2026年广西高三年级学业水平考试人教版《数学》复习课件：考点聚焦4-5 课件（共43张PPT）

2026年普通高中学业水平考试《数学》复习课件

考点聚焦
四、指数函数与对数函数
一、指数与指数函数
（1）(????????)????=????(????使????????有意义).
（2）当????是奇数时,????????????=????;
当????是偶数时,????????????=|????|=
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1.根式的性质
0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
（2）有理数指数幂的运算性质:
????????????????=????????+???? ,(???????? ) ????=???????????? ,(????????)???? =???????????????? ,其中 ????>0, ????>0, ????, ????∈????.
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2.分数指数幂
3.指数函数的图像与性质
（1）指数函数????= ????????(????>0,且 ????≠1)的图像和性质与 ???? 的取值有关,要特别注意分????>1与0 （2）需要熟记
如图所示是指数函数(1)????=????????,(2)????=????????,(3)????=????????,(4)????=????????的图像,则????>????>1>????>????>0.
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二、对数与对数函数
一般地,如果????????=????(????>0,且 ????≠1),那么数 ???? 叫做以 ???? 为底 ???? 的对数,记作????=log????????,其中 ???? 叫做对数的底数, ???? 叫做真数, ????>0.
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1.对数的概念
（1）对数的运算法则
如果????>0,且????≠1,????>0,????>0,那么
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2.对数的性质与运算法则
（1）对数的运算法则
如果????>0,且????≠1,????>0,????>0,那么
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2.对数的性质与运算法则
（2）对数的性质
①负数和零没有对数;
（3）对数的换底公式
3.对数函数的图像与性质
（1）当对数函数的底数 ???? 的大小不确定时,需分????>1和 0 （2）需要熟记
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②如图给出4个对数函数的图像,则 0?
三、函数的应用
（1）函数零点的定义
对于函数????=????(????)(????∈????),把使????(????)=0的实数 ???? 叫做函数????=????(????)(????∈????)的零点.
（2）三个等价关系
方程????(????)=0有实数根?函数????=????(????)的图像与 ???? 轴有交点?函数????=????(????)有零点.
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1.函数的零点
（3）函数的零点不是函数????=????(????)与????轴的交点,而是????=????(????)与 ???? 轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数.
（4）函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数????=????(????)在区间[????,????]上的图像是连续不断的一条曲线, 并且有????(????)?????(????)<0,那么,函数????=????(????)在区间(????,????)内有零点,即存在????∈(????,????),使得????(????)=0,这个 ???? 也就是方程????(????)=0的根.
（5）函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
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（6）有关函数零点的结论
①若连续不断的函数????(????)在定义域上是单调函数,则????(????)至多有一个零点.
②连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
③连续不断的函数图像通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
（7）利用函数零点的存在性定理:首先看函数????=????(????)在区间[????,????]上的图像是否连续,再看是否有????(????)?????(????)<0.若有,则函数????=????(????)在区间(????,????)内必有零点.
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（8）若函数????=????(????)在区间(????,????)内有零点,不要求一定有????(????)?????(????)<0.
（9）判断函数零点个数的方法
①直接求零点;
②零点存在性定理;
③数形结合法,利用图像交点个数,作出两函数图像,观察其交点个数即得零点个数.
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对于在区间[????,????]上图像连续不断且????(????)?????(????)<0的函数????=????(????),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
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2.二分法的定义
四、函数模型
常见的函数模型
五、三角函数
一、弧度制
（1）角度制和弧度制的互化:
（2）扇形的弧长公式:????=?????????,扇形的面积公式：
其中 ???? 是半径,????(0 （3）利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
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二、任意角的三角函数
所有与角 ???? 终边相同的角,连同角 ???? 在内,可构成一个集合????={????|????=????+2???????? , ????∈????} .
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1.终边相同的角
2.利用单位圆定义
任意角 ???? 的终边与单位圆交于点????(????,????)时,则sin????=????,cos????=????,tan????=????????(????≠0).
