象,转化为等价的条件求解,恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最值问题等方法求解.
(2)求f(x)在[0,1]上的值域.
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4.4.2 对数函数的
图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质(一)
1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.
3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 对数函数的图象和性质
知识归纳
项目 y=logax (a>0,且a≠1) 底数 a>1 0
图象
定义域 值域 R 单调性 在(0,+∞)上是 函数 在(0,+∞)上是 函数
最值 无最大、最小值 奇偶性 共点性 图象过定点 ,即x=1时,y=0 (0,+∞)
增
减
非奇非偶
(1,0)
(-∞,0)
[0,+∞)
(0,+∞)
(-∞,0]
x轴
·疑难解惑·
(1)函数图象只出现在y轴右侧.
(2)对任意底数a,当x=1时,y=0,故函数图象过定点(1,0).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴.
(5)任意两个底数互为倒数的对数函数的图象关于x轴对称.
知识点二 反函数
一般地,指数函数 (a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.
y=ax
1.(人教A版必修第一册P135练习T2改编)已知a=log25,b=log23,c=1,则( )
[A]b>a>c [B]a>c>b
[C]b>c>a [D]a>b>c
基础自测
D
【解析】 因为y=log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,则log25>log23>log22=1,所以a>b>c.故选D.
2.函数f(x)=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点( )
[A](3,2) [B](2,1)
[C](2,0) [D](2,2)
D
【解析】 令x-1=1,解得x=2,此时f(2)=loga1+2=2,即函数f(x)的图象恒过定点(2,2).故选D.
A
[A] [B] [C] [D]
4.不等式log2(2-x)≤log2(3x+10)的解集为 .
[-2,2)
【解析】 函数y=log2x在定义域(0,+∞)上单调递增,
则由log2(2-x)≤log2(3x+10)可得0<2-x≤3x+10,解得-2≤x<2.
关键能力·素养培优
题型一 对数函数的图象
[例1] 设a,b,c,d均为不等于1的正实数.如图,已知函数y=logax,y=logbx,
y=logcx,y=logdx的图象分别是曲线C1,C2,C3,C4,试判断0,1,a,b,c,d的大小关系为 .(用“<”连接)
0【解析】 如图,作直线y=1,从而可与函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象有四个交点,分别为(a,1),(b,1),(c,1),(d,1),从而可得0[典例迁移1] 若函数f(x)=loga(2x+a)-6(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标为( )
[A](0,-5) [B](0,-6)
[C](1,-6) [D](1,-5)
A
【解析】 令2x+a=a,则x=0,此时f(0)=logaa-6=-5,所以图象恒过定点P(0,-5).故选A.
[典例迁移2] 已知f(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)满足f(-5)=1.
(1)画出函数f(x)的图象;
图(1)
(2)画出函数g(x)=loga|x-1|的图象;
(3)画出函数h(x)=|logax|的图象.
·解题策略·
(1)对数函数底数对图象的影响.
其中a,b,c,d是图象对应的对数函数的底数,根据图象,其大小关系为0·解题策略·
(2)关于定点问题.
求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点时,只需令f(x)=1求出x0,即得定点为(x0,m).
(3)对数型函数图象的变换方法.
①作y=f(|x|)的图象时,保留y=f(x)(x>0)的图象不变,当x<0时y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称;
·解题策略·
②作y=|f(x)|的图象时,保留y=f(x)在x轴及上方的图象不变,把x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折上去即可;
③有关对数函数图象的平移也符合“左加右减,上加下减”的规律;
④y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称,y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.
题型二 比较对数值的大小
[例2] (湘教版必修第一册P122例11)比较下列各组中两个数的大小:
(1)log27.6和log28.7;
【解】 (1)因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,且7.6<8.7,
所以log27.6(3)loga7.6和loga8.7(a>0,且a≠1);
【解】(3)当a>1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,且7.6<8.7,所以loga7.6当0loga8.7.
(4)log0.82和20.8.
【解】 (4)因为函数y=log0.8x在(0,+∞)上单调递减,
所以log0.82又20.8>0,所以log0.82<20.8.
[典例迁移1] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log23,log32,log46;
【解】 (1)因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以log23=log49>log46>1,又log32<1,所以log23>log46>log32.
[典例迁移2] 比较下列各组中三个数的大小:
(1)log0.26,log0.36,log0.46;
(2)log23,log34,log45.
·解题策略·
比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
题型三 利用单调性解对数不等式
(2)loga(2x-5)>loga(x-1).
·解题策略·
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解.
