25.1随机事件与概率
【知识点1】随机事件 1
【知识点2】可能性的大小 1
【知识点3】概率公式 2
【知识点4】概率的意义 2
【知识点5】几何概率 2
【题型1】简单事件的概率 3
【题型2】确定事件 5
【题型3】事件发生的可能性大小 8
【题型4】不可能事件 10
【题型5】必然事件 13
【题型6】与几何图形有关的概率 16
【题型7】随机事件 18
【知识点1】随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
【知识点2】可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
【知识点3】概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．
【知识点4】概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
【知识点5】几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P=g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
【题型1】简单事件的概率
【典型例题】第33届夏季奥运会将于2024年7月26日——8月11日在法国巴黎举行，如图的五张卡片（除正面图案外完全相同）分别印有巴黎奥运会的项目图标：篮球、跳水、赛跑、骑行和花样游泳，其中跳水和花样游泳是水上项目，现将五张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，抽到卡片上的图标恰好是水上项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵共5张卡片，其中水上项目有：跳水和花样游泳共2个，
∴，所以共有5种等可能结果，其中跳水和花样游泳结果数共有2个，
∴打乱后随机抽取一张，抽到卡片上的图标恰好是水上项目的概率是，
故选：D．
【举一反三1】正十二面体是五个柏拉图立 体之一，属准晶体,结晶学全称为正五角十二面体， 共有二十个顶点、三十条边和十二个面，每一个面皆是正五边形.如图1所示的是一个正十二面体的日历，如图2所示的是小贤根据图1设计的一枚质地均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”,3个面标有“4”,其余的面标有“3”或“5”,将这枚骰子随机掷出后，“4”朝上的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】标有“4”的面数为3，共有12个面，故标有“4”的数朝上的可能性为=.
【举一反三2】布袋中装有3个红球和4个白球，它们除颜色外其佘都相同，如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是_____．
【答案】
【解析】所摸到的球恰好为红球的概率是，
故答案为：．
【举一反三3】在一个不透明的袋子中装有20个蓝色小球、若干个红色小球和10个黄色小球，这些球除颜色不同外其余均相同，小李通过多次摸取小球试验后发现，;取到红色小球的频率稳定在0.4左右，若小明在袋子中随机摸取一个小球，则摸到黄色小球的 概率为__________.
【答案】
【解析】设袋子中红色小球有x个，
根据题意,得．
解得x = 20,
经检验x=20是分式方程的解,
则在袋子中随机摸取一个小球，摸到黄色小球的概率
【举一反三4】有一个质地均匀的正十二面体，十二个面上分别写有1-12这十二个整数，投掷这个正十二面体一次，求下列事件的概率：
（1）向上一面的数字是2或3的倍数.
（2）向上一面的数字是2的倍数或3的倍数.
【答案】解：这个正十二面体共有12个等可能结果，它们是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
（1）P（数字是3或2）==；
（2）P（3的倍数或2的倍数）==．
【举一反三5】青岚怪臼谷国家地质公园坐落于广东省潮州市饶平县樟溪镇，是以流水侵蚀地貌、花岗岩地貌为主体，兼火山岩和地质构造等要素构成的综合性地质公园．某地质大学为增长学生们的见识，特购买了1500张青岚怪臼谷国家地质公园门票发放给学生作为福利，采取随机抽取的方式来确定1500名幸运学生，且每名学生只有一次机会，已知该地质大学有33125名学生．
（1）该地质大学某位学生恰能成为幸运学生的概率是 ．
（2）该地质大学学生强烈呼吁门票太少，要求每人成为幸运学生的概率要达到8%，则学校还要购买多少张门票？
【答案】解：（1）该地质大学某位学生恰能成为幸运学生的概率是＝．
故答案为：；
（2）设学校还要购买x张门票，
则%，
解得x＝1150，
答：学校还要购买1150张门票．
【题型2】确定事件
【典型例题】下列事件中，不确定事件是( )
A.在空气中，汽油遇上火就燃烧
B.向上用力抛石头，石头落地
C.下星期六是晴天
D.任何数和零相乘，积仍为零
【答案】C
【解析】A、B、D都是确定性事件 ．只有C可能发生也可能不发生，是不确定事件；故选C．
【举一反三1】下列事件中，是确定事件的是( )
A.度量三角形的内角和，结果是180°
B.买一张电影票，座位号是奇数
C.打开电视机，它正在播放花样滑冰
D.明天晚上会看到月亮
【答案】A
【解析】A.度量三角形的内角和，结果是180°是必然事件；
B.买一张电影票，座位号是奇数是随机事件；
C.打开电视机，它正在播放花样滑冰是随机事件；
D.明天晚上会看到月亮是随机事件；
故选：A．
【举一反三2】下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（ ）
A.十拿九稳 B.守株待兔 C.水中捞月 D.一箭双雕
【答案】C
【解析】解：A、十拿九稳，是随机事件，不符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
