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第七章 证明
7.3平行线的证明（判断定理）导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、理解并掌握同位角相等两直线平行这一基本事实（公理）；会用公理证明内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
2、在定理的证明过程和运用过程，学习分析命题的题设和结论，寻找证明的思路，构建从已知到未知的逻辑桥梁，发展学生的演绎推理能力。
3、感受数学的严谨性，培养求真求实的科学态度；在探索证明的过程中，体验逻辑推理的乐趣和成功解决问题的喜悦，增强学习几何的自信心。
学习重点：
用“同位角相等，两直线平行”证明判定定理：内错角相等两直线平行；
学习难点：
用数学语言表达几何的推理过程。
预习自测
一、知识链接
一、平行线判断的公理（基本事实）：
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简述： .
平行线的判定公理是证明直线平行的重要依据．
数学语言：
如图：∵∠1＝∠2(已知)，
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
二、平行线的判断定理
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简述： .
数学语言：
如图：∵∠1＝∠2(已知)，
∴ a∥b(内错角相等，两直线平行).
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简述： .
数学语言：
如图：∵∠1+∠2=180°(已知)，
∴ a∥b(内错角相等，两直线平行).
（3)、平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）
数学语言：
如图：∵a∥b，a∥c(已知)， ∴ b∥c(平行线的传递性).
教学过程
一、合作交流、新知探究
探究：平行线的判断
1、证明判断定理1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 内错角相等，两直线平行.
证明：
2、证明判断定理2、两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.
证明：
3、证明判断定理3、平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）
强调：
1、已给的基本事实、定义和已经证明的定理，以后都可以作为依据，用来证明新的结论.
2、平行线的判定是由角之间的数量关系到直线间位置关系的判定．要判定两直线平行，可围绕截线找同位角、内错角或同旁内角是否相等或互补，而选用其中一个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、互补角等知识来说明.
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b,则∠2等于( )
A.75° B.95° C.105° D.115°
3.如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠2=∠8； ④∠5+∠8=180°，其中能判定AB∥CD的是( )
A.①③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
第1题 第2题 第3 题
4.如图，请填写一个你认为恰当的条件 ， 使AB∥CD.
第4题 第5题
5.如图，一束光线从点 C 出发，经过平面镜 AB 反射后，沿与 AF平行的线段DE 射出（此时 ）∠1=∠2，若测得∠ DCF=100° ，∠A= ( )
A.50° B. 60° C.70° D. 80°
6、根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证、证明。两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.
能力提升：
7.如图所示，AB∥CD，AC∥BD。分别找出与∠1相等或互补的角。
拓展迁移：
如图：∠1=53 ，∠2= 127 ，∠3= 53 ，试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系.
9.如图，直线AB和CD被直线MN所截．（1）如图①，EG平分∠BEF, FH平分∠DFE （平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足 时，AB∥CD；
（2）如图②，EG平分∠MEB ,FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足 时，AB∥CD；
（3）如图③，EG平分∠AEF ,FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD 为什么
总结反思、拓展升华
1、平行线的判断定理的证明。
基本事实：如果内错角相等，两直线平行；（不需要证明）
判断定理：（需要证明）
（1）如果内错角相等，两直线平行；
（2）如果同旁内角互补，两直线平行 ；
（3）平行于同一条直线的两条直线平行。
2、已给的基本事实、定义和已经证明的定理，以后都可以作为依据，用来证明新的结论.
五、【作业布置】
基础达标：
1.如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠5＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；
④∠5＋∠3＝180°.其中能判定a∥b的是( )
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
2.如图，能判断直线 AB∥CD 的条件是( )
A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠3=180 D. ∠3+∠4=180
第1题 第2题
3.如图，下列说法中，正确的是（ ）
A因为 ∠A+∠D=180 ，所以 AD∥BC B. 因为 ∠C+∠D=180 ，所以 AB∥CD
C. 因为 ∠A+∠D=180 ，所以 AB∥CD D. 因为 ∠A+∠C=180 ，所以 AB∥CD
4.如图，下列条件不能判定直线 l1∥l2 的是（ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠1=∠4 C. ∠2+∠3=180 D. ∠3=∠5
第3题 第4题
5.如图，已知直线AB∥CD，直线EF与直线AB、CD分别交于点E、F，且有∠1=70°，则∠2= .
