云南省玉溪市玉溪第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

玉溪一中 2025—2026 学年上学期高二年级月考数学学科试卷
总分：150 分，考试时间：120 分钟
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
两条平行直线 l1: x y+2=0 与 l2: x y 1=0 之间的距离为( )
B. 2
2
C. 3 2
2
D. 3
已知空间三点 A(4, 1, 3)，B(2, 5, 3)，C(3, x, 0)共线，则实数 x 的值为( )
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
直线 2x+y=0 被圆x2+y2 4x+6y+8=0 所截得的弦长为( )
B. 4 C. 2 30
5
已知点 A(2,3)，B(4,1)，则线段 AB 的垂直平分线的方程为( )
D. 4 30
5
A. x y+1=0 B. x y 1=0 C. x+y 5=0 D. x+y 2=0
若 cos( π α)= 4，则 sin2α= ( )
4 5
7
25
1
5
1
5
7
25
已知F ，F 是双曲线 C：x2 y2 =1(a>0,b>0)的两个焦点，过点F 与 x 轴垂直的直线与双曲线 C 交于 A、B
1 2 a2 b2 1
两点，若 ABF2是等边三角形，则双曲线 C 的离心率为( )
A. 2+1
2
C. D.
甲、乙两人有三个不同的学习小组 A，B，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加不同学习小组的概率为( )
2
5
1
2
2
3
5
6
已知函数 f(x)= |x2 4x 5| , x≥0，则方程[f(x)]2 6f(x)+5=0 的解的个数为( )
1 3x , x<0
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全
部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分。
已知函数 f(x)=sinx cosx，则( )
f(x)的值域为[ 2, 2] B. 点( π , 0)是函数 y=f(x)图象的一个对称中心
4
C. f(x)在区间[ π , 5π ]上是增函数 D. 若 f(x)在区间[ a, a]上是增函数，则 a 的最大值为π
4 4 4
以下四个命题中，正确的是( )
设 A( 2, 0),B(2, 0)，动点 P 满足 PA PB =2，则动点 P 的轨迹为双曲线
若曲线x2 + y2 =1 表示椭圆，则 25 t t 2
方程 3x2 10x+3=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
椭圆
x2 + y2
25 8
=1 与双曲线
x2 y2
12 5
=1 有相同的焦点
已知点 A(1, 0)，B( 2, 0)，动点 P 满足 |PA| =2 ，则下面结论正确的为( )
|PB|
点 P 的轨迹方程为(x+3)2+y2=4 B. PAB 面积的最大值为 4
C. 点 P 到点 A 的距离的最大值为 6 D. P A →· P B→的最大值为 18
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
过点 P 1,3 作圆C : x 2 2 y2 10 的切线，则切线方程为 .
渐近线方程为 y 1 x ，经过 M 3
3
3, 1 的双曲线标准方程为 .
设 F1 、 F2 是椭圆
x y2
25 16
1的两个焦点，若椭圆上点 P 满足 F1PF2

