河北省衡水市第二中学2026届高三上学期一调数学试卷（PDF版，含答案）

河北省衡水市第二中学 2026 届高三上学期一调数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 1,2,3 ， = ∈ 2 < 4 ，则 ∩ =( )
A. 1 B. 1,2 C. 0,1,2,3 D. 1,0,1,2,3
2.下列函数在定义域内是减函数的是( )
A. ( ) = B. ( ) = 1 C. ( ) = 32 1 2 D. ( ) =
2
3.已知 ∈ R，则| 2| + | + 1|的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.函数 ( ) = 0.3 的零点所在区间是( )
A. (0,0.3) B. (0.3,0.5) C. (0.5,1) D. (1,2)
5.设函数 ( )是定义在 上的偶函数，且在区间(0, + ∞)上单调递增.若实数 满足 ( 1) > (2)，则 的取
值范围是( )
A. > 3 B. < 1 C. < 1 或 > 3 D. 1 < < 3
6.关于函数 ( ) = 14 +2的性质，下列说法中错误的是( )
A.函数 ( ) R B. 1的定义域为 函数的值域为 0, 2
C.方程 ( ) = 有且只有一个实根 D.函数 ( )的图象不是中心对称图形
5
7 = 4 4.已知 3 , = log45, = log34，则 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
8.命题 ：存在 ∈ 且 ≠ 0，对于任意的 ∈ ，使得 ( + ) < ( ) + ( )；
命题 1： ( )单调递减且 ( ) > 0 恒成立；
命题 2： ( )单调递增，存在 0 < 0 使得 ( 0) = 0．
则下列说法正确的是( )
A.只有 1是 的充分条件 B.只有 2是 的充分条件
C. 1， 2都是 的充分条件 D. 1， 2都不是 的充分条件
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1， 2为复数，下列命题为真命题的是( )
A.若 21 ∈ ，则 1 ∈ B.若| | = 1，则| 2|的最小值为 1
C.若 2 21 = 2，则 1 2 ∈ D.若 1 + 2 = 0，则 1 = 2 = 0
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10.已知函数 ( )的部分图象如图所示， ′( )是 ( )的导函数，则下列结论正确的是( )
A. ′(3) < 0 B. ′( 1) > 0
C. ( 1) ′( 1) > 0 D. (3) 3 ′(3) > 0
11.已知函数 ( )的定义域为 R，且 ( + 1)为奇函数， ( + 2)为偶函数，则( )
A. 4 为 ( )的一个周期
B. (211) = 0
C.由 (0) + (1) + (2) + (3) + (4) = 2 可知， (2) = 2
D.函数 = ( ) + lg| |的所有零点之和为 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知幂函数 = ( ) 1的图象过点( 2 , 4)，则 (3) = ．
13.有下列命题：
①所有的素数都是奇数；② ∈ { | 是无理数}， 3是无理数；
③ ∈ { | 是无理数}， 2是无理数；④至少有一个整数 ， 2 + 1 是 4 的倍数．
其中，真命题有 . (填序号)
14.用符号[ ]表示不超过 的最大整数(称为 的整数部分)，如[ 1.2] = 2, [0.2] = 0，已知函数 ( ) =
ln + 1 2 有两个不同的零点 1, 2，若 1 + 2 = 2，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 = ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0 时， ( ) = log2 ．
(1)求 ( 2) + (0)的值；
(2)若 ( ) = ( ) 4 , ∈ [1,8]，求函数 = ( )的值域．
16.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = ln + 1 , ∈ ．
(1)若函数 ( ) = ( ) 在定义域上单调递减，求 的取值范围；
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(2) > 0 ( ) = ln + 1当 时，讨论函数 零点的个数．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln + 2， ≥ 0．
(1)若曲线 = ( )在 = e 处的切线在 轴上的截距为 e，求 的值；
(2) + 证明：对于任意两个正数 1、 2 1 ≠ 2 ，2 1 22 < 1 + 2 ．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2ln 2ln + 2 12 , ∈ ．
(1)证明： ( )有唯一的极值点；
(2)若 ( ) ≥ 0，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
含有未知函数的等式称为函数方程.其实，函数方程我们并不陌生，在函数的奇偶性和周期性中，已经蕴含
了函数方程的思想．
(1)已知函数 ( )在 上有定义，对任何实数 > 0 和任何实数 ，都有 ( ) = ( )．
( )求 (0)的值；
( )证明： ( ) = , ≥ 0 , < 0，其中 和 均为常数；
(2)一般的，设 ( )是 上的连续(图象没有间断点)函数，且对一切的 , ∈ ，均有 ( + ) = ( ) + ( )，
称该函数方程为柯西函数方程.柯西对这一类函数方程进行了深入研究，得到了该函数方程的解为 ( ) =
( ∈ )，其中 = (1).利用上述知识，解决下面的问题：已知定义在 上的连续函数 ( )满足 , ∈ ，
都有 ( + ) = ( ) + ( ) + 2 恒成立，且 (1) = 2，求 ( )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.19．
13.③
14.ln3+112 < ≤
ln2+1
6
15.【详解】(1)因为函数 = ( )是定义在 上的奇函数，
所以 ( ) = ( ), (0) = 0，
所以 ( 2) + (0) = (2) + (0) = 1 + 0 = 1；
(2) ( ) = log log 2 2 4 = log2 log2 2 = log
2
2 2log2 , ∈ [1,8]，
令log2 = , ∈ [0,3]，问题等价于求 ( ) = 2 2 , ∈ [0,3]的值域，
∵函数 ( ) = 2 2 图象开口向上，对称轴为直线 = 1，
∴ ( )min = (1) = 1, ( )max = (3) = 3，
∴函数 ( )的值域为[ 1,3]．
16.【详解】(1)由题意，函数 ( )的定义域为(0, + ∞)．
∵ ( )在(0, + ∞)上单调递减，
∴ ′( ) = 1 2 1 ≤ 0 在(0, + ∞)上恒成立，．
1
即当 ∈ (0, + ∞)， ≤ + 恒成立，
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∴ ≤ ( + 1 )min，
∵ ∈ (0, + ∞) + 1当 ， ≥ 2，当且仅当 = 1 时取等号．
∴当 = 1 1时，( + )min = 2
∴ ≤ 2．
∴ 的取值范围为( ∞,2]
(2)显然 = 1 不是 ( )的零点，∴ ( ) = 0 ln + 1 = 0 =
1
ln ，
( ) = 1 > 0 ≠ 1 ′( ) = 1+ln 1令 ′ ln ， 且 则 ( ln )2，. . ( ) > 0 ( , 1) ∪ (1, + ∞)，
′( ) < 0 ∈
(0, 1 )，
∴ ( ) 1 1在(0, )单调递减，在( , 1)，(1, + ∞)单调递增，
∴在(0,1)时， ( ) 1有极小值 ( ) = ；在(1, + ∞)时， ( ) < 0. .
∴ ( )的图象如图：
∴ 0 < < 时， ( )零点个数为 0； = ， ( )零点个数为 1； > 时， ( )零点个数为 2，. .
17.【详解】(1)解：由 ( ) = ln + 2，得 ′( ) = 2 + ln + 1，则 ′ e = 2 e + 2，
又 e = e + e2，∴曲线 = ( )在 = e 处的切线的方程为 = 2 e + 2 e + e + e2，
即 = 2 e + 2 e e2，由题意得 e e2 = e，解得 = 0．
(2) 2 1+ 证明：要证明 22 < 1 + 2 成立，
+ ln 1+ 2 + 2 +
2
即证明 1 21 2 2 2 < 1ln 1 + 2ln 2 +
2
1 + 22，
+ 2 + 2 2
一方面，2 1 2 2 2 = 1 2 2 2 1 22 1 2 2 1 2 = 2 ，
2 2
∵ ≥ 0 ，则 1 22 ≤ 0，即 2
1+ 2
2 ≤
2
1 + 22，①
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+
另一方面，不妨设 1 < 2，再设 ( ) = 1 + ln 12 1ln 1 ln ，
则 ′( ) = ln 1+ 2 ln = ln
1+
2 ，可得
′ 1 = 0，
当 > 1时， ′( ) < 0，此时 ( )单调递减，
∴ < = 0 + 2 1 ，即 1 + 1 22 ln 2 < 1ln 1 + 2ln 2，②
+
综合①②可得，2 1 22 < 1 + 2 ．
18.【详解】(1)函数 ( ) = 2ln 2ln + 2 12的定义域为(0, + ∞)，
求导得 ′( ) = 2 ln + 2 + 2 = (2ln
2
2 + 1 + 2 )，
令 ( ) = 2ln 2 2 + 1 + 2
′( ) = 2，求导得 +
4
3 > 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
2 +1 2 +1 1 2
又 (e 2 ) < 2lne 2 + 1 + 2 = 0，取 1 > 1，且 1 > e 2 ，
1 2 2 +1
显然 ( 1) > 2ln 1 2 + 1 + 2 > 2lne 2 1 + 2 = 0，因此存在唯一 ∈ (e

