(共25张PPT)
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2.4命题与证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
了解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质
01
能够利用学过定理证明三角形外角的性质
02
运用三角形外角的性质解答问题
03
02
复习旧知
三角形内角和推论1：
三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°
推论1 直角三角形的两锐角互余.
推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形.
三角形内角和推论2：
02
创设情境
在下图中，你能找到几个角(除了平角)？它们有什么区别？
A
B
C
有4个角：∠A，∠B，∠1，∠2.
其中∠A，∠B，∠1都在△ABC内部，都是△ABC的内角.
那∠2呢？
1
2
03
新知探究
A
B
C
D
如图，把△ABC 的一边 BC 延长至点 D，得到∠ACD. 像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
03
新知探究
A
B
C
① 每一个三角形都有6个外角；
② 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
03
新知探究
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
C
B
A
D
03
新知探究
A
B
C
D
△ABC的外角∠ACD与它的内角有什么关系？
三角形的外角
相邻的内角
不相邻的内角
交流
03
新知探究
性质：三角形的外角与它相邻的内角互补.
BD为BC边延长线,所以与BC边共直线，
∴∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACB与∠ACD互补.
B
C
A
D
03
新知探究
思考：在△ABC中，外角∠ACD与它不相邻的内角的和有怎样的关系？
证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，(三角形内角和定理)
∴∠A+∠B=180°-∠ACB .(等式的性质)
∵∠ACB+∠ACD=180°，(平角的定义)
∴∠ACD=180°-∠ACB .(等式的性质)
∴∠ACD=∠A+∠B .(等量代换)
B
C
A
D
∠ACD=∠A+∠B
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
03
新知探究
A
B
C
D
提示：还记得我们证明三角形内角和定理时是怎样添加辅助线的吗？
E
延长BC至D点，并过点C作CE∥AB.
证明：延长BC至D点，并过点C作CE∥AB.
则有∠B=∠ECD，(两直线平行，同位角相等)
∠A=∠ACE，(两直线平行，内错角相等)
又∠ECD+∠ACE=∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠B.(等量代换)
03
新知探究
如图，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流.
A
B
C
D
这三个角之间还有其它的关系吗？
①∠ACD ∠A(填“＞”“＜”)
②∠ACD ∠B(填“＞”“＜”)
＞
＞
03
新知探究
推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
归纳
A
B
C
D
∠A +∠B =∠ACD
∠ACD＞∠A， ∠ACD＞∠B
03
新知探究
例5.已知：如图，∠1、∠2、∠3是 △ABC的三个外角
求证： ∠1+∠2+∠3=360°
A
B
C
1
2
3
证明 ∵∠1=∠ABC+∠ACB
∠2=∠BAC+∠ACB
∠3=∠BAC+∠ABC,
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴ ∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).
（等式性质）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形内角和定理）
∴∠1+∠2+∠3=360°.
03
新知探究
(
(
(
如图，三角形的外角和等于360°.
(
(
(
归纳
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F 等于（ ）
A.26° B.63° C.37° D.60°
2.如图,D是BC延长线上一点,下列说法中错误的是 ( )
A.∠1不是△ABC的外角
B.∠B<∠1+∠2
C.∠ACD是△ABC的外角
D.∠ACD>∠A+∠B
A
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，是由一副三角尺拼凑得到的,图中∠1= °.
4.如图，直线 l1∥ l2，点 A 在 l2上， AB ⊥ l3，垂足为 B . 若∠1＝138°，则∠2的度数为 。
105
48°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E,若∠A=40°，∠BDC=55°，求∠AED的度数.
解：∵∠A=40°，∠BDC=55°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=15°.
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD=30°.
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠ABC=30°.
05
课堂小结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于 360°
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，∠1的度数为( A )
A.50° B.100° C.150° D.30°
2.如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E的度数为( A )
A.30° B.40° C.60° D.70°
A
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是 .
4.在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图
方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是 .
∠1＋∠4＝∠2－∠3
53°
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数.
如图，延长BD交AC于点E.
