第四章 4.5.2用二分法求方程的近似解 课件（共32张PPT） 2025-2026学年 高中数学 人教A版 必修第一册

4.5.2 用二分法求方程的近似解
数学
学习目标
1.通过具体实例，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解(给定精确度)，体会二分法的思想，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.
2.通过具体实例，归纳概括二分法的实施步骤，并用准确的数学语言表述出来，通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件.
学习重难点
重点：
二分法的原理，用二分法求方程近似解的一般步骤.

难点：
对利用二分法求函数零点近似值的原理及精确度的理解.
【设置悬念】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆，10 km长的线路大约有200多根电线杆.
可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆就能确定出故障的很小范围，你知道他是如何做到的吗？
如图所示，他首先从线段AB的中点C开始查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段的中点D，若这次发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD的中点E来查.
每查一次，可以把待查的线段缩减一半，所以要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了.
【情境问题】
思考1　上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？
答案：二分法.　
思考2　工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆的关键是什么？
答案：确立故障的范围.　
思考3　如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆？
答案： 6次.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
－4
?1.307
1.099
3.386
5.609
7.792
9.946
12.079
14.197
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
－4
1.099
3.386
5.609
7.792
9.946
12.079
14.197
【结论】函数只有一个零点，落在区间(2,3)内.
【问题】如何求出这个零点？
函数f(x)=ln x+2x-6部分对应值表如下，那么这个函数有几个零点，落在哪个区间内？
根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为0.1）.
零点所在区间
中点的值
中点函数近似值
区间长度


2.5625
0.066
2.5,2.5625?
2.53125
?0.009
零点所在区间
中点的值
中点函数近似值
区间长度


2.5625
0.066
2.53125
（2，3）
2.75
2.625
?0.084
?
0.512
0.215
2.5
（2.5，3）
（2.5，2.75）
（2.5，2.625）
缩小范围
零点在（2,3）
（2.5,3）
（2.5,2.75）
↓
↓
1. 算中点
2. 找异号
零点所在区间的长度
求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的近似解
（精确度为0.1）.
根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为0.1）.
零点所在区间
中点的值
中点函数近似值


（2，3）
2.75
2.625
2.5625
?0.084
?
0.512
0.215
0.066
2.5
（2.5，3）
（2.5，2.75）
（2.5，2.625）
（2.5，2.5625）
1
0.5
0.25
区间长度
0.125
0.0625
2.53125
?0.009
?
问题:若给定精确度 ，如何选取近似值？
说明: 由 |a-b|< 可知， 区间[a,b]中任意一个值都是零点x0 的满足精确度的近似值.
为了方便, 统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值.
根据下表给出的数据求出方程的近似解（精确度为0.1）.
零点所在区间
中点的值
中点函数近似值

（2.5，3）

（2.5，2.75）
（2.5，2.625）
（2.5，2.562 5）
2.53125
?0.009
零点所在区间
中点的值
中点函数近似值

（2.5，3）

（2.5，2.75）
（2.5，2.625）
（2.5，2.562 5）
2.53125
（2，3）
2.75
2.625
2.5625
?0.084
?
1
0.5
0.25
0.125
0.062 5
0.512
0.215
0.066
2.5
区间长度
|2.562 5?2.5|=0.062 5<0.1,
?
方程的近似解为2.562 5.
对于区间[a, b]上图象连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
【小试牛刀】
例1　下列图象所表示的函数中能用二分法求零点近似值的是（ ）
【解析】A中,函数无零点.B和D中,函数有零点,但它们在零点左右两侧的函数值符号均相同,因此它们都不能用二分法来求零点的近似值.而在C中,函数的图象是一条连续不断的曲线,图象与x轴有公共点,并且在零点的左右两侧的函数值符号相反.故选C.
C
跟踪训练1 若函数f(x)的图象如图所示，则其中零点的个数与可以用二分法求近似值的零点个数分别为(　　)
A．4,4　　　 B．3,4
C．5,4 D．4,3
D
【解析】 函数的图象与x轴有4个公共点,所以零点的个数为4;左右两侧函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求近似值的零点个数为3.故选D.
思考 (1)用二分法求函数的零点时，函数需要满足什么条件呢？
提示：函数需要满足的前提条件是
①f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断.
②在区间[a，b]端点的函数值满足f(a)f(b)<0.
（2）在《庄子·天下》中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若给木棒规定一个长度，是否就可以停止“取半” ？同样，若给区间规定一个长度，是否也可以结束周而复始的运算？
提示：可以，所以二分法求函数的零点近似值时，规定了精确度.
用二分法求函数零点近似值的步骤：
给定精确度ε，用二分法求函数????=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
第一步，确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
第二步，求区间(a，b)的中点c.
第三步，计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f(c)＝0，（此时????0=????）则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时x0∈(c，b))．
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)； 否则重复第二至第四步．
?
1. 二分法定义
二分法是求函数零点近似值的一种计算方法.
二分法渗透了逼近的数学思想.
2. 利用二分法求方程近似解的操作步骤：
（1）确定初始区间[a，b]；
（2）取区间的中点c；
（3）计算f(c )并确定缩小后的区间；
（4）循环进行，达到精确度.
归纳反思
例2 证明函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一零点,并求出这个零点的近似值(精确度为0.1).

