第四章 4.2.2指数函数的图象和性质 课件（共29张PPT） 2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

(共29张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.2.2 指数函数的图象和性质
数学
学习目标
①能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质，进一步锻炼数形结合的能力.(直观想象、数学抽象)．
②学会用指数函数的图象和性质比较函数值的大小.(逻辑推理、数学运算)．
③能在实际问题中建立指数函数模型，并利用指数函数的性质解决问题.(数学建模、数据分析)．
1.请说出指数函数的定义.
一般地，函数叫做指数函数(exponential function)，
其中指数是自变量，定义域是R.
2.回顾对幂函数的研究，研究一类函数有怎样的过程和方法
对于具体的函数，我们一般按照“概念—图象—性质”的过程进行研究，接下来研究指数函数的图象和性质.
1.指数函数的图像　
【合作探究1】在同一坐标系中用描点法作出和;和的图象，并简述它们有什么关系？你能推出一个一般结论吗？
0
1
1
关于y轴对称
2.描点、连线
x -2 -1 0 1 2
y=2x 1 2 4
4 2 1
y=3x 1 3 9
9 3 1
1.列表
函数y=2x的图像与
的图像有什么关系？
思考：
（1）若 ，则函数 与 的图象具有什么关系
答案：函数 与 的图象关于y轴对称。
（2）“指数函数的图象一定在x轴的上方"这种说法正确吗
答案：正确
【小试牛刀】
函数(且)的图象可能是（ ）
【解析】在选项AB中，，于是，所以图象与y轴交点的纵坐标应在区间(0,1)内，显然AB选项
的图象均不正确.在选项CD中，于是，所以D项符合题意，故选D.
跟踪训练1：已知函数
的大致图像如图所示，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．b+d＞a+c B．b+d＜a+c C．a+d＞b+c D．a+d＜b+c
解：由图像可得0＜b＜a＜1＜d＜c，由不等式的性质可得b+d＜a+c．
故选B．
2.指数函数的图像和性质
【合作探究3】 观察上述四个图象，看看它们有哪些共同特征？
答案：图象都在x轴的上方，都过点（0,1）
【合作探究4】 图象的上升与下降，这与底数有联系吗？
答案：有，当a>1,图象上升；当0【合作探究5】尝试完成下表
x
O
y
x
O
y
R
在R上是增函数
在R上是减函数
【小试牛刀】
求下列函数的定义域和值域：
【解析】：(1)定义域：( ∞,4)∪(4,+∞).值域：(0,1)∪(1,+∞).
(2)定义域：R.值域：[1,+∞).
(3)定义域：[0,+∞).值域：[0,1).
跟踪训练2：函数的定义域是 (　　)
A.[-2,+ ∞)　　　 B. [-1, + ∞)　 C. (- ∞,-1] D. (- ∞,-2]
解：由题意得所以
又指数函数在R上单调递减，所以，所以
故选C.
【学以致用】
例1.比较下列各题中两个值的大小
(2)
解：（1）和可以看作函数当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值，因为底数1.7大于1，所以指数函数为增函数，又因为2.53，所以；
（2）同（1）理，因为0﹤0.8﹤1，所以指数函数是减函数.因为，所以.
（3）由指数函数的性质可知，所以.
跟踪训练3：
比较大小:(1)1.012.7与1.013.5;
(2);
(3)0.82与.
解 (1)1.012.7和1.013.5可以看作函数y=1.01x当x分别取2.7和3.5时所对应的两个函数值,因为1.01>1,所以指数函数y=1.01x是增函数.
因为2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.
(2)y=是减函数,因为<1,所以.
(3)由指数函数的性质可知所以0.82<.
例2：如图.某城市的人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人
例2：如图.某城市的人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人
【解析】（1）观察题图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.
（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
跟踪训练4　为了预防流感，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)随时间x(单位:h)的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比;药物释放完毕后，y 与x的函数关系式为y= (a为常数)，根据图中提供的信息，回答下列问题:(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式;
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg 以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室
解 (1)易知图象过点(0.1，1)，则=1，得a=0.1，则y与x之间的函数关系式为y=
(2)令≤0.25，得x≥0.6，故至少需要经过0.6 小时后，学生才能回到教室.
例3.求满足下列条件的x的取值范围：
（1）；
（2）；
（3）且
【解析】（1）原不等式化为：；因为在R上是增函数，所以，所以，所以x得取值范围为：
(2)原不等式可化为5-x<52，因为y=5x在R上是增函数，所以-x<2，所以x>-2，所以x的取值范围是(-2，+∞).
(3)当a>1时，可得x+7<-5x，解得x<-.
当0-5x，解得x>-.
综上:当a>1时，x∈;
当0跟踪训练5.若满足不等式，则函数的值域是（ ）
A. B.
C. D.
【解析】由，可得，因为在R上是增函数，
所以，即，解得，
所以，即函数的值域是，
故选B.
B
【归纳总结】
1.比较指数式大小的类型及处理方法：
(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断.
(2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断.
(3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较.
2.指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分01两种情况讨论.
(2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的单调性求解.
(3)图象法：解形如>的不等式，可利用对应的函数图象求解
1.函数y=与y=2x的图象(　 　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
C
2.当a>1时，函数y=ax和y=(a-1)x2的图象只可能是(　　)
A
3. 函数f(x)=-3(a>0,且a≠1)的图象所过定点的坐标为 (　　)
A.(-1,2) B.(1,-2) C.(-1,-2) D.(1,2)
4. 设,则(　　)
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
5. 不等式的解集为______.
D
B
　
(1)指数函数的图象和性质；
(2)求指数型函数的定义域和值域的一般方法；
(3)比较指数式大小的类型及处理方法；
(4)指数不等式的三种求解方法.
课堂小结
整理本节课的题型；
完成教材第1181120111818~120页习题4.2第3题、6题、10题11 118~120页习题4.2第3题、6题、10题8~120页习题4.2第3题、6题、10题