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4.5.3 函数模型的应用
1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.3.能解决实际问题中的函数模型选择问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 常见的几种函数模型
知识归纳
指数型函数模型 f(x)= (a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数型函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数型模型 f(x)= (a,b为常数,a≠0)
bax+c
axα+b
知识点二 建立函数模型的基本过程
1.两个变量的散点图如图,用如下函数进行拟合比较合理的是( )
基础自测
C
【解析】 由散点图可知,此曲线类似对数型函数曲线,因此可用函数y=a+
bln x模型进行拟合.故选C.
2.(人教A版必修第一册P150练习T2改编)某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为 180只,则15年后它们发展到( )
[A]300只 [B]400只
[C]600只 [D]720只
D
【解析】 由题知,该动物的繁殖数量y与引入时间x的关系为y=alog2(x+1),
将x=1,y=180代入y=alog2(x+1),得180=alog2(1+1),解得a=180,所以y=
180·log2(x+1),所以当x=15时,y=180·log2(15+1)=180×4=720,所以15年后它们发展到720只.故选D.
A
4.某工厂在某年12月份的产值是这年1月份产值的m倍,则该厂在该年度的产值的月平均增长率为( )
D
关键能力·素养培优
题型一 应用已知函数模型解决实际问题
(2)某种茶叶泡制的茶水,刚沏出来时茶水温度为75 ℃,等茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳.已知空气温度为25 ℃,则刚沏出来的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 (结果保留一位小数,参考数值:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,
ln 5≈1.6)
·解题策略·
利用已知函数模型解决实际问题
(1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数.
(2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题.
(3)涉及较为复杂的指数运算时,常常利用等式两边取对数的方法,将指数运算转化为对数运算.
C
题型二 建立函数模型解决实际问题
[例2] 某医学研究所研发一种药物.据监测,如果成人在0.5 h内按规定的剂量注射该药,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,每升血液中的药物含量y(单位:mg)与开始注射后的时间t(单位:h)之间近似满足如图所示的曲线,y与t的函数关系为y=mat(a>0,且a≠1).根据图中提供的信息:
(1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量y(单位:mg)关于时间t(单位:h)的函数关系式;
(2)据测定,每升血液中药物含量不少于0.08 mg 时该药有效,那么该药的药效时间有多长(结果保留小数点后两位)
(3)若第一次药物注射完成2 h后,马上进行第二次注射,则第二次注射完成后再过1 h,该人每升血液中药物含量为多少(结果保留小数点后两位)
(参考数据:ln 2≈0.69,ln 5≈1.61)
【解】(3)完成第二次注射药物1 h后,
每升血液中第一次注射药物的含量为y1=4-3=0.015 625,
每升血液中第二次注射药物的含量为y2=4-0.5=0.5,
所以该人每升血液中药物含量为y1+y2=0.015 625+0.5≈0.52 (mg).
·解题策略·
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题意,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
(1)求每年捕捞的鱼的数量所占比例;
(2)到今年为止,该水库已捕捞了多少年
(3)今年之后,为了保证水库的生态平衡,最多还能捕捞多少年
题型三 拟合函数解决实际问题
[例3] 某地区不同身高x(单位:cm)未成年男性体重平均值y(单位:kg)如下表:
身高x/cm 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重y/kg 10 12 15 17 20 27 31 45 50 67
根据表中数据及散点图,为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)的关系,现有以下三种模型提供选择:①y=abx+c;②y=-x3+ax2+bx+c;③y=klogax+b.
(1)你认为最符合实际的函数模型是哪个(说明理由) 并利用(80,10),
(120,20),(160,50)这三组数据求出此函数模型的解析式.
(2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么该地区一名身高为164 cm,体重为62 kg 的未成年男性的体重是否正常
(参考数据:lg 3≈10lg 1.1)
·解题策略·
建立拟合函数与预测的基本步骤
[变式训练] 为研究某种病毒的繁殖速度,某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察,每隔单位时间T进行一次记录,用x表示经过单位时间的个数,用y(单位:万个)表示此病毒的数量,得到如下数据:
x 1 2 3 4 5 6 …
y/万个 … 10 … 50 … 250 …
若该病毒的数量y(单位:万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y=px2+q与y=kax(k>0,a>1)可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式.
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4.4.3 不同函数
增长的差异
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
函数 性质 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=kx
(k>0)
在(0,+∞) 上的增减性
图象的 变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋 于稳定 增长速
度不变
知识点 三种常见函数模型的增长差异
知识归纳
单调递增
单调递增
单调递增
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过 的增长速度;总会存在一个x0,当x>x0时,恒有 增长结果 存在一个x0,当x>x0时,有 y=kx(k>0)
logaxax>kx>logax
·疑难解惑·
(1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长幅度很大时,常常选用对数函数模型.
