2025-2026学年北师大版八年级数学上册 2.1 认识实数（第1课时）课件（19张PPT）

2025-2026学年北师大版八年级数学上册PPT★★
2.1 认识实数

（第1课时）
第二章 实数
情景引入
毕达哥拉斯学派是古希腊一个集宗教、哲学、数学和政治为一体的神秘组织。他们发展并坚信一个核心教义：
“万物皆整数比”：更具体地说，他们认为宇宙中一切可度量的事物之间的关系（比例），都可以用两个整数的比（即分数）来表示。
这个发现对毕达哥拉斯学派来说是颠覆性的、灾难性的；
结果希帕索斯被学派的其他成员扔进了大海淹死，作为对“亵渎神明”的惩罚；
他们认为这个发现动摇了学派的根基，必须被掩盖！
希帕索斯是学派的重要成员，他巧妙地证明了：2 无法表示为任何两个整数的比！
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为什么2会引发如此大的震动？它为什么不能写成整数比（分数）？
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本堂课我们将揭晓2所蕴含的秘密.
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温故知新
(1)什么是有理数?
通过以上问题，猜测一下：什么是无限不循环小数？它的是不是有理数？
整数和分数统称为有理数
(2)有理数包括哪些小数形式?
(3)理数一定都是分数和整数吗？无限循环小数属于整数还是分数？
有理数一定都是整数和分数；所有的无限循环小数都可以表示为分数
有限小数和无限循环小数
※问题1 如何将两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形？
新知探究
探究1.非有理数的引入
可以将这两个正方形沿着对角线平分，再将得到的四个三角形拼成一个大正方形.

