华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元测试
一.选择题(共12小题)
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标为( )
A.(3,0) B.(0,3) C.(1,0) D.(0,1)
2.抛物线y=x2-x-2与x轴交点的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
3.抛物线y=-3(x-4)2-5的最大值为( )
A.4 B.-4 C.5 D.-5
4.对于二次函数y=-(x-1)2+4,下列说法正确的是( )
A.当x>1时,y随x的增大而增大
B.函数图象的对称轴是直线x=-1
C.这个函数有最大值1
D.函数图象与x轴有2个交点
5.在平面直角坐标系中,二次函数y=(x+h)2-3(h≠0)的图象可能是( )
A. B. C. D.
6.抛物线y=3(x+3)2-1的顶点是( )
A.(3,-1) B.(3,1) C.(-3,1) D.(-3,-1)
7.将抛物线y=(x+1)2+3先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,平移后对应的二次函数解析式为( )
A.y=(x-1)2+4 B.y=(x+3)2+2 C.y=(x+3)2+4 D.y=(x-1)2+2
8.如图,某矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成面积为1:2的两个矩形,已知栅栏的总长度为24m,当较小矩形的宽为xm时,矩形养殖场的总面积最大为ym2,则x,y的值为( )
A.4,48 B., C.4, D.,48
9.已知二次函数y=2x2-4x+5,当y随x的增大而增大时,x的取值范围是( )
A.x≤-1 B.x≥1 C.x≤1 D.x≥-1
10.二次函数的图象如图所示,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B,C在函数图象上,四边形OBAC为菱形,且∠ABO=120°,则点C的坐标为( )
A. B. C. D.
11.已知二次函数.y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=-1,部分图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②b2-4ac>0;③4a+c>0;④若t为任意实数,则有a-bt≤at2+b;⑤当图象经过点时,方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1,x2(x1<x2),则,其中正确的结论有( )
A.①②③ B.②③④ C.②③⑤ D.②③④⑤
12.如图,二次函数y=x2-x-的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,顶点为D,以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E,圆心为I,P是半圆上一动点,连接DP,点Q为PD的中点.下列四种说法:
①点C在⊙I上;
②IQ⊥PD;
③当点P沿半圆从点B运动至点A时,点Q运动的路径长为π;
④线段BQ的长可以是3.2.
其中正确说法的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题(共5小题)
13.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5与y轴的交点坐标为 ______.
14.将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形,则围成的矩形的面积的最大值是 ______.
15.如图,二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n交点的横坐标分别为-2和1,观察图象,当y1>y2时,x的取值范围是 ______.
16.对于3个数:a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个数的中位数,用max{a,b,c}表示这三个数的最大数.例如:M{-2,-1,0}=-1,max{-2,-1,0}=0,如果M{9,x2,3x-2}=max{9,x2,3x-2},则x=______.
17.定义:在平面直角坐标系中,如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍,我们称这个点为“友好点”,例如A(a,2a)就是“友好点”,若二次函数图象的顶点为“友好点”,则我们称这个二次函数为“友好二次函数”,例如二次函数y=(x-1)2+2就是“友好二次函数”,若“友好二次函数”的图象过点(-2,8),且顶点在第一象限,过点M(5,4)、N(-1,n)的线段MN与这个“友好二次函数”的图象有且只有一个公共点时,n的取值范围为______.
三.解答题(共5小题)
18.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x-2(m为常数).
(1)若这个函数是关于x的一次函数,求m的值.
(2)若这个函数是关于x的二次函数,求m的取值范围.
19.已知关于x的二次函数y=3x2-(3+k)x+k(k为常数).
(1)若k=1,当0≤x≤1时,求二次函数的最小值;
(2)是否存在k值,使得该二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离为3,如果存在,请求出k的值:如果不存在,请说明理由.
20.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.已知A(-2,0),该抛物线的对称轴为直线x=.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)假设将线段AC平移,使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上,另一个端点在x轴上,若将点A、C平移后的对应点分别记为点A′,C′,当点C′在点C右侧时,求以A、C,A′,C′为顶点的四边形周长的最大值.
21.如图,抛物线P:y=a(x+1)2-2a与抛物线Q:y=(x-m)2+1在同一个坐标系中(a,m均为常数,且m>0),已知抛物线P过点A(1,2),过点A作直线l∥x轴,交抛物线P于另一点B.
(1)a=______,点B的坐标为 ______;
(2)当抛物线Q经过点A时.
①求抛物线Q的解析式;
②设直线l与抛物线Q的另一交点记作C,求AC:AB的值;
(3)设抛物线Q的顶点为D,当△ABD为等腰三角形时,直接写出m的值.
22.如图,已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,点A在x轴上,点B在y轴上,点C(3,0)在抛物线上.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点,顶点P在线段OC上,顶点E在y轴正半轴上,若△AOB与△DPC全等,求点P的坐标.
(3)在条件(2)下,点Q是线段CD上的动点(点Q不与点D重合),将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD',连接CD',求线段CD'长度的最小值.
