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第七章 证明
回顾与思考导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1、通过梳理本章知识点掌握本章的重要概念，能熟练灵活地运用有关定理解决实际问题．
2、初步掌握证明题书写格式，会证明两条平行的相关判断定理，两直线平行的相关性质定理．
3、体会推理的严谨性和结论的确定性，初步树立步步有据的推理意识，发展学生的推理论证能力，提高学生的表达能力和合作交流意识。
学习重点：
通过形成形成完整的知识链，能熟练应用所学知识进行解题.
学习难点：
推理意识的建立，掌握证明的步骤与格式
教学过程
一、展示思维导图
知识梳理
1、实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明
2、论证方法：实验论证；举出反例：推理论证。
3、命题
（1）判断一件事情的句子叫做命题。
（2）命题有真有假，其中正确的命题叫做真命题；错误的命题叫做假命题。
（3）.要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子就可以，像这样的例子称为反证。
（4）经过实践验证的真命题称为基本事实。
（5）经过演绎推理得到的重要的真命题叫做定理
练一练；
1．下列句子中不是命题的是( )
A．两直线平行，同位角相等 B．直线AB垂直于CD吗
D．同角的补角相等 C．若|a|＝|b|，则a=b
2. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)绝对值相等的两个数一定相等；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
解：
．
．
3.下列命题是真命题的是( )
A．若a＝b，则a＝b B．若x＝y，则2－3x＞2－3y
C．若x＝2，则x＝±√2 D．若x＝8，则x＝±2
4、平行线的判断
练一练：
（1）.如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，AB∥CD吗？为什么？
解：
（2）如图，已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
（3）如图，∠1＝70°，∠2＝110°，AB与ED平行吗？为什么？
5、平行线的性质
练一练
（1）如图，已知AB∥CD，∠1＝150°，则∠2＝ .
（2）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDC＝40°，∠ECD＝45°，则∠ACB＝ .
（3）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于( )
A．100° B．120° C．130° D．150°
(4)、证明三角形的内角和定理．
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
下列语句是命题的有 .
（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；
（3）对顶角相等； （4）对应角相等的两个三角形是全等三角形。
2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例！
（1）同角的补角相等；
（2）同位角相等，两直线平行；
（3）若|a|=|b|，则a=b；
3.如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则： ∠1+∠2+∠3= 。
4.如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°，则∠A= ， ∠ACB= .
第3题 第4题 第5题
5. 已知：如图，AB∥CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°，则∠BED= 78°。
6.如图，直线a，b被直线c所截，a∥b。求证：∠1+∠2=180°。
已知：如图，∠1+∠2=180°，求证：∠3=∠4。
能力提升：
如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD，
且PE交直线BC于点E.
若∠B＝35°，∠ACB＝85°，
求∠E的度数；
(2)当点P在线段AD上运动时，求证：∠E＝(∠ACB－∠B)．
拓展迁移：
9.嘉淇同学要证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠ABP＝∠CBP，点D在射线BP上，____________，求证：__________．
(1)补全图形，已知和求证；
(2)按嘉淇的想法写出证明过程．
总结反思、拓展升华
【课堂总结】
通过本节课的学习，你有哪些收获？你学到了什么知识和方法,还有什么困惑？
1、知识方面.
2、能力方面.
3、思想方面.
4、模型方面.
五、【作业布置】
基础达标：
1.“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是( )
A．定义 B．命题 C．公理 D．定理.
2.下列四个选项中不是命题的是( )
A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
3．下列命题中，是真命题的是( )
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．三角形的一个外角大于它的任何一个内角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
4．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( )
A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180° C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠3
5．如图，已知在△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC
第4题 第5题
6.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，∠BED＝60°，求∠ACB的度数．
能力提升：
如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD＝BD，∠C＝∠ADC，∠BAC＝57°，求∠DAC的度数．
8.如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.
(1)求证：EA平分∠BEF；
(2)若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD.
拓展迁移：
9.如图，直线AB∥ED。求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD。
10.如图，直线AB∥ED，∠ABC、∠CDE、∠BCD之间有什么数量关系？请说明理由。
11.如图，直线AB∥ED，∠ABC、∠CDE、∠BCD之间有什么数量关系？请说明理由。
课堂作业参考答案
(1),(3),(4)
2、（1）真命题，（2）真命题，（3）假命题，若a=-1，b=1，则|a|=|b|，但a≠b
3、90°
4、65°，60°
5、78°
6，证明：∵a∥b（已知），
∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠3=∠2（对顶角相等），
∴∠1+∠2=180°（等量代换）。
7、证明：∵∠2=∠5（对顶角相等），
∠1+∠2=180°（已知）
∴∠1+∠5=180°（等量代换），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）。
8、解(1)：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝65°.
又∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴∠E＝90°－∠ADC＝25°.
(2)证明：∵∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝90°－ (∠B＋∠ACB)．
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝90°－ (∠ACB－∠B)．
∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴∠ADC＋∠E＝90°.
∴∠E＝90°－∠ADC.
∴∠E＝ (∠ACB－∠B)．
9.(1)解：补全图形如图所示．
已知：如图，∠ABP＝∠CBP，
点D在射线BP上，DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E，F.
求证：DE＝DF.
(2)证明：∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°.
在△BED和△BFD中，
∵∠DEB＝∠DFB，∠EBD＝∠FBD，BD＝BD，
∴△BED≌△BFD(AAS)．
∴DE＝DF.
课外作业参考答案
A
B
A
D
A
6、解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DFE＝180°，
∴∠2＝∠DFE.
∴AB∥EF.
∴∠BDE＝∠DEF.
又∵∠DEF＝∠A，∴∠BDE＝∠A.
∴DE∥AC.
∴∠ACB＝∠BED＝60°.
7、解：设∠DAC＝x，则∠BAD＝57°－x.
∵∠C＝∠ADC，∴∠ADC＝ (180°－x)．
又∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝57°－x.
∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴ (180°－x)＝2(57°－x)，解得x＝16°.
即∠DAC的度数为16°.
8、证明：(1)∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°.
∴∠2＋∠3＝90°且∠1＋∠4＝90°.
又∵EC平分∠DEF，∴∠3＝∠4.
∴∠1＝∠2.
∴EA平分∠BEF.
(2)∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1＋∠A＋∠4＋∠C＝2(∠1＋∠4)＝180°.
∴∠B＋∠D＝(180°－2∠1)＋(180°－2∠4)
＝360°－2(∠1＋∠4)＝180°.
∴AB∥CD.
9、证法一：如图，过点C作CF∥AB。
∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥ED（已知），
∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质），
即∠BCD=∠ABC+∠CDE。
证法二：如图，延长BC交DE于点G。
∵AB∥DE（已知），
∴∠ABC=∠CGD（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BCD是△CDG的一个外角（外角定义），
∴∠BCD=∠CGD+∠CDE（三角形的外角定理1），
∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）。
10、解：∠ABC+∠CDE+∠BCD=360°，理由是：
如图，过点C作CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥ED（已知），
∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠EDC+∠DCF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABC+∠CDE+∠BCD=∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF
=180°+180°=360°（等式性质）。
=180°+180°=360°（等式性质）。
11、解：∠ABC=∠CDE+∠BCD，理由是：
∵AB∥DE（已知）
∴∠ABC=∠CFE（两直线平行，同位角相等）
∵∠CFE是△CDF的一个外角（外角定义）
∴∠CFE=∠CDE+∠BCD（三角形的外角定理1）
∴∠ABC=∠CDE+∠BCD（等量代换）。
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北师大版（2024）八年级数学上册第七章《证明》回顾与思考教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 七
课题 回顾与思考 课时 1
课标要求 理解证明的必要性和意义；掌握证明的基本格式和书写的规范性；掌握基本事实（公理）和重要定理，并运用于证明；发展初步的演绎推理能力。
教材分析 在本章的学习中，学生已经掌握了几何的推理论证的基本理念，对于简单的几何证明有了一定的认识，但不能从更深层次进行思考，对于如何分析命题中的条件与结论则存在一定的困难，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用。
学情分析 学生在已经接触了几何学的许多基本概念，有了一些基本的逻辑思维判断能力，在几何证明的推理上也有了长足的进步，不过对于较难的几何证明题则不能站在更高的逻辑思维层面上思考．在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、动手操作、说理、推理论证等几何活动，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．
核心素养目标 1、通过梳理本章知识点掌握本章的重要概念，能熟练灵活地运用有关定理解决实际问题．2、初步掌握证明题书写格式，会证明两条平行的相关判断定理，两直线平行的相关性质定理．3、体会推理的严谨性和结论的确定性，初步树立步步有据的推理意识，发展学生的推理论证能力，提高学生的表达能力和合作交流意识。
教学重点 通过形成形成完整的知识链，能熟练应用所学知识进行解题.