∵∠A＝60°，∠B＝20°，∠DEC＝∠A＋∠B，
∴∠DEC＝60°＋20°＝80°，
又∵∠C＝30°，∠BDC＝∠DEC＋∠C，
∴∠BDC＝80°＋30°＝110°.
E
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。3.证明三角形的任意两边之和大于第三边。4.理解三角形的基本元素（边、角）及其关系，掌握三角形内角和定理及其推论；5.了解命题、定理、证明的概念，能进行简单的几何推理与证明；
内容分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
学情分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
单元目标 （一）教学目标1.掌握三角形的基本元素及其分类，理解三角形的边角关系；2.掌握三角形内角和定理、外角定理及其推论，并能初步应用；3.了解命题、定理、证明的概念，能写出简单的几何命题并尝试证明；4.初步掌握几何证明的基本步骤和书写规范，发展逻辑推理能力。（二）教学重点、难点重点：1.三角形内角和定理及其应用；2.几何证明的基本结构与书写规范难点：1.几何证明的逻辑推理与语言表达；2.外角定理的理解与应用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 三角形中的边角关系313.2 命题与证明4
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1.1三角形中边的关系1.通过动手操作和实验探究，理解三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边。2.掌握判断三条线段能否组成三角形的方法，并能运用定理解决实际问题。3.培养观察、比较、分析和归纳的数学思维能力，发展空间观念。1.学生能准确表述三角形三边关系定理，并能举例说明。2.能正确判断给定三条线段能否组成三角形，正确率达到85%以上。3.能运用三角形三边关系解决简单的实际问题（如选择木料、计算取值范围等）任务一：给定多组不同长度的小棒，让学生实际操作选择能组成三角形的小棒组合，并记录说明理由。任务二：提供若干组线段长度数据，让学生判断哪些能组成三角形，并说明依据。任务三：设计实际问题情境，让学生运用三边关系解决问题。13.1.2 三角形中角的关系1.通过测量、撕拼等操作活动，发现并验证三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。2.掌握利用三角形内角和定理求未知角度的方法，并能解决相关问题。3.培养动手操作能力、空间想象能力和逻辑推理能力。1.学生能通过实验操作准确得出三角形内角和为180°的结论。2.能正确运用三角形内角和定理计算三角形中未知角的度数，正确率达到90%以上。3.能解决与三角形内角相关的实际问题（如判断三角形类型、解决角度计算问题等）任务一：提供各种类型的三角形纸片，让学生通过测量或撕拼的方法验证三角形内角和定理。任务二：给出三角形中两个角的度数，让学生计算第三个角的度数，并说明计算依据。任务三：设计实际问题让学生运用三角形内角和定理解决问题。13.1.3 三角形中几条重要线段1.理解三角形的中线、角平分线和高线的定义，掌握它们的性质和作图方法。2.能够识别和画出三角形的中线、角平分线和高线，了解它们的应用。3.培养几何直观和空间想象能力，提高动手操作和解决问题的能力。1.学生能准确说出三角形的中线、角平分线和高线的定义和性质。2.能正确使用尺规作出三角形的中线、角平分线和高线，正确率达到85%以上。3.能运用重要线段的性质解决简单的几何问题（如计算长度、证明等）。任务一：给定一个三角形，让学生用尺规分别作出它的三条中线、三条角平分线和三条高线。任务二：提供几个三角形中的重要线段问题，让学生计算并说明理由。任务三：设计实际问题，让学生运用重要线段的知识解决。13.2命题与证明(第一课时)1.理解命题的概念，能够区分命题与非命题，并能判断命题的真假。2.掌握命题的组成结构，能够将命题改写成“如果...那么...”的形式。3.初步了解证明的必要性，培养逻辑思维能力和严谨的数学态度。1.学生能准确判断一个语句是否为命题，并能区分真命题与假命题。2.能正确分析命题的条件和结论，并能将命题改写成标准形式。3.能通过举反例的方法判断命题的真假，并初步尝试简单的逻辑证明。任务一：给出多个语句，让学生判断哪些是命题，并说明理由。任务二：提供几个简单命题，让学生改写成“如果...那么...”的形式，并指出条件和结论。任务三：设计几个真假命题，让学生判断真假，并通过举反例或简单推理说明理由。13.2命题与证明(第二课时)1.掌握数学证明的基本方法和步骤，能够进行简单的几何证明。2.理解直接证明法的推理过程，能够规范书写证明过程。3.培养逻辑推理能力和严谨的数学思维习惯1.学生能准确理解证明的步骤，能够按照规范格式书写证明过程。2.