C、水中捞月，是不可能事件，属于确定事件，符合题意；
D、一箭双雕，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
【举一反三3】下列事件为确定事件的是（ ）
A.抬头会看到飞机
B.抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上
C.射击运动员射击一次命中靶心
D.长度分别是4，6，8的三条线段能围成三角形
【答案】D
【解析】解：A、抬头会看到飞机，是随机事件，不符合题意；
B、抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上，是随机事件，不符合题意；
C、射击运动员射击一次命中靶心，是随机事件，不符合题意；
D、长度分别是4，6，8的三条线段能围成三角形，是必然事件，属于确定事件，符合题意；
故选：D．
【举一反三4】下列事件中，属于不确定事件的是( )
A.用长度分别是2cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
B.角平分线上的点到角两边的距离相等
C.如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等
D.三角形一边上的高线与这条边上的中线互相重合
【答案】D
【解析】A．用长度分别是2cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形是不可能事件，属于确定事件；
B．角平分线上的点到角两边的距离相等是确定性事件 ，属于确定事件；
C．如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等是确定性事件 ，属于确定事件；
D．三角形一边上的高线与这条边上的中线互相重合是随机事件，属于不确定事件．
【举一反三5】下列事件：
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；
②三条线段组成一个三角形；
③a是实数，则|a|＜0；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；
⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖．
其中属于确定事件的是 ．（填序号）
【答案】③⑤
【解析】解：①②④⑥是随机事件；
③是不可能事件，是确定事件；
⑤是必然事件，是确定事件．
故答案为：③⑤．
【举一反三6】下列事件:①太阳从东方升起;②三条线段组成一个三角形;③|a|<0(a是实数);④购买一张大乐透彩票,中大奖500万.其中确定性事件是 (填写序号).
【答案】①③
【解析】易错点:易把确定性事件与必然事件混淆.
∵①是必然事件;②是随机事件;③是不可能事件;④是随机事件,
∴确定性事件是①③.
【举一反三7】下列事件：
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；
②三条线段组成一个三角形；
③a是实数，则|a|＜0；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；
⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖．
其中属于确定事件的是 ．（填序号）
【答案】③⑤
【解析】解：①②④⑥是随机事件；
③是不可能事件，是确定事件；
⑤是必然事件，是确定事件．
故答案为：③⑤．
【题型3】事件发生的可能性大小
【典型例题】《秋月》有四句古诗如下：
①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠；
③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里
这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：这首诗四句随机排列的顺序共有24种情况：①②③④，①②④③，①③②④，①③④②，①④②③，①④②③，②①④③，②①③④，②③①④，②③④①，②④③①，②④①③，③①②④，③①④②，③②①④，③②④①，③④①②，③④②①，④①②③，④①③②，④②①③，④②③①，④③①②，④③②①因为这24种情况出现的可能性大小相等，正确的顺序只有一种③①④②，
故第一次就调整正确的可能性大小是．
故答案选：C．
【举一反三1】分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、石子落在阴影部分的可能性为；
B、石子落在阴影部分的可能性为；
C、石子落在阴影部分的可能性为；
D、石子落在阴影部分的可能性为；
∵最小的为，
故选：A．
【举一反三2】在50件同种产品中，有5件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是 ．
【答案】
【解析】解：取出次品的可能性大小是＝．
故答案为：．
【举一反三3】口袋里有除颜色外其它都相同的6个红球和4个白球．
(1)先从袋子里取出m(m≥1)个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．
①如果事件A是必然事件，请直接写出m的值．
②如果事件A是随机事件，请直接写出m的值．
(2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值．
【答案】解 (1)①如果事件A是必然事件，m＝4；
②如果事件A是随机事件，m＝1或2或3；
(2)根据题意得：
＝，
解得：m＝2，
则m的值是2．
【题型4】不可能事件