教学难点 推理意识的建立，掌握证明的步骤与格式
教学准备 课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识架构 上交预习作业：单元思维导图 课前布置章节思维导图，使学生对本章知识结构有初步的了解。
二、知识梳理 1、实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明2、论证方法：实验论证；举出反例：推理论证。3、命题 （1）判断一件事情的句子叫做命题。 （2）命题有真有假，其中正确的命题叫做真命题；错误的命题叫做假命题。 （3）.要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子就可以，像这样的例子称为反证。 （4）经过实践验证的真命题称为基本事实。 （5）经过演绎推理得到的重要的真命题叫做定理练一练；1．下列句子中不是命题的是( B )A．两直线平行，同位角相等 B．直线AB垂直于CD吗D．同角的补角相等 C．若|a|＝|b|，则a=b2. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)绝对值相等的两个数一定相等；(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．解：(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等．(2)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．3.下列命题是真命题的是( C )A．若a＝b，则a＝b B．若x＝y，则2－3x＞2－3yC．若x＝2，则x＝±√2 D．若x＝8，则x＝±24、平行线的判断练一练：（1）.如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，AB∥CD吗？为什么？解：AB∥CD，理由如下：∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴AB∥CD.（2）如图，已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？解：EF∥BD，理由如下：∵∠AED＝60°，EF平分∠AED，∴∠FED＝30°.又∵∠2＝30°，∴∠FED＝∠2，∴EF∥BD. （3）如图，∠1＝70°，∠2＝110°，AB与ED平行吗？为什么？解：AB与ED平行，理由如下：∵∠1＝70°，∴∠AOD＝70°.∵∠2＝110°，∴∠AOD＋∠2＝180°，∴AB∥ED. 5、平行线的性质练一练（1）如图，已知AB∥CD，∠1＝150°，则∠2＝ 30°.（2）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDC＝40°，∠ECD＝45°，则∠ACB＝ 85° . （3）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于( C )A．100° B．120° C．130° D．150°(4)、证明三角形的内角和定理．如图，已知△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C.∵∠EAB＋∠FAC＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.即三角形内角和等于180°. 小组活动，放手让学生交流、讨论形成共识，对于学生的困难和不足，教师应及时给予帮助。完成相应的练习题。 引导学生回顾本章知识，放手让学生交流、讨论形成共识，对于学生的困难和不足，教师应及时给予帮助。交待哪些地方是同学们需要注意的，帮助学生加深印象，便于理解。并及时进行相应的联系。对于平行线的判断定理和性质定理采用表格的形式，是学生理解它们的关系式互逆的。
五、尝试 基础达标：下列语句是命题的有 (1),(3),(4) .（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；（3）对顶角相等； （4）对应角相等的两个三角形是全等三角形。2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例！（1）同角的补角相等；(真命题）（2）同位角相等，两直线平行；（真命题）（3）若|a|=|b|，则a=b；假命题，若a=-1，b=1，则|a|=|b|，但a≠b3.如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则： ∠1+∠2+∠3= 90°。4.如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°，则∠A= 65° ， ∠ACB= 60° . 第3题 第4题5. 已知：如图，AB∥CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°，则∠BED= 78°。 第5题 第6题6.如图，直线a，b被直线c所截，a∥b。求证：∠1+∠2=180°。证明：∵a∥b（已知），∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵∠3=∠2（对顶角相等），∴∠1+∠2=180°（等量代换）。7.已知：如图，∠1+∠2=180°，求证：∠3=∠4。证明：∵∠2=∠5（对顶角相等）， ∠1+∠2=180°（已知）∴∠1+∠5=180°（等量代换），∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）。能力提升：如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD，且PE交直线BC于点E.若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；(2)当点P在线段AD上运动时，求证：∠E＝(∠ACB－∠B)．解(1)：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝65°.又∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.∴∠E＝90°－∠ADC＝25°.(2)证明：∵∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝ ∠BAC＝90°－ (∠B＋∠ACB)．∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝90°－ (∠ACB－∠B)．∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.∴∠ADC＋∠E＝90°.∴∠E＝90°－∠ADC.∴∠E＝ (∠ACB－∠B)．拓展迁移：9.嘉淇同学要证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠ABP＝∠CBP，点D在射线BP上，____________，求证：__________．(1)补全图形，已知和求证；(2)按嘉淇的想法写出证明过程．(1)解：补全图形如图所示．已知：如图，∠ABP＝∠CBP，点D在射线BP上，DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E，F.求证：DE＝DF.(2)证明：∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°.在△BED和△BFD中，∵∠DEB＝∠DFB，∠EBD＝∠FBD，BD＝BD，∴△BED≌△BFD(AAS)．∴DE＝DF. 完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸通过本节课的学习，你有哪些收获？你学到了什么知识和方法,还有什么困惑？1、知识方面.2、能力方面.3、思想方面.4、模型方面. 引导学生进行课堂小结。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是( A )A．定义 B．命题 C．公理 D．定理.2.下列四个选项中不是命题的是( B )A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c3．下列命题中，是真命题的是( A )A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B．