华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一.选择题(共12小题)
1、B 2、B 3、D 4、D 5、A 6、D 7、D 8、B 9、B 10、B 11、D 12、A
二.填空题(共5小题)
13、(0,5); 14、4; 15、x<-2或x>1; 16、3或-3; 17、或n=4;
三.解答题(共5小题)
18、解:(1)依题意m2-m=0且m-1≠0,
所以m=0;
(2)依题意m2-m≠0,
所以m≠1且m≠0.
19、解:(1)将k=1代入二次函数表达式:,
∴当时,y取最小值.
(2)令y=0,得3x2-(3+k)x+k=0,
则,,
∴,
∵两个交点之间的距离为3,点A在点B的左侧,
∴x2-x1=3,
∴,
解得k=12或k=-6,
∴存在,k的值为12或-6.
20、解:(1)所求抛物线的对称轴为直线x=,且过点A(-2,0),
∴,
解得,
∴该抛物线的函数表达式为y=-x2+x+6;
(2)令x=0,得y=6,
∴C(0,6),
令y=0,得-x2+x+6=0,
解得x1=3,x2=-2(舍去),
∴B(3,0);
由平移的性质可知,AC∥A′C′且AC=A′C′,
∴四边形ACC′A′为平行四边形,
∵点C′在点C右侧时,只有两种情况,
线段A′C′在点B的左右两侧,其中A′C′在点B左侧时,四边形周长最大.
令y=-6,则-x2+x+6=-6,
解得,x1=4,x2=-3(舍去),
∴A′(4,-6).
根据两点间的距离公式(或勾股定理)得:
AA′=6,AC==2,
四边形周长最大值为:2(6+2)=12+4.
∴四边形周长最大值为:12+4.
21、解:(1)∵抛物线P:y=a(x+1)2-2a过点A(1,2),
∴a(1+1)2-2a=2,解得,a=1,
∴抛物线P的解析式为:y=(x+1)2-2,
∵直线l∥x轴,交抛物线P于另一点B,
∴点B的纵坐标与点A(1,2)的纵坐标相同,即纵坐标为2,即抛物线P得纵坐标为y=2,且点B在第二象限,
∴(x+1)2-2=2,解得,x1=1(不符合题意,舍去),x2=-3,
∴点B的坐标为(-3,2),
故答案为:1,(-3,2).
(2)①∵抛物线Q:y=(x-m)2+1经过点A(1,2),且m>0,
∴(1-m)2+1=2,解得,m1=0(不符合题意,舍去),m2=2,
∴抛物线Q的解析式为:y=(x-2)2+1;
②∵直线l∥x轴,直线l与抛物线Q的另一交点记作C,
∴点C的纵坐标与点A(1,2)的纵坐标相同,即纵坐标为2,且由图示可知点C在第一象限,
∴(x-2)2+1=2,解得,x1=1(不符合题意,舍去),x2=3,
∴点C的坐标为(3,2),
∵A(1,2),B(-3,2),C(3,2),
∴AC=3-1=2,AB=1-(-3)=4,
∴AC:AB=2:4=1:2,即AC:AB=1:2.
(3)∵A(1,2),B(-3,2),
∴AB=1-(-3)=4,
抛物线Q:y=(x-m)2+1的顶点坐标为(m,1),即D(m,1),
①如图所示,当AB=AD时,△ABD为等腰三角形,过点D作DE⊥x轴于点E,
∴在Rt△ADE中,AE=m-1,DE=1,
∴AD2=AE2+DE2,即42=(m-1)2+1,且m>0,
∴(不符合题意,舍去),,
∴;
②如图所示,当AB=BD时,△ABD为等腰三角形,过点D作DF⊥x轴于点F,
∴BD=4,DF=2-1=1,BF=m-(-3)=m+3,
在Rt△BDF中,BD2=DF2+BF2,
∴42=1+(m+3)2,且m>0,
∴(不符合题意,舍去),,
∴;
③如图所示,当AD=BD时,△ABD为等腰三角形,过点D作DG⊥x轴于点G,
∴点G为线段AB的中点,
∴点G的横坐标为,
∴G(-1,2),则D(-1,1)
∵抛物线Q:y=(x-m)2+1的顶点坐标为D(m,1),且m>0,
∴当AD=BD时,△ABD为等腰三角形不符合题意;
综上所述,当△ABD为等腰三角形时,m的值为或.
22、解:在直线y=2x+2中,
当x=0时,y=2,
当y=0时,x=-1,
∴点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(0,2),
把点A(-1,0),点B(0,2),点C(3,0)代入y=ax2+bx+c,
,
解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2;
(2)①当△AOB≌△DPC时,AO=DP,
又∵四边形OPDE为正方形,
∴DP=OP=AO=1,
此时点P的坐标为(1,0),
②当△AOB≌△CPD时,OB=DP,
又∵四边形OPDE为正方形,
∴DP=OP=OB=2,
此时点P的坐标为(2,0),
综上,点P的坐标为(1,0)或(2,0);
(3)如图,
点D′在以点P为圆心,DP为半径的圆上运动,
∴当点D′′,点P,点C三点共线时,CD′′有最小值,
由(2)可得点P的坐标为(1,0)或(2,0),且C点坐标为(3,0),
∴CD′′的最小值为1.