【典型例题】“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”，端午节吃粽子是我国的传统习俗．小明妈妈在超市购买了红豆粽和蜜枣粽共5个（大小和外包装都相同），其中有3个红豆粽，2个蜜枣粽，从中随机拿出3个粽子，下列事件是不可能事件的是（ ）
A.拿出的3个粽子都是红豆粽
B.拿出的3个粽子中有1个是蜜枣粽、2个是红豆粽
C.拿出的3个粽子都是蜜枣粽
D.拿出的3个粽子中有2个是蜜枣粽、1个是红豆粽
【答案】C
【解析】解：“拿出的3个粽子都是红豆粽”是随机事件，则A不符合题意；
“拿出的3个粽子中有1个是蜜枣粽、2个是红豆粽”是随机事件，则B不符合题意；
“拿出的3个粽子都是蜜枣粽”是不可能事件，则C符合题意；
“拿出的3个粽子中有2个是蜜枣粽、1个是红豆粽”是随机事件，则D不符合题意；
故选：C．
【举一反三1】如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是不可能事件的是（ ）
A.只闭合1个开关 B.只闭合2个开关 C.只闭合3个开关 D.闭合4个开关
【答案】A
【解析】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，符合题意；
B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，不符合题意；
C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】用长为1cm，2cm，3cm的三条线段围成三角形的事件是( )
A.随机事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.以上说法都不对
【答案】C
【解析】∵1cm+2cm＝3cm，
∴用长为1cm，2cm，3cm的三条线段不能围成三角形，
∴用长为1cm，2cm，3cm的三条线段围成三角形是不可能事件．
故选：C．
【举一反三3】下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A.3天内将下雨 B.打开电视，正在播新闻 C.买一张电影票，座位号是偶数 D.明天太阳从西方升起
【答案】D
【解析】解：A、3天内将下雨是随机事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播新闻是随机事件，不符合题意；
C、买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，不符合题意；
D、明天太阳从西方升起是不可能事件，符合题意；
故选：D．
【举一反三4】“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”，端午节吃粽子是我国的传统习俗．小明妈妈在超市购买了红豆粽和蜜枣粽共5个（大小和外包装都相同），其中有3个红豆粽，2个蜜枣粽，从中随机拿出3个粽子，下列事件是不可能事件的是（ ）
A.拿出的3个粽子都是红豆粽
B.拿出的3个粽子中有1个是蜜枣粽、2个是红豆粽
C.拿出的3个粽子都是蜜枣粽
D.拿出的3个粽子中有2个是蜜枣粽、1个是红豆粽
【答案】C
【解析】解：“拿出的3个粽子都是红豆粽”是随机事件，则A不符合题意；
“拿出的3个粽子中有1个是蜜枣粽、2个是红豆粽”是随机事件，则B不符合题意；
“拿出的3个粽子都是蜜枣粽”是不可能事件，则C符合题意；
“拿出的3个粽子中有2个是蜜枣粽、1个是红豆粽”是随机事件，则D不符合题意；
故选：C．
【举一反三5】“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 ．(填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”)
【答案】不可能事件
【解析】∵袋子中3个小球的标号分别为1、2、3，没有标号为4的球，
∴从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
【举一反三6】袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件：①摸出的三个球中至少有一个球是黑球；②摸出的三个球都是白球；③摸出的三个球都是黑球；④摸出的三个球中有两个球是白球．其中是不可能事件的为 (填序号)．
【答案】②
【解析】①摸出的三个球中至少有一个球是黑球是必然事件；
②摸出的三个球都是白球是不可能事件；
③摸出的三个球都是黑球是随机事件；
④摸出的三个球中有两个球是白球是随机事件，
故选：②．
【举一反三7】“明天的太阳从西方升起”这个事件属于 事件．(填“必然”“不可能”或“不确定”)．
【答案】不可能
【解析】“明天的太阳从西方升起”这个事件是一定不可能发生的,因而是不可能事件．
【举一反三8】袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件：①摸出的三个球中至少有一个球是黑球；②摸出的三个球都是白球；③摸出的三个球都是黑球；④摸出的三个球中有两个球是白球．其中是不可能事件的为 (填序号)．
【答案】②
【解析】①摸出的三个球中至少有一个球是黑球是必然事件；
②摸出的三个球都是白球是不可能事件；
③摸出的三个球都是黑球是随机事件；
④摸出的三个球中有两个球是白球是随机事件，
故选：②．
【题型5】必然事件
【典型例题】下列事件是必然事件的是（ ）
A.抛出的篮球会下落
B.抛掷一个均匀硬币，正面朝上
C.打开电视机，正在播广告
D.买一张电影票，座位号是奇数号
【答案】A
【解析】解：A、抛出的篮球会下落，是必然事件，故此选项符合题意；
B、抛掷一个均匀硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意；
C、打开电视机，正在播广告，是随机事件，不合题意；
D、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，不合题意；
