第四章 4.4.3不同函数增长的差异 课件（共16张PPT） 2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

(共16张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4.3 不同函数增长的差异
数学
1.能够利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长方式进行比较，体会它们的增长差异；
2.理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义；
3.体会函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，认识基本初等函数与现实世界的密切联系，及其在刻画现实问题中的作用.
澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只，喂养牛羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长为对数增长.
问题：指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律？
问题1　我们学习了哪些初等函数？
问题2　当这些函数单调递增时，实数a的取值范围如何？
虽然函数y= 和y=2x在区间[0,+∞)上都单调递增,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.随着x的增大,y= 的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=2x的增长速度.
尽管在x的一定变化范围内, 会小于2x,但由于y= 的增长最终会快于y=2x的增长,因此,总会存在一个x0,当x>x0时,恒有>2x.
探究1 以函数为例，探究不同函数在区间上的增长差异.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
4
在上，；
在上，；
在上，.
且当时，
因此，总会存在一个，当时，恒有
一般地，指数函数与一次函数的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度.
指数函数呈爆炸性增长
探究2 以函数为例，探究不同函数在区间上的增长差异.
0
10
20
30
40
50
60
不存在
当与相比，增长就很慢了.
一般地，对函数与一次函数的增长速度最终都会小于大超过的增长速度.
更一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都是单调递增的，但它们的增长速度不同.随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢. 不论的值多小，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长慢于的增长，因此会存在一个，当时，恒有
即当时，.
例1.(1)下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A. B. C. D.
(2) 三个变量随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是（ ）
A. B. C. D.
√
√
例2.（1）以下四种说法中，正确的是( )
A.幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快
B.对任意的，
C.对任意的，
D.不一定存在，当时，总有
√
x 0 1 x1 2 3 4
f(x) 1 2 相等 4 8 16
g(x) 0 1 8 27 64
解 ①根据x=0处的函数值以及x=x2处的增长速度变化判断可知，
C2为g(x)=x3，C1为f(x)=2x.
②
由表可知x1∈(1,2).
（2）函数和的图象如图所示.设两函数的图象交于点，，且.
①请指出图中曲线分别对应的函数；
②若所在的区间为求的值.
例3. 某汽车制造公司在2024年初公告:计划某型号汽车2024年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的该型号汽车年产量如下表所示.
年份 2021 2022 2023
年产量/万辆 8 18 30
如果我们分别将2021,2022,2023,2024年定义为第一、二、三、四年,现在有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司该型号汽车年产量y与年份x的关系
解 建立年产量y与年份x的函数,可知函数图象过点(1,8),(2,18),(3,30).
构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),将点的坐标代入,
可得解得则f(x)=x2+7x,故f(4)=44,与计划误差为1万辆.
构造指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),将点的坐标代入,
可得解得则g(x)=·()x-42,故g(4)=×()4-42=44.4,与计划误差为1.4万辆.
由①②,可得二次函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司该型号汽车年产量y与年份x的关系.
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型：指数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型：对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
(4)幂函数模型：幂函数的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
对于函数图象问题，增长模型的认识可以用于研究或时的图象趋势.
教材第139页练习第1,2,3,4题；
教材第140页习题4.4第3,4,10,11题.