期中素养综合测试卷 提升卷——湘教版（2024）数学八（上）期中分层测（范围：1-3章）
一、选择题
1．（2024八上·青龙期末）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·成都期中）要使有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．（2024八上·路北月考）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022八上·龙口开学考）已知，，则代数式的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．5
5．（2022八上·海淀期末）对于分式(，为常数)，若当时，该分式总有意义；当时，该分式的值为负数．则，与的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．把多项式 因式分解之后，正确的结果是( ).
A．(x+y+3)(x-y-1) B．(x+y-1)(x-y+3)
C．(x+y-3)(x-y+1) D．(x+y+1)(x-y-3)
7．（2023八上·廉江月考）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八上·正定期中）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·洪山期末）已知实数满足，则代数式的值为（ ）
A．9 B．7 C．0 D．
10．（2024八上·温州期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020八上·张掖期中）化简 ＝ .
12．（2017八上·临海期末）若分式 的值为 ，则 的值为 .
13．（2025八上·成都期末）已知，则代数式的值为 ．
14．（2024八上·凉州期末）若多项式分解因式的结果为，则的值为 ．
15．（2023八上·大冶期末）若，则的值是 ．
16．如图，数轴上有四条线段分别标有①，②，③，④，则表示分式 的值的点应落在数轴的 段.（填序号）
17．（2024八上·北碚期末）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
18．（2024八上·上海市月考）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例：，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
三、解答题
19．（2025八上·宝安期末）计算：
（1）
（2）
20．（2023八上·岳阳期中）解方程：
（1）；
（2）
21．已知m为整数，试说明 一定能被8整除.
22．（2024八上·滦州月考） 义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务。一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质. 已知A、 B两个采血点到中心血库的路程分别为30km、36km，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一： B采血点运送车辆的平均速度是A采血点运送车辆的平均速度1.2倍；
信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时.
（1） 求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少
（2）若B采血点完成采血的时间为2.5小时，判断血液运送到中心血库后会不会变质
23．（2024八上·武都期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
（1）；
（2）；
（3）．
24．（2024八上·罗湖期中）求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：
解：原式，
小亮：
解：原式＝．
（1）______的解法是错误的；
（2）求代数式的值，其中．
25．（2024八上·寻乌期末）已知关于的分式方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
26．（2025八上·海珠期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为，所以关于x的方程x+＝a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）理解应用：方程的解为：x1＝ ，x2＝ ；
（2）知识迁移：若关于x的方程x+＝5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程＝k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
∴的倒数是为，
故答案为：．
【分析】利用，即可计算的倒数 ．
2．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得，且，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式被开方数的非负性、以及分母不能为0，列出不等式组，求解即可．
3．【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求；
故答案为：A．
【分析】利用完全平方公式的特征逐项判断解题．
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，故C正确，A、B、D错误。
方法二、把m、n代入得，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】先计算两数和与两数积（平方差公式应用），所求二次根式被开方数配方成两数和的平方与两数积的差，把两数和与积代入求解即可。当然还可以直接代入化简求值。
5．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵当时，该分式总有意义，
∴为非负数，且，
∴，则为非正数，即（非负数减负数不可能为零），
∵当时，该分式的值为负数，
∴，
∴，异号，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据“当时，该分式的值为负数”可得，证出，异号，再结合，可得，从而得解.
6．【答案】D
【知识点】因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
=x2-2x+1-y2-4y-4-1+4-3
=(x2-2x+1)-(y2+4y+4)
=(x-1)2-(y+2)2
=(x-1+y+2)(x-1-y-2)
= (x+y+1)(x-y-3) .
故答案为： (x+y+1)(x-y-3) .
【分析】首先根据完全平方公式，得出(x-1)2-(y+2)2，再利用平方差公式，即可进行因式分解。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵am=-2，an=5，
∴a3m-2n=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2
=(-2)3÷52=.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可得原式=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2，然后整体代换计算即可求解.
8．【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】A、当“□”为时，不是整式，∴A不符合题意；
B、当“□”为时，不是整式，∴B不符合题意；
C、当“□”为时，不是整式，∴C不符合题意；
D、当“□”为时，是整式，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】将各选项分别代入代数式，再利用分式的除法的计算方法逐项分析判断即可.
9．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴， ，
故答案为：B.
【分析】根据题意可知 ， ，把a3变形为，再利用整体思想计算即可.
