华师大八下17.4.2《反比例函数的图像和性质》教学设计

《反比例函数的图像和性质》教学设计
苏祠初中：罗文俐
一、基本信息
课程名称：反比例函数的图像和性质
课时安排：1课时（40分钟）
学段学科：初中数学（华东师大版八年级下册）
授课对象：八年级学生
教材分析：本节课是在一次函数图像与性质、反比例函数概念基础上的延伸，属初中三大基本函数之一。其双曲线图像与直线图像存在本质差异，性质探究需紧扣“象限”限定条件，是培养数形结合思想的核心载体，为后续函数综合应用奠定基础。
学情分析：学生已掌握“列表、描点、连线”画图法及一次函数“解析式→图像→性质”的研究路径，但对曲线型函数特征、“象限内增减性”的思维方式较为陌生，易混淆一次函数“整体增减性”与反比例函数“分段性质”。
二、教学目标
1.知识与技能目标
掌握反比例函数（k≠0）图像的画法，理解“双曲线”的图形特征。
能结合图像准确描述反比例函数的性质，包括图像所在象限、增减性及对称性。
能运用反比例函数的图像与性质解决简单的求值、取值范围及图像判断问题。
2.过程与方法目标
通过类比一次函数的研究方法，体会“解析式→画图→观察→性质→应用”的函数探究路径。
借助k>0与k<0两种情况下函数图像的对比，培养数形结合思想与分类讨论意识。
3.情感态度与价值观目标
在动手画图与探究性质的过程中，感受函数图像的数学美感与逻辑严谨性，提升数学学习兴趣。
通过小组合作交流，培养主动探究、分享互助的学习习惯。
三、教学重难点
1.教学重点
反比例函数（k≠0）的图像画法及核心性质归纳。
2.教学难点
理解“在每个象限内”的增减性限定条件，突破“整体增减性”的思维误区；掌握反比例函数对称性的内涵及应用。
四、教学准备
1.教师准备
多媒体课件（含PPT、函数图像动态演示视频）、坐标系黑板贴、反比例函数图像探究任务单、学生画图易错案例集。
2.学生准备
方格纸、铅笔、直尺、橡皮；预习一次函数的图像画法与增减性知识。
五、教学过程
（一）复习导入，类比迁移
1.知识回顾
教师通过串讲提问引导学生梳理旧知，课件同步展示以下表格，师生共同填充答案。
问题 预设答案
研究一次函数时，我们遵循的核心路径是什么？涉及哪些关键内容？ 研究路径：解析式→图像→性质；关键内容：解析式形式、图像画法、图像特征、增减性。
画任意函数图像的基本步骤是哪三步？ 第一步：列表；第二步：描点；第三步：连线
一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是什么形状？其增减性由哪个参数决定？ 图像形状：一条直线；增减性由k决定——k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。
2.导入新课
教师总结：“一次函数的研究为我们提供了函数学习的通用框架。今天我们将沿用这个路径，探究反比例函数的图像和性质，看看这种‘分母含x’的函数，和直线型的一次函数有哪些不同的奥秘。”板书课题：反比例函数的图像和性质。
（二）探究新知，动手实践
1.明确探究对象与核心问题
教师在课件中出示反比例函数的典型代表：和，提出3个核心探究问题。
（1）这两个函数的图像是什么形状？
（2）图像的位置与参数k的符号有什么关联？
（3）函数的增减性有什么特殊规律？
2.突破画图关键易错点
教师引导学生结合反比例函数解析式特点，分组讨论画图前的注意事项，形成共识后整理为下表。
关键问题 分析过程 结论
自变量x能取0吗？ 解析式中x是分母，分母为0时式子无意义，函数无对应y值。 x≠0，函数图像与y轴无交点。
列表时x取什么数合适？ 取整数便于计算y值，取正负对称的数能完整呈现图像的两个分支。 取均匀且对称的整数（如 6, 5,…,1,…,5,6），覆盖正、负取值范围。
连线时要注意什么？ 一次函数是直线，反比例函数图像是曲线，且x≠0导致图像不连续。 用平滑曲线连线，第一、三象限（或第二、四象限）的点分别连接，不与坐标轴相交。
3.动手画图，感知图像特征
自主绘制y=图像：学生按“列表→描点→连线”步骤独立操作，其中列表环节需完成以下表格.
