6.3 一元一次方程的应用（4））教学课件【30张PPT】2024-2025学年鲁教版五四制（2024）六年级数学下册
文档属性
| 名称 | 6.3 一元一次方程的应用（4））教学课件【30张PPT】2024-2025学年鲁教版五四制（2024）六年级数学下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 100.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-29 00:00:00 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
义务教育教科书鲁教版（五四制）数学六年级下册第六章第三节
回顾
《九章算术》第七章“盈不足”第一题：今有共买物，人
出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？
盈不足问题
解应用题一般步骤： 审、设、列、解、验、答
借助：表格
回顾
学习目标
一、知识技能：
1.掌握用一元一次方程解决“盈不足”问题的方法，能通过表格分析理清数量关系。
2.了解《九章算术》中的 “盈不足术”，理解其基本原理，并能与方程法进行对比分析。
二、关键能力
1.能够从实际问题中抽象出数学模型，合理设未知数并建立方程。
2.具备逻辑推理能力，能通过两种不同情境的对比，找到变量间的等量关系。
3.能运用对比分析的方法，评价“盈不足术”与方程法的优缺点。
任务一 评价量规 得分
活动1： 分析解决问题 1.会借助表格正确的分析出数量关系，设未指数。 2.能根据不同的未知数列出不同的方程变正确解答。 3.积极思考主动发言。 3
活动2： 探究总结方法 1.能通过对比观察发现两个题目的区别与联系。 2.能够总结解决“赢不足”问题的关键。 3.在小组讨论中能够积极发言完成任务。 3
任务一：探究盈不足问题的方程解法
任务一：探究盈不足问题的方程解法
不足四。问人数、物价各几何？
译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多
出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合
伙人数、物品价格各是多少？
活动1：分析解决问题
例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，
(1)问题中有哪些已知量和未知量？
它们之间有怎样的等量关系？
审
已知量： ①每人出8钱
②每人出7钱
多3钱
少4钱
未知量：
总人数
总物价
等量关系：人数不变
物价相等
有关量 每人出8钱 每人出7钱
人数 x x
出钱总 数 8x 8x-3 7x
7x+4
物价
任务一：探究盈不足问题的方程解法
(2)设人数为x，其它未知量能用含x的代数式
表示吗？请完成下表。
设、列
根据等量关系，列出方程：
___________________________。
例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，
不足四。问人数、物价各几何？
译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多
出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合
伙人数、物品价格各是多少？
方程的两边就是
物价的两种不同
表达方式
任务一：探究盈不足问题的方程解法
例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，
不足四。问人数、物价各几何？
译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多
出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合
伙人数、物品价格各是多少？
解、验、答
解：设人数为x。
根据等量关系，列出方程：
8x-3=7x+4
解这个方程，得x=7。
8×7-3=53
因此，人数为7人，物价为53钱。
任务一：探究盈不足问题的方程解法
例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，
不足四。问人数、物价各几何？
译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多
出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合
伙人数、物品价格各是多少？
思考：如果设物价为y钱，你会做吗？
任务一：探究盈不足问题的方程解法
评价练习：
《九章算术》第七章“盈不足”第五题：
原文：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？
译文：今有几人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱，
问合伙人数、金价各是多少？
对比例题和评价练习，它们有什么相同点与不同点？
任务一：探究盈不足问题的方程解法
活动2：探究总结方法
《九章算术》第七章“盈不足”第五题：今
有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三
百，盈一百。问人数、金价各几何？
400x-3400=300x-100
《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不
足四。问人数、物价各几何？
8x-3=7x+4
任务一：探究盈不足问题的方程解法
解决盈不足问题的关键
总数/总价等
保持不变
列出方程.