解 ∵f(1)=?1<0，f(2)=4>0,即f(1)f(2)<0，
又f(x)是增函数,它的图象是一条连续不断的曲线，∴函数f(x)=2x+3x-6在区间(1,2)内有唯一的零点.设该零点为x0,则x0∈(1,2).取x1=1.5，f(1.5)≈1.328>0，
∵f(1)f(1.5)<0,∴x0∈(1,1.5).取x2=1.25，f(1.25)≈0.128>0，
∵f(1)f(1.25)<0,∴x0∈(1,1.25).取x3=1.125，f(1.125)≈?0.444<0，
∵f(1.125)f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25).取x4=1.187 5，f(1.187 5)≈?0.160<0，
∵f(1.187 5)f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25).
∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1,
∴可取x0=1.25,则函数的零点的近似值可取为1.25.
?
跟踪训练2 用二分法求函数 ???????? =ln????+1 +?????1 在区间（0,1） 内的零点近似值，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
?
解析：区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作，区间长度变
为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为 12???? .
因为精确度为0.01,所以 12???? <0.01.又n∈ ?????，所以 n≥7，
所需二分区间的次数最少为7.故选C.
?
C
例3 用二分法求方程2????3＋3????－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1).
?
解 令f(x)=2x3+3x-3,经计算，f(0)=-3<0,
f(1)=2>0，因为f(0)f(1)<0，函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)在区间(0,1)内存在零点x0.
取区间(0,1)的中点0.5，则f(0.5)<0,
因为f(0.5)f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).
如此继续下去,得到方程的正实数解所在的区间,如下表:
零点所在区间
中点的值
中点函数值符号
(0,1)
0.5
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.687 5)<0
则x0∈(0.687 5,0.75).
因为|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1,
所以方程2x3+3x-3=0的一个正实数的近似解可取为0.687 5.
【规律方法】用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的解，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精确度，及时检验所得区间的长度是否达到要求(达到给定的精确度)，以决定是停止计算还是继续计算.
跟踪训练3 用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).
参考数据：21.5≈2.828，21.25≈2.378，21.375≈2.594.
?
解：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0
则函数零点x0∈(1.375,1.5).
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4在区间[1，2]内的近似解可取为1.375.
.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}零点所在区间
中点的值
中点函数近似值及符号
(1，2)
1.5
0.33>0
(1，1.5)
1.25
－0.37<0
(1.25，1.5)
1.375
－0.031<0
1.用二分法求方程log2????+????＝2的近似解时，可以取的一个区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
2.在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[﹣3，5]，则第三次所取的区间可能是（　　）
A．[1，5] B．[﹣2，1] C．[1，3] D．[2，5]
3.求方程????3﹣2x﹣3＝0在区间（1，2）内的实数解，用二分法确定的下一个有解的区间是______________.　　
?
（1.5，2）
B
C
4.以下是用二分法求方程????3+3x﹣5＝0的一个近似解（精确度为0.1）的不完整的过程，请补充完整．
解：设函数f（x）＝????3+3x﹣5，其图象在定义域R上是一条连续不断的曲线 ，且f（x）在R上是单调递_________． (填“增”或“减”)
先求f（0）＝_____，f（1）＝______，f（2）＝________．
所以f（x）在区间________内存在零点????0，再填写下表：
?
（可参考条件：f（1.125）＜0，f（1.1875）＞0；符号填+、﹣）
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}区间
中点的值
中点函数值符号
区间长度



















因为　　　　　　　　　　　　　　<0.1,?
所以原方程的近似解可取为　　　　.?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A} 区间
中点的值
中点函数值符号
区间长度
(1,2)
1.5
+
1
(1,1.5)
1.25
+
0.5
(1,1.25)
1.125
-
0.25
(1.125,1.25)
1.187 5
+
0.125
(1.125,1.187 5)
?
?
0.062 5

答案:增　-5　-1　9　(1,2)
|1.187 5-1.125|=0.062 5　 1.187 5
【课堂小结】
让学生回顾讨论，总结本节课学习内容：
1．知识：二分法的思想和步骤，函数零点的分类，及二分法的适用范围.
2．思想：数形结合的思想、二分法思想、转化思想.
完成教材第146页练习第1，2题，第155页习题4.5第1，4，5题.