10．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质化简解题．
11．【答案】π－3.14
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=|π-3.14|
=π-3.14，
故答案为π-3.14.
【分析】原式各项被开方数变形后，利用二次根式的化简公式，以及绝对值的代数意义化简，即可得到结果.
12．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：x-2=0且x+10，
解得x=2.
故答案为：x=2.
【分析】分式的值为零的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0. 两个条件需同时具备，缺一不可. 据此可以解答本题. 注意不要遗漏“分母不为0”这个条件.
13．【答案】13
【知识点】二次根式的性质与化简；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：13．
【分析】先根据题意求出，将该等式两边同时平方可得，进而将待求式子利用拆项的方法变形为x2+2x+1+1后再整体代入计算即可.
14．【答案】-3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
∴a=-1，b=-2
∴a+b=-1-2=-3
故答案为：-3
【分析】根据多项式乘多项式将代数式展开，根据对应项相等，求出a，b值，再代入代数式即可求出答案.
15．【答案】49
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a-b=-7
∴a2-b2+14b
=(a-b)(a+b)+14b
=-7(a+b)+14b
=-7a-7b+14b
=-7a+7b
=-7(a-b)
=（-7）×（-7）
=49
故答案为：49.
【分析】先根据平方差公式将代数式中的前两项分解因式，然后整体代入化简后再利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算即可.
16．【答案】④
【知识点】平方差公式及应用；有理数在数轴上的表示；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
∴表示分式 的值的点应落在如图所示的数轴④段上.
故答案为：④
【分析】根据分式的减法，结合平方差公式化简，再根据数轴上点的位置关系进行判断即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
关于的不等式组无解，
，
解得，
，
方程可化为，
方程两边同乘得，，
解得，
是正整数，，
或或或，
当时，，分式方程无解，舍去，
或或，
满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【分析】根据不等式组的解的情况得出的取值范围，再根据分式方程的解为正整数解进一步得出的值，即可得出答案.
18．【答案】33或127
【知识点】无理数的估值；二次根式的实际应用；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
①当，，时，
∴，，
则=33，
当，，时，
∴，，
则=127，
故的值为或，
故答案为：或．
【分析】根据“神奇区间”的定义及二元一次方程正整数解，可得，，；，，．再分别代入求出p值即可.
19．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据二次根式性质和化简、二次根式的混合运算即可求解；
（2）根据立方根、零指数幂、二次根式的化简进行计算，进而即可求解。
20．【答案】（1）解：；
去分母， 得
解得：．
检验：把代入最简公分母：．
故是增根， 原分式方程无解．
（2）解：
解：去分母，得
去括号，得
解得
检验：当时，，
原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求出答案.
（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求出答案.
（1）；
去分母， 得
解得：．
检验：把代入最简公分母：．
故是增根， 原分式方程无解．
（2）解：去分母，得
去括号，得
解得
检验：当时，，
原分式方程的解．
21．【答案】解：
=12(2m+4)=24(m+2)，
∵24是8的倍数，m为整数，
一定能被8整除.
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】根据平方差公式进行因式分解，再根据倍数定义判断即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设A采血点运送车辆的平均速度是x km/h，则B采血点运送车辆的平均速度为1.2x km/h，
根据题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
∴1.2x＝36
答：A采血点运送车辆的平均速度是30km/h，B采血点运送车辆的平均速度为36km/h；
（2）解：∵B采血点运送车辆的行驶时间为36÷36＝1（h）．
2.5＋1＝3.5（h）＜4（h），
∴B采血点采集的血液不会变质．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设A采血点运送车辆的平均速度是x km/h，则B采血点运送车辆的平均速度为1.2x km/h，根据“A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时”列出方程，再求解即可；
（2）根据B采血点采集的血液加上运输时间与4小时比较即可．
23．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用分组分解因式即可；
（2）参照题干中的计算方法利用分组分解因式即可；
（3）参照题干中的计算方法利用分组分解因式即可.
24．【答案】（1）小亮
（2）解：∵，∴
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴代数式，
∴小亮的解法错误，
故答案为小亮．
（2）
解：∵，
∴．
【分析】
（1）由完全平方式可得，再根据绝对值的性质代入运算后即可解答；
（2）由完全平方式可知，再利用二次根式的性质及绝对值的性质代入运算即可解答．
（1）解：∵，
∴代数式，
∴小亮的解法错误，
故答案为小亮．
（2）解：∵，
∴．
25．【答案】（1）解：把代入得：
，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴原方程的解．
（2）解：，
方程两边乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵，即，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：且．
【知识点】分式有无意义的条件；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）掌握分式方程的求解过程，去分母、去括号、移项合并同类项、系数化1，特别注意解分式方程还有一步，必须要验根；
（2）根据题意先正常求解分式方程，得到的根是关于a的代数式，这个式子既要保证能使根大于0，还要保证分式方程有意义，故可确定a的取值范围。
26．【答案】（1）3；
（2）解：∵x+=5，
∴a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19.