故选：A．
【举一反三1】下列事件中,是必然事件的是( )
A.射击运动员射击一次,命中靶心
B.掷一次骰子,向上一面的点数是6
C.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
D.从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球
【答案】D
【解析】A可能发生也可能不发生,是随机事件;
B可能发生也可能不发生,是随机事件;
C可能发生也可能不发生,是随机事件;
D必然会发生,是必然事件.
【举一反三2】一只不透明的袋子中装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )
A.至少有1个球是黑球
B.至少有1个球是白球
C.至少有2个球是黑球
D.至少有2个球是白球
【答案】A
【解析】袋子中装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球必然至少有一个是黑球A符合题意；摸出的3个球可能全都是黑球故B不合题意；摸出的3个球可能有2个白球1个黑球故C不合题意；摸出的3个球可能全都是黑球故D不合题意．
【举一反三3】下列事件中,是必然事件的是( )
A.射击运动员射击一次,命中靶心
B.掷一次骰子,向上一面的点数是6
C.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
D.从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球
【答案】D
【解析】A可能发生也可能不发生,是随机事件;
B可能发生也可能不发生,是随机事件;
C可能发生也可能不发生,是随机事件;
D必然会发生,是必然事件.
【举一反三4】在下列事件中，必然事件是（ ）
A.掷一次骰子，向上一面的点数是3
B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【解析】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．
故选：D．
【举一反三5】下列成语描述的事件：①水中捞月，②水涨船高，③守株待兔，④瓮中捉鳖，⑤拔苗助长，属于必然事件的是 （填序号）．
【答案】②④
【解析】解：①水中捞月，是不可能事件；
②水涨船高，是必然事件；
③守株待兔，是随机事件；
④瓮中捉鳖，是必然事件；
⑤拔苗助长，是不可能事件；
所以，上列成语描述的事件，属于必然事件的是②④，
故答案为：②④．
【举一反三6】下列事件中哪些事件是必然事件？
（1）在一个装只有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球．
（2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地．
（3）在标准大气压下，气温为2摄氏度时，冰能熔化成水．
（4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交．
（5）某运动员跳高最好成绩是10.1米．
（6）从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品．
必然事件有 （填序号）
【答案】（3）
【解析】解：（1）在一个装只有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件；
（2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地，是不确定事件；
（3）在标准大气压下，气温为2摄氏度时，冰能熔化成水，是必然事件；
（4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，是不确定事件；
（5）某运动员跳高最好成绩是10.1米，是不可能事件；
（6）从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品，是不确定事件；
则必然事件有（3）；
故答案为：（3）．
【举一反三7】写出一个成语所描述的事件是必然事件： ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：描述的事件是必然事件的成语是：瓮中捉鳖．
【举一反三8】一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的5粒黑色棋子和14粒白色棋子，从中任意摸出a粒摸子，若白色棋子被抽到是必然事件，则a的最小值是 ．
【答案】6
【解析】∵有5粒黑色棋子和14粒白色棋子，
∴白色棋子被抽到是必然事件时，5＜a≤19，
∴a的最小值是6．
故答案为：6．
【题型6】与几何图形有关的概率
【典型例题】如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，
则小球停留在阴影区域的概率是，
故选：B．
【举一反三1】如图，一个圆内接于一个正六边形，若随机向正六边形内部投掷一粒大米，则大米落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：设正六边形的面积为a，
则阴影部分面积为，
∴大米落在阴影部分的概率是＝．
故选：B．
【举一反三2】如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________．
【答案】
【解析】黑色区域的面积＝3×33×12×23×1＝4，
所以击中黑色区域的概率．
【举一反三3】向如图所示的等边三角形区域内扔沙包(区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同),沙包随机落在某个等边三角形内.