盈不足。以御隐亲互见
(盈不足:处理隐杂互见的问题)
本章主要讲盈亏类问题的一种算术方法，借有余、不足以求隐含之数。"盈不足”即双设法问题，本章提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法，这是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法"。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
任务一 评价量规 得分
活动1： 分析解决问题 1.会借助表格正确的分析出数量关系，设未指数。 2.能根据不同的未知数列出不同的方程变正确解答。 3.积极思考主动发言。 3
活动2： 探究总结方法 1.能通过对比观察发现两个题目的区别与联系。 2.能够总结解决“赢不足”问题的关键。 3.在小组讨论中能够积极发言完成任务。 3
任务一：探究盈不足问题的方程解法
任务二 评价量规 得分
活动1： 了解“盈不足术” 1.了解盈不足术的解法 2.能用方程的求解过程解释“盈不足术”的计算公式 3.在小组讨论中能够积极发言。 3
活动2： 对比古今方法 1.能用“盈不足术”或方程的方法正确求解问题。 2.能在具体问题中感受“盈不足术”的局限性和方程法 的优势。 3.能够积极思考，认真完成任务。 3
任务二：对比古代算法与现代方程
任务二：对比古代算法与现代方程
古人是如何解决盈不足问题呢？
任务二：对比古代算法与现代方程
活动1：了解“盈不足术”与方程法的区别与联系
例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，
不足四。问人数、物价各几何？
译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多
出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合
伙人数、物品价格各是多少？
《九章算术》中给出的“盈不足术”可以解释为:
人数 =（盈 + 不足）÷（两次出钱差）
物价=每人出的钱数×人数-剩余钱数
物价=每人出的钱数×人数+不足的钱数
（1）利用盈不足术计算，你能理解这种解法吗
（2）你能用方程的求解过程解释这个计算公式
吗？与同伴进行交流
九章算术
周脾算经
孙子算经
算法统宗
任务二：对比古代算法与现代方程
活动2：对比古今方法
明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的问题：
1、原文：隔壁听得客分银，不知人数不知银
七两分之多四两，九两分之少半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语。）
请选择用“盈不足术”或方程的方法求解问题。
译文：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两。
问共有多少人？多少两银子？
2、原文：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，
绳多一尺。绳长井深各几何？
译文：用绳子测井深，将绳子折成三等分，则多4尺；将绳子折成
四等分，则多一尺。问绳长、井深各多少尺？
任务二：对比古代算法与现代方程
任务二 评价量规 得分
活动1： 了解“盈不足术” 1.了解盈不足术的解法 2.能用方程的求解过程解释“盈不足术”的计算公式 3.在小组讨论中能够积极发言。 3
活动2： 对比古今方法 1.能用“盈不足术”或方程的方法正确求解问题。 2.能在具体问题中感受“盈不足术”的局限性和方程法 的优势。 3.能够积极思考，认真完成任务。 3
任务二：对比古代算法与现代方程
任务三 评价量规 得分
1.找到两道题的等量关系 2.能独立或讨论完成两道题的解答 3.愿意和同学分享自己的观点并帮助他人。 3
任务三：古学今用—解决现代“盈不足”问题
任务三：古学今用—解决现代“盈不足”问题
1.某热门景区在十一假期期间为加快游客入园速度，配置了智能检票闸机。
若每台闸机 每小时可检票350人，开放 1小时后，仍有 4000人 在排队；
若每台闸机 每小时可检票400人，开放 1小时后，仍有 1000人 在排队。
该景区共配置了多少台检票闸机
2.某旅行社组织十一假期旅游团，需要安排游客乘坐大巴车前往景点。
如果每辆大巴车坐45名游客，则会多出2辆空车；
如果每辆大巴车坐30名游客，则会有15名游客没车坐。
共有多少名游客、多少辆大巴车？
任务三 评价量规 得分
1.找到两道题的等量关系 2.能独立或讨论完成两道题的解答 3.愿意和同学分享自己的观点并帮助他人。 3
任务三：古学今用—解决现代“盈不足”问题
课堂小结
1.你学会了解决“盈不足”问题的哪些方法？
2.如何用这些方法解决“盈不足”问题？
3.你还有哪些困惑？
设未知数，
根据相等关系列方程
抽象出数学模型
课堂小结
实际问题
一元一次方程
的应用
一元一次方程
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
一元一次方程
的解（x=a）
课堂小结
一元一次方程
一元一次方程
的解（x=a）
一元一次方程
的应用
2.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买羊， 人出五，
不足四十五；人出七，不足三．问人数羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出
五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？
当堂检测
1.把一些图书分给阅读小组的学生阅读，如果每人分5本，则剩余3本；如果每人 分6本，则还
缺3本，求阅读小组的学生人数.