（3）解：=k-x可化为x-1+=k-1，
∵方程=k-x的解为x1=t+1，x2=t2+2，
则有x-1=t或x-1=t2+1，
∴t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，
∴k=t+t2+2，t3+t=4，
∴k2-4k+2t3
=k（k-4）+2t3
=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3
=t4+4t3+t2-4
=t（t3+t）+4t3-4
=4t+4t3-4
=4（t3+t）-4
=4×4-4
=12．
【知识点】完全平方公式及运用；分式方程的解及检验
【解析】【解答】（1）解：∵x+=a+b的解为x1=a，x2=b，
∴的解为x=3或x=，
故答案为：3，.
【分析】（1）根据x+=a+b的解为x1=a，x2=b求解即可；
（2）根据题意先求出a+b=5，ab=3，再利用完全平方公式计算求解即可；
（3）先求出x-1=t或x-1=t2+1，再求出k=t+t2+2，t3+t=4，最后计算求解即可。
（1）解：∵x+=a+b的解为x1=a，x2=b，
∴的解为x=3或x=，
故答案为：3，；
（2）解：∵x+=5，
∴a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19；
（3）解：=k-x可化为x-1+=k-1，
∵方程=k-x的解为x1=t+1，x2=t2+2，
则有x-1=t或x-1=t2+1，
∴t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，
∴k=t+t2+2，t3+t=4，
k2-4k+2t3
=k（k-4）+2t3
=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3
=t4+4t3+t2-4
=t（t3+t）+4t3-4
=4t+4t3-4
=4（t3+t）-4
=4×4-4
=12．
1 / 1期中素养综合测试卷 提升卷——湘教版（2024）数学八（上）期中分层测（范围：1-3章）
一、选择题
1．（2024八上·青龙期末）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
∴的倒数是为，
故答案为：．
【分析】利用，即可计算的倒数 ．
2．（2024八上·成都期中）要使有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得，且，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式被开方数的非负性、以及分母不能为0，列出不等式组，求解即可．
3．（2024八上·路北月考）下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求；
，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求；
故答案为：A．
【分析】利用完全平方公式的特征逐项判断解题．
4．（2022八上·龙口开学考）已知，，则代数式的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．5
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，故C正确，A、B、D错误。
方法二、把m、n代入得，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】先计算两数和与两数积（平方差公式应用），所求二次根式被开方数配方成两数和的平方与两数积的差，把两数和与积代入求解即可。当然还可以直接代入化简求值。
5．（2022八上·海淀期末）对于分式(，为常数)，若当时，该分式总有意义；当时，该分式的值为负数．则，与的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵当时，该分式总有意义，
∴为非负数，且，
∴，则为非正数，即（非负数减负数不可能为零），
∵当时，该分式的值为负数，
∴，
∴，异号，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据“当时，该分式的值为负数”可得，证出，异号，再结合，可得，从而得解.
6．把多项式 因式分解之后，正确的结果是( ).
A．(x+y+3)(x-y-1) B．(x+y-1)(x-y+3)
C．(x+y-3)(x-y+1) D．(x+y+1)(x-y-3)
【答案】D
【知识点】因式分解-分组分解法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
=x2-2x+1-y2-4y-4-1+4-3
=(x2-2x+1)-(y2+4y+4)
=(x-1)2-(y+2)2
=(x-1+y+2)(x-1-y-2)
= (x+y+1)(x-y-3) .
故答案为： (x+y+1)(x-y-3) .
【分析】首先根据完全平方公式，得出(x-1)2-(y+2)2，再利用平方差公式，即可进行因式分解。
7．（2023八上·廉江月考）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵am=-2，an=5，
∴a3m-2n=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2
=(-2)3÷52=.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可得原式=a3m÷a2n=(am)3÷(an)2，然后整体代换计算即可求解.