(3)一次函数增长速度不变,平稳变化.
(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢,数值大不一定增长速度快,增长速度体现在函数值的变化趋势上.
1.如图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )
[A]一次函数 [B]幂函数
[C]对数函数 [D]指数函数
基础自测
C
【解析】 从题图可以看出这个函数的增长速率越来越慢,反映的是对数函数的增长趋势.故选C.
2.有三个函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x,以下四个选项错误的是( )
[A]f(x)的增长速度始终不变
[B]f(x)的增长速度越来越快
[C]g(x)的增长速度越来越快
[D]h(x)的增长速度越来越慢
B
【解析】 作出三个函数的图象,由图可知A,C,D正确,B错误.故选B.
D
3.在一次物理实验中,某同学采集到如下一组数据:
x 0.5 0.99 2.01 3.98
y -0.99 0.01 0.98 2.00
在下列四个函数模型中,最能反映x,y函数关系的是( )
[A]y=2x [B]y=x2-1
[C]y=2x-2 [D]y=log2x
【解析】 对于A,当x=0.5时,y=1,与-0.99相差过大,故排除;对于B,当x=2.01时,y=3.040 1,与0.98相差过大,故排除;对于C,当x=2.01时,y=2.02,与0.98相差过大,故排除;对于D,由对数函数性质知,表格里的数与y=log2x图象上的点相差较小,故正确.故选D.
4.(人教A版必修第一册P140习题4.4 T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )
[A] [B] [C] [D]
B
【解析】 在2 h内,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且函数单调递增,排除A;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,排除C;停止注射后,血液中最终药物含量趋近于0,但不小于0,排除D;能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.故选B.
关键能力·素养培优
题型一 几类函数增长的差异
[例1] 三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
则关于x 分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为( )
[A]y1,y2,y3 [B]y2,y1,y3
[C]y3,y2,y1 [D]y1,y3,y2
C
【解析】 由题表可知,y2随着x的增大而迅速增大,是指数型函数变化;y3随着x的增大而增大,但是变化缓慢,是对数型函数变化;y1相对于y2增长得要慢一些,相当于y3增长得要快一些,故y1是直线型函数的变化.故选C.
·解题策略·
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型:线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.
(2)指数函数模型:指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧加快,形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.
(4)幂函数模型:幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
[变式训练] 下列函数中,随着x的增长,增长速度最快的是( )
D
题型二 幂函数、指数函数、对数函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=2x,g(x)=x3的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),x1【解】 由已知及f(1)=2>1=g(1),f(2)=4<8=g(2),f(9)=512<729=g(9),f(10)=
1 024>1 000=g(10),
得1x2,观察题图知,当x1f(x)当x>x2时,f(x)>g(x),则f(2 026)>g(2 026);
又g(2 026)>g(6),所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6).
·解题策略·
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.特别的,呈直线上升的是一次函数.
[变式训练] 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出C1,C2分别对应的函数;
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1;C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)以两图象的交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.
【解】 (2)当0f(x);当x1g(x);当x>x2时,
g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
题型三 函数模型的选择
[例3] 某制造厂引进了一条装配流水线,本年第一季度统计数据如表所示.
月份 1月 2月 3月
产品数量x/件 30 60 80
创造的收益y/元 4 800 6 000 4 800
(1)根据表格数据,从下列三个函数模型:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=ax+b,选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的产品数量x(单位:件)与创造的收益y(单位:元)之间的关系,并写出这个函数关系式.
(2)利用上述你选取的函数模型计算,若这家工厂希望在一月内利用这条流水线创收6 020元以上,那么它在一月内大约应生产多少件产品
·解题策略·
建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则:建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素、主要变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则:建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,且能得出正确结论.
(3)反映性原则:建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题.
(1)请你判断哪个函数模型更适合,说明理由,并求出该函数模型的解析式.
(2)该水域中绿球藻生长面积在几月底达到其最初的生长面积n的7倍
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第2课时 对数函数的图象和性质(二)
1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用对数函数的性质求解与对数函数有关的综合性问题.3.了解反函数的概念和图象特点.
【课程标准要求】
关键能力·素养培优
题型一 与对数函数有关的定义域、值域问题
[-2,0)∪(2,4]
·解题策略·
(2)形如函数f(x)=logag(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解.
(3)形如函数f(x)=logag(x)的值域为R的问题转化为g(x)可以取到所有正数问题求解.
