课件15张PPT。24.1.2 垂直于弦的直径问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.问题情境你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 实践探究如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE解答：（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴弧：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合， 重合， 重合．（2） 线段： AE=BE因此 AE=BE
即 直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分 及·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．归纳垂径定理：推论：几何语言表述判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 解决求赵州桥拱半径的问题如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．实践应用解得：R≈27．9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即 R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2计算如下1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt △ AOE 中 练一练2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又 ∵AC=AB∴ AE=AD∴ 四边形ADOE为正方形.某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO提高练习课后小结1. 垂径定理2. 垂径定理的推论3. 垂径定理的应用1、习题24.1
7、8 ；
2、练习册上的相关内容．作业布置：课题：垂直于弦的直径
【学习目标】
1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．
2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题．
【学习重点】
垂径定理、推论及其应用．
【学习难点】
发现并证明垂径定理．
情景导入 生成问题
1．请同学们把手中圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？
答：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2．请同学们再把手中圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？
答：折痕是圆的一条弦，直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
自学互研 生成能力
阅读教材P81，完成下面的内容：
根据教材P81探究及其证明过程可知通过证明△OAA′是等腰三角形，再由AA′⊥CD，即可得出AM＝MA′.即CD是AA′的垂直平分线，从而得出圆是轴对称图形．
归纳：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
阅读教材P81～P82上面的文字，完成下面的内容：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
用几何语言表示：
如图，∵在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于点E.
∴EA＝EB，＝，＝．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
用几何语言表示：
如图，∵在⊙O中，CD是直径，若AE＝EB.
∴CD⊥AB，＝，＝．
范例：如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？
解：连接OA
∵CD⊥AB，且CD过圆心O，
∴AD＝AB＝1米，∠CDA＝90°
在Rt△OAD中，设⊙O的半径为R，则
OA＝OC＝R，OD＝5－R.
由勾股定理，得：OA2＝AD2＋OD2，即
R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.
故圆拱形门所在圆的半径为2.6米．
变例：如图，D、E分别为弧、的中点，DE交AB、AC于M、N.求证：AM＝AN.
证明：连接OD、OE分别交AB、AC于点F、G.
∵D、E分别为弧、的中点，
∴∠DFM＝∠EGN＝90°.
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠E.
∴∠DMB＝∠ENC.
而∠DMB＝∠1，∠ENC＝∠2，
于是∠1＝∠2，故AM＝AN.
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 圆的轴对称性
知识模块二 垂径定理及其推论
当堂检测 达成目标
【当堂检测】
1．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为( D )
A．4 B．8 C．2 D．4
(第1题图) (第2题图) (第3题图)
2．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°，则弦AB的长为4．
3．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为5cm．
4．如图，⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF＝DF.
∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE＋EB＝2＋6＝8.
∴OA＝4，∴OE＝OA－AE＝4－2＝2.
在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，
∴OF＝OE＝1.
在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，
根据勾股定理得：DF＝＝，
则CD＝2DF＝2.
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