8．（2023八上·正定期中）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】A、当“□”为时，不是整式，∴A不符合题意；
B、当“□”为时，不是整式，∴B不符合题意；
C、当“□”为时，不是整式，∴C不符合题意；
D、当“□”为时，是整式，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】将各选项分别代入代数式，再利用分式的除法的计算方法逐项分析判断即可.
9．（2024八上·洪山期末）已知实数满足，则代数式的值为（ ）
A．9 B．7 C．0 D．
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵，
∴， ，
故答案为：B.
【分析】根据题意可知 ， ，把a3变形为，再利用整体思想计算即可.
10．（2024八上·温州期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质化简解题．
二、填空题
11．（2020八上·张掖期中）化简 ＝ .
【答案】π－3.14
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=|π-3.14|
=π-3.14，
故答案为π-3.14.
【分析】原式各项被开方数变形后，利用二次根式的化简公式，以及绝对值的代数意义化简，即可得到结果.
12．（2017八上·临海期末）若分式 的值为 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：x-2=0且x+10，
解得x=2.
故答案为：x=2.
【分析】分式的值为零的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0. 两个条件需同时具备，缺一不可. 据此可以解答本题. 注意不要遗漏“分母不为0”这个条件.
13．（2025八上·成都期末）已知，则代数式的值为 ．
【答案】13
【知识点】二次根式的性质与化简；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：13．
【分析】先根据题意求出，将该等式两边同时平方可得，进而将待求式子利用拆项的方法变形为x2+2x+1+1后再整体代入计算即可.
14．（2024八上·凉州期末）若多项式分解因式的结果为，则的值为 ．
【答案】-3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用；多项式的项、系数与次数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
∴a=-1，b=-2
∴a+b=-1-2=-3
故答案为：-3
【分析】根据多项式乘多项式将代数式展开，根据对应项相等，求出a，b值，再代入代数式即可求出答案.
15．（2023八上·大冶期末）若，则的值是 ．
【答案】49
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a-b=-7
∴a2-b2+14b
=(a-b)(a+b)+14b
=-7(a+b)+14b
=-7a-7b+14b
=-7a+7b
=-7(a-b)
=（-7）×（-7）
=49
故答案为：49.
【分析】先根据平方差公式将代数式中的前两项分解因式，然后整体代入化简后再利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算即可.
16．如图，数轴上有四条线段分别标有①，②，③，④，则表示分式 的值的点应落在数轴的 段.（填序号）
【答案】④
【知识点】平方差公式及应用；有理数在数轴上的表示；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
∴表示分式 的值的点应落在如图所示的数轴④段上.
故答案为：④
【分析】根据分式的减法，结合平方差公式化简，再根据数轴上点的位置关系进行判断即可求出答案.
17．（2024八上·北碚期末）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
关于的不等式组无解，
，
解得，
，
方程可化为，
方程两边同乘得，，
解得，
是正整数，，
或或或，
当时，，分式方程无解，舍去，
或或，
满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
【分析】根据不等式组的解的情况得出的取值范围，再根据分式方程的解为正整数解进一步得出的值，即可得出答案.
18．（2024八上·上海市月考）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例：，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
【答案】33或127
【知识点】无理数的估值；二次根式的实际应用；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，其中，是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
①当，，时，
∴，，
则=33，
当，，时，
∴，，
则=127，
故的值为或，
故答案为：或．
【分析】根据“神奇区间”的定义及二元一次方程正整数解，可得，，；，，．再分别代入求出p值即可.
三、解答题
19．（2025八上·宝安期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据二次根式性质和化简、二次根式的混合运算即可求解；
（2）根据立方根、零指数幂、二次根式的化简进行计算，进而即可求解。
20．（2023八上·岳阳期中）解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：；
去分母， 得
解得：．
检验：把代入最简公分母：．
故是增根， 原分式方程无解．
（2）解：
解：去分母，得
去括号，得
解得
检验：当时，，
原分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求出答案.
（2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求出答案.
（1）；
去分母， 得
解得：．
检验：把代入最简公分母：．
故是增根， 原分式方程无解．
（2）解：去分母，得
去括号，得
解得
检验：当时，，
原分式方程的解．
21．已知m为整数，试说明 一定能被8整除.
【答案】解：
=12(2m+4)=24(m+2)，
∵24是8的倍数，m为整数，
一定能被8整除.
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解的应用-判断整除
【解析】【分析】根据平方差公式进行因式分解，再根据倍数定义判断即可求出答案.