[变式训练] 已知函数f(x)=lg(mx2+mx+1),若此函数的定义域为R,则实数m的取值范围是 ;若此函数的值域为R,则实数m的取值范围是 .
[0,4)
[4,+∞)
题型二 与对数函数有关的综合性问题
(2)讨论函数f(x)的单调性.
·解题策略·
(1) 求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的奇偶性问题,一定要注意先研究函数的定义域,利用定义域关于原点对称求解参数更加简单.
(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性,一是利用单调性定义,二是利用复合函数的单调性.
(3)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:
①求函数的定义域;
②将原函数拆分成y=logau(a>0,且a≠1),u=f(x)两个函数;
③由定义域求u的取值范围;
④利用函数y=logau(a>0,且a≠1)的单调性求值域.
[变式训练] 已知f(x)=logax+loga(4-x)(a>0,且a≠1),且f(2)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
题型三 反函数
【解析】 y=ex的图象与y=f(x)的图象关于直线y=x对称,故y=ex与y=f(x)互为反函数,故f(x)=ln x,所以f(2e)=ln (2e)=1+ln 2.故选C.
C
·解题策略·
互为反函数的两个函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换.
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
D
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4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 函数零点
知识归纳
1.概念:对于一般函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系:
f(x)=0
x轴
f(x)=0
·疑难解惑·
(1)零点不是点,是函数图象与x轴交点的横坐标.
(2)求零点可转化为求对应方程的解.
(3)并不是所有的函数都有零点,如函数y=2x,y=|x|+1都没有零点.
知识点二 函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,且有
,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解.
连续不断
f(a)f(b)<0
至少
f(c)=0
1.(人教A版必修第一册P144练习T1改编)下列图象表示的函数中恰有一个零点的是 ( )
基础自测
B
[A] [B] [C] [D]
【解析】 根据零点的定义,零点是函数图象与x轴的交点的横坐标.选项A中函数图象与x轴没有交点,即函数没有零点;选项B中函数图象与x轴只有一个交点,即函数只有一个零点;选项C,D中函数图象与x轴有两个交点,即函数有两个零点.故选B.
2.函数f(x)=x2-4x+3的零点为( )
[A](1,0) [B](1,3)
[C]1和3 [D](1,0)和(3,0)
C
【解析】 令x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以函数的零点为1和3.故选C.
C
4.函数f(x)=x3+x2-5的一个零点所在区间为( )
[A](0,1) [B](1,2)
[C](2,3) [D](3,4)
B
【解析】 因为y=x3与y=x2-5均在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x3+x2-5在(0,+∞)上单调递增,
又f(1)=-3,f(2)=7,所以f(1)f(2)<0,所以f(x)在(1,2)上存在一个零点.故选B.
关键能力·素养培优
题型一 求函数的零点
[例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,求出函数的零点;如果不存在,请说明理由.
(1)f(x)=x2+7x+6;
【解】 (1)令f(x)=x2+7x+6=0,得x=-1或x=-6,所以函数f(x)存在零点,零点是-1和-6.
(2)f(x)=2x-1-3;
【解】 (2)令f(x)=2x-1-3=0,得x=log26,所以函数f(x)存在零点,零点是log26.
(3)f(x)=(x2+x+1)(2x+1);
·解题策略·
函数零点的两种求法
(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.
(2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
[变式训练] 若一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,则函数g(x)=bx2-kx的图象可能是( )
B
【解析】 因为一次函数f(x)=kx+b(k≠0)有一个零点-2,所以-2k+b=0,即b=2k,对于g(x)=bx2-kx,令g(x)=0,
则bx2-kx=0,则x(bx-k)=0,即x(2kx-k)=0,解得x=0或x=0.5,所以g(x)有两个零点,分别为0和0.5,符合题意的只有B选项.故选B.
题型二 函数零点所在区间问题
[例2] (多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) -4 -2 1 4 2 -1 -3
在下列区间中,函数f(x)必有零点的区间为( )
[A](1,2) [B](2,3)
[C](5,6) [D](5,7)
BCD
【解析】 由所给的函数值表知,f(1)f(2)>0,f(2)f(3)<0,f(5)f(6)<0,f(5)f(7)<0,
由零点存在定理可知,f(x)在区间(2,3),(5,6),(5,7)内分别至少有一个零点.故选BCD.
·解题策略·
判断函数y=f(x)在所给区间(a,b)上
是否有零点的常用方法
(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(3)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
C
题型三 函数零点个数的问题
(2)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
·解题策略·
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程的解,转化为解方程,有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,从而判定零点的个数.