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3.利用角 ???? 终边上一点的坐标定义三角函数
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设 ???? 是一个任意角,它的终边上任意一点 ???? (不与原点O重合)的坐标为(????,????),?点??????与原点的距离为 ???? ,则
其中
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4.三个三角函数的性质
从上表中可以看出三角函数值在各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
5.考查三角函数定义的通常类型
（1）已知角 ???? 的终边上的一点 ???? 的坐标,求角 ???? 的三角函数值.
解题思路:先求出点 ???? 到原点的距离,再利用三角函数的定义求解.
（2）已知角 ???? 的一个三角函数值和终边上一点 ???? 的横坐标或纵坐标,求与角 ???? 有关的三角函数值.
解题思路:先求出点 ???? 到原点的距离(可用点 ???? 的坐标表示),根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程,求出未知数,从而求解问题.
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三、同角三角函数的基本关系
1.平方关系
2.商数关系
3.常见变形
4.方法技巧
（1）利用 sin2 ????+cos2 ????=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角 ???? 所在象限确定符号;利用 可以实现角 ???? 的弦切互化.
（2）形如 等类型可进行弦化切.
（3）注意公式的逆用及变形应用:1=sin2????+cos2????,sin2????=1?cos2α,cos2α=1?sin2α.
（4）应用公式时注意方程思想的应用:对于sin????+cos????,sin????cos????, sin?????cos????这三个式子,利用(sin????±cos????) 2 =1±2sin????cos????,可以知一求二.
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四、诱导公式
三角函数的诱导公式.
用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有????3?????与????6+????，????3+????与????6?????，????4+????与????4?????等,常见的互补关系有????6?????与5????6+????，????3+????与2????3?????，????4+????与3????4?????等.
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五、三角函数的图像与性质
（1）用五点法作正弦函数和余弦函数的简图.
①在正弦函数????=sin????,????∈[0,2????]的图像中,五个关键点是:(0,0),（????2,1),(????,0),（3????2,-1),(2????,0);
②在余弦函数????=cos????,????∈[0,2????]的图像中,五个关键点是：(0,1),(????2,0),(????,-1),(3????2,0),(2????,1).
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（2）正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中 ????∈????).
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（3）已知函数????(????)=????sin(????????+????)(????≠0,????≠0).
① ????(????) 为偶函数的充要条件是????= 2+????????(????∈????);
② ????(????) 为奇函数的充要条件是????=????????(????∈????).
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（4）简谐运动的有关概念.
（5）函数????=????sin(????????+????)和????=????????????????(????????+????)的周期均为2????|????|;函数????=????tan(????????+????)的周期为????|????|.
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（6）函数????=sin????的图像经变换得到????=????sin(????????+????)(????>0,????>0)的图像的两种途径.
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（7）注意:
①左加右减法则,????>0时向左平移,????<0 时向右平移;
②????=sin????????的图像向左平移????????个单位长度得到????=sin(????????+????)(????>0,????>0)的图像;
③函数????=sin(????????+????)的图像的对称轴是直线 ????=????????????+????2?????????????(????∈????),对称中心是点(?????????????????????,0)(????∈????).
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（8）求三角函数的值域(最值)的几种类型及解题思路.
①形如 ????=????sin ????+????cos ????+????的三角函数化为????=????sin(????????+????)+????的形式,再求值域(最值) ;
②形如 ????=????sin2 ????+????sin ????+????的三角函数,可先设 sin ????=????,化为关于 ???? 的二次函数求值域(最值);
③形如 ????=????sin ????cos ????+????(???????????? ????±cos ????)+????的三角函数,可先设 ????=sin ????±cos ????,化为关于 ???? 的二次函数求值域(最值).
（9）求函数????=????sin(????????+????)的单调区间时要注意 ???? 和 ???? 的符号,尽量化成????>0的形式,避免出现增减区间的混淆.
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六、三角恒等变换
1.两角和与差的余弦、正弦和正切公式
2.记忆技巧
（1）余弦公式:同名积,先余弦,符号相反.
（2）正弦公式:异名之积(正余余正),符号相同.
（3）正切公式:分子符号相同,分母相反.
3.二倍角公式
（1）基本公式:
（2）公式变形:
tan ???? tan ????,tan????+tan????(或tan ?????tan ????),tan(????+????)(或tan(?????????))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.
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4.辅助角公式
5.拆角常用技巧
感谢您的观看
202X/01/01