(1)扔沙包一次,落在图中灰色区域的概率是 ;
(2)要使沙包落在图中灰色区域的概率为,还要涂灰几个小等边三角形 请说明理由,并在图中涂灰.
【答案】解 (1).
(2)涂灰2个.
理由:因为图形中有16个小等边三角形,且沙包落在图中灰色区域的概率为,
所以图中灰色区域的小等边三角形要达到8个,
因为已经涂灰了6个,
所以还需要涂灰2个,
如图所示(涂灰方法不唯一):
【举一反三4】如图所示的是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）．
（1）这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴．
（2）一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率．
【答案】解：（1）这个图形是轴对称图形，它有4条对称轴．
故答案为：是，4；
（2）∵图中共有16个等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为1，其中阴影区域占了4个，
∴阴影区域在整个地板砖中所占面积的比值＝＝，
∴小老鼠停留在阴影区域的概率为．
【题型7】随机事件
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.检测“神舟十七号”载人飞船零件的质量适宜采用抽样调查方式
B.为了直观地介绍空气中各成分的百分比，最适合使用条形统计图
C.随意翻书，翻到偶数页的是必然事件
D.若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
【答案】D
【解析】解：A．检测“神舟十七号”载人飞船零件的质量适宜采用全面调查方式，原表述错误，不符合题意；
B．为了直观地介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，原表述错误，不符合题意；
C．随意翻书，翻到偶数页的是随机事件，原表述错误，不符合题意；
D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，正确，符合题意；
故选：D．
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件
B.任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是必然事件
C.“清明时节雨纷纷”是必然事件
D.若a是有理数，则“|a|≥0”是不可能事件
【答案】A
【解析】解：A选项，小丽买一张体育彩票中“一等奖”，这是一个随机事件，故该选项符合题意；
B选项，任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”，这是一个随机事件，故该选项不符合题意；
C选项，“清明时节雨纷纷”，这是一个随机事件，故该选项不符合题意；
D选项，若a是有理数，则“|a|≥0”，这是必然事件，故该选项不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】在一个不透明袋子里装有4个黄球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出2个球都是红球，则这个事件是 事件（填“随机”或“必然”或“不可能”）
【答案】随机
【解析】解：在一个不透明袋子里装有4个黄球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出2个球都是红球，则这个事件是随机事件，
故答案为：随机．
【举一反三3】在一个不透明的口袋里,装有6个除颜色外其余都相同的小球,其中有2个红球,2个白球,2个黑球.搅匀后一次性任意摸出n个球,当n= 时,摸出的红球、白球、黑球至少各有一个为必然事件.
【答案】5或6
【解析】∵要满足摸出的红球、白球、黑球至少各有一个为必然事件,∴n=5或6.