三角形的一个外角大于它的任何一个内角C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行4．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( D )A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180° C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠35．如图，已知在△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不一定成立的是( A )A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC 第4题 第5题 第6题6.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，∠BED＝60°，求∠ACB的度数．解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DFE＝180°，∴∠2＝∠DFE.∴AB∥EF.∴∠BDE＝∠DEF.又∵∠DEF＝∠A，∴∠BDE＝∠A.∴DE∥AC.∴∠ACB＝∠BED＝60°.能力提升：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD＝BD，∠C＝∠ADC，∠BAC＝57°，求∠DAC的度数．解：设∠DAC＝x，则∠BAD＝57°－x.∵∠C＝∠ADC，∴∠ADC＝ (180°－x)．又∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝57°－x.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴ (180°－x)＝2(57°－x)，解得x＝16°.即∠DAC的度数为16°.8.如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.(1)求证：EA平分∠BEF；(2)若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD.证明：(1)∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°.∴∠2＋∠3＝90°且∠1＋∠4＝90°.又∵EC平分∠DEF，∴∠3＝∠4.∴∠1＝∠2.∴EA平分∠BEF.(2)∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，∴∠1＋∠A＋∠4＋∠C＝2(∠1＋∠4)＝180°.∴∠B＋∠D＝(180°－2∠1)＋(180°－2∠4)＝360°－2(∠1＋∠4)＝180°.∴AB∥CD.拓展迁移：9.如图，直线AB∥ED。求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD。证法一：如图，过点C作CF∥AB。∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）。∵AB∥ED（已知），∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行），∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等），∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质），即∠BCD=∠ABC+∠CDE。 证法二：如图，延长BC交DE于点G。∵AB∥DE（已知），∴∠ABC=∠CGD（两直线平行，内错角相等）。∵∠BCD是△CDG的一个外角（外角定义），∴∠BCD=∠CGD+∠CDE（三角形的外角定理1），∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）。 10.如图，直线AB∥ED，∠ABC、∠CDE、∠BCD之间有什么数量关系？请说明理由。解：∠ABC+∠CDE+∠BCD=360°，理由是： 如图，过点C作CF∥AB，∴∠ABC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵AB∥ED（已知），∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行），∴∠EDC+∠DCF=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠ABC+∠CDE+∠BCD=∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF=180°+180°=360°（等式性质）。=180°+180°=360°（等式性质）。11.如图，直线AB∥ED，∠ABC、∠CDE、∠BCD之间有什么数量关系？请说明理由。解：∠ABC=∠CDE+∠BCD，理由是： ∵AB∥DE（已知）∴∠ABC=∠CFE（两直线平行，同位角相等）∵∠CFE是△CDF的一个外角（外角定义）∴∠CFE=∠CDE+∠BCD（三角形的外角定理1）∴∠ABC=∠CDE+∠BCD（等量代换）。
教学反思
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
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第七章 证明
回顾与思考
01
教学目标
02
知识架构
03
知识梳理
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过梳理本章知识点掌握本章的重要概念，能熟练灵活地运用有关定理解决实际问题．
01
初步掌握证明题书写格式，会证明两条平行的相关判断定理，两直线平行的相关性质定理．
02
体会推理的严谨性和结论的确定性，初步树立步步有据的推理意识，发展学生的推理论证能力，提高学生的表达能力和合作交流意识。
03
02
知识架构
03
知识梳理
1、实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明
2、论证方法
实验验证
举出反例
推理证明
03
知识梳理
3、命题
（1）判断一件事情的句子叫做命题。
（2）命题有真有假，其中正确的命题叫做真命题；错误的命题叫做假命题。
（3）.要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子就可以，像这样的例子称为反证。
（4）经过实践验证的真命题称为基本事实。
（5）经过演绎推理得到的重要的真命题叫做定理。
03
练一练
1．下列句子中不是命题的是( )
A．两直线平行，同位角相等 B．直线AB垂直于CD吗
D．同角的补角相等 C．若|a|＝|b|，则=
2. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式．
(1)绝对值相等的两个数一定相等；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
B
解：
(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等．
(2)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
03
练一练
3.下列命题是真命题的是( )
A．若＝，则a＝b B．若x＝y，则2－3x＞2－3y
C．若＝2，则x＝±D．若＝8，则x＝±2
C
03
知识梳理
4、平行线的判断
图形
已知
结果
结论
同位角
内错角
同旁内角
a//b
a//b
a//b
同位角相等
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
两直线平行
1
2
2
3
2
4
）
）
）
）
）
）
a
b
a
b
a
b
c
c
c
03
练一练
4.如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，AB∥CD吗？为什么？
解：AB∥CD，理由如下：
∵∠1＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，∴AB∥CD.
