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第1章空间向量与立体几何章末测试-2025-2026学年高二数学上学期人教版A版2019选择性必修第一册
一、选择题
1.已知为空间的一组基底,能与组成基底的向量是( )
A. B. C. D.
2.如图所示,在平行六面体中,为与的交点.若,则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
3.若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A. B.
C. D.
4.已知直线经过点,且是的方向向量,则点到的距离为( )
A. B. C. D.
5.如图,平面平面,四边形为正方形,四边形为菱形,,则直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.在平行六面体中,若直线与的交点为.设,,,则下列向量中与共线的向量是( )
A. B.
C. D.
7.如图,在平行六面体中,,,则的长为( )
A. B.
C. D.
8.已知正四面体的棱长为1,动点在平面上运动,且满足,则的值为( )
A. B. C.0 D.2
二、多项选择题
9.下列说法正确的是( )
A.若空间中的,满足,则三点共线
B.空间中三个向量,若,则共面
C.对空间任意一点和不共线的三点,若,则四点共面
D.设是空间的一组基底,若,则不能为空间的一组基底
10.如图,棱长均为2的正三棱柱中,分别是的中点,则( )
A.平面
B.
C.到平面的距离为
D.直线与所成角的余弦值为
11.下列命题中,正确的是( )
A.两条不重合直线的方向向量分别是,则
B.直线的方向向量,平面的法向量,则
C.两个不同的平面的法向量分别是,则
D.直线的方向向量,平面的法向量,则直线与平面所成角的大小为
三、填空题
12.如图,正四面体的长为1,,则 .
13.如图所示,二面角为,是棱上的两点,分别在半平面内,且,,,,,则的长 .
14.在三棱锥中,与中点分别为,点为中点.若在上满足,在上满足,平面交于点,且,则 .
四、解答题
15.已知直三棱柱中,,分别为和的中点,P为棱上的动点,F为棱上一点,且四点共面.若
(1)证明:平面平面;
(2)设是否存在实数λ,使得平面与平面所成的角的余弦值为若存在,求出实数λ,若不存在,请说明理由.
16.如图,三棱锥中,,.异面直线和所成角的余弦值为,点是线段上的一个动点.
(1)证明:平面平面;
(2)若二面角的正弦值为,求.
17.如图,四棱锥中,平面平面,为棱上一点.
(1)证明:;
(2)若平面,求直线与平面所成角的正弦值.
18.如图,在直三棱柱中,.
(1)证明:平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19.如图1,在直角梯形中,,,,,为的中点.将沿翻折,使点到点的位置,且,得到如图2所示的四棱锥,若为的中点,是棱上动点.
(1)当为的中点时.
①求证:平面平面;
②求直线与平面所成角的正弦值.
(2)若,求二面角的正弦值的取值范围.
答案解析部分
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】A,B,C
10.【答案】B,C,D
11.【答案】A,C,D
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】(1)证明:因为平面平面,所以平面.
因为平面,平面平面,所以.
因为为的中点,故为的中点.在正方形,因为,
故.所以.因为,故,故.
因为,故平面,所以平面.
因为平面,所以平面平面.
(2)解:因为三棱柱为直三棱柱,故.因为平面,
所以平面,平面,所以,故.
又因为平面,故以A为原点,分别为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设则,
.
据题设有,显然,此时.
设为平面的法向量,则.
则,令,从而.
显然,平面的法向量可取.
此时平面与平面所成的角的余弦值为,
故,即,解得,
所以存在,使得平面与平面所成的角的余弦值为.
16.【答案】(1)证明:法一:(几何法)如图,取中点,
由,得,
作,,
则四边形为菱形,且,
连接,,,
则,
所以
∵异面直线与所成角的余弦值为,
∴,
当时,
则,
此时,不能构成,舍去,
则,
所以
∵,,
∴为直角三角形,
故,
∴,
所以,
∵,,平面,
∴平面,
∵平面,
∴平面平面.
法二:(基底法)如图,取中点,
由,,
得,,
故二面角的平面角为,
由题意,得,,
设,,,.
则,,,
,,
则
∵,
∴,
∴或(舍去),
∴,此时,平面平面.
(2)解:如图,以,,分别为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,
则,,,,
∴,,,
设,,
则,
∴,得,
故.
设平面的法向量,
则
令,得,,
则,
设平面的法向量为,
则
令,则,
所以,
设二面角的平面角为,
则
得或(舍),
所以,
∴,
则.
17.【答案】(1)证明:取中点,连接,
,
平面平面,平面平面平面,
平面,
平面,
,
,
,
则,
又因为平面平面,
平面.
(2)解:连接,设,连接,
平面平面,平面平面,
,易知,
取中点,连接,
则两两互相垂直,
分别以为轴,轴,轴建立如图所示空间直角坐标系,
则,
,
,
,
设平面的一个法向量,
则
所以
令,则,
设直线与平面所成角为,
则,
所以,直线与平面所成角的.正弦值为.
18.【答案】(1)证明: 在直三棱柱中,面,因为面,所以,
又因为,,面,所以面,
又因为面,所以,
又因为,所以四边形是正方形,所以,
又因为,面,所以平面;
(2)解:以为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示:
,
则,,
,,,
设直线与平面所成角为,平面的法向量为,
则,令,则,即平面的法向量为,
则,
直线与平面所成角的正弦值为.
19.【答案】(1)①证明见解析;②;①证明:由题可设,易知是边长为4的正方形,且,,
由都在平面内,则平面,平面,
所以,又,都在平面内,则平面,
由平面,则,又,为的中点,则,
由都在平面内,则平面,平面,
所以平面平面.
②解:由平面,平面,则,且
同理可得,则,故,
由,
若到平面的距离为,则,可得,而,
所以直线与平面所成角的正弦值.
(2)法一:解:由,且,则,
所以,,,
所以,
故,故到的距离,
又到平面的距离,则二面角的正弦值,
又,则;
法二:解:由题设,构建如下图示空间直角坐标系,则,
所以,若是平面的一个法向量,
所以,令,则,
而平面的一个法向量为,则,
而,则,故,
所以,故二面角的正弦值范围.
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