(3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判定y=f(x)在(a,b)内零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
4
法二 y=f(x)的图象如图(1)所示, 故y=|f(x)|的图象如图(2)所示.令y=|f(x)|-1=0,即|f(x)|=1,y=|f(x)|的图象与y=1有4个交点,故函数y=|f(x)|-1的零点个数是4.
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4.3.2 对数的运算
第1课时 对数的运算
1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立的条件.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点 对数的运算性质
知识归纳
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)= .
logaM+logaN
logaM-logaN
nlogaM
·疑难解惑·
(1)性质的逆运算仍然成立.
(2)公式成立的条件是M>0,N>0,而不是MN>0,比如式子log2[(-2)·(-3)]有意义,而log2(-2)与log2(-3)都没有意义.
性质(1)可以推广为loga(N1·N2·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk,其中N1,N2,…,Nk>0,k∈N*.
『知识拓展』
基础自测
B
A
C
【解析】 因为lg a(a>0)与lg b(b>0)互为相反数,所以lg a+lg b=lg (ab)=0,因此ab=1.故选C.
B
关键能力·素养培优
题型一 对数运算性质的简单应用
(4)2log183+log182.
【解】 (4)2log183+log182=log189+log182=log1818=1.
·解题策略·
对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(1)lg 20+lg 5;
【解】 (1)lg 20+lg 5=lg 100=lg 102=2.
(2)log336-log312;
题型二 对数式的分拆
[例2] (北师大版必修第一册P102例2)已知log23=a,log25=b,用a,b表示下列各式的值:
(1)log230;
【解】 (1)log230=log2(2×3×5)=log22+log23+log25=1+a+b.
·解题策略·
用已知对数的值来表示所求对数的值时,要增强目标意识,把真数拆解成已知对数的真数,合理地把所求向已知条件转化.
题型三 利用对数的运算性质化简、求值
【解】 (3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2=
2+(lg 10)2=2+1=3.
·解题策略·
利用对数的运算性质化简、求值
(1)“合”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用.
(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1,进行计算或化简.
[变式训练] 计算下列各式的值:
(2)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2.
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4.2.2 指数函数的
图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质(一)
1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
项目 a>1 0图象
定义域 R 值域 知识点 指数函数的图象和性质
知识归纳
(0,+∞)
性 质 最值 无最值 过定点 过定点 , 即x= 时,y= 函数值 的变化 当x<0时, ; 当x>0时, 当x>0时, ;
当x<0时,
单调性 在R上是 函数 在R上是 函数
奇偶性 对称性 y=ax与 的图象关于 对称 (0,1)
0
1
0y>1
0y>1
增
减
非奇非偶
y轴
·疑难解惑·
(1)函数图象只出现在x轴上方.
(2)当x=0时,有a0=1,故图象过定点(0,1).
(3)当0(4)当a>1时,底数越大,图象越靠近y轴.
(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.
基础自测
B
[A] [B] [C] [D]
2.函数f(x)=ax-1-1(a>0,且a≠1)的图象过定点( )
[A](1,0) [B](1,-1)
[C](-1,0) [D](-1,-1)
A
【解析】 令x-1=0,得x=1,代入解析式,得f(1)=0,故图象过定点(1,0).故选A.
B
4.若指数函数f(x)=(a-1)x在R上为减函数,则a的取值范围为 .
(1,2)
【解析】 由题意得,0关键能力·素养培优
[例1] 如图是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则a,b,c,d与0和1的大小关系是( )
[A]0[C]1题型一 指数函数的图象
B
【解析】 如图,作出直线x=1,与4个指数函数的图象自下至上分别交于点(1,b),(1,a),(1,d),(1,c),所以0·解题策略·
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0(2)在同一平面直角坐标系内,识别多个指数函数图象底数的大小,可借助直线x=1,根据直线x=1与各图象交点纵坐标的大小确定底数的大小. 在y轴右侧,指数函数的图象“底大图高”.
B
题型二 指数函数图象的应用
[例2] 已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=mx-n的图象不经过( )
[A]第一象限 [B]第二象限
[C]第三象限 [D]第四象限
B
【解析】 由已知条件得当x=2时,f(2)=2,则函数f(x)的图象恒过点M(2,2),
即m=2,n=2,此时g(x)=2x-2,
由于g(x)的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到的,
且过点(0,-1),由此可知g(x)的图象不经过第二象限.故选B.
[典例迁移1] 函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
[A]a>1,b<0
[B]a>1,b>0
[C]00
[D]0D
【解析】 由题图可知,函数f(x)为减函数,从而有0法一 由f(x)=ax-b的图象知,函数图象与y轴交点的纵坐标y∈(0,1),令x=0,得y=a-b,由0法二 函数f(x)的图象可看作是由y=ax(0-b>0,即b<0.故选D.