22．（2024八上·滦州月考） 义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务。一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质. 已知A、 B两个采血点到中心血库的路程分别为30km、36km，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一： B采血点运送车辆的平均速度是A采血点运送车辆的平均速度1.2倍；
信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时.
（1） 求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少
（2）若B采血点完成采血的时间为2.5小时，判断血液运送到中心血库后会不会变质
【答案】（1）解：设A采血点运送车辆的平均速度是x km/h，则B采血点运送车辆的平均速度为1.2x km/h，
根据题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，
∴1.2x＝36
答：A采血点运送车辆的平均速度是30km/h，B采血点运送车辆的平均速度为36km/h；
（2）解：∵B采血点运送车辆的行驶时间为36÷36＝1（h）．
2.5＋1＝3.5（h）＜4（h），
∴B采血点采集的血液不会变质．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设A采血点运送车辆的平均速度是x km/h，则B采血点运送车辆的平均速度为1.2x km/h，根据“A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时”列出方程，再求解即可；
（2）根据B采血点采集的血液加上运输时间与4小时比较即可．
23．（2024八上·武都期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用分组分解因式即可；
（2）参照题干中的计算方法利用分组分解因式即可；
（3）参照题干中的计算方法利用分组分解因式即可.
24．（2024八上·罗湖期中）求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：
解：原式，
小亮：
解：原式＝．
（1）______的解法是错误的；
（2）求代数式的值，其中．
【答案】（1）小亮
（2）解：∵，∴
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴代数式，
∴小亮的解法错误，
故答案为小亮．
（2）
解：∵，
∴．
【分析】
（1）由完全平方式可得，再根据绝对值的性质代入运算后即可解答；
（2）由完全平方式可知，再利用二次根式的性质及绝对值的性质代入运算即可解答．
（1）解：∵，
∴代数式，
∴小亮的解法错误，
故答案为小亮．
（2）解：∵，
∴．
25．（2024八上·寻乌期末）已知关于的分式方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）如果关于的分式方程的解为正数，求的取值范围；
【答案】（1）解：把代入得：
，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴原方程的解．
（2）解：，
方程两边乘得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：，
∵分式方程的解为正数，
∴，
解得：，
∵，即，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：且．
【知识点】分式有无意义的条件；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）掌握分式方程的求解过程，去分母、去括号、移项合并同类项、系数化1，特别注意解分式方程还有一步，必须要验根；
（2）根据题意先正常求解分式方程，得到的根是关于a的代数式，这个式子既要保证能使根大于0，还要保证分式方程有意义，故可确定a的取值范围。
26．（2025八上·海珠期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为，所以关于x的方程x+＝a+b的解为x1＝a，x2＝b．
（1）理解应用：方程的解为：x1＝ ，x2＝ ；
（2）知识迁移：若关于x的方程x+＝5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
（3）拓展提升：若关于x的方程＝k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
【答案】（1）3；
（2）解：∵x+=5，
∴a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19.
（3）解：=k-x可化为x-1+=k-1，
∵方程=k-x的解为x1=t+1，x2=t2+2，
则有x-1=t或x-1=t2+1，
∴t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，
∴k=t+t2+2，t3+t=4，
∴k2-4k+2t3
=k（k-4）+2t3
=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3
=t4+4t3+t2-4
=t（t3+t）+4t3-4
=4t+4t3-4
=4（t3+t）-4
=4×4-4
=12．
【知识点】完全平方公式及运用；分式方程的解及检验
【解析】【解答】（1）解：∵x+=a+b的解为x1=a，x2=b，
∴的解为x=3或x=，
故答案为：3，.
【分析】（1）根据x+=a+b的解为x1=a，x2=b求解即可；
（2）根据题意先求出a+b=5，ab=3，再利用完全平方公式计算求解即可；
（3）先求出x-1=t或x-1=t2+1，再求出k=t+t2+2，t3+t=4，最后计算求解即可。
（1）解：∵x+=a+b的解为x1=a，x2=b，
∴的解为x=3或x=，
故答案为：3，；
（2）解：∵x+=5，
∴a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19；
（3）解：=k-x可化为x-1+=k-1，
∵方程=k-x的解为x1=t+1，x2=t2+2，
则有x-1=t或x-1=t2+1，
∴t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，
∴k=t+t2+2，t3+t=4，
k2-4k+2t3
=k（k-4）+2t3
=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3
=t4+4t3+t2-4
=t（t3+t）+4t3-4
=4t+4t3-4
=4（t3+t）-4
=4×4-4
=12．
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