3.《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中有这样一道题，其大意为：今有100头鹿进
城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，求城中有多少户人家．
课后作业
基础性作业：《同步练习册》问题引学和基础巩固部分
拓展性作业：1.编一道 “盈不足” 类型的应用题，要求包含两种不同的分
配情境，并尝试解决自己编的题目，下节课与同学分享。
2.继续了解《九章算术》《孙子算经》等中国古代数学著作，从中发现还有
哪些方法适用于现在的学习解题中。
谢谢！
义务教育教科书鲁教版（五四制）数学六年级下册第六章第三节
回顾
《九章算术》第七章“盈不足”第一题：今有共买物，人
出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？
盈不足问题
解应用题一般步骤： 审、设、列、解、验、答
借助：表格
回顾
学习目标
一、知识技能：
1.掌握用一元一次方程解决“盈不足”问题的方法，能通过表格分析理清数量关系。
2.了解《九章算术》中的 “盈不足术”，理解其基本原理，并能与方程法进行对比分析。
二、关键能力
1.能够从实际问题中抽象出数学模型，合理设未知数并建立方程。
2.具备逻辑推理能力，能通过两种不同情境的对比，找到变量间的等量关系。
3.能运用对比分析的方法，评价“盈不足术”与方程法的优缺点。
任务一 评价量规 得分
活动1： 分析解决问题 1.会借助表格正确的分析出数量关系，设未指数。 2.能根据不同的未知数列出不同的方程变正确解答。 3.积极思考主动发言。 3
活动2： 探究总结方法 1.能通过对比观察发现两个题目的区别与联系。 2.能够总结解决“赢不足”问题的关键。 3.在小组讨论中能够积极发言完成任务。 3
任务一：探究盈不足问题的方程解法
任务一：探究盈不足问题的方程解法
不足四。问人数、物价各几何？
译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多
出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合
伙人数、物品价格各是多少？
活动1：分析解决问题
例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，
(1)问题中有哪些已知量和未知量？
它们之间有怎样的等量关系？
审
已知量： ①每人出8钱
②每人出7钱
多3钱
少4钱
未知量：
总人数
总物价
等量关系：人数不变
物价相等
有关量 每人出8钱 每人出7钱
人数 x x
出钱总 数 8x 8x-3 7x
7x+4
物价
任务一：探究盈不足问题的方程解法
(2)设人数为x，其它未知量能用含x的代数式
表示吗？请完成下表。
设、列
根据等量关系，列出方程：
___________________________。
例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，
不足四。问人数、物价各几何？
译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多
出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合
伙人数、物品价格各是多少？
方程的两边就是
物价的两种不同
表达方式
任务一：探究盈不足问题的方程解法
例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，
不足四。问人数、物价各几何？
译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多
出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合
伙人数、物品价格各是多少？
解、验、答
解：设人数为x。
根据等量关系，列出方程：
8x-3=7x+4
解这个方程，得x=7。
8×7-3=53
因此，人数为7人，物价为53钱。
任务一：探究盈不足问题的方程解法
例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，
不足四。问人数、物价各几何？
译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多
出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合
伙人数、物品价格各是多少？
思考：如果设物价为y钱，你会做吗？
任务一：探究盈不足问题的方程解法
评价练习：
《九章算术》第七章“盈不足”第五题：
原文：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？
译文：今有几人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱，
问合伙人数、金价各是多少？
对比例题和评价练习，它们有什么相同点与不同点？
任务一：探究盈不足问题的方程解法
活动2：探究总结方法
《九章算术》第七章“盈不足”第五题：今
有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三
百，盈一百。问人数、金价各几何？
400x-3400=300x-100
《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不
足四。问人数、物价各几何？
8x-3=7x+4
任务一：探究盈不足问题的方程解法
解决盈不足问题的关键
总数/总价等
保持不变
列出方程.