03
练一练
5.如图，已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
解：EF∥BD，理由如下：
∵∠AED＝60°，EF平分∠AED，∴∠FED＝30°.
又∵∠2＝30°，∴∠FED＝∠2，
∴EF∥BD.
03
练一练
6、如图，∠1＝70°，∠2＝110°，AB与ED平行吗？为什么？
解：AB与ED平行，理由如下：
∵∠1＝70°，∴∠AOD＝70°.
∵∠2＝110°，∴∠AOD＋∠2＝180°，
∴AB∥ED.
03
知识梳理
5、平行线的性质
图形
已知
结果
结论
同位角
内错角
同旁内角
a//b
a//b
a//b
两直线平行
同位角相等
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
1
2
2
3
2
4
）
）
）
）
）
）
a
b
a
b
a
b
c
c
c
03
练一练
7、如图，已知AB∥CD，∠1＝150°，则∠2＝ .
8、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠EDC＝40°，∠ECD＝45°，则∠ACB＝ .
30°
85°
03
练一练
9、如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于( )
A．100° B．120° C．130° D．150°
C
03
练一练
10、证明三角形的内角和定理．
如图，已知△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C.
∵∠EAB＋∠FAC＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°.
即三角形内角和等于180°.
E F
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列语句是命题的有（ ）
（1）两点之间线段最短；（2）向雷锋同志学习；
（3）对顶角相等； （4）对应角相等的两个三角形是全等三角形。
2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例！
（1）同角的补角相等；
（2）同位角相等，两直线平行；
（3）若|a|=|b|，则a=b；
（1）（3）（4）
真
真
假命题，若a=-1，b=1，则|a|=|b|，但a≠b。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则： ∠1+∠2+∠3=________。
4.如图所示，△ABC中，∠ACD=115°，∠B=55°，则∠A= ， ∠ACB=___ .
5. 已知：如图，AB∥CD，若∠ABE=130°，∠CDE=152°，
则∠BED=______。
1
A
B
C
D
E
F
2
3
90
第4题图
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
第5题图
第3题图
65
60
78
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
6.如图，直线a，b被直线c所截，a∥b。
求证：∠1+∠2=180°。
证明：∵a∥b（已知），
∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠3=∠2（对顶角相等），
∴∠1+∠2=180°（等量代换）。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
7.已知：如图，∠1+∠2=180°，求证：∠3=∠4。
证明：∵∠2=∠5（对顶角相等），
∠1+∠2=180°（已知），
∴∠1+∠5=180°（等量代换），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）。
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8.如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD，且PE交直线BC于点E.
(1)若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
(2)当点P在线段AD上运动时，求证：∠E＝ (∠ACB－∠B)．
解(1)：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝65°.
又∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴∠E＝90°－∠ADC＝25°.
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
(2)证明：∵∠B＋∠BAC＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝90°－ (∠B＋∠ACB)．
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝90°－ (∠ACB－∠B)．
∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°.
∴∠ADC＋∠E＝90°.
∴∠E＝90°－∠ADC.