能运用直接证明法完成简单的几何命题证明，正确率达到80%以上。3.能在证明过程中正确使用数学符号和术语，表述清晰、推理严谨。任务一：给出简单几何命题，让学生写出完整的证明过程，包括已知、求证和证明。任务二：提供有缺陷的证明过程，让学生找出错误并改正，说明理由。任务三：设计几个需要证明的几何问题，让学生独立完成证明并相互评价。13.2命题与证明(第三课时)1.掌握三角形内角和定理的证明方法，理解其证明过程。2.理解直角三角形的性质与推论，能够进行相关证明。3.培养逻辑推理能力，掌握几何证明的基本方法和技巧。1.学生能独立完成三角形内角和定理的证明，正确率达到85%以上。2.能运用三角形内角和定理解决角度计算问题，正确率达到90%以上。3.能证明直角三角形的性质与推论，并运用于相关问题解决。任务一：让学生用至少两种方法（如辅助线法、拼图法等）证明三角形内角和等于180°。任务二：给出几个三角形角度计算问题，要求学生运用内角和定理求解并说明理由。任务三：设计直角三角形性质证明题，要求学生完成证明过程。任务四：提供综合应用题，要求学生运用直角三角形性质解决实际问题。13.2命题与证明(第四课时)1.理解三角形外角的定义，掌握三角形外角定理及其证明方法。2.能够运用外角性质解决角度计算和证明问题。3.掌握外角推论的证明和应用，培养逻辑推理能力。1.学生能准确表述三角形外角定理，正确完成其证明过程。2.能运用外角性质解决角度计算问题，正确率达到85%以上。3.能独立证明外角推论，并运用于几何证明中。任务一：给出三角形图形，让学生指出外角并说明外角定理的内容。任务二：设计角度计算题，要求运用外角定理求解。任务三：提供证明题，要求学生用外角定理证明几何命题。任务四：设计综合应用题，让学生运用外角性质解决实际问题。
《三角形中的边角关系、命题与证明》单元教学设计
活动1：引入课题
活动2：探究三角形的分类
13.1.1三角形中边的关系
活动3：探究三角形边的基本关系
活动4：例题讲解
活动1：温故知新，引入课题
13.1.2三角形中角的关系
活动2：实验探究，发现内角和定理
活动3：例题讲解与应用
三角形中的边角关系、命题与证明
活动1：创设情境，引入课题
13.1.3三角形中几条重要线段
活动2：分组探究三条重要线段。
活动3：例题讲解
活动1：生活中的判断与推理
13.2命题与证明(第一课时)
活动2：探究命题的结构与类型
活动3：命题的真假判断与证明初探
活动4：例题讲解
活动1：复习巩固，温故知新
活动2：探究证明的方法与步骤
13.2命题与证明(第二课时)
活动3：分组实践，证明训练
三角形中的边角关系、命题与证明
活动4：例题讲解
活动3：探究直角三角形的性质与推论
活动2：证明三角形内角和等于180°
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第三课时)
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第四课时)
活动2：探究三角形外角的推论
活动3：例题讲解
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13.2.4命题与证明教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 13
课题 13.2.4命题与证明 课时 4
教材分析 本节“三角形外角和定理”是几何知识体系的重要一环，它建立在三角形内角和定理基础上，并为后续学习多边形内外角和定理埋下伏笔。教材通常通过动手度量、剪拼等探究活动引入，旨在引导学生从内角性质自然过渡到外角性质，理解定理的由来与应用，培养逻辑推理能力。
学情 分析 学生已掌握三角形内角和定理及平角概念，具备初步的推理能力。但外角是一个新概念，易与相邻内角混淆。学生在探究外角和时，可能因思维定式仅关注单个外角而忽略整体关系。教学中需通过直观演示化解概念难点，并引导其发现三个外角之和的规律，从具体感知上升到理性证明。
核心素养目标 1.了解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质 2.能够利用学过定理证明三角形外角的性质 3.运用三角形外角的性质解答问题。
教学重点 利用学过定理证明三角形外角的性质
教学难点 运用外角性质解答问题