3 ，记 F1PF2 的外接圆和内
切圆半径分别是 R 、 r ，则 R
r
的值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分） ABC 的三个顶点分别是 A 4,0 、 B 0,2 、C 3,1
求边 AB 上的高所在直线l 的方程；
求过点 A ，B ，且圆心在直线2x 3y 9 0 上的圆G 的标准方程.
16.（15 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C ，的对边分别是 a ， b ， c ，且 a2 c2 sin C bc c2 sin B
求角 A 的大小；
若a 2 ，且 ABC 的面积为 ，求 ABC 的周长.
17.（15 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， AB 2 ， E 是 PD 的中点.
证明： BP / / 平面 ACE ；
若平面 PAD 平面 ABCD ， AP PD ， AP PD ，求直线 PC 与平面 ACE 所成的角的正弦值.
18.（17 分）已知椭圆C : x
a2
y2
b2
1(a b 0) 的离心率为 1
2
，长轴为 4.
求椭圆C 的标准方程；
直线l1 : x 2 y 1 0 与椭圆交于 A ， B 两点，求弦长 AB ；
点 H 1, 3 在C 上，过点T 4,0 的直线l 交椭圆C 于 P ，Q 两点（异于点 H ），设直线 HP ， HQ 的
2
2
斜率分别为 k1 ， k2 ，证明： k1 k2 为定值.
19（. 17 分）对于定义域为 A 的函数 y f x ，如果存在 k R ，对任意的 x A，都有kx A, f kx f x k ，
那么称函数 y f x 具有性质 M k ．
判断函数 y 2x 是否具有性质 M k ，并说明理由；
若函数 y loga x 0 a 1 具有性质 M k ，求证： k logk a 为定值；
若函数 y loga x logb x a 1, b 1 具有性质 M 2 ，求 ab 的最小值．
选择题：
玉溪一中 2025—2026 学年上学期高二年级月考数学学科答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A D B A D C B ABD CD ACD
填空题：
题号 12 13 14
答案 x 3y 8 0 x2 y2 1 18 2 3
四、解答题
15.（1）因为直线 AB 的斜率为kAB
2 0 1 ，所以 AB 上的高所在直线 l 的斜率为2 ，
0 4 2
所以 AB 上的高所在直线 l 的方程为 y 1 2 x 3 ，即直线 l 的方程为2x y 5 0 ．
（2）因为 AB 的中点为 2,1 ，斜率为 1 ，所以 AB 的中垂线方程为 y 1 2 x 2 ，即 y 2x 3 ，与
2
直线2x 3y 9 0 联立得圆心G 0, 3 ， r GA 5 ，所以圆G 的标准方程为 x2 y 3 2 25 .
16.（1）m a2 c2 sin C bc c2 sin B ，
由正弦定理可得： a2 c2 c bc c2 b bc b c ，
因为 c 0 ，所以a2 c2 b b c ，
b2 c2 a2 1 1 π
即 b2 c2 a2 bc ，即
，由余弦定理， cosA ，m A 0, π ， A .
2bc 2 2 3
由三角形面积公式可得： 1 bcsin π ，解得
2 3
bc 4 ，
由余弦定理可得： b2 c2 2bc cos π b2 c2 bc b c 2 3bc 4 ，
3
解得： b c 4 ，则a b c 6 三角形的周长为 6.
17.（1）如图，连接 BD 与 AC 相交于点 F ，连接 EF ，
m正方形 ABCD 的对角线 BD 和 AC 交于点 F , BF FD ，
m BF FD ， PE ED ， EF ∥ BP ，
m EF / / BP ， EF 平面 ACE ， BP 平面 ACE ， BP / / 平面 ACE .
（2）如图，因为平面 APD 平面 ABCD ，平面 APD ∩ 平面 ABCD AD ，过点A 在平面 PAD 内作 AD 的垂线l ，可得垂线l 垂直于平面 ABCD ，
又因为 AB AD ，以A 为坐标原点，向量 AB ， AD 方向分别为 x ， y 轴， l 为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.各点坐标如下： A 0, 0, 0 ， B 2, 0, 0 ， D 0, 2,0 ， C 2, 2, 0 ，
3 1
又由 AP PD ， AD 2 ， AP PD ，可得点 P 的坐标为 0,1,1 ，点 E 的坐标为 0, , ，
→ –––→
3 1
2 2
设平面 ACE 的法向量为m x, y, z ，由 AE 0, , ， AC 2, 2, 0 ，
2 2
–––→ → 3 1
AE m 2 y 2 z 0 →
有 –––→ → ，取 x 1 ， y 1， z 3 ，可得平面 ACE 的一个法向量为m 1, 1, 3 ，
AC m 2x 2 y 0