【举一反三4】判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)在标准大气压下，温度低于0℃时冰熔化；
(2)一只不透明的袋子中装有红球、白球、黑球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出的1个球是红球；
(3)转动如图所示的转盘(转盘中各个扇形的面积都相等)，当转盘停止转动时指针落在红色区域(若指针落在交界线上，则重转一次)；
(4)一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，其中有红球；
(5)买一张电影票，座位号是奇数号；
(6)在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月．
【答案】解 (1)在标准大气压下，温度低于0℃时冰熔化，是一定不会发生的事件，是不可能事件；
(2)一只不透明的袋子中装有红球、白球、黑球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出的1个球是红球是随机事件；
(3)转动如图所示的转盘(转盘中各个扇形的面积都相等)，当转盘停止转动时指针落在红色区域(若指针落在交界线上，则重转一次)，是随机事件；
(4)一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，其中有红球，是必然事件；
(5)买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件；
(6)在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月，是必然事件．25.1随机事件与概率
【知识点1】随机事件 1
【知识点2】可能性的大小 1
【知识点3】概率公式 2
【知识点4】概率的意义 2
【知识点5】几何概率 2
【题型1】简单事件的概率 3
【题型2】确定事件 4
【题型3】事件发生的可能性大小 5
【题型4】不可能事件 6
【题型5】必然事件 8
【题型6】与几何图形有关的概率 9
【题型7】随机事件 10
【知识点1】随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
【知识点2】可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
【知识点3】概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）=．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．
【知识点4】概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
【知识点5】几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P=g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
【题型1】简单事件的概率
【典型例题】第33届夏季奥运会将于2024年7月26日——8月11日在法国巴黎举行，如图的五张卡片（除正面图案外完全相同）分别印有巴黎奥运会的项目图标：篮球、跳水、赛跑、骑行和花样游泳，其中跳水和花样游泳是水上项目，现将五张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，抽到卡片上的图标恰好是水上项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】正十二面体是五个柏拉图立 体之一，属准晶体,结晶学全称为正五角十二面体， 共有二十个顶点、三十条边和十二个面，每一个面皆是正五边形.如图1所示的是一个正十二面体的日历，如图2所示的是小贤根据图1设计的一枚质地均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”,3个面标有“4”,其余的面标有“3”或“5”,将这枚骰子随机掷出后，“4”朝上的概率是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】布袋中装有3个红球和4个白球，它们除颜色外其佘都相同，如果从这个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是_____．
【举一反三3】在一个不透明的袋子中装有20个蓝色小球、若干个红色小球和10个黄色小球，这些球除颜色不同外其余均相同，小李通过多次摸取小球试验后发现，;取到红色小球的频率稳定在0.4左右，若小明在袋子中随机摸取一个小球，则摸到黄色小球的 概率为__________.
【举一反三4】有一个质地均匀的正十二面体，十二个面上分别写有1-12这十二个整数，投掷这个正十二面体一次，求下列事件的概率：
（1）向上一面的数字是2或3的倍数.
（2）向上一面的数字是2的倍数或3的倍数.
【举一反三5】青岚怪臼谷国家地质公园坐落于广东省潮州市饶平县樟溪镇，是以流水侵蚀地貌、花岗岩地貌为主体，兼火山岩和地质构造等要素构成的综合性地质公园．某地质大学为增长学生们的见识，特购买了1500张青岚怪臼谷国家地质公园门票发放给学生作为福利，采取随机抽取的方式来确定1500名幸运学生，且每名学生只有一次机会，已知该地质大学有33125名学生．
（1）该地质大学某位学生恰能成为幸运学生的概率是 ．
（2）该地质大学学生强烈呼吁门票太少，要求每人成为幸运学生的概率要达到8%，则学校还要购买多少张门票？
【题型2】确定事件
【典型例题】下列事件中，不确定事件是( )
A.在空气中，汽油遇上火就燃烧
B.向上用力抛石头，石头落地
C.下星期六是晴天
D.任何数和零相乘，积仍为零
【举一反三1】下列事件中，是确定事件的是( )
A.度量三角形的内角和，结果是180°
B.买一张电影票，座位号是奇数
C.打开电视机，它正在播放花样滑冰
D.明天晚上会看到月亮
【举一反三2】下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（ ）
A.十拿九稳 B.守株待兔 C.水中捞月 D.一箭双雕
【举一反三3】下列事件为确定事件的是（ ）
A.抬头会看到飞机
B.抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上
C.射击运动员射击一次命中靶心
D.长度分别是4，6，8的三条线段能围成三角形
【举一反三4】下列事件中，属于不确定事件的是( )
A.用长度分别是2cm，3cm，6cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
B.角平分线上的点到角两边的距离相等
C.如果两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定全等
D.三角形一边上的高线与这条边上的中线互相重合
【举一反三5】下列事件：
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；
②三条线段组成一个三角形；
③a是实数，则|a|＜0；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；
⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖．
其中属于确定事件的是 ．（填序号）
【举一反三6】下列事件:①太阳从东方升起;②三条线段组成一个三角形;③|a|<0(a是实数);④购买一张大乐透彩票,中大奖500万.其中确定性事件是 (填写序号).
