16.1.1同底数幂的乘法 课件（27张PPT） 数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册
16.1.1
第十六章 整式的乘法
同底数幂的乘法
情境引入
QING JING YIN RU
我们享受的日光实际上是八分钟之前的.
已知光在真空中的速度大约是3×108 m/s，一束太阳光照射到地球大约需要8分20秒.请你以此为基础计算太阳与地球之间的距离.
太阳光照射到地球的时间t=8分20秒=500秒=5×102 s
光在真空中的速度v=3×108 m/s，
因此太阳与地球之间的距离s=vt=3×108×5×102 m
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
在 108 中，10 和 8分别叫什么？表示的意义是什么？
= 10×10×...×10
8 个 10 相乘
108
底数
幂
指数
观察算式 108 ×102，两个因式有何特点？
观察可以发现，108 和 102 这两个因式底数相同，是同底数幂的形式.
我们把形如 108 ×102 这种运算叫做同底数幂的乘法.
思考
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
108×102 =？
= (10×10×…×10 )
8 个 10
×(10×10)
2个 10
= 10×10×…×10
(8 + 32) 个 10
= 1010.
= 1018+2
(乘方的意义)
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
根据乘方的意义，想一想如何计算 108×102 ？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
计算下列各式：
（1）52×513 ； （2）a5×a7 ；
=（5×5）×（5×5×...×5）
=5×5×...×5
=515
=52+13
2个5
13个5
15个5
=a·a·...·a
=a12
=a5+7
5个a
7个a
12个a
=（a·a·...·a）·（a·a·...·a）
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
计算：10m×10n（m，n 都是正整数） ，你发现了什么？
=（10×10×···×10）×（10×10×···×10）
m个10
n个10
=10×10×···×10
(m+n)个10
=10m+n
这个结论是否具有一般性？如果底数同样也是字母呢？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
am×an（m，n 都是正整数） ，你发现了什么？
am·an
个 a
· ( a · a · … · a )
个 a
= a · a · … · a
个 a
= a( ).
m
n
m + n
m + n
= ( a · a · … · a )
(乘方的意义)
(乘法的结合律)
(乘方的意义)
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
同底数幂的乘法法则
am · an = am+n (m，n 都是正整数).
同底数幂相乘，
底数　 ，指数　 .
不变
相加
结果：① 底数不变 ② 指数相加
条件：① 乘法 ② 底数相同
am· an· a p = a m + n + p (m、n、p 都是正整数)
当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
先观察并判断，题中是否满足同底数幂乘法公式的条件.
计算：
（1）(-3)7×(-3)6； （2）(20252026)3×(20252026) ；
（3）-x3·x5 ； （4）b2m ·b2m+1 ．
?
解：
（1）(-3)7×(-3)6 =(-3)7+6 =(-3)13；
（2）(20252026)3×(20252026) =(20252026)3 +1 =(20252026) 4 ；
（3）-x3·x5 = -x3+5 = -x8 ；
（4）b2m ·b2m+1 =b2m+ 2m+1=b4m+1 ．
?
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
解题技巧
（1）当底数是负数分数时，要注意添加括号；
（2）注意 的指数是1，而不是0；
（3）注意找准底数， 的底数是 ；
20252026
?
计算同底数幂的乘法时，要注意算式里面的负号是属于幂的还是属于底数的．
注
意
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
找准底数，并统一底数.
计算：
(1)52×57； (2)7×73×72；
(3) －x2 ?x3； (4)(－c)3 ?(－c)m .
解：(1)52×57=52+7＝59.
(2)7×73×72=71＋3＋2=76.
(3) －x2 ?x3=－x2＋3＝－x5.
(4)(－c)3 ?(－c)m ＝(－c)3＋m.
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
计算下列各题：
(4) －a3 · (－a)2 · (－a)3.
(2) (a－b)3 · (b－a)4；
(3) (－3)×(－3)2 ×(－3)3；
(1) (2a＋b)2n＋1 · (2a＋b)3；
解：(1) (2a＋b)2n＋1 · (2a＋b)3 = (2a＋b)2n＋4.
(2) (a－b)3 · (b－a)4 = (a－b)7.
(3) (－3)×(－3)2 ×(－3)3 = 36.
(4) －a3 · (－a)2 · (－a)3 = a8.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
解题技巧
同底数幂的乘法法则既可以正用，也可以逆用. 当其逆用时am+n =am ? an .
(1)同底数幂的乘法法则对于三个同底数幂相乘同样适用．
即：am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)．
(2)同底数幂的乘法法则可逆用，
即am＋n＝am·an(m，n都是正整数)．
典例精析
DIAN LI JING XI
例4
利用同底数幂乘法公式化简
（1）已知an－3·a2n+1=a10恒成立,求n的值;
（2）已知xa=2,xb=3,求xa+b的值.
解：(1)n－3+2n+1=10,
n=4;
(2)xa+b=xa·xb=2×3=6.
典例精析
DIAN LI JING XI
例5
按照底数进行整理后计算
若(????????+1?????????2)(????2?????1????2????)=????5????3,求????+????的值.
?
解：
∵(????????+1?????????2)(????2?????1????2????)=????5????3,
∴????3????????3?????2=????5????3，
∴3????=5,3?????2=3,
解得????=????=53, ∴????+????=103.
?