A
·解题策略·
(1)定点问题:令函数解析式中的指数为0,可求出横坐标,再求纵坐标即可.
(2)平移问题:对于横坐标x满足“左加右减”.
(3)确定参数问题:根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的取值范围,利用函数图象与y轴的交点,确定b,c的取值范围,也可利用图象的平移变化确定b,c的取值范围.
题型三 与指数函数有关的定义域(值域)问题
·解题策略·
y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数的定义域、值域的求法
(1)形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的定义域就是f(x)的定义域.
(2)求形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的值域时,先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.
【解】 f(x)的定义域是R.
因为-x2-2x+3=-(x+1)2+4≤4,所以当a>1时,函数f(x)的值域为(0,a4];
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第2课时
换底公式
1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点 对数换底公式
知识归纳
对数换底公式的重要推论
『知识拓展』
·疑难解惑·
(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.
基础自测
D
D
B
B
关键能力·素养培优
题型一 对数换底公式的应用
[典例迁移2] 已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)
·解题策略·
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
题型二 对数运算性质的综合运用
[例2] 已知x,y,z都是大于1的实数,m>0且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,求logzm的值.
·解题策略·
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
题型三 实际问题中的对数运算
A
·解题策略·
关于对数运算在实际问题中的应用
(1)在与对数相关的实际问题中,先将题目中数量关系理清,再将相关数据代入,最后利用对数运算性质、换底公式进行计算.
(2)在与指数相关的实际问题中,可将指数式利用取对数的方法,转化为对数运算,从而简化复杂的指数运算.
B
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4.3 对 数
4.3.1 对数的概念
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.
3.会求简单的对数值.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 对数的定义
知识归纳
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作 ,其中a叫做对数的 ,N叫做 .
x=logaN
底数
真数
·疑难解惑·
(1)对数是由指数转化而来,故底数a、指数或对数x、幂或真数N的取值范围不变,只是位置和名称发生了变化.
(2)logaN的读法:以a为底N的对数.
知识点二 两类特殊对数
1.以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为 .
2.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数,并把logeN记为 .
lg N
ln N
知识点三 对数的性质
1.loga1= (a>0,且a≠1).
2.logaa= (a>0,且a≠1).
3.负数和0没有对数.
0
1
N
x
基础自测
B
2.下列说法正确的是( )
[A]因为12=1,所以log11=2
[B]因为32=9,所以log39=2
[C]因为(-3)2=9,所以log(-3)9=2
[D]因为32=9,所以log92=3
B
【解析】 当ab=N(a>0,且a≠1)时,b=logaN,选项A的底数为1,错误;选项C的底数为负数,错误;“32=9”的底数为3,所以化为对数后底数也应为3,所以B正确,D错误.故选B.
B
3.有以下四个结论,其中正确的是( )
[A]lg (lg 10)=1
[B]lg (ln e)=0
[C]若e=ln x,则x=e2
[D]ln (lg 1)=0
【解析】 因为lg 10=ln e=1,lg 1=0,故A错误,B正确;若e=ln x,则x=ee,故C错误;lg 1=0,而ln 0 没有意义,故D错误.故选B.
3
关键能力·素养培优
题型一 对数的概念
B
·解题策略·
C
题型二 对数式与指数式的互化
[例2] 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)23=8;
【解】 (1)因为23=8,所以log28=3.
(2)105=100 000;
【解】 (2)因为105=100 000,所以lg 100 000=5.
(3)ex=7;
【解】 (3)因为ex=7,所以ln 7=x.
(4)log232=5;
【解】 (4)因为log232=5,所以25=32.
(6)logxb=2(x>0,且x≠1).
【解】 (6)因为logxb=2,所以x2=b(x>0,且x≠1).
·解题策略·
指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.
(2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
指数式与对数式相互转化的过程中,底数是相同的.
(3)e3=e3;
【解】 (3)ln e3=3.
(4)lg 1 000=3;
【解】 (4)103=1 000.
(5)ln a=b;
【解】 (5)eb=a.
(6)logxy=z(x>0,且x≠1;y>0).
【解】 (6)xz=y(x>0,且x≠1;y>0).
题型三 利用对数的定义计算
(2)logx16=-4(x>0,且x≠1);
(4)-ln e-3=x.
【解】(4)由题意,ln e-3=-x,即e-3=e-x,解得x=3.
·解题策略·
求对数式logaN(a>0,且a≠1;N>0)的值的步骤:
(1)设logaN=m.