【举一反三7】下列事件：
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；
②三条线段组成一个三角形；
③a是实数，则|a|＜0；
④一副扑克牌中，随意抽出一张是红桃K；
⑤367个人中至少有2个人生日相同；⑥一个抽奖活动的中奖率是1%，参与抽奖100次，会中奖．
其中属于确定事件的是 ．（填序号）
【题型3】事件发生的可能性大小
【典型例题】《秋月》有四句古诗如下：
①空水澄鲜一色秋；②白云红叶两悠悠；
③清溪流过碧山头；④隔断红尘三十里
这四句古诗的顺序被打乱了，敏敏想把这四句古诗调整为正确位置，则她第一次就调整正确的可能性是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最小的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】在50件同种产品中，有5件次品．检验员从中随机取出了一件进行检验，他取出次品的可能性大小是 ．
【举一反三3】口袋里有除颜色外其它都相同的6个红球和4个白球．
(1)先从袋子里取出m(m≥1)个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．
①如果事件A是必然事件，请直接写出m的值．
②如果事件A是随机事件，请直接写出m的值．
(2)先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，求m的值．
【题型4】不可能事件
【典型例题】“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”，端午节吃粽子是我国的传统习俗．小明妈妈在超市购买了红豆粽和蜜枣粽共5个（大小和外包装都相同），其中有3个红豆粽，2个蜜枣粽，从中随机拿出3个粽子，下列事件是不可能事件的是（ ）
A.拿出的3个粽子都是红豆粽
B.拿出的3个粽子中有1个是蜜枣粽、2个是红豆粽
C.拿出的3个粽子都是蜜枣粽
D.拿出的3个粽子中有2个是蜜枣粽、1个是红豆粽
【举一反三1】如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是不可能事件的是（ ）
A.只闭合1个开关 B.只闭合2个开关 C.只闭合3个开关 D.闭合4个开关
【举一反三2】用长为1cm，2cm，3cm的三条线段围成三角形的事件是( )
A.随机事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.以上说法都不对
【举一反三3】下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A.3天内将下雨 B.打开电视，正在播新闻 C.买一张电影票，座位号是偶数 D.明天太阳从西方升起
【举一反三4】“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”，端午节吃粽子是我国的传统习俗．小明妈妈在超市购买了红豆粽和蜜枣粽共5个（大小和外包装都相同），其中有3个红豆粽，2个蜜枣粽，从中随机拿出3个粽子，下列事件是不可能事件的是（ ）
A.拿出的3个粽子都是红豆粽
B.拿出的3个粽子中有1个是蜜枣粽、2个是红豆粽
C.拿出的3个粽子都是蜜枣粽
D.拿出的3个粽子中有2个是蜜枣粽、1个是红豆粽
【举一反三5】“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是 ．(填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”)
【举一反三6】袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件：①摸出的三个球中至少有一个球是黑球；②摸出的三个球都是白球；③摸出的三个球都是黑球；④摸出的三个球中有两个球是白球．其中是不可能事件的为 (填序号)．
【举一反三7】“明天的太阳从西方升起”这个事件属于 事件．(填“必然”“不可能”或“不确定”)．
【举一反三8】袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件：①摸出的三个球中至少有一个球是黑球；②摸出的三个球都是白球；③摸出的三个球都是黑球；④摸出的三个球中有两个球是白球．其中是不可能事件的为 (填序号)．
【题型5】必然事件
【典型例题】下列事件是必然事件的是（ ）
A.抛出的篮球会下落
B.抛掷一个均匀硬币，正面朝上
C.打开电视机，正在播广告
D.买一张电影票，座位号是奇数号
【举一反三1】下列事件中,是必然事件的是( )
A.射击运动员射击一次,命中靶心
B.掷一次骰子,向上一面的点数是6
C.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
D.从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球