盈不足。以御隐亲互见
(盈不足:处理隐杂互见的问题)
本章主要讲盈亏类问题的一种算术方法，借有余、不足以求隐含之数。"盈不足”即双设法问题，本章提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法，这是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法"。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
任务一 评价量规 得分
活动1： 分析解决问题 1.会借助表格正确的分析出数量关系，设未指数。 2.能根据不同的未知数列出不同的方程变正确解答。 3.积极思考主动发言。 3
活动2： 探究总结方法 1.能通过对比观察发现两个题目的区别与联系。 2.能够总结解决“赢不足”问题的关键。 3.在小组讨论中能够积极发言完成任务。 3
任务一：探究盈不足问题的方程解法
任务二 评价量规 得分
活动1： 了解“盈不足术” 1.了解盈不足术的解法 2.能用方程的求解过程解释“盈不足术”的计算公式 3.在小组讨论中能够积极发言。 3
活动2： 对比古今方法 1.能用“盈不足术”或方程的方法正确求解问题。 2.能在具体问题中感受“盈不足术”的局限性和方程法 的优势。 3.能够积极思考，认真完成任务。 3
任务二：对比古代算法与现代方程
任务二：对比古代算法与现代方程
古人是如何解决盈不足问题呢？
任务二：对比古代算法与现代方程
活动1：了解“盈不足术”与方程法的区别与联系
例：《九章算术》第七章“盈不足”第一题：
原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，
不足四。问人数、物价各几何？
译文：几个人合伙买东西，若每人出8钱，会多
出3钱；若每人出7钱，则还少4钱，问合
伙人数、物品价格各是多少？
《九章算术》中给出的“盈不足术”可以解释为:
人数 =（盈 + 不足）÷（两次出钱差）
物价=每人出的钱数×人数-剩余钱数
物价=每人出的钱数×人数+不足的钱数
（1）利用盈不足术计算，你能理解这种解法吗
（2）你能用方程的求解过程解释这个计算公式
吗？与同伴进行交流
九章算术
周脾算经
孙子算经
算法统宗
任务二：对比古代算法与现代方程
活动2：对比古今方法
明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的问题：
1、原文：隔壁听得客分银，不知人数不知银
七两分之多四两，九两分之少半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语。）
请选择用“盈不足术”或方程的方法求解问题。
译文：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两。
问共有多少人？多少两银子？
2、原文：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，
绳多一尺。绳长井深各几何？
译文：用绳子测井深，将绳子折成三等分，则多4尺；将绳子折成
四等分，则多一尺。问绳长、井深各多少尺？
任务二：对比古代算法与现代方程
任务二 评价量规 得分
活动1： 了解“盈不足术” 1.了解盈不足术的解法 2.能用方程的求解过程解释“盈不足术”的计算公式 3.在小组讨论中能够积极发言。 3
活动2： 对比古今方法 1.能用“盈不足术”或方程的方法正确求解问题。 2.能在具体问题中感受“盈不足术”的局限性和方程法 的优势。 3.能够积极思考，认真完成任务。 3
任务二：对比古代算法与现代方程
任务三 评价量规 得分
1.找到两道题的等量关系 2.能独立或讨论完成两道题的解答 3.愿意和同学分享自己的观点并帮助他人。 3
任务三：古学今用—解决现代“盈不足”问题
任务三：古学今用—解决现代“盈不足”问题
1.某热门景区在十一假期期间为加快游客入园速度，配置了智能检票闸机。
若每台闸机 每小时可检票350人，开放 1小时后，仍有 4000人 在排队；
若每台闸机 每小时可检票400人，开放 1小时后，仍有 1000人 在排队。
该景区共配置了多少台检票闸机
2.某旅行社组织十一假期旅游团，需要安排游客乘坐大巴车前往景点。
如果每辆大巴车坐45名游客，则会多出2辆空车；
如果每辆大巴车坐30名游客，则会有15名游客没车坐。
共有多少名游客、多少辆大巴车？
任务三 评价量规 得分
1.找到两道题的等量关系 2.能独立或讨论完成两道题的解答 3.愿意和同学分享自己的观点并帮助他人。 3
任务三：古学今用—解决现代“盈不足”问题
课堂小结
1.你学会了解决“盈不足”问题的哪些方法？
2.如何用这些方法解决“盈不足”问题？
3.你还有哪些困惑？
设未知数，
根据相等关系列方程
抽象出数学模型
课堂小结
实际问题
一元一次方程
的应用
一元一次方程
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
一元一次方程
的解（x=a）
课堂小结
一元一次方程
一元一次方程
的解（x=a）
一元一次方程
的应用
2.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买羊， 人出五，
不足四十五；人出七，不足三．问人数羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出
五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．问合伙人数和羊价各是多少？
当堂检测
1.把一些图书分给阅读小组的学生阅读，如果每人分5本，则剩余3本；如果每人 分6本，则还
缺3本，求阅读小组的学生人数.
3.《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中有这样一道题，其大意为：今有100头鹿进
城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，求城中有多少户人家．
课后作业
基础性作业：《同步练习册》问题引学和基础巩固部分
拓展性作业：1.编一道 “盈不足” 类型的应用题，要求包含两种不同的分
配情境，并尝试解决自己编的题目，下节课与同学分享。
2.继续了解《九章算术》《孙子算经》等中国古代数学著作，从中发现还有
哪些方法适用于现在的学习解题中。
谢谢！
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