∴∠E＝ (∠ACB－∠B)．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.嘉淇同学要证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是正确的，她先画出了如图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠ABP＝∠CBP，点D在射线BP上，____________，求证：__________．
(1)补全图形，已知和求证；
(2)按嘉淇的想法写出证明过程．
04
【综合拓展类作业】
(1)解：补全图形如图所示．
已知：如图，∠ABP＝∠CBP，点D在射线BP上，DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E，F.
求证：DE＝DF.
(2)证明：∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°.
在△BED和△BFD中，
∵∠DEB＝∠DFB，∠EBD＝∠FBD，BD＝BD，
∴△BED≌△BFD(AAS)．
∴DE＝DF.
课堂练习
课堂总结
通过本节课的学习，你有哪些收获？你学到了什么知识和方法,还有什么困惑？
1、知识方面.
2、能力方面.
3、思想方面.
4、模型方面.
05
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是( )
A．定义 B．命题 C．公理 D．定理.
2.下列四个选项中不是命题的是( )
A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c
3．下列命题中，是真命题的是( )
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．三角形的一个外角大于它的任何一个内角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
A
B
A
05
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( )
A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180°
C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠3
5．如图，已知在△ABC中，点D在AC上，延长BC至E，连接DE，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC
C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC
第4题 第5题
D
A
05
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6.如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，∠BED＝60°，求∠ACB的度数．
解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠DFE＝180°，
∴∠2＝∠DFE.
∴AB∥EF.
∴∠BDE＝∠DEF.
又∵∠DEF＝∠A，∴∠BDE＝∠A.
∴DE∥AC.
∴∠ACB＝∠BED＝60°.
05
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AD＝BD，∠C＝∠ADC，∠BAC＝57°，求∠DAC的度数．
解：设∠DAC＝x，则∠BAD＝57°－x.
∵∠C＝∠ADC，∴∠ADC＝ (180°－x)．
又∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD＝57°－x.
∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，
∴ (180°－x)＝2(57°－x)，解得x＝16°.
即∠DAC的度数为16°.
05
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.
(1)求证：EA平分∠BEF；
(2)若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD.
证明：(1)∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°.
∴∠2＋∠3＝90°且∠1＋∠4＝90°.
又∵EC平分∠DEF，∴∠3＝∠4.
∴∠1＝∠2.
∴EA平分∠BEF.
05
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
(2)∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1＋∠A＋∠4＋∠C＝2(∠1＋∠4)＝180°.
∴∠B＋∠D＝(180°－2∠1)＋(180°－2∠4)
＝360°－2(∠1＋∠4)＝180°.
∴AB∥CD.
05
作业布置
【综合拓展类作业】
9.如图，直线AB∥ED。求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD。
A
B
C
D
E
证法一：如图，过点C作CF∥AB。
∴∠ABC=∠BCF（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥ED（已知），
∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠EDC=∠FCD（两直线平行，内错角相等），
即∠BCD=∠ABC+∠CDE。
∴∠BCF+∠FCD=∠EDC+∠ABC（等式性质），
F
05
作业布置
【综合拓展类作业】
证法二：如图，延长BC交DE于点G。
∵AB∥DE（已知），
∴∠ABC=∠CGD（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BCD是△CDG的一个外角（外角定义），
∴∠BCD=∠CGD+∠CDE（三角形的外角定理1），
∴∠BCD=∠ABC+∠CDE（等量代换）。
A
B
C
D
E
G
05
作业布置
【综合拓展类作业】
10.如图，直线AB∥ED，∠ABC、∠CDE、∠BCD之间有什么数量关系？请说明理由。
如图，过点C作CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥ED（已知），
∴ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠EDC+∠DCF=180°（两直线平行，同旁内角互补），
解：∠ABC+∠CDE+∠BCD=360°，理由是：
=180°+180°=360°（等式性质）。
即∠ABC+∠CDE+∠BCD=360°。
∴∠ABC+∠CDE+∠BCD=∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF
A
B
C
D
E
F
05
作业布置
【综合拓展类作业】
11.如图，直线AB∥ED，∠ABC、∠CDE、∠BCD之间有什么数量关系？请说明理由。
解：∠ABC=∠CDE+∠BCD，理由是：
∵AB∥DE（已知）
∴∠ABC=∠CFE（两直线平行，同位角相等）
∵∠CFE是△CDF的一个外角（外角定义）
∴∠CFE=∠CDE+∠BCD（三角形的外角定理1）
∴∠ABC=∠CDE+∠BCD（等量代换）。
A
B
C
D
E
F
Thanks!
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