第五章 二元一次方程组 专题 二元一次方程应用的几种考法（含解析）初中数学北师大版（2024）八年级上册

专题1 二元一次方程应用的两种考法
【一、利润问题】
【例】1．今年流行A款和B款两种服装，某服装直播间趁机销售这两种服装，它们的进价和售价如下表所示：
服装 进价（元/件） 售价（元/件）
A 85 120
B 60 80
已知该直播间购进两种服装共花费13300元，销售完成后共获得利润5100元．
（1）求直播间购进A和B两款服装各多少件？
（2）因为销售火爆，直播间再次购进两种服装共200件，若购入B款服装数量为m件（60≤m≤70），设本轮总利润为w，用含m的式子表示w，并求出本轮最大利润．
【变式】2．“成都成就梦想”，第31届大运会在成都顺利举办．大运会吉祥物“蓉宝”纪念品已被商家投放市场进行试销．小冬在某网店选中A，B两款“蓉宝”玩偶，决定从该网店进货并销售．这两款“蓉宝”玩偶的进货价和销售价如表：
A款“蓉宝”玩偶 B款“蓉宝”玩偶
进货价（元/个） 20 15
销售价（元/个） 28 20
（1）第一次小冬用550元购进了A，B两款“蓉宝”玩偶共30个，求两款“蓉宝”玩偶各购进多少个？
（2）第二次小冬进货时，计划仍然购进这两款“蓉宝”玩偶共45个，网店规定A款“蓉宝”玩偶进货数量不少于20个且不超过25个，在进价和售价不变的情况下，小冬第二次销售中获得的最大利润是多少？
【二、方案问题】
【例】1．2022年上半年在抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为上海捐赠物资，某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）该物流公司现有14吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆），一次运完且恰好每辆车都装满货物，请问有哪几种租车方案？
【变式】2．某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示．
甲 乙
成本（元/套） 20 24
售价（元/套） 25 30
（1）该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？
（2）经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？
1．今年流行A款和B款两种服装，某服装直播间趁机销售这两种服装，它们的进价和售价如下表所示：
服装 进价（元/件） 售价（元/件）
A 85 120
B 60 80
已知该直播间购进两种服装共花费13300元，销售完成后共获得利润5100元．
（1）求直播间购进A和B两款服装各多少件？
（2）因为销售火爆，直播间再次购进两种服装共200件，若购入B款服装数量为m件（60≤m≤70），设本轮总利润为w，用含m的式子表示w，并求出本轮最大利润．
【分析】（1）设直播间购进A款服装x件，B款服装y件，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）根据题意可求出w与m的一次函数关系式，再根据一次函数的性质即可求出本轮最大利润．
【解答】解：（1）设直播间购进A款服装x件，B款服装y件，
由题意得，，
解得，
答：直播间购进A款服装100件，B款服装80件；
（2）由题意得：总利润w＝20m+35（200﹣m）＝﹣15m+7000，
∵﹣15＜0，
∴w随m的增大而减小，
∵60≤m≤70，
∴当m＝60时，w有最大值，最大利润w＝6100．
10．某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示．
甲 乙
成本（元/套） 20 24
售价（元/套） 25 30
（1）该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？
（2）经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案．
【分析】（1）设甲种礼盒生产x万套，乙种礼盒生产y万套，利用总成本＝每套甲种礼盒的成本×生产甲种礼盒的数量+每套乙种礼盒的成本×生产乙种礼盒的数量，结合生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套且生产总成本为1340万元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝每套甲种礼盒的销售利润×生产甲种礼盒的数量+每套乙种礼盒的销售利润×生产乙种礼盒的数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各生产方案．
【解答】解：（1）设甲种礼盒生产x万套，乙种礼盒生产y万套，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种礼盒生产25万套，乙种礼盒生产35万套；
（2）根据题意得：（25﹣20）（25+m）+（30﹣24）（35+n）＝400，
∴m＝13n，
又∵m，n均为正整数，
∴或，
∴或，
∴该工厂有2种生产方案，
方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套；
方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
11．“成都成就梦想”，第31届大运会在成都顺利举办．大运会吉祥物“蓉宝”纪念品已被商家投放市场进行试销．小冬在某网店选中A，B两款“蓉宝”玩偶，决定从该网店进货并销售．这两款“蓉宝”玩偶的进货价和销售价如表：
A款“蓉宝”玩偶 B款“蓉宝”玩偶
进货价（元/个） 20 15
销售价（元/个） 28 20
（1）第一次小冬用550元购进了A，B两款“蓉宝”玩偶共30个，求两款“蓉宝”玩偶各购进多少个？
（2）第二次小冬进货时，计划仍然购进这两款“蓉宝”玩偶共45个，网店规定A款“蓉宝”玩偶进货数量不少于20个且不超过25个，在进价和售价不变的情况下，小冬第二次销售中获得的最大利润是多少？
【分析】（1）设购进A款“蓉宝”玩偶x个，B款“蓉宝”玩偶y个，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合第一次小冬用550元购进了A，B两款“蓉宝”玩偶共30个，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A款“蓉宝”玩偶m个，全部售出后获得的总利润为w元，则购进B款“蓉宝”玩偶（45﹣m）个，利用总利润＝每个A款“蓉宝”玩偶的销售利润×销售数量（购进A款“蓉宝”玩偶的数量）+每个B款“蓉宝”玩偶的销售利润×销售数量（购进B款“蓉宝”玩偶的数量），可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设购进A款“蓉宝”玩偶x个，B款“蓉宝”玩偶y个，
根据题意得：，
解得：．
答：购进A款“蓉宝”玩偶20个，B款“蓉宝”玩偶10个；
（2）设购进A款“蓉宝”玩偶m个，全部售出后获得的总利润为w元，则购进B款“蓉宝”玩偶（45﹣m）个，
根据题意得：w＝（28﹣20）m+（20﹣15）（45﹣m），
即w＝3m+225，
∵3＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵20≤m≤25，
∴当m＝25时，w取得最大值，最大值＝3×25+225＝300（元）．
答：小冬第二次销售中获得的最大利润是300元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
12．2022年上半年在抗击新冠肺炎疫情期间，全国上下万众一心为上海捐赠物资，某物流公司运送捐赠物资，已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）该物流公司现有14吨货物需要运送，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆（每种车辆至少1辆），一次运完且恰好每辆车都装满货物，请问有哪几种租车方案？
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货7吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货8吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的两种车一次运完14吨货物且恰好每辆车都装满货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案．
【解答】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：1辆A型车装满货物一次可运货2吨，1辆B型车装满货物一次可运货3吨．
（2）根据题意得：2a+3b＝14，
∴a＝7，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴共有2种租车方案，
方案1：租用A型车4辆，B型车2辆；
方案2：租用A型车1辆，B型车4辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．