北师大版九年级上册数学课堂练习A B卷（含答案）

北师大版九年级上册数学月课堂练习试题
注意事项:
1.全卷分A 卷和B 卷,A 卷满分100 分,B 卷满分50 分;监测时间120 分钟。
2.考生使用答题卡作答。
3.在作答前,考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上。监测结束,监考
人员将试卷和答题卡一并收回。
4.选择题部分请使用2B 铅笔填涂;非选择题部分请使用0. 5 毫米黑色墨水签字笔书写,
字体工整、笔迹清楚。
5.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无
效;在草稿纸、试卷上答题无效。
6.保持答题卡面清洁,不得折叠、污染、破损等。
A卷(共100分)
一、选择题(本大题共8个小题,每小题 4 分,共 32 分，答案涂在答题卡上)
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
5. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形
6. 如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（　 ）
A. B.
C. D.
7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
8. 一个不透明的箱子里装有个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出的值为（ ）
A. 3 B. 5 C. 10 D. 12
二、填空题(本大题共5个小题,每小题 4 分,共 20 分，答案涂在答题卡上)
9. 若，则______．
10. 若点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为：___________（填“>”或“<”）．
11. 如图，，，，则______．
12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是___________．
13. 如图，平面直角坐标系中，一点光源位于，线段BC的两个端点坐标分别为与，则线段在x轴上的影子的长度为______．
三、解答题(本大题共5个小题,共 48 分，解答过程写在答题卡上)
14.（12分）
（1）计算： ； （2）解方程： ．
15. （8分）某厂有一批可降解的外卖餐盒准备出售，现从中随机抽取一部分外卖餐盒，根据这些餐盒的价格（单位：元）分别绘制了如图1，图2所示的扇形统计图和条形统计图，相同价格的餐盒除颜色外均相同．请根据相关信息，解答下列问题．
（1）随机抽取的外卖餐盒的数量为______个；图中的值为______；的值为______；
（2）在这组数据中，价格为2元的外卖餐盒颜色如下：2个白色，1个红色，1个黄色，现从这4个餐盒中随机抽取2个外卖餐盒，请利用画树状图的方法求抽到一个白色餐盒和一个红色餐盒的概率．
16. （8分）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．
（1）求的长；
（2）求灯泡到地面的高度．
17.（10分） 矩形中，连接，的平分线交于点E，交的延长线于点F，在线段上取点G，使．
（1）判断三角形的形状，并证明；
（2）若，，求及的长．
18. （10分）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上（点在点右侧），过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点，交于点，过点作轴交于点，连接．设点的横坐标为1，点的横坐标为．
（1）求点的坐标及直线的表达式（直线表达式用含的式子表示）；
（2）求证：四边形为矩形；
（3）若，求的值．
B卷(共50分)
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
19．（4分）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，过D作DP⊥BC于点P，则DP的长为　 　．
（第19题图） （第20题图） （第21题图）
20．（4分）如图，在边长为10的正方形ABCD中，内接有六个大小相同的正方形，点P，Q，M，N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为　 　．
21．（4分）如图，直线y＝x+n与y轴的正半轴交于点A，与双曲线y交点P，Q（点在第一象限内），过点Q作QB⊥x轴于点B，若，则n的值为　 　．
22．（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：
①△ABE≌△DCF；②；③DP2＝PH PB；④．
其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）
（第22题图） （第23题图）
23．（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，D为AB中点，E、F分别是BC、AC上的点（且E不与B、C重合），且EF⊥CD．若CE＝nBE，则的值是 　 　（用含n的式子表示）
五．解答题（共3小题，满分30分）
24．（8分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
25．（10分）如图，一次函数y＝k1x+5（k1＜0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y（k2＞0）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM＝1．
（1）求k2﹣k1的值；
（2）若，求反比例函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．
26．（12分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
（1）若AD是△ABC的一条中线（如图1），O是AD上一点，且满足，试判断O 　 　△ABC的重心（填“是”或者“不是”）；
（2）若O是△ABC的重心（如图2），连接AO并延长交于D．证明：；
（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3）令AG＝1，BG＝x，设y，请求出y与x的关系式．
2024 年 12 月 课堂练习答案
A 卷
选择题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D C D D C
填空题（共 5 小题，满分 20 分，每小题 4 分）
题号 9 10 11 12 13
答案 > 4
三、解答题(本大题共5个小题,共 48 分)
14.（12分）
（1）计算： ；
解：
——————————————————————————————（4分）
； ——————————————————————————————（6分）
（2）解方程： ．
解∵，，，——————————————————————————（1分）