S1
S1
(1)假设大正方形的边长为a，则a满足什么条件?
a满足a2=12+12=2
?
(2)a可能是整数或分数吗？请说明理由.
不可能，1?=1<2<2?=2
※迁移验证 根据问题1的结论，请你分析以下问题：
新知探究
探究1.非有理数的引入
既不是整数，也不是分数→ 非有理数！
(1)如图，以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是多少？
正方形的面积等于5
(2)直角三角形的斜边b满足什么条件？
b2=22+12=5
?
(3)b是整数或分数吗？
b不是整数也不是分数
1、在数 1.414，0.333?，2?，227中：
（1）属于整数的是：
（2）属于分数的是：
（3）既非整数也非分数的是：
2、下列数中，既不是整数也不是分数的是（ ）
A. 99? B. π
C. 0.1010010001?0.1010010001?（每两个1之间增加一个0）
D. ?37 E. 1.414
?
即时训练
非有理数的引入
1.414，0.333?，227
?
2
?
无
?
BC
新知探究
探究2.无限不循环小数的概念
※问题2 面积为2的正方形，其边长a为多少？
(1)图中面积为2的正方形面积的范围是怎样的？
1 < 2 < 4
(2)由此可以推测它的边长a范围是多少？
1 由此可以发现，a是一个小数，那么它的小数部分是怎样的呢？这需要我们确定该数的十分位、百分位、千分位...
探究 找出数a的十分位、百分位、千分位…
新知探究
探究2.无限不循环小数的概念
我们已经知道1（1）找十分位：尝试1.4和1.5的平方：
1.42=_____（计算结果），与2比较：1.42?_____ 2；
?
1.96
<
1.52=________，与2比较：1.52_______2
?
2.25
>
结论：1.44
（2）找百分位：在1.4和1.5之间，尝试1.41和1.42的平方：
1.412=________，与2比较：1.412?____ 2；
1.422=________，与2比较：1.422?______ 2;
?
结论：1.411.9881
<
2.0164
>
1
新知探究
探究2.无限不循环小数的概念
用以上方法继续计算下去，得到边长和面积的范围如图.结合刚才的计算过程，回答下列问题：
（1）通过以上的结果，你认为该数还可以算下去吗？a可能是有限小数吗？a的小数部分是否循环？
还可以算下去；但它一定不是有限小数，且小数部分不循环
（2）a是整数吗？是分数吗？为什么？
a不是整数（1 < a < 2），也不是分数（分数的平方不可能是2）
综上可得，像a这样的数的小数部分一定是无限且不循环的，像这样的数就叫无限不循环小数。
通过上面的活动，我们发现了一种新的数
新知探究
归纳总结
无限不循环小数：
具体为小数部分无限且没有循环节的数
该类小数，不能表示为分数，因此不是有理数
例题讲解
无限不循环小数的概念
1、 下列数中，与a属于同一类（无限不循环小数）的是（ ）
A. 0.333? B. π C. 52? D.9
2、如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗？
?
h不可能是有理数，理由如下：
证明：在等边三角形ABC中，BC边上的高满足“三线合一”
所以BD=CD
在直角三角形ABD中，根据勾股定理：
AB2=AD2+BD2 代入边长AB=2，BD=1，
?
得：22=h2+12
?
化简得： 4=h2+1????h2=3?????h=3
?
3是无限不循环小数，因此等边三角形的高h=3不可能是有理数
?
B
知识补充：
若一个数的平方是整数且非完全平方数（如3，5，7等），则该数是无限不循环小数
问题 同一个正方形的边长和对角线是否可能都是整数？说明你的理由.
拓展提升
解：设正方形的边长为 a（正数），根据勾股定理，对角线长度 d=a2+a2=a2
?
因此，对角线长度是边长的 2倍
?
假设存在整数 a（边长）和整数 d（对角线），使得 d=a2
?
因为2是无限不循环小数，因此它的整数倍也一定是无限不循环小数
?
所以同一个正方形的边长和对角线不可能都是整数
方法补充：用“反证法思路”分析整数可能性
①假设结论成立：假设存在整数边长a和整数对角线d，则有d=a2 ?
②推导矛盾：由于2?是无理数，故等式右边a2?为无理数，而左边d为整数（有理数），“无理数=有理数”矛盾，故假设不成立。
?
应用新知
1. 已知 π 是无限不循环小数，则 ????10是（ ）
(A) 整数 (B) 分数
(C) 有理数 (D) 无限不循环小数
?
D
2. 判断正误：
（1）所有无限小数都是无理数； （ ）
（2）所有无限不循环小数数都是无限小数； （ ）
（3）有理数都是有限小数； （ ）
（4）不是有限小数的数不是有理数。 （ ）
×
×
×
√
应用新知
3. 如图，4×4的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接任意两个格点便可得到一条线段。试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。
如图，L1，L2的长度分别为2，4，为有理数
L3，L4的长度分别为5，8，不是有理数
?
类型一. 应用勾股定理和方程思想求边长
题型总结
1.观察以下小数，哪些小数是无限不循环小数（ ）
(A) 0.12112111211112...（每两个2之间1的个数增加） (B) 3.14
(C) 0.333... （D）0.35353535…
2.下列各数中，不是有理数的是（ ）
（A）35 （B）37
（C）15 （D）0.123456
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A
C
题型总结
类型二：无限不循环小数的在几何中的应用
1.大小两个正三角形的面积比为2:1，小三角形边长为1， 求大三角形的高h；
解：如图，分别给两个正三角形作高，已知小正方形边长为1，设其高为h1
在正三角形中，满足“三线合一”的性质，
故三角形的高将正三角形分为两个完全一样的含30°的直角三角形，
故h1=1×32=32；
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因为两个三角形的面积比为2：1，所以它们的高的比为2：1，所以大三角形的高h=2×32=62
?
真题感知
1.（2023·四川）下列各数为无限不循环小数的是（ ）
A.?35 B. 0.1 2˙
C. π D. 9
2.（2023·内蒙古）若a,b为连续整数，且a<73.（2024·上海）下列运算结果一定是无限不循环小数的是（ ）
A.1+4 B.π0
C. 4 D. π2
?
C
3
D
1. 基础必做题：课后习题1；
2. 开放探究题：习题2.1 第4题；
作业布置
课堂小结
本节课学习内容梳理：