(2)将logaN=m写成指数式am=N.
(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.
[变式训练] 求下列各式中x的值:
(1)-lg x=2;
题型四 对数的相关性质
(2)log0.61;
【解】(2)log0.61=log0.60.60=0.
[典例迁移1] 求下列各式中x的值:
(1)log8[log7(log2x)]=0;
【解】 (1)因为log8[log7(log2x)]=0,
所以log7(log2x)=1,所以log2x=7,解得x=27=128.
(2)log2[log3(log2x)]=1;
【解】(2)因为log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,解得x=29=512.
[典例迁移2] 已知实数a,b,c满足logn(b2-a)=0(n>0,且n≠1),lg (a-c)=1,22b+c=16,求实数a,b,c的值.
·解题策略·
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0,且a≠1),进行变形求解.若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log ”后再
求解.
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4.5.2 用二分法求
方程的近似解
1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 二分法
知识归纳
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)f(b)<0
一分为二
逐步逼近零点
·疑难解惑·
(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理.
(2)用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反,比如y=x2,该函数有零点为0,但不能用二分法求解.
知识点二 用二分法求函数零点的近似值
给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下:
1.确定零点x0的初始区间[a,b],验证 .
2.求区间(a,b)的中点 .
3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
(1)若f(c)=0(此时x0=c),则 就是函数的零点;
(2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈ ),则令b=c;
(3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈ ),则令a=c.
4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2～4.
f(a)f(b)<0
(a,c)
c
c
(c,b)
·疑难解惑·
(1)初始区间要包含函数的变号零点.
(2)精确度ε表示停止二分时区间的长度小于ε.
·轻松记忆·
定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办 精确度上来判断.
1.下列函数中不能用二分法求零点的是( )
[A]y=3x-1 [B]y=x3
[C]y=|x| [D]y=ln x
基础自测
C
2.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,但不能用二分法求交点横坐标的是( )
B
[A] [B] [C] [D]
【解析】 由题意可知,二分法求零点要求函数的图象连续不断且满足函数零点存在定理,即f(a)f(b)<0成立,对比选项可知,A,C,D均符合题意,但选项B中f(a)f(b)≥0恒成立,不满足函数零点存在定理,故B错误.故选B.
C
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260
f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)为 ( )
[A]1.5 [B]1.375
[C]1.437 5 [D]1.25
C
【解析】 因为f(1.406 25)<0,f(1.437 5)>0,所以f(1.406 25)f(1.437 5)<0,所以该方程的解在区间(1.406 25,1.437 5)内,
又因为|1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.05,所以方程的近似解可以是1.437 5.故选C.
关键能力·素养培优
题型一 对二分法概念的理解
[例1] 已知f(x)=x2+6x+c有零点,但不能用二分法求出零点的近似值,则c的值是 ( )
[A]9 [B]8
[C]7 [D]6
【解析】 依题意可知,x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则Δ=36-4c=0,所以c=9.故选A.
A
·解题策略·
运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断.
(2)在该零点左、右两侧的函数值异号.
ABC
题型二 用二分法求函数零点的近似值
[例2] 已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
【解】 (1)令f(x)=2x+2x-5.因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,f(2)=22+2×2-5=3>0,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.即原方程的解有且仅有1个,并在区间(1,2)内.
(2)用二分法求出方程的近似解(精确度为0.1).
参考数据:
x 1.125 1.25 1.312 5 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.48 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
【解】(2)用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 0.83
(1,1.5) 1.25 -0.12
(1.25,1.5) 1.375 0.34
(1.25,1.375) 1.312 5 0.105
因为|1.375-1.25|=0.125>0.1,且|1.312 5-1.25|=0.062 5<0.1,所以函数的零点近似值为1.312 5,
即方程2x+2x=5的近似解可取为1.312 5.(或1.25或区间(1.25,1.312 5)内的任意值)
·解题策略·
二分法求函数零点的近似值
(1)验证零点所在的区间是否符合精确度要求.(2)区间内的任一值都可以作为零点的近似值,一般取端点作为零点的近似值.
题型三 二分法的实际应用
[例3] 一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点,已知电路不通的原因是某一个焊接点脱落,要想借助万用表,利用二分法的思想检测出哪一处焊接点脱落,至多需要检测( )
[A]4次 [B]6次
[C]7次 [D]50次
C
【解析】 第一次,可去掉50个结果,从剩余的50个中继续使用二分法;第二次,可去掉25个结果,从剩余的25个中继续使用二分法;第三次,可去掉12或13个结果,考虑至多的情况,所以去掉12个结果,从剩余的13个中继续使用二分法;第四次,可去掉6或7个结果,考虑至多的情况,所以去掉6个结果,从剩余的7个中继续使用二分法;第五次,可去掉3或4个结果,考虑至多的情况,所以去掉3个结果,从剩余的4个中继续使用二分法;第六次,可去掉2个结果,从剩余的2个中继续使用二分法;第七次,可去掉1个结果,得到最终结果.所以最多需要检测7次.故选C.
