第四章 4.5.1函数的零点与方程的解 课件（共28张PPT） 2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

(共28张PPT)
4.5 函数的应用（二）
4.5.1函数的零点与方程的解
数学
学习目标
①理解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系．
②会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间．
③能借助函数单调性及图象判断零点个数，提高数学抽象等学科核心素养．
学习重难点
重点：
1. 方程的根与函数零点的关系的理解.
2. 函数零点存在定理的探究、构建与应用．
难点：
1. 创设自然情境、提出恰当问题，引导学生自主探究函数零点存在定理.
2. 数形结合思想方法的渗透．
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.他第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的重大进步.
他的《解析方法入门》一书集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支.他对方程论的贡献是在《论方程的整理和订正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法.
韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程的根与系数之间的关系，所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为韦达定理.
思考1：（1）一元二次方程是否有实数根的判定方法是什么？
（2）二次函数（0）的顶点坐标、对称轴方程分别是什么？
【设置悬念】
某 路边有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组幅图，并推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？
思考2：将这个实际问题抽象成如下数学模型：
　如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B分别是小明的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定曾渡过河？
提示：只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可，即图中A处的函数值与B处
的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识.
【情境问题】
思考3：二次函数的零点是什么？函数与方程=0的解有什么关系？
提示：一般地,对于二次函数y=a+bx+c（）,我们把使a+bx+c=0 （）的实数叫做二次函数y=a+bx+c （）的零点. 函数的零点就是方程=0解.
思考4：方程的解能用公式求吗？如果不能，如何研究它的解？
提示：不能，可以利用相应的函数来研究的解.
思考5：你能类比二次函数零点的定义，给出一次函数 = + ( ≠ 0)零点的定义吗？
提示：一次函数零点的定义为：对于一次函数 = + ( ≠ 0)，我们把
使 + =0 ( ≠ 0) 的实数 x 叫做一次函数 = + ( ≠ 0)的零点.
【讲授新课】
一、函数的零点
1.对于一般函数y＝f(x)，我们把f(x)=0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2.方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0有________ 函数y＝f(x)有____ 函数y＝f(x)的图象与_____有公共点．
实数解
零点
x轴
思考1：　(1)函数的“零点”是一个点吗？
提示：不是，是个实数.
(2)函数y＝有零点吗？
提示：有，是.
【小试牛刀】
【例1】如图是函数f(x)=x2-2x-3的图象，根据零点的定义判断对错与填空.
（1）任何函数都有零点.（ ）
（2） 函数 的零点是(2,0).（ ）
（3）如图所示，函数 的零点 是 _______.
解析:（1）错，图象与x轴无交点的函数没有零点，如；
（2）错，零点是函数图象与x轴交点的横坐标，而不是交点的坐标；
（3）函数图象与分别轴的交点横坐标是-1,3 ，所以零点即为-1,3 .
跟踪训练1 求下列函数的零点：
（1） f(x)= 2x+3 （2） f(x)= －4
解（方法1）（1）由2x+3=0，得，所以函数f(x)=2x+3 的零点就是.
（2）由 －4=0，得x=2,所以 f(x)= －4 的零点就是x=2.
（方法2）（1）画出函数的图象如图，函数的图象与 x 轴交点的横坐标为，则函数f(x)=2x+3的零点为.
（2）画出函数的图象如图,函数的图象与x轴公共点的横坐标为2,则函数f(x)= -4的零点为2.
二、函数零点存在定理
思考2 观察二次函数f(x)=-2x-3的图象：
（1） f()在区间[-2,0]上有零点______；f(-2)= _______，f(0)= _______,
f(-2)·f(0)_____0（＜或＞）．
（2） f()在区间[2,4]上有零点______；f(2)·f(4) ____0（＜或＞）．
答案 （1）-1 5 -3 <
(2)3 <
函数零点存在定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解．
三、函数零点区间及零点个数的判断
【例2】(1)在下列区间中，函数f(x)＝＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A. B.C. D.(,)
解析：（1）因为＝－2<0，＝－1>0，所以·<0，又函
数f(x)在定义域上单调递增，其图象是一条连续不断的曲线，所以零点在区间 内.故选C.
(2)二次函数f(x)＝a＋bx＋c（）的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断关于x的方程a＋bx＋c＝0 （）的两根所在的区间分别是(　　)
A．(－3，－1)，(2,4) B．(－3，－1)，(－1,1)
C．(－1,1)， (1,2) D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
【解析】显然二次函数f(x)在定义域R上的图象是一条连续不断的曲线.因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在区间(－3，－1)内必有实数根，又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在区间(2,4)内必有实数根.故选A.
跟踪训练2 函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞)
解析：由题意知，函数f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增， f(x)在定义域(0，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线.
因为f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，
所以在区间(1,2)内f(x)无零点；
又f(3)＝ln 3－ >0，
所以f(2)f(3)<0，所以f(x)在区间(2,3)内有零点，
同理可知f(x)在区间(3,4)，(e,＋∞)内均无零点．故选B.
【例3】(1)的零点个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
(2)判断函数的零点的个数．
解析：（1）当x≤0时，
由＝0，得＝－3，＝1(舍去)；
当x>0时，由－2＋ln x＝0，得x＝.
故函数的零点个数是2.故选B.
(2)解（方法1）因为f(1)＝ln 1＋－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋－3＝ln 2＋1>0，
所以f(1)f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋－3在区间(1,2)内的图象是一条连续不断的曲线，
所以f(x)在区间(1,2)内必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)内是单调递增的，
所以f(x)的零点只有一个．
（方法2）　函数f(x)＝ln x＋－3的零点个数，即为方程ln x+x2-3=0根的个数,即为函数y＝ln x与y＝3－的图象交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－与y＝ln x的图象在(0，＋∞)内只有一个交点，从而方程ln x＋－3＝0只有一个实数根，即函数f(x)＝ln x＋－3有一个零点．
【归纳总结】判断函数y＝f(x)存在零点的3种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，则可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐标系内作出＝g(x)和＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：如果函数y＝f(x) 在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，进而若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
跟踪训练3 求函数＝＋lg(＋1)－2零点的个数．
解（方法1）∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，
又＝＋lg(＋1)－2在区间(－1，＋∞)内是单调递增函数， f(x) 在区间(0,1)内的图象是一条连续不断的曲线，
∴f(x)在区间(0,1)内必定存在零点，且函数f(x)有且只有一个零点．
（方法2）在同一平面直角坐标系下作出函数h(x)＝2－和g(x)＝lg(x＋1)的大致图象如图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)和h(x)＝2－的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
1．函数y＝ln x的零点是(　　)
A．(0,0) B．0 C．1 D．不存在
2．下列各图象表示的函数中，没有零点的是(　　)
C
D
评价反馈
3．函数的零点所在的区间是(　　)
A．(1，＋∞) B.　 C. D.
4．函数f(x)＝的零点有______个．
5．若函数y＝－x－1只有一个零点，求实数a的值．
解：当a＝0时，该函数为y＝－x－1，显然该函数的图象与x轴只有一个公共点，即函数只有一个零点．
当a≠0时，函数y＝－x－1为二次函数．因为函数y＝－x－1只有一个零点，所以关于的方程－x－1＝0有两个相等的实根，
所以Δ＝1＋4a＝0，即a＝.
综上可知，a的值为0或.
B
1
课堂小结
完成教材第144页练习第1,2题；第155页习题4.5第2,3,7题.