第2章 有理数及其运算 章末复习讲义（含解析）-数学七年级上册北师大版（2024）

中小学教育资源及组卷应用平台
第2章有理数及其运算章末复习讲义-数学七年级上册北师大版（2024）
一、单选题
1．华山是中国著名的五岳之一，冬季别有一番美景，冬季某日华山的气温是，那么这天的温差（最高气温与最低气温的差）是（ ）
A． B． C． D．
2．下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．
3．下列交换加数位置的变形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．小明设计了填数游戏，在如图所示的各个圆圈内填上适当的数，使每个圆圈内的数都等于与它相邻的两个圆圈内的数字之和．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：m的值为2；
结论Ⅱ：在圆圈a和圆圈b之间增加6个圆圈后，m的值不变
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
6．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式的计算结果是正数的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，，且，那么的值是（ ）
A．2或12 B．2或 C．或12 D．或
8．下列是甲、乙两位同学简便计算“”的方法，下列判断正确的是（ ）
甲同学：原式 乙同学：原式
A．只有甲的方法正确 B．只有乙的方法正确
C．甲、乙的方法都正确 D．甲、乙的方法都不正确
二、填空题
9．的倒数是 ，的绝对值是 ，相反数是本身的数是 ．
10．在数轴上点A表示数1，点B与点A相距3个单位，点B表示数是 ．
11．比较大小： ．（填“”或“”）
12．小明在一条东西向的跑道上先向东走了10米，又向西走了a米，规定向东为正，向西为负，这一过程在数轴上如图所示，则a的值是 ．
13．已知m的相反数是，n的倒数是，则的绝对值为 ．
14．“点”游戏是一种益智游戏，要求玩家将4个给定的有理数进行加、减、乘、除四则混合运算（允许使用括号，每个数必须使用，且只能使用一次）使最后的结果是．如，，，，可以用算式表示为，如果四个有理数是，，，，请运用上述规则，使其结果为，这个算式可以是 ．
15．某同学在计算时，误将－看成了，从而算得结果是，请你算出正确结果 ．
16．已知x，a，b为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为 ．
三、解答题
17．把下列各数按从小到大的顺序排列，并用“”连接：
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．网约车司机李师傅某天下午的行车路线全在东西走向的一条公路上，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，，．
(1)李师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的地点多远？
(2)李师傅这天下午共行驶了多少千米？
20．设表示取的整数部分，例如：，，．
(1)求的值；
(2)令，求．
21．出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“”，向北记作“”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客），，，，，请回答：
(1)小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出发地的什么方向？距下午出发地多远？
(2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内(含3千米)只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王的出租车每千米耗油升，每升汽油6元．不计汽车的损耗，那么小王这天下午盈利（或亏损）多少钱？
22．阅读材料，并回答问题．
钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法，例如：现在是10时，4小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是2时，如果用符号“”表示钟表上的加法，则．若问3时之前5小时是几时，就得到钟表上的减法概念，用符号“”表示钟表上的减法．（注：此处用0时代替12时）
根据上述材料解决下列问题：
(1)______；______．
(2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则5的相反数是______，有理数减法法则“减去一个数，等于加上这个数的相反数”在钟表运算中是否仍然成立？你能举例说明吗？
(3)规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字a，b，c，若，判断是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，举出一组反例，并结合反例加以说明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C C D C C
1．B
【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，解题的关键是依据题意正确地列出算式．
利用有理数的减法即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：．
∴这天的温差（最高气温与最低气温的差）是．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正有理数负有理数，两个负有理数绝对值大的反而小．据此判断即可．
【详解】解：，
最小的数是，
故选：A．
3．D
【分析】本题主要考查有理数加法的运算律，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，掌握加法的运算律是解题的关键．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查数轴的定义，绝对值运算，掌握数轴的应以是解题的关键．
先根据a、b两点在数轴上的位置确定出其符号及大小，再进行解答即可．
【详解】解：由题可知：，且，
∴，，，．
故选C．
5．C
【分析】本题主要考查了有理数的加法与减法运算，读懂题意并准确列出算式是解题的关键．
根据题意，求出b，m的值，即可求解．