典例精析
DIAN LI JING XI
例6
神威·太湖之光超级计算机是世界上首台每秒运算速度超过十亿亿次 ( 1017 次) 的超级计算机，它工作
103 s 可进行多少次运算？
解：可以运算的次数为
1017×103=1017+3=1020.
典例精析
DIAN LI JING XI
例7
23=8, 34=81
?
如果????=????????,那么我们规定(????,????)=????.例如，因为9=32,所以(3,9)=2.
(1)根据上述规定，填空：(2,8)= ， (3,81)= ;
(2)记(4,12)=????,(4,5)=????,(4,60)=????,试说明????+????=????;
?
解：
(2)∵(4,12)=????,(4,5)=????,(4,60)=????,
∴4????=12,4????=5,4????=60,
∴4?????4????=12×5=60=4????,
∴4?????4????=4????,∴????+????=????;
?
3 4
典例精析
DIAN LI JING XI
例7
如果????=????????,那么我们规定(????,????)=????.例如，因为9=32,所以(3,9)=2.
(1)根据上述规定，填空：(2,8)= ， (3,81)= ;
(2)记(4,12)=????,(4,5)=????,(4,60)=????,试说明????+????=????;
(3)若(????,16)+(????,5)=(????,????)(????>0且????≠1),求????的值.
?
解：(3)
设(????,16)=????,(????,5)=????,(????,????)=????(????>0且????≠1),
∴????????=16,????????=5,????????=????,
∴?????????????????=16×5=80,
∵(????,16)+(????,5)=(????,????)(????>0且????≠1),
∴????+????=????,
∴????????+????=?????????????????=????????,
∴????=80.
?
3 4
课堂小结
QING JING YIN RU
注意
底数相同时
底数不相同时
am·an=am+n (m,n都是正整数）
am·an·ap=am+n+p(m,n,p都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
同底数幂的乘法
法则
直接应用法则
常见变形：(－a)2=a2, (－a)3=－a3
先变成同底数,再应用法则
当堂练习
QING JING YIN RU
1.下列运算错误的是( )
A.
B.
C.
D.
C
2.a16可以写成(　　)
A.a2·a8 B.a8+a8
C.a4·a8 D.a8·a8
D
当堂练习
QING JING YIN RU
A
4.已知????为整数，且????=2????+3,????=3????+2,????=5????,则????,????,????的大小关系不可能是( )
A.????>????>???? ????.????>????>???? ????.????>????>???? ????.????>????>????
?
3.已知5=2????,10=2????,50=2????,则????,????,????之间满足的等量关系是( )
A.????+????=???? ????.????????=???? ????.?????????=???? ????.不能确定
?
B
5.U盘是USB闪存盘的简称，它可以方便地在不同设备间传输文件、照片、音乐等，实现数据共享，常见的U盘有：32GB,64GB,128GB等，若1GB=210MB,1MB=210KB,1KB=210B,则20GB的U盘的容量是（ ）
A.5×1032B ????.5×232B ????.240B ????.2×1040B
?
B
当堂练习
QING JING YIN RU
7.若a·a3·am＝a8，则m＝____.
4
9.按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x，y，z表示这列数中的连续三个数，猜想x，y，z满足的关系式是______．
xy＝z
6.若am＝3，an＝6，则am+n＝____.
18
8. = ;
????7
?
当堂练习
QING JING YIN RU
10. = ;
= ;
11. = ;
= ;
12. = ;
13. = ;
a10
107
x2n+3
xm+n-1
26
14.若 ，那么n= ；
6
(x-y)6
当堂练习
QING JING YIN RU
15. 计算：
(1) xn+1 · x2n =_______；
(2) (a-b)2 · (a-b)3 =_______；
(3) -a4 · (-a)2 =_______；
(4) y4 · y3 · y2 · y =_______.
x3n+1
(a - b)5
-a6
y10
16．某卫星绕地球飞行的速度是3.1×103米/秒，该卫星飞行5×102米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是???????? 米．（结果用科学记数法表示）
?
1.55×106
?
当堂练习
QING JING YIN RU
17.计算：
(1) (a + b)4 · (a + b)7；
(2) (y－x)2 · (y－x)5；
(3) (m－n)3 · (m－n)5 · (m－n)7.
解：(1) (a + b)4 · (a + b)7 = (a + b)4+7 =(a + b)11.
(3) (m－n)3 ·(m－n)5 ·(m－n)7
=(m－n)3+5+7 = (m－n)15.
(2) (y－x)2·(y－x)5 = (y－x)2+5
= (y－x)7.
当堂练习
QING JING YIN RU
（2）已知 an-3 · a2n+1 = a10，求 n 的值；
解：n - 3 + 2n + 1 = 10，
∴ n = 4.
18.（1）已知 xa = 8，xb = 9，求 xa+b 的值；
解：xa+b = xa · xb = 8×9 = 72.
（3）3×27×9 = 32x-4，求 x 的值.
解：3×27×9 = 3×33×32 = 32x-4，
∴ 2x - 4 = 6.
∴ x = 5.
当堂练习
QING JING YIN RU
19.若2????+2????+1?8=0,求4×2????+1+2????+4的值.
?
解：
∵2????+2?????1?8=0,
∴2????+2?????1=8，
∴4×2????+1+2????+4
=22×2????×2+2????+1×3
=8×2????+8×2????+1
=8×(2????+2????+1)
=8×8
=64