3.1 勾股定理 数学探究 探寻“勾股数” 课件 （22张PPT）2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

(共22张PPT)
苏科版八年级数学上册
第3章 勾股定理 数学探究 探寻“勾股数”
导入新课
勾股数的定义是什么？
如果三个正整数a，b，c满足关系a ＋b ＝c ，则称a，b，c为勾股数.
勾股数有多少组呢？
勾股数有无数组.
导入新课
常见的勾股数：3，4，5；5，12，13等.
这些勾股数是如何得到的？有没有规律？
高效课堂
活动1：构造勾股数
构造勾股数，就是要寻找三个正整数，使它们满足“两个数的平方和(或差)等于第三个数的平方”，即满足以下形式：
( ) ＋( ) ＝( ) ；①
或( ) －( ) ＝( ) .②
要满足上述①②的形式，不妨从乘法公式入手.我们已经知道：
(x＋y) －(x－y) ＝4xy.③
高效课堂
如果等式③的右边也能写成“( )2”的形式，那么它就符合②的形式.因此，只要设x＝m ，y＝n ，③式就可以化成：(m ＋n ) －(m －n ) ＝(2mn) .
于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，m ＋n ，m －n 和2mn就是勾股数.根据勾股数的这种表达式，就可以找出无数组勾股数.
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对于上面的表达式，你知道当m，n分别取什么整数时，可以得到勾股数3，4，5吗？你能列举m，n的值，得到其他的一些勾股数吗？
当m＝2，n＝1时，得到勾股数3，4，5；
当m＝3，n＝2时，得到勾股数5，12，13.
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活动2：填写勾股数
高效课堂
活动3：拓展探究
一位数学家在他找到的勾股数的表达式中，用2n ＋2n＋1(n为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，你能找出另外两个数的表达式吗？
设m ＋n ＝2n ＋2n＋1，则m ＝n ＋2n＋1＝(n＋1) ，所以m＝n＋1.
那么m －n ＝(n＋1) －n ＝2n＋1，2mn＝2(n＋1)n＝2n ＋2n.
1．一个直角三角形的两直角边长分别为 5 和 12 ，则斜边长是　 　．
2．如图所示的甲、乙两个图形中，能利用等面积法验证勾股定理a2＋b2＝c2的是( )
C
　13　
A．甲行、乙不行　
B．甲不行、乙行
C．甲、乙都行　
D．甲、乙都不行
课堂评价
3.勾股定理的逆定理
(1)如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角．

(2)常见勾股数：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25，以及这些数同比变化后的数．(注意：都是正整数)
4．下列各组数中，是勾股数的为( )
A．1，2，3 B．4，5，6
C．8，15，17 D．5，8，12
C
5．(2024广州期中)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．求证：△ACD是直角三角形．
证明：∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴AC2＝AB2－BC2，∴AC＝12，
∵AD2＋AC2＝52＋122＝169，DC2＝132＝169．
∴AD2＋AC2＝CD2，∴∠DAC＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
勾股定理的应用
(2)其他情境：如梯子滑动问题、方向角为 90°的运动、滑梯计算长度、树枝折断计算长度、图形折叠问题、网格中的直角三角形等．
5．如图，一架长 2.5 m 的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时梯子的底部 B 到墙底端 C 的距离为 1.5 m，则梯子的顶端距地面为( )
A．1.5 m　 B．1.8 m　
C．2 m　 D．2.5 m
C
6．如图，由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在小正方形的格点上，则∠ABC 的度数为
　 　．
　90° 　
7．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足(a－9)2＋(b－12)2＋|c－15|＝0，则△ABC是　 　三角形．
8． (2024深圳期末)下列条件中，可以判断△ABC是直角三角形的是( )
A．AB＋BC＞AC　
B．AB∶BC∶AC＝3∶4∶5
C．∠A＝75°，∠B＝30°
D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
B
　直角　
9．如图，分别以直角三角形的三边为斜边向外作三个等腰直角三角形，面积分别是S1，S2，S3，则它们之间的关系是( )

A．S1－S2＝S3 B．S1＋S2＝S3
C．S2＋S3＜S1 D．S2－S3＝S1
B
10.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？
解：设水深为x尺，则芦苇长为(x＋1)尺，
根据勾股定理，得 52＋x2＝(x＋1)2，
解得 x＝12．
答：水的深度是 12 尺．
课堂总结
1.回顾勾股数的构造方法.
2.总结从乘法公式推导勾股数表达式的思路.
作业设计
基础性作业：已知m＝8，n＝3，求对应的勾股数.
拓展性作业：对于大于或等于3的任意一个奇数，是否都能找到一组对应的勾股数？如果能，请用含有字母n的式子表示这类勾股数；如果不能，请举一个反例说明.
感 谢 观 看