0 2 , 1)，使得 0 = 0，
当 ∈ 0, 0 时， ( ) < 0, ( )单调递减，当 ∈ 0, + ∞ 时， ( ) > 0, ( )单调递增，
当 = 0时， ( )取得极小值，无极大值，
所以 ( )有唯一极值点．
2
(2)由(1) 2知， ( 0) = 2ln 0 2 + 1 + 2 = 0

，即 20 = 1 0 22 0ln 0，0
2 2
依题意， ( 0) = 20ln 0 2ln 2
1 2 0 2 0 1
0 + 0 2 ≥ 0，将 0 = 1 2 0ln 0代入整理得， 2ln 0 2 + 2 ≥ 0，
2
设 ( ) = 2ln 2 +
1
2，求导得
′( ) = 2 < 0，
于是函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减，又 (1) = 0，则 ( 0) ≥ (1)，解得 0 ≤ 1，
因此 ( 0) = 0 ≤ (1) = 2 1
1
，解得 ≥ 2，
所以 的取值范围是 ≥ 12．
19.【详解】(1)( )由题意，对任何实数 > 0 和任何实数 ，都有 ( ) = ( )，
令 = 0，得 (0) = (0)，
由于 > 0，则 (0) = 0．
( )证明：令 = ，因为 > 0，所以 > 0，则 2 = ( )，
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假设当 ≥ 0 时， ( ) = ( ∈ )，则 2 = 2，
而 ( ) = = 2，所以 2 = ( )，即 ( ) = 成立；
令 = ，因为 > 0，所以 < 0， 2 = ( )，
假设当 < 0 时， ( ) = ( ∈ )，则 2 = 2，
而 ( ) = = 2，所以 2 = ( )，即 ( ) = 成立；
由( )知， (0) = 0．
( ) = , ≥ 0综上所述， , < 0成立．
(2)由 ( + ) = ( ) + ( ) + 2 ，设 ( ) = ( ) 2，
则 ( + ) = ( + ) ( + )2 = ( ) + ( ) + 2 2 2 2
= ( ) 2 + ( ) 2 = ( ) + ( )，
满足柯西函数方程，则 ( ) = ，其中 = (1)，
所以 ( ) 2 = ，即 ( ) = 2 + ，
因为 (1) = 2，所以 1 + = 2，即 = 1，
则 ( ) = 2 + ．
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