【详解】解：∵每个圆圈内的数都等于与它相邻的两个圆圈内的数字之和，
∴，故结论Ⅰ正确；
根据题意得：在圆圈a和圆圈b之间增加6个圆圈，圆圈内的数依次为，
此时m的值仍然为2，不变，故结论Ⅱ正确；
故选：C
6．D
【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，以及有理数的加法和除法法则，数形结合是解答本题的关键．根据有理数的减法法则可判断A，B，D，根据有理数的除法法则可判断C．
【详解】解：A．∵，∴，故不符合题意；
B．∵，∴，故不符合题意；
C．∵，∴，故不符合题意；
D．∵，∴，故符合题意；
故选D．
7．C
【分析】本题主要考查有理数的减法，绝对值的意义，首先依据绝对值的定义求出、，然后结合条件，进行分类计算即可，解题的关键是熟练掌握有理数减法运算及分类讨论思想．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，，则；
，，则；
故选：．
8．C
【分析】本题主要查了有理数的乘法运算律．根据有理数的乘法运算律计算即可．
【详解】解：方法一： 原式
；
方法二：原式
所以甲、乙的方法都正确．
故选：C
9． 0
【分析】本题考查了倒数、绝对值、相反数，先把化为假分数，再结合倒数的定义作答、的绝对值是，进行作答即可；只有0的相反数是本身，据此即可作答．
【详解】解：∵
∴的倒数是
则的绝对值是；
相反数是本身的数是0
故答案为：，，0
10．或4
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，分两种情况考虑．分点B在点A的左侧和右侧两种情况即可完成．
【详解】当点B在点A的左侧时，此时点B表示的数是；当点B在点A的右侧时，此时点B表示的数是4；
故点B表示数是或4；
故答案为：或4
11．
【分析】本题主要查了有理数的大小比较，绝对值的化简．把两个数分别化简，即可求解．
【详解】解：∵，，且，
∴．
故答案为：
12．50
【分析】本题主要查了有理数的减法．根据有理数的减法法则解答，即可求解．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：50
13．
【分析】本题主要考查相反数和倒数，绝对值的计算，熟练掌握相反数和倒数的定义是解题的关键．根据相反数和倒数的定义求出的值再计算出绝对值即可．
【详解】解： m的相反数是，n的倒数是，
．
故答案为：．
14．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算可进行求解．
【详解】解：由题意可得这个算式可以是；
故答案为（答案不唯一）．
15．
【分析】本题考查了有理数的加减运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据有理数的加减法法则计算得，再代入进行计算即可．
【详解】解：依题意，，
∴，
则．
故答案为：．
16．2024
【分析】本题主要考查绝对值，求解代数式的值．熟练掌握在数轴上绝对值的几何意义，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．
由数轴上表示的几何意义，求出的值，即可得到答案．
【详解】∵表示数轴上点x到点a和点b的距离的和，且，
∴当时，这个距离和最小，
∴，
∴．
故答案为：2024．
17．
【分析】本题主要考查有理数的比较大小，绝对值，乘方的运算，根据有理数的运算及性质化简，再根据有理数比较大小的方法“正数大于负数，正数大于零，零大于负数”即可求解．
【详解】解：，，，，
∴．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可；
（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可；
（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可；
（）根据有理数的乘除运算法则进行计算即可；
本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
19．(1)距离下午出车时的地点37千米
(2)共行驶了77千米
【分析】此题主要考查正负数的意义、求绝对值、有理数加减运算的实际应用，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性．
（1）把所有行车里程相加，再根据正数和负数的意义解答；
（2）求出所有行车里程的绝对值的和即可．
【详解】（1）（千米）．
答：李师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的地点37千米．
（2）
（千米）．
答：李师傅这天下午共行驶了77千米．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）根据题中的新定义化简，计算即可求出值；
（2）根据题中的新定义化简，计算即可求出值．
【详解】（1）解：根据题意得：原式；
（2）解：根据题意得：
，
，
，
∴ 原式．
21．(1)小王在下午出车的出发地的正南方向，距下午出车的出发地2千米
(2)小王这天下午盈利，盈利元
【分析】此题主要考查正负数的运用，有理数加法的运用，理解正负数的意义是解题的关键．
（1）根据题意计算行车情况的和进行判断即可；
（2）根据题意求出小王这天下午收到乘客所给车费，再算出总里程求出所耗油的费用与收入进行比较即可．
【详解】（1）解：，
∴小王在下午出车的出发地的正南方向，距下午出车的出发地2千米；
（2）解：
元，
∴小王这天下午收到乘客所给车费共70元，
小王这天下午行驶的距离为：
，
∴小王这天下午的油费为：
元，
元，
∴小王这天下午盈利，盈利元．
22．(1)3，10
(2)7， 有理数减法法则在钟表运算中仍然成立，理由见解析；
(3)不一定成立，理由见解析
【分析】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算法则进行求解．
（1）根据钟表的定义及钟表上的加减法定义即可求解；
（2）根据钟表运算中相反数的定义即可求解，再举例即可验证有理数减法法则在钟表运算中是否仍然成立；
（3）根据钟表运算的定义举出反例即可验证．
【详解】（1）表示9点钟再过去6小时，故为小时，即为3时；
表示3点钟之前5小时，故为小时，即为10时；
（2）在钟表运算中相反数的定义为相加为12时，
故钟表中，5的相反数是，
有理数减法法则在钟表运算中仍然成立．
举例如下：
∵，，
∴．
即减去一个数等于加上这个数的相反数；
（3）不一定成立，
一组反例如下：
取，，．
∵，，，
∴当时，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)