6.如图，已知∠1=70°，如果CD//BE，那么∠B的度数为 .
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数 。
第5题 第6题 第7题
能力提升：
8.如图BE平分∠ABC，EC平分∠ BCD， ∠ E=90°那么AB∥CD吗？为什么？
拓展迁移：
9.如图，已知∠ADE=46°，DF平分∠ADE，∠1=23°.求证：DF∥BE.
请你根据已知条件补充推理过程，并在相应括号内注明理由.
证明：∵DF平分∠ADE(已知)
∴ = ∠ADE( )
又∵∠ADE=46°(已知)，
∴ =23°，而∠1=23°（ ）.
∴ ∥ ( )
10.如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，问直线DE与AF是否平行？为什么？
11.如图，∠ABC=∠ADC、DE是∠ ADC的角平分线，BF是∠ABC的平分线，∠1=∠2.求征DC∥AB.
课堂练习参考答案：
D
C
B
4、∠CDA=∠DAB
5、A
6、已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG、
FH分别是∠AEF和∠EFD的平分线.
求证：EG∥FH.
证明：AB∥CD ∠AEF=∠EFD
EG、FH分别是∠AEF和∠EFD的平分线，∠GEF=∠EFH
∴EG∥FH
7、解：如图，与∠1相等的角有：∠3， ∠5， ∠7， ∠9，∠11， ∠13， ∠15；
与∠1互补的角有：∠2， ∠4， ∠6， ∠8， ∠10， ∠12， ∠14， ∠16
8、证明： ∵ ∠2= 127 ，（已知）
∴ ∠4=180 -127 =53 ,（平角定义）
∵ ∠3= 53 （已知）∴∠3=∠4，（等量代换）
∴AB∥CD.（同位角相等，两直线平行）
∵∠1=∠3，（等量代换）
∴BC∥DE （同位角相等，两直线平行）
9、解：（1）∠1+∠2=90°
（2）∠1=∠2
（3）∠1=∠2
理由：
∵EG平分∠AEF,FH平分∠DFE
∴∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2
∴∠1=∠2
∴∠AEF=∠DFE
∴AB∥CD
课外作业参考答案
B
D
C
A
110°
110°
70°
8、解：∵BE 平分∠ABC（已知）
∴∠ABC=2∠1
∵EC平分∠BCD（已知）
∴∠BCD =2∠2
∵∠E+∠1+∠2=180°
∴∠1+∠2=180°-∠E
∵∠E =90°（已知）
∴∠1+∠2=90°
∴∠ABC +∠BCD =2∠1+2∠2=180°
9、∴AB∥CD 同旁内角互补，两直线平行
证明：∵DF平分∠ADE(已知)
∴ ∠FDE = ∠ADE(角平分线定义 )
又∵∠ADE=46°(已知)，
∴ ∠FDE=23°，而∠1=23°(已知).
∴ DF ∥ CD(内错角相等，两直线平行 )
10、解：DE∥AF，理由如下：
∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA=∠DAB=90°，
∴CD∥AB，
∵∠1=∠2，
∴∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣∠2，
∴∠3=∠4，
∴DE∥AF.