∴，————————————————————————（3分）
∴，——————————————————————————————（5分）
解得：，．——————————————————————（6分）
15.（1）50；22；5； ————————————————————————————（3分 每空1分）
（2）画树状图为：
———————————————————————（5分）
共有12种等可能的结果，其中一个白色餐盒和一个红色餐盒的结果数为4，
所以抽到一个白色餐盒和一个红色餐盒的概率．—————————————————（8分）
16. 解：（1）由题意可得：，
则，
∴， ———————————————————————————————（2分）
∴，——————————————————————————————（3分）
解得：，
答：的长为；————————————————————————————（4分）
（2）解：∵，
∴，——————————————————————————（5分）
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，————————————————————————————————（7分）
∴，
解得：，——————————————————————————————（8分）
答：灯泡到地面的高度为．
17. （1）解：∵为的角平分线，
∴，————————————————————————————（1分）
∵四边形是矩形，
∴，
∴，————————————————————————————（2分）
∴，
∴是等腰三角形．——————————————————————————（4分）
（2）解：∵四边形是矩形，
∴∠B=90°，
又∵，，
∴在中，————————————————————（5分）
∴
∵，
∴———————————————————————————————（7分）
又∵，，
∴
∴
∴在中，．
∵，
∴——————————————————————————————（9分）
∴，
∴，
∴．——————————————————————————————————（10分）
18. （1）点，在反比例函数的图象上，点的横坐标为1，点的横坐标为，
，，——————————————————————————————（1分）
轴，轴，
，
轴，轴，
，
，
设直线的表达式为，则，
解得，
直线的表达式为；———————————————————————————（3分）
（2）在上，点的横坐标为．轴，
，
轴，
，
，，
，
四边形为矩形；————————————————————————————————（6分）
（3）四边形为矩形；
——————————————————————————————————————（7分）
——————————————————————（8分）
解得或或（舍）
点在点右侧，则，
———————————————————————————————————————（10分）
B卷
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
题号 19 20 21 22 23
答案 ①③④
五．解答题（共3小题，满分30分）
24．解：（1）根据题意得：
y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300， …………………………………………（2分）
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数； …………………………………………（3分）
（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520， …………………………………………（5分）
解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去） …………………………………………（6分）
当x＝2时，30+x＝32（元） …………………………………………（7分）
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．…………………………………（8分）
25．解：（1）如图1，∵MC⊥y轴于点C，且CM＝1，
∴M的横坐标为1， …………………………………………（1分）
当x＝1时，y＝k1+5，
∴M（1，k1+5），
∵M在反比例函数的图象上，
∴1×（k1+5）＝k2，
∴k2﹣k1＝5； …………………………………………（3分）
（2）如图1，过N作ND⊥y轴于D，
∴CM∥DN，
∴△ACM∽△ADN，
∴，
∵CM＝1，
∴DN＝4， …………………………………………（4分）
当x＝4时，y＝4k1+5，
∴N（4，4k1+5），
∴4（4k1+5）＝k2①，
由（1）得：k2﹣k1＝5，
∴k1＝k2﹣5②，
把②代入①得：4（4k2﹣20+5）＝k2，
k2＝4；
∴反比例函数的解析式：y； …………………………………………（6分）
（3）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；
如图2，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，
过Q作QH⊥x轴于H，
易得：△COP≌△PHQ，
∴CO＝PH，OP＝QH，
由（2）知：反比例函数的解析式：y；
当x＝1时，y＝4，
∴M（1，4），
∴OC＝PH＝4，
设P（x，0），
∴Q（x+4，x），
当点Q落在反比例函数的图象上时，
x（x+4）＝4，
x2+4x+4＝8，
x＝﹣2±，
当x＝﹣2+2时，x+4＝2+2，如图2，Q（2+2，﹣2+2）；
当x＝﹣2﹣2时，x+4＝2﹣2，如图3，Q（2﹣2，﹣2﹣2）；
如图4，CP＝PQ，∠CPQ＝90°，设P（x，0），
过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，
易得：△CPG≌△PQH，
∴PG＝QH＝4，CG＝PH＝x，
∴Q（x﹣4，﹣x），
同理得：﹣x（x﹣4）＝4，
解得：x1＝x2＝2，
∴Q（﹣2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）．……（10分）
26．解：（1）是； …………………………………………（2分）
（2）证明：如图2，连接CO并延长，交AB于点E．
∵点O是△ABC的重心，
∴CE是中线，点E是AB的中点．
∴DE是中位线，
∴DE∥AC，且DEAC． …………………………………………（3分）
∵DE∥AC，
∴△AOC∽△DOE，
∴2，
∴AO＝2OD， …………………………………………（4分）
∵AD＝AO+OD＝3OD，
∴； …………………………………………（6分）
（3）如图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE，
∵OF∥BC，
∴，
∴OFCDBC；
∵GE∥BC，
∴，
∴GE； …………………………………………（8分）
∵OF∥GE，
∴，
∴OHGH， …………………………………………（10分）
∴OG＝GH﹣OH，
∴， …………………………………………（11分）
∴y与x的关系式为：y． …………………………………………（12分）