–––→ →
CP →
2 66
又由CP 2, 1,1 ，有cos
CP, m

33 ，
故直线 PC 与平面 ACE 所成的角的正弦值为 66 .
33
18.（1）由题知e c 1 ， 2a 4 ，又有 a2 b2 c2 ，解得 a 2 ， c 1， b ，
a 2
x2 y2
所以椭圆 C 的标准方程为
4 3
1.
x2 y2
（2）联立l1 : x 2 y 1 0 与椭圆 4 3
1可得4x2
2x 11 0 ，
设 A x , y ， B x , y
，则 x x 1 ， x x 11 ，
1 1 2 2
1 2 2 1 2 4
15
所以弦长 AB



4
证明：由已知直线 l2 过点T 4, 0 ，且交椭圆C 于 P, Q 两点，所以直线 l2 的斜率存在.
当直线 l2 的斜率为 0 时，方程为 y=0，此时 P, Q 两点坐标为 2, 0 , 2, 0 ，
3 3
0 0
则 1 + 2 = 2 + 2 = 1.
1 ( 2) 1 2
当直线 l2 的斜率不为 0 时，由已知设直线 2: = + 4( ≠ 0)，
设点 P x3 , y3 , Q x4 , y4 且与点 1，
x my 4
不重合，
+ 2 y2
联立直线 l
与椭圆C 的方程 2 2
x (my 4) ，
2 x y
，消去 得
1
4 + 3 =1
4 3
整理得 3m2 4 y2 24my 36 0 ，则Δ=(24m)2 144(3m2+4)>0，即m2 4 0 ，
解得m 2 或m 2 ，且 y3
y4
24m 3m2 4
, y3 y4
36 ，
3m2 4
y3 3 y4 3 y3 3 y4 3 y 3 (my +3)+ y 3 (my +3) 2my y + 3 3 m (y +y ) 9
所以k1+k2= 2+ 2= 2 + 2 = 3 2 4 4 2 3 = 3 4 2 3 4 ，
x3 1
x4 1
my3+3
my4+3
(my3+3)(my4+3)
m2y3y4+3m(y3+y4)+9
y y
24m , y y 36
2m 36 3 3 m 24m 9
3m +4 2 3m +4
9(m2 4)
3m2+4
代入 3 4
3m2 4 3 4
3m2 4 ，得k1+k2=
m2 36 3m 24m +9 = 9(m2 4)= 1.
综上， k1 k2 为定值，且k1 k2 1 .
3m2+4
3m2+4
3m2+4
19.（1）假设函数 y 2x 具有性质M k ，因为 y 2x 的定义域为 R，则存在k R ，对任意的 x R ，都有 f kx f x k ，
所以2kx 2x k ，所以 2k 2 x k 对 x R 恒成立，
所以 2k 2 0 ，此方程组无解， 所以函数 y 2x 不具有性质M k ．

因为函数 y loga x 0 a 1 具有性质M k ，且函数定义域为 0, ∞ ，所以存在k 0 ，对任意的 x 0, ，都有 f kx f x k ，
即loga kx loga x k ，所以loga kx loga x k ，所以loga k k ，
1
所以log
k ，所以k log
a k
a 1，故k logk
a 为定值．
因为函数 y loga x logb x a 1, b 1 具有性质 M 2 ，定义域为 0, ∞ ，所以k 2 ．
所以对任意的 x 0, ，都有 f 2x f x 2 ．即loga 2x logb 2x loga x logb x 2 ．
所以log
x log x log 2 log 2 log x log
x 2 ，即log 2 log 2 2 ，所以 1 1
2 ，
a b a b a b
a b log a log b
log
a log
b 1 log
a log
2 2
b 1 1 = 1 2 log2 b log2 a 1 2 2 2 ，
2 2 2
2 2 log a log b 2 log a log b 2
2 2 2 2
当且仅当log2 b log2 a 1，即a b 2 时取等号，
log2 a log2 b
则log2 a log2 b log2 ab 2 ，解得ab 4 ，所以 ab 的最小值为 4.