11、证明：∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线
∴∠ABC=2∠ 2，∠ADC=2∠3
∵∠ABC=∠ADC
∴∠2=∠3
∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DC∥AB
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北师大版（2024）八年级数学上册第七章《证明》
7.3平行线的证明（判定定理）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 七
课题 平行线的证明（判定定理） 课时 1
课标要求 《平行线的证明》课标要求其核心在于“启蒙”个“奠基”，在知识层面，要求学生掌握平行线的判断和性质这两组工具；在能力上，要求学生开启演泽推理的大门，初步掌握几何证明的基本方法和规范格式；在思维上，要求学生从直觉感知到逻辑推理的转变，培养严谨的科学态度。
教材分析 上一节已经明确了基本事实，本节以基本事实“同位角相等，两直线平行”为基础证明平行线的判定定理：“内错角相等，两直线平行”；“同旁内角互补，两直线平行”。在以前的几何学习中，主要是针对几何概念、运算以及几何的初步证明（说理），在学生的头脑中还没有形成一个比较系统的几何证明体系，本节课安排《平行线的判定》旨在让学生从简单的几何证明入手，逐步形成一个初步的、比较清晰的证明思路，为此，教科书首先引导学生回忆平行线的判定条件，要求学生利用基本事实证明其他的判定条件。
学情分析 学生技能基础：在学习本课之前，学生对平行线的判定已经比较熟悉，也有了初步的逻辑推理能力，对简单的证明步骤有较清楚的认识，这为今天的学习奠定了一个良好的基础． 活动经验基础：在以往的几何学习中，学生对动手操作、猜想、说理、讨论等活动形式比较熟悉，本节课主要采取学生分组交流、讨论等学习方式，学生已经具备必要的基础．
核心素养目标 1、理解并掌握同位角相等两直线平行这一基本事实（公理）；会用公理证明内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。2、在定理的证明过程和运用过程，学习分析命题的题设和结论，寻找证明的思路，构建从已知到未知的逻辑桥梁，发展学生的演绎推理能力。3、感受数学的严谨性，培养求真求实的科学态度；在探索证明的过程中，体验逻辑推理的乐趣和成功解决问题的喜悦，增强学习几何的自信心。
教学重点 重点：利用“同位角相等，两直线平行”证明判定定理：内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
教学难点 难点：用数学语言表达几何的推理过程。
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新一、平行线判断的公理（基本事实）：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简述：同位角相等，两直线平行．平行线的判定公理是证明直线平行的重要依据．数学语言： 如图：∵∠1＝∠2(已知)， ∴ a∥b(同位角相等，两直线平行). 二、平行线的判断定理（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简述：内错角相等，两直线平行.数学语言： 如图：∵∠1＝∠2(已知)， ∴ a∥b(内错角相等，两直线平行). （2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简述：同旁内角互补，两直线平行.数学语言： 如图：∵∠1+∠2=180°(已知)， ∴ a∥b(内错角相等，两直线平行). （3)、平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）数学语言： 如图：∵a∥b，a∥c(已知)， ∴ b∥c(平行线的传递性). 回顾平行线的判断定理，并用数学语言描述。 回顾平行线的判断公理（基本事实）、平行线的判定定理，为新授奠基。
三、探究 探究：平行线的判断1、证明判断定理1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 内错角相等，两直线平行.证明： ∵∠1＝∠2（已知） ∠1=∠3（对顶角相等） ∴∠2=∠3（等量代换） ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．2、证明判断定理2、两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.证明： ∵∠1+∠2=180°（已知） ∠1+∠3=180°（平角定义） ∴∠2=∠3（等量代换） ∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．3、证明判断定理3、平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）证明： ∵a∥b(已知） ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）又∵a∥c(已知 ∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）∴∠2=∠3（等量代换） ∴b∥c(同位角相等，两直线平行)．强调：1、已给的基本事实、定义和已经证明的定理，以后都可以作为依据，用来证明新的结论.2、平行线的判定是由角之间的数量关系到直线间位置关系的判定．要判定两直线平行，可围绕截线找同位角、内错角或同旁内角是否相等或互补，而选用其中一个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、互补角等知识来说明. 小组交流讨论完成平行线的判定定理的证明。 1通过观察、思考、讨论培养学生分析图形的能力，感受转化的思想.由未知转化为已知，把已知条件转化为以前学过的旧知识，从而达到解决问题的目的.2通过让学生自己口述，培养学生的口语表达能力和推理论证的能力.在思考探究的过程中，体会判断两条直线平行的条件.这个证明的过程，教师可以引导学生自己书写