x 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
y 1 -1.2 -1.5 2 3 6 6 3 2 1.5 1.2 1
展示点评：教师选取3份作品（1份优秀、2份典型错误：如连线生硬、漏画负半轴分支）展示，对照下表标准点评。
评价维度 优秀标准 常见错误 修正建议
列表完整性 包含正负整数，取值对称 只取正数，漏画负半轴分支 补充负整数取值，体现图像全貌
描点准确性 坐标对应精准，点的位置正确 计算错误导致点的位置偏差 描点前核对y值计算结果
连线规范性 曲线平滑，不跨象限连接 连线生硬，或连接不同象限的点 用直尺辅助画平滑曲线，明确分支边界
合作绘制图像：学生以4人小组为单位合作完成，教师巡视指导，重点关注负k值对y值的影响。
4.对比分析，归纳性质
教师引导学生对照两个函数的图像，结合以下表格分组探究性质，派代表分享结论。
探究角度 对 的观察（k>0） 对的观察（k<0） 共性结论
图像形状与名称 由两条平滑曲线组成 由两条平滑曲线组成 图像为双曲线，含两个分支
图像所在象限 第一、三象限 第二、四象限 象限由k的符号决定
增减性（分象限） 第一象限：x增大，y减小；第三象限：x增大，y减小 第二象限：x增大，y增大；第四象限：x增大，y增大 增减性需限定“在每个象限内”
对称性 沿y=x、y= x折叠重合；绕原点旋转180°重合 沿y=x、y= x折叠重合；绕原点旋转180°重合 既是轴对称图形（对称轴：y=x、y= x），也是中心对称图形（对称中心：原点）
难点突破：针对“增减性的象限限定”，教师通过反例强化理解，出示下表。
函数示例 取点情况 x的变化趋势 y的变化趋势 结论
点A( 1, 6)、点B(1,6) 从 1增大到1 从 6增大到6 去掉“在每个象限内”，增减性不成立
（三）例题精讲，巩固应用
例1：求参数值与取值范围
已知反比例函数（m≠0）的图象过点( 3, 12)，且该图象位于第二、四象限。
（1）求m的值；
（2）当x>2时，求y的取值范围。
解题步骤拆解：
代入求参：将点( 3, 12)代入解析式， 12=，解得m=36（结合题意修正题目为，则=36，m=±6）。结合象限条件：图象在第二、四象限→
m<0，故m= 6。
分析取值范围：解析式为，x>2时图像在第四象限，且在该象限内y随x增大而增大。当x=2时，，故 3例2：图像综合判断
反比例函数与一次函数y=kx+k+2的图象可能是（）
k的符号 反比例函数图像位置 一次函数y=kx+k+2 一次函数图像位置 符合条件的选项
k>0 第一、三象限 斜率正，截距k+2>0 第一、二、三象限 排除不符合选项
k<0 第二、四象限 斜率负，截距分两种：-2（四）课堂小结，梳理体系
教师引导学生梳理本节课核心内容，完成以下总结表格。
核心模块 关键结论
图像画法 列表（取对称整数，x≠0）→描点（精准）→连线（平滑曲线，分分支）
图像特征 形状：双曲线；位置：k>0（一、三象限），k<0（二、四象限）；对称性：轴对称+中心对称
核心性质 增减性：在每个象限内，k>0时y随x增大而减小，k<0时y随x增大而增大
思想方法 数形结合思想、分类讨论思想、类比迁移法
（五）布置作业，拓展延伸
基础作业：绘制和的图像，填写下表。
函数 图像所在象限 每个象限内的增减性 对称轴 对称中心
Y=
Y=
提升作业：已知点(2, 2)在反比例函数上，求解析式。
若在每个象限内y随x增大而增大，求k的取值范围。
六、板书设计
1.研究路径
解析式→图像→性质
2.图像画法
列表（x≠0，选取对称整数取值）→描点（精准对应坐标）→连线（用平滑曲线连接，分象限画分支，不与坐标轴相交）
3.图像特征
形状：双曲线（由两条不连续的平滑曲线组成）关键特点：图像与x轴、y轴均无交点
4.核心性质
图像位置：
当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限
当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限
增减性：
当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小
当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大
（强调：必须限定“在每个象限内”，跨象限无增减性规律）
对称性：
轴对称图形：对称轴为直线y=x和直线y=-x
中心对称图形：对称中心为坐标原点
5.思想方法
数形结合思想、分类讨论思想、类比迁移法
七、教学反思
本节课通过类比迁移、动手实践突破了核心知识点，但仍有可优化之处：
画图环节中，部分学生对“平滑曲线”的绘制掌握不佳，后续可增加“用曲线尺辅助画图”的示范环节。
“增减性的象限限定”仍是易错点，可在课后练习中增加“跨象限取点对比”的专项习题。
对称性探究可增加学生动手操作环节，如让学生折叠图纸验证轴对称，旋转图纸验证中心对称，增强直观感知。