2.5.1直线与圆的位置关系 教学设计（表格式）

教学设计
课题 2.5.1直线与圆的位置关系
一、教学目 标确 定的依据 1、课标解读 直线与圆的位置关系是高中数学重要内容之一，他不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用.对今后圆锥曲线的学习奠定良好的基础.
2、教材分析 本节课的教学内容是直线与圆的位置关系及数形结合思想的应用.
3、学情分析 学生在初中平面几何中已学过直线与圆及圆与圆的几种位置关系，在前面学面直角坐标系中点点、点线间的距离公式及直线与圆的方程，因此，本节课主要以问题为载体，通过教师几个环节的设问，让学生利用已有的知识，自己去探究用坐标法研究直线与圆的位置关系的方法。通过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生“应用数学”及合作学习的意识。
二、教学目标及重难点 目标：1：掌握由直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系; 2：培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
3：通过理论联系实际培养学生建模能力，培养学生数形结合思想方程的思想；难点：1：掌握由直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系; 2：培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、导入 创设情境提出问题； 利用初中学过的知识解决问题你能解决这个问题吗学生思考回答. 让学生从日常生活中的角度去看待数学问题，体验数学与日常生活的密切联系，激发学生的探索热情，培养学生的学习兴趣.
二、整体感知 1．问题情境问题1．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为50km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北70km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？设计意图：让学生感受台风这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案． 通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义．师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．2．揭示课题——直线与圆的位置关系问题2．前面问题可以转化为直线圆的位置关系问题．请问，直线与圆的位置关系有几种？在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解．师生活动：引导学生回忆初中阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程．可以展示下面的表格，使问题直观形象．直线与圆的位置关系公共点个数与的关系图形相交两个相切一个相离没有 3．直线与圆位置关系的判断问题3：方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系，你能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系吗？设计意图：引导学生用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，体验坐标法的思想方法．师生活动：通过教师追问，引起学生思考．方法二：如图，以台风中心为原点，以东西方向为轴，建立直角坐标系，其中，取10km为单位长度．则台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为，圆心O（0，0），半径5，轮船航线所在的直线的方程为，，直线与圆相交．问题4：这是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判别直线与圆的位置关系的一般步骤如何？设计意图：对判断直线与圆的位置关系步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想．师生活动：教师引导学生分析归纳：（1）建立平面直角坐标系；（2）求出直线方程，圆心坐标与圆的半径；（3）求出圆心到直线的距离（4）比较与的大小，确定直线与圆的位置关系．①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交． 问题5：对于平面直角坐标系中的直线和，联立方程组，我们有如下一些结论：①与相交，方程组有唯一解；②与平行，方程组无；③与平行，方程组有无穷组解．你能用类比的思想，研究直线与圆的位置关系吗？设计意图：让学生通过对两条直线的位置关系的研究过程，回顾坐标法思想的重要作用．并通过类比，使学生获得用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论．抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法．师生活动：教师提出问题，引导学生得出：联立方程组，我们有如下一些结论：①圆与直线相切，方程组有唯一解；②圆与直线相交，方程组有两组解；③圆与直线相离，方程组有无解．方法三：联立方程组，消去，得，因为 ．所以，方程组有两组解，直线与圆相交．问题6：根据方程组是否有解来判断直线与圆的位置关系的步骤如何？设计意图：根据方程组是否有解来判断直线与圆位置关系的步骤进行小结，对知识进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳能力，同时也渗透了算法思想．师生活动：教师引导学生分析、归纳：（1）将直线方程与圆方程联立成方程组；（2）通过消元，得到一个一元二次方程；（3）求出其判别式△的值；（4）判断△的符号：若△＞0，则直线与圆相交； 若△＝0，则直线与圆相切；若△＜0，则直线与圆相离．4．例题示范例1 如图，已知直线：和圆心为的圆，（1）判断直线与圆的位置关系；（2）如果相交，求它们交点的坐标．设计意图：通过例题巩固判断直线与圆的位置关系方法，关注量与量之间的关系．使学生体验用坐标法研究直线与圆的位置关系的想法与结论．师生活动：教师引导学生分析解答．分析：方法一，判断直线与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径大小的关系，判断直线与圆的位置关系． 问题8在判断直线与圆的位置关系的不同方法中，你选择哪一种？设计意图：两种方法的选择，体验各自的优越性和其中蕴含的思想方法．师生活动：学生讨论选择． 5．（弦长问题）课后练习例1 变式：求弦AB的长度．设计意图：直线与圆的位置关系，当他们相交时，学习弦长的求法．2：已知过点M（－3，－3）的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．
三、研究教材 本节课是第2.1节第一课时内容，是继学生学习了直线方程、直线与直线的位置关系、圆的方程等之后，用解析法研究直线与圆的位置关系． 在平面几何对直线与圆之间的关系进行了定性的研究，即依照它们公共点的个数来判定它们的位置关系． 学习了坐标法后，可以通过建立平面直角坐标系，使得直线与圆可以用方程表示，从而将直线与圆的位置关系的研究转化为直线的方程与圆的方程之间的数量关系的研究．当直线与圆有公共点时，公共点位置的确定就转化为求解直线的方程与圆的方程的公共解． 依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系，是运用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后比较这个距离与圆的半径的大小，并作出位置关系的判断，仍然是用坐标法解决问题（几何意义相对直观些）．研究直线与圆的位置关系，一是从几何角度直观判断，二是通过直线与圆的方程从“数”的角度进行研究．这体现了数形结合的思想．本节课教学重点：用解析法判断直线与圆的位置关系．本节课教学难点：理解可以通过直线与圆的方程所组成的方程组的解来确定它们的位置关系．
四、总结提升内容延伸 （1）判断直线与圆的位置关系有哪些方法 （2）当直线与圆相交时,如何求弦长 设计意图：巩固所学知识，培养学生归纳概括能力．师生活动：学生思考，教师引导时应涉及到“如何求弦长”以及判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的步骤是什么？
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