五、尝试 基础达标：1.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( D )A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b,则∠2等于( C )A.75° B.95° C.105° D.115°3.如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠2=∠8； ④∠5+∠8=180°，其中能判定AB∥CD的是( B )A.①③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 第1题 第2题 第3 题4.如图，请填写一个你认为恰当的条件 ， 使AB∥CD.第4题 第5题 5.如图，一束光线从点 C 出发，经过平面镜 AB 反射后，沿与 AF平行的线段DE 射出（此时 ）∠1=∠2，若测得∠ DCF=100° ，∠A= ( A ) A.50° B. 60° C.70° D. 80°6、根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证、证明。两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG、FH分别是∠AEF和∠EFD的平分线.求证：EG∥FH.证明：AB∥CD ∠AEF=∠EFDEG、FH分别是∠AEF和∠EFD的平分线，∠GEF=∠EFH∴EG∥FH能力提升：7.如图所示，AB∥CD，AC∥BD。分别找出与∠1相等或互补的角。解：如图，与∠1相等的角有：∠3， ∠5， ∠7， ∠9，∠11， ∠13， ∠15；与∠1互补的角有：∠2， ∠4， ∠6， ∠8， ∠10， ∠12， ∠14， ∠16 ；拓展迁移：如图：∠1=53 ，∠2= 127 ，∠3= 53 ，试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系.证明： ∵ ∠2= 127 ，（已知）∴ ∠4=180 -127 =53 ,（平角定义）∵ ∠3= 53 （已知）∴∠3=∠4，（等量代换）∴AB∥CD.（同位角相等，两直线平行）∵∠1=∠3，（等量代换）∴BC∥DE （同位角相等，两直线平行）9.如图，直线AB和CD被直线MN所截．（1）如图①，EG平分∠BEF, FH平分∠DFE （平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足 时，AB∥CD；（2）如图②，EG平分∠MEB ,FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足 时，AB∥CD；（3）如图③，EG平分∠AEF ,FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD 为什么 解：（1）∠1+∠2=90°（2）∠1=∠2 （3）∠1=∠2理由： ∵EG平分∠AEF,FH平分∠DFE∴∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2∴∠1=∠2∴∠AEF=∠DFE∴AB∥CD 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸1、平行线的判断定理的证明。基本事实：如果内错角相等，两直线平行；（不需要证明）判断定理：（需要证明） （1）如果内错角相等，两直线平行； （2）如果同旁内角互补，两直线平行 ； （3）平行于同一条直线的两条直线平行。2、已给的基本事实、定义和已经证明的定理，以后都可以作为依据，用来证明新的结论. 引导学生进行课堂小结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠5＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠3＝180°.其中能判定a∥b的是( B ) A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④2.如图，能判断直线 AB∥CD 的条件是( D ) A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠3=180 D. ∠3+∠4=180 第1题 第2题3.如图，下列说法中，正确的是（ C ）A因为 ∠A+∠D=180 ，所以 AD∥BC B. 因为 ∠C+∠D=180 ，所以 AB∥CDC. 因为 ∠A+∠D=180 ，所以 AB∥CD D. 因为 ∠A+∠C=180 ，所以 AB∥CD 4.如图，下列条件不能判定直线 l1∥l2 的是（ A ）A. ∠1=∠3 B. ∠1=∠4 C. ∠2+∠3=180 D. ∠3=∠5 第3题 第4题5.如图，已知直线AB∥CD，直线EF与直线AB、CD分别交于点E、F，且有∠1=70°，则∠2= 110° .6.如图，已知∠1=70°，如果CD//BE，那么∠B的度数为 110° .7.如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数 70° 。 第5题 第6题 第7题能力提升：8.如图BE平分∠ABC，EC平分∠ BCD， ∠ E=90°那么AB∥CD吗？为什么？解：∵BE 平分∠ABC（已知）∴∠ABC=2∠1∵EC平分∠BCD（已知）∴∠BCD =2∠2∵∠E+∠1+∠2=180°∴∠1+∠2=180°-∠E∵∠E =90°（已知）∴∠1+∠2=90°∴∠ABC +∠BCD =2∠1+2∠2=180°∴AB∥CD 同旁内角互补，两直线平行拓展迁移：9.如图，已知∠ADE=46°，DF平分∠ADE，∠1=23°.求证：DF∥BE.请你根据已知条件补充推理过程，并在相应括号内注明理由.证明：∵DF平分∠ADE(已知)∴ ∠FDE = ∠ADE(角平分线定义 )又∵∠ADE=46°(已知)，∴ ∠FDE=23°，而∠1=23°(已知).∴ DF ∥ CD(内错角相等，两直线平行 )10.如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，问直线DE与AF是否平行？为什么？解：DE∥AF，理由如下：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=∠DAB=90°，∴CD∥AB， ∵∠1=∠2，∴∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣∠2，∴∠3=∠4，∴DE∥AF.11.如图，∠ABC=∠ADC、DE是∠ ADC的角平分线，BF是∠ABC的平分线，∠1=∠2.求征DC∥AB.证明：∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线∴∠ABC=2∠ 2，∠ADC=2∠3∵∠ABC=∠ADC∴∠2=∠3∵∠1=∠2∴∠1=∠3∴DC∥AB
教学反思
a
b
2
1
a
b
2
1
a
b
c
1
2
3
a
b
c
1
2
3
1
2
3
∠CDA=∠DAB
平行于同一条直线的两条直线平行