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 三角形的内角和定理：三角形的内角和为180° 三角形内角和推论1： 推论1 直角三角形的两锐角互余. 三角形内角和推论2： 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 在下图中，你能找到几个角(除了平角)？它们有什么区别？ 有4个角：∠A，∠B，∠1，∠2. 其中∠A，∠B，∠1都在△ABC内部，都是△ABC的内角. 那∠2呢？ 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 如图，把△ABC 的一边 BC 延长至点 D，得到∠ACD. 像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角 ① 每一个三角形都有6个外角； ② 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 交流：△ABC的外角∠ACD与它的内角有什么关系？ BD为BC边延长线,所以与BC边共直线， ∴∠ACB+∠ACD=180°， ∴∠ACB与∠ACD互补. 性质：三角形的外角与它相邻的内角互补. 思考：在△ABC中，外角∠ACD与它不相邻的内角的和有怎样的关系？ ∠ACD=∠A+∠B 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，(三角形内角和定理) ∴∠A+∠B=180°-∠ACB .(等式的性质) ∵∠ACB+∠ACD=180°，(平角的定义) ∴∠ACD=180°-∠ACB .(等式的性质) ∴∠ACD=∠A+∠B .(等量代换) 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 提示：还记得我们证明三角形内角和定理时是怎样添加辅助线的吗？ 延长BC至D点，并过点C作CE∥AB. 证明：延长BC至D点，并过点C作CE∥AB. 则有∠B=∠ECD，(两直线平行，同位角相等) ∠A=∠ACE，(两直线平行，内错角相等) 又∠ECD+∠ACE=∠ACD， ∴∠ACD=∠A+∠B.(等量代换) 如图，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流. 这三个角之间还有其它的关系吗？ ①∠ACD ∠A(填“＞”“＜”) ②∠ACD ∠B(填“＞”“＜”) 归纳 推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
四、变式 师生互动，变式深化 例5.已知：如图，∠1、∠2、∠3是 △ABC的三个外角 求证： ∠1+∠2+∠3=360° 证明 ∵∠1=∠ABC+∠ACB ∠2=∠BAC+∠ACB ∠3=∠BAC+∠ABC, （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） ∴ ∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC). （等式性质） ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形内角和定理） ∴∠1+∠2+∠3=360°. 归纳： 如图，三角形的外角和等于360°. 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F 等于（ ） A.26° B.63° C.37° D.60° 2.如图,D是BC延长线上一点,下列说法中错误的是 ( ) A.∠1不是△ABC的外角 B.∠B<∠1+∠2 C.∠ACD是△ABC的外角 D.∠ACD>∠A+∠B 3.如图，是由一副三角尺拼凑得到的,图中∠1= °. 4.如图，直线 l1∥ l2，点 A 在 l2上， AB ⊥ l3，垂足为 B . 若∠1＝138°，则∠2的度数为 。 5.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E,若∠A=40°，∠BDC=55°，求∠AED的度数. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.三角形外角的概念 2.三角形外角的性质与推论 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业设计 1.如图，∠1的度数为( ) A.50° B.100° C.150° D.30° 2.如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E的度数为( ) A.30° B.40° C.60° D.70° 3.如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是 . 4.在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1＝23°，则∠2的度数是 . 5.已知∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数.
教学反思 本节课通过探究活动成功激发了学生兴趣，对定理的理解较为扎实。但部分学生在复杂图形中识别外角仍有困难，后续需加强变式练习。时间分配上，定理的探索过程充分，但应用例题稍显仓促。未来可设计更多联系实际的题目，提升学生将定理转化为解决问题的能力，实现知识的迁移与应用。
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