第四章 4.1.2无理数指数幂及其运算性质 课件（共28张PPT） 2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

(共28张PPT)
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
第四章 指数
数学
学习目标
①认识实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)的含义．
②了解指数幂的拓展过程，掌握实数指数幂的运算性质．
学习重难点
重点：
掌握并运用实数指数幂的运算性质，能利用已知条件求值.
难点：
理解无理数指数幂的意义.
1.分数指数幂的意义：
（1）=______________
(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
（2）＝______________
(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
（3）0的正分数指数幂等于____；
（4）0的负分数指数幂_________.
0
无意义
学习前奏
2．有理数指数幂的运算性质
(1)＝_____ (a>0，r，s∈Q) ；
(2)＝____ (a>0，r，s∈Q)；
(3)＝______ (a>0，b>0，r∈Q).
学习前奏
问题1 上面我们规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理指数，即将(a＞0)中指数的取值范围拓展到了有理数。那么，当指数是无理数时，这个指数幂有没有意义？那么整数指数幂的运算性质对于无理数指数幂是否还适用？
设置悬念
问题2 无理数既然存在，无理数幂也应该存在，是否存在的标准应该是在数轴上能否找到与其唯一对应的点.
问题3 无理数是如何发现的？请设计一个方案在数轴上找到这个数的位置.
设置悬念
希帕索斯(Hippasus,公元前5世纪)发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即)永远无法用最简整数比来表示(不可公度比)，从而发现了第一个无理数.
当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，相应的有理数指数幂都趋向于同一个数.
1.无理数指数幂定义：一般地，无理数指数幂(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
归纳新知
【合作探究】根据的不足近似值和过剩近似值，利用计算工具计算相应的的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你能有什么发现？
观察下表：的是 否表示一个确定的实数？
的过剩近似值 的近似值
1.5 11.180 339 89
1.42 9.829 635 328
1.415 9.750 851 808
1.414 3 9.739 872 62
1.414 22 9.738 618 643
1.414 214 9.738 524 602
1.414 213 6 9.738 518 332
1.414 213 57 9.738 517 862
1.414 213 563 9.738 517 752
… …
由上可以看出：
可以由的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近.
思考 任何正数的实数指数幂是一个确定的实数吗？
结论拓展:
无理数指数幂(a>0，α是无理数)是一个确定的实数，这样，我们就将指数幂（a>0）中的指数的取值范围从整数逐步拓展到实数，实数指数幂是一个确定的实数.
2．实数指数幂的运算性质
(1)；
(2)；
(3)
归纳新知
计算下列各式:
(1).
【例1】
解 （1）.
(2)
（1）（ ）
A． B．5 C． D．25
（2）若，化简=________.
C
【变式训练1】
将下列根式化成有理数指数幂的形式：
(；
；
(3).
【例2】
解 （1）原式=.
(2)原式=.
(3)原式=.
把下列根式化成分数指数幂：
（1）；
（2）.
【变式训练2】
（1）. （2）.
根式与分数指数幂互化的规律
1)根指数 分数指数的分母被开方数(式)的指数 分数指数的分子
2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题
【反思感悟】
计算：
(1) ;
(2);
(3).
【例3】
解 （1）原式=
=.
(2)原式=
=.
(3)原式=.
指数幂运算的常用技巧
1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
2负指数幂化为正指数幂的倒数.
3.底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
【反思感悟】
若＝3，＝4，则＝（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
C
B
已知正数x满足，则＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【例题4】
【变式训练3】
利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题的思路
(1)将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论.
(2)当直接代入不易求解时，可以从总体上把握已知,式和所求式的特点，从而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其变形进行化简，再用整体代入法来求值.
(3)适当应用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁.
【反思感悟】
1. 可以化简为（ ）
A． B． C． D．
2.计算 (n∈N*)的结果为（ ）
A． B．
C．2－2n＋6 D．
C
D
评价反馈
3. 若则的值为（ ）
A．7 B．10 C．12 D．34
4. 已知＝3，则的值为（　　）
A． B．1 C．± D．±1
5. 已知，化简________.
C
C
x7
评价反馈
6. 已知，则
评价反馈
课堂小结
总结归纳
我们今天都讲了哪些知识？
(一)知识点小结
无理数指数幂及其运算性质 :
1.无理数指数幂；
2.运算性质；
3.指数幂综合练习.
(二)数学思想方法小结：转化思想，类比思想，整体思想.
1.认真整理教材所讲内容，形成知识脉络.
2.预习下节内容.