判断定理
判断定理2，同旁内角互补，两直线平行。
判断定理1，内错角相等，两直线平行。
公理：同位角相等，两直线平行
平行线
的判断
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第七章 证明
7.3平行线的证明（判断定理）
01
教学目标
02
回顾旧知
03
知识探究
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解并掌握同位角相等两直线平行这一基本事实（公理）；会用公理证明内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
01
. 在定理的证明过程和运用过程，学习分析命题的题设和结论，寻找证明的思路，构建从已知到未知的逻辑桥梁，发展学生的演绎推理能力。
02
感受数学的严谨性，培养求真求实的科学态度；在探索证明的过程中，体验逻辑推理的乐趣和成功解决问题的喜悦，增强学习几何的自信心。
03
02
知识回顾
平行线判断的公理：
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简述：同位角相等，两直线平行．
平行线的判定公理是证明直线平行的重要依据．
表达方式：
如图：∵∠1＝∠2(已知)，
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
02
知识回顾
平行线的判断定理
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简述：内错角相等，两直线平行.
表达方式：
如图：∵∠1＝∠2(已知)，
∴ a∥b(内错角相等，两直线平行).
a
b
c
1
2
3
02
知识回顾
（2）、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简述：同旁内角互补，两直线平行.
表达方式：
如图：∵∠1+∠2=180°(已知)，
∴ a∥b(内错角相等，两直线平行).
a
b
c
1
2
02
知识回顾
（3)、平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）
表达方式：
如图：∵a∥b，a∥c(已知)， ∴ b∥c(平行线的传递性).
03
探究新知
证明判断定理1、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 内错角相等，两直线平行.
证明： ∵∠1＝∠2（已知）
∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
a
b
c
1
2
3
探究：平行线的判断
03
探究新知
证明判断定理2、两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.
a
b
c
1
2
3
证明： ∵∠1+∠2=180°（已知）
∠1+∠3=180°（平角定义）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．
03
探究新知
证明判断定理3、平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）
证明： ∵a∥b(已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
又∵a∥c(已知）
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴b∥c(同位角相等，两直线平行)．
1
2
3
知识点
1、已给的基本事实、定义和已经证明的定理，以后都可以作为依据，用来证明新的结论.
2、平行线的判定是由角之间的数量关系到直线间位置关系的判定．要判定两直线平行，可围绕截线找同位角、内错角或同旁内角是否相等或互补，而选用其中一个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、互补角等知识来说明.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠4 C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b,则∠2等于( )
A.75° B.95° C.105° D.115°
3.如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件：
①∠1=∠2； ②∠3=∠6；③∠2=∠8； ④∠5+∠8=180°，
其中能判定AB∥CD的是( )
A.①③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
D
C
B
a
b
1
2
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图，请填写一个你认为恰当的条件 .
使AB∥CD.
5.如图，一束光线从点 C 出发，经过平面镜 AB 反射后，沿与 AF平行的线段DE 射出（此时 ）∠1=∠2，若测得∠ DCF=100° ，∠A= ( )
A.50° B. 60° C.70° D. 80°
∠CDA=∠DAB
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6.根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证、证明。两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.
已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG、
FH分别是∠AEF和∠EFD的平分线.
求证：EG∥FH.
证明：AB∥CD ∠AEF=∠EFD
EG、FH分别是∠AEF和∠EFD的平分线，∠GEF=∠EFH
∴ EG∥FH
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.如图所示，AB∥CD，AC∥BD。分别找出与∠1相等或互补的角。
如图，与∠1相等的角有：∠3， ∠5， ∠7， ∠9，∠11， ∠13， ∠15；
与∠1互补的角有：∠2， ∠4， ∠6， ∠8， ∠10， ∠12， ∠14， ∠16 ；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
8.如图：∠1=53 ，∠2= 127 ，∠3= 53 ，试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系.
