第四章 4.4.1对数函数的概念 课件（共23张PPT）2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

(共23张PPT)
4.4.1 对数函数的概念
数学
1.从实际问题情境中，抽象出对数函数的概念，认识与指数函数间的关系；
2.在对数函数概念形成过程中进一步体会函数的本质，感受知识间内在联系.
创设情境，生成问题
对中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨.经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”.
思考1：同学们知道专家是怎样依据“龙骨”化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？
答案：考古学家是通过提取附着在“龙骨”化石上的残留物，利用为碳14含量)估算出黄河巨龙的生活年代t的.
思考2：t是的函数吗？为什么？
答案：t是的函数，因为对于P每取一个确定的值按照对应关系f：t＝，都有唯一的值与之相对应，故t是P的函数.
思考3：函数t＝的解析式与函数y＝的解析式有什么共同特征？
两个函数都是对数的真数作为函数的自变量.
1.对于一般的指数函数（a＞0，且a≠1），根据指数与对数的运算关系，转换成（a＞0，且a≠1），能否将x看成是y的函数？
2.通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，可将（a＞0，且a≠1）改写为（a＞0，且a≠1）．这就是对数函数．
一、对数函数
1.函数(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_____________．
2.对概念的深度剖析：
（1）对数函数中的底数和对数运算中的底数相同，都是_____________.
（2）对数的运算中N>0，对数函数中的自变量_____，对数函数的
定义域是_____________．
（3）对数函数的形式：
系数：对数符号前面的系数是____；
底数：__________________ ；
真数：对数的真数仅有自变量x．
a>0，且a≠1
x>0
1
a>0，且a≠1
【小试牛刀】
例1 (1)下列给出的函数：
①；②(a>0，且a≠1)；③；
④；⑤(x>0，且x≠1)；⑥.
其中是对数函数的为(　　)
A③④⑤　　　B②④⑥ C①③⑤⑥ D③⑥
(2)若函数是对数函数，则＝________.
D
4
规律方法：
跟踪训练1：（1）(多选题)下列函数是对数函数的是(　　)
A．　 B．
C．y＝＋1 D．y＝lg x
　
（2）对数函数的图象过点(16,2)，则对数函数的解析式为 ．
（3）若函数f(x)＝是对数函数，则a＝________.
AD
2
例2　求下列函数的定义域:
(1)f(x)=+ln(x+1);
(2)f(x)=log(2x-1)(-4x+8).
【解】(1)函数式若有意义，需满足
解得－1(2)由题意得,解得.
故函数)的定义域为.
规律方法 在求解对数型函数的定义域时,应遵循的原则:
（1）分母不能为0；
（2）根指数为偶数时，被开方数非负；
（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1
【解析】　(1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3，
所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1跟踪训练2：求下列函数的定义域：
(1)＝lg(x－2)＋；(2)．
例3 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为．
　（1）该地的物价经过几年后会翻一番？
　（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0
　【解】（1）由题意可知，经过年后物价为
　　,即.
　　由对数与指数间的关系，可得
　　.
　　由计算工具可得，当x＝2时，y≈14．所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番．
（2）根据函数，x∈［1，＋∞），利用计算工具，可得下表：
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小．
　
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
规律方法：
在充分理解了对数函数概念的基础上，利用对数函数概念进一步解决类似的实际问题，从而巩固概念，进一步理解概念．并在此基础上，通过列表的方式，初步体会对数函数的性质，为下一节内容作铺垫．
跟踪训练3:已知集合A＝｛1，2，3，4，…｝，集合B＝｛2，4，8，16，…｝，下列函数能体现集合A与B对应关系的是________．
①②③; ④
　
【解析】观察集合A和集合B的数据，猜测其对应关系为以2为底的指数函数，将数据依次代入函数进行检验，发现都满足该函数的解析式，所以选①．
1.下列函数中，定义域为R的是（ ）
A． B． C． D．
2.（多选题）下列点中，既在指数函数图象上，也在对数函数
的图象上的点可以是（ ）
A．(1,1) B．(2,2) C．(2,4) D．
C
BD
评价反馈
3.函数的定义域是(　 　)
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
4.对数函数的图象过点(16,2)，则对数函数的解析式为 .
5.若函数，.
D
4
3
概述本节课得到对数函数概念的基本过程．
（1）先通过4.2.1的问题2中所阐述的实际问题，利用图象上x与y的对应关系，理解x也是y的函数，再利用指数与对数的运算关系，依据函数的定义，从交换自变量与函数值“地位”的方向进行研究，得到对数函数的概念．
（2）对数函数的现实背景是什么？
对数函数与指数函数是密不可分的．对于呈指数增长或衰减变化的问题，我们可以用指数函数进行描述，还可以从对数函数的角度进行描述，从而能够更全面地研究其中蕴含的规律．
教材第130页练习第1,2题；第140页习题4.4 第1,3,5题.