·解题策略·
二分法的思想在实际生活中应用十分广泛,二分法不仅可用于线路、水管、煤气管道故障排查,还能用于实验设计、资料查询、资金分配等.
[变式训练] 在26枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻).现只有一台天平,请问:利用二分法的思想,至多称几次就一定可以找出这枚假币
【解】 第一次,将26枚金币平均分成两份,放在天平上,假币在轻的那13枚金币里面;
第二次,从这13枚金币中拿出 1枚,将剩下的12枚平均分成两份,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,称量结束;若不平衡,则假币一定在轻的那6枚金币里面,则进行第三次称量;
第三次,将这6枚平均分成两份,则假币一定在轻的那3枚金币里面;第四次,从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上,若平衡,则剩下的那一枚即是假币;若不平衡,则轻的那一枚为假币.
依据上述分析,至多称4次就可以发现这枚假币.
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4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的
概念
1.理解指数函数的概念,了解底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型函数在实际问题中的应用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一 指数函数的概念
知识归纳
一般地,函数 (a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
y=ax
·疑难解惑·
函数的特征
(1)底数a>0,且a≠1.
(2)指数幂的系数为1.
(3)自变量在指数上.
知识点二 指数增长型和指数衰减型函数模型
1.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当 时为指数增长型函数模型.
2.y=kax(k>0,a>0且a≠1),当 时为指数衰减型函数模型.
a>1
0基础自测
1.下列函数是指数函数的是( )
[A]y=2x+1 [B]y=2x+1
[C]y=2-x [D]y=-2x
C
2.若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)等于( )
A
D
4.(人教A版必修第一册P119习题4.2 T2改编)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,剩余的这种物质为上一年的84%,设该物质最初的质量是1,则该物质的剩余量y关于经过年数x的函数关系式为 .
y=0.84x(x∈N*)
【解析】 经过1年,剩余量y=1×0.84=0.841;经过2年,剩余量y=0.84×0.84=
0.842;一般地,经过x年,剩余量y=0.84x(x∈N*).
关键能力·素养培优
[例1] 若函数y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,则有( )
[A]a=2 [B]a=3
[C]a=2或a=3 [D]a>2,且a≠3
题型一 指数函数的概念
A
【解析】 因为y=(a2-5a+7)ax+4-2a是指数函数,所以a2-5a+7=1,整理得(a-2)(a-3)=0,又4-2a=0,所以a=2.故选A.
·解题策略·
判断一个函数为指数函数的方法
(1)看形式:判断其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构特征.
(2)明特征:看是否具备指数函数解析式的三个特征.只要有一个特征不具备,该函数就不是指数函数.
[变式训练] 给出下列函数:①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=πx;
⑥y=4x2;⑦y=xx; ⑧y=(a-1)x(a>1),其中是幂函数的为 ;是指数函数的为 .(填序号)
②
①⑤
【解析】 因为指数函数为y=ax(a>0,且a≠1),故①⑤是指数函数;由幂函数定义知,y=x4是幂函数,故②是幂函数;由幂函数和指数函数的定义知,③④⑥⑦既不是幂函数,也不是指数函数;对于⑧,当a=2时,y=(a-1)x=1x,既不是幂函数,也不是指数函数.
题型二 求指数函数的解析式或函数值
·解题策略·
(1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
C
题型三 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
A
·解题策略·
指数型函数在实际问题中的应用
(1)函数y=kax(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律非常有用的函数模型,一般当k>0时,若a>1,则刻画指数增长变化规律;若0(2)解决此类问题可利用待定系数法,根据条件确定出解析式中的系数后,利用指数运算解题.
[变式训练] 某人2025年7月1日到某银行存入a元,若按年利率x复利计算,则到2028年7月1日可取款( )
[A]a(1+x)2元 [B]a(1+x)4元
[C]a+(1+x)3元 [D]a(1+x)3元
D
【解析】 由题意知,2026年7月1日可取款a(1+x)元,2027年7月1日可取款a(1+x)·(1+x)=a(1+x)2元,2028年7月1日可取款a(1+x)2·(1+x)=a(1+x)3元.故选D.
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