证明： ∵ ∠2= 127 ，（已知）
∴ ∠4=180 -127 =53 ,（平角定义）
∵ ∠3= 53 （已知）
∴∠3=∠4，（等量代换）
∴AB∥CD.（同位角相等，两直线平行）
∵∠1=∠3，（等量代换）
∴BC∥DE （同位角相等，两直线平行）
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.如图，直线AB和CD被直线MN所截．（1）如图①，EG平分∠BEF, FH平分∠DFE （平分的是一对同旁内角），则∠1与∠2满足 时，AB∥CD；
（2）如图②，EG平分∠MEB ,FH平分∠DFE（平分的是一对同位角），则∠1与∠2满足 时，AB∥CD；
（3）如图③，EG平分∠AEF ,FH平分∠DFE（平分的是一对内错角），则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥CD 为什么
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：（1）∠1+∠2=90°
（2）∠1=∠2
（3）∠1=∠2
理由：
∵EG平分∠AEF,FH平分∠DFE
∴∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2
∴∠1=∠2
∴∠AEF=∠DFE
∴AB∥CD
05
课堂小结
1、平行线的判断定理的证明。
基本事实：如果内错角相等，两直线平行；（不需要证明）
判断定理：（需要证明）
（1）如果内错角相等，两直线平行；
（2）如果同旁内角互补，两直线平行 ；
（3）平行于同一条直线的两条直线平行。
2、已给的基本事实、定义和已经证明的定理，以后都可以作为依据，用来证明新的结论.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠5＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；
④∠5＋∠3＝180°.其中能判定a∥b的是( )
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
2.如图，能判断直线 AB∥CD 的条件是( )
A. ∠1=∠2 B. ∠3=∠4
C. ∠1+∠3=180 D. ∠3+∠4=180
B
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，下列说法中，正确的是（ ）
因为 ∠A+∠D=180 ，所以 AD∥BC
B. 因为 ∠C+∠D=180 ，所以 AB∥CD
C. 因为 ∠A+∠D=180 ，所以 AB∥CD
D. 因为 ∠A+∠C=180 ，所以 AB∥CD
4.如图，下列条件不能判定直线 l1∥l2 的
是（ ）
A. ∠1=∠3 B. ∠1=∠4
C. ∠2+∠3=180 D. ∠3=∠5
C
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.如图，已知直线AB∥CD，直线EF与直线AB、CD分别交于点E、F，且有∠1=70°，则∠2=____ .
6.如图，已知∠1=70°，如果CD//BE，那么∠B的度数为____.
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°．
若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的
度数是( )
110°
110°
70°
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.如图BE平分∠ABC，EC平分∠ BCD， ∠ E=90°
那么AB∥CD吗？为什么？
解：∵BE 平分∠ABC（已知）
∴∠ABC=2∠1
∵EC平分∠BCD（已知）
∴∠BCD =2∠2
∵∠E+∠1+∠2=180°
∴∠1+∠2=180°-∠E
∵∠E =90°（已知）
∴∠1+∠2=90°
∴∠ABC +∠BCD =2∠1+2∠2=180°
∴AB∥CD 同旁内角互补，两直线平行
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.如图，已知∠ADE=46°，DF平分∠ADE，∠1=23°.求证：DF∥BE.
请你根据已知条件补充推理过程，并在相应括号内注明理由.
证明：∵DF平分∠ADE(已知)
∴ = ∠ADE( )
又∵∠ADE=46°(已知)，
∴ ∠ =23°，而∠1=23°(已知).
∴ ∥ ( )
∠FDE
角平分线定义
FDE
DF
内错角相等，两直线平行.
BE
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
10.如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，
∠1=∠2，问直线DE与AF是否平
行？为什么？
解：DE∥AF，理由如下：
∵CD⊥DA，DA⊥AB，
∴∠CDA=∠DAB=90°，
∴CD∥AB，
∵∠1=∠2，
∴∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣∠2，
∴∠3=∠4，
∴DE∥AF.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
11.如图，∠ABC=∠ADC、DE是
∠ ADC的角平分线，BF是∠ABC
的平分线，∠1=∠2.求征DC∥AB.
证明：∵BF、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线
∴∠ABC=2∠ 2，∠ADC=2∠3
∵∠ABC=∠ADC
∴∠2=∠3
∵∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DC∥AB
06
作业布置
【板书设计】
平行线的判定
判定定理
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
判定公理：同位角相等，两直线平行
Thanks!
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