【举一反三2】一只不透明的袋子中装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )
A.至少有1个球是黑球
B.至少有1个球是白球
C.至少有2个球是黑球
D.至少有2个球是白球
【举一反三3】下列事件中,是必然事件的是( )
A.射击运动员射击一次,命中靶心
B.掷一次骰子,向上一面的点数是6
C.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
D.从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球
【举一反三4】在下列事件中，必然事件是（ ）
A.掷一次骰子，向上一面的点数是3
B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D.任意画一个三角形，其内角和是180°
【举一反三5】下列成语描述的事件：①水中捞月，②水涨船高，③守株待兔，④瓮中捉鳖，⑤拔苗助长，属于必然事件的是 （填序号）．
【举一反三6】下列事件中哪些事件是必然事件？
（1）在一个装只有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球．
（2）任意抛掷一枚图钉，结果钉尖着地．
（3）在标准大气压下，气温为2摄氏度时，冰能熔化成水．
（4）在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交．
（5）某运动员跳高最好成绩是10.1米．
（6）从车间刚生产的产品中任意抽一个，是次品．
必然事件有 （填序号）
【举一反三7】写出一个成语所描述的事件是必然事件： ．
【举一反三8】一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的5粒黑色棋子和14粒白色棋子，从中任意摸出a粒摸子，若白色棋子被抽到是必然事件，则a的最小值是 ．
【题型6】与几何图形有关的概率
【典型例题】如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，一个圆内接于一个正六边形，若随机向正六边形内部投掷一粒大米，则大米落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________．
【举一反三3】向如图所示的等边三角形区域内扔沙包(区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同),沙包随机落在某个等边三角形内.
(1)扔沙包一次,落在图中灰色区域的概率是 ;
(2)要使沙包落在图中灰色区域的概率为,还要涂灰几个小等边三角形 请说明理由,并在图中涂灰.
【举一反三4】如图所示的是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）．
（1）这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴．
（2）一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率．
【题型7】随机事件
【典型例题】下列说法正确的是（ ）
A.检测“神舟十七号”载人飞船零件的质量适宜采用抽样调查方式
B.为了直观地介绍空气中各成分的百分比，最适合使用条形统计图
C.随意翻书，翻到偶数页的是必然事件
D.若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件
B.任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是必然事件
C.“清明时节雨纷纷”是必然事件
D.若a是有理数，则“|a|≥0”是不可能事件
【举一反三2】在一个不透明袋子里装有4个黄球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出2个球都是红球，则这个事件是 事件（填“随机”或“必然”或“不可能”）
【举一反三3】在一个不透明的口袋里,装有6个除颜色外其余都相同的小球,其中有2个红球,2个白球,2个黑球.搅匀后一次性任意摸出n个球,当n= 时,摸出的红球、白球、黑球至少各有一个为必然事件.
【举一反三4】判断下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)在标准大气压下，温度低于0℃时冰熔化；
(2)一只不透明的袋子中装有红球、白球、黑球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出的1个球是红球；
(3)转动如图所示的转盘(转盘中各个扇形的面积都相等)，当转盘停止转动时指针落在红色区域(若指针落在交界线上，则重转一次)；
(4)一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，其中有红球；
(5)买一张电影票，座位号是奇数号；
(6)在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月．
