人教A版(2019)必修第一册《第五章三角函数》 2025年单元测试卷(B卷)
一、单选题
1.已知,则等于( )
A. B. C. D.
2.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知角是第四象限角,且满足,则是( )
A. B. C. D.
4.已知,则( )
A. B. C. D.
5.要得到函数的图象,只需先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变,再将所得图象上的所有点( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
6.如图,圆的半径为,是圆上的定点,是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,将的面积表示为的函数,则在上的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知锐角满足,则( )
A. B. C. D.
8.已知函数,下列结论错误的是( )
A. 函数的图象关于点中心对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的最大值等于
D. 函数既是奇函数,又是周期函数
9.已知函数,其中若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,将函数的图象向左平移个单位后对应的函数是偶函数,则最小正实数( )
A. B. C. D.
10.已知函数与的部分图象如图所示,则( )
A. , B. , C. , D. ,
二、多选题
11.将函数的图象向左平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的,得到函数的图象,下列关于的说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 由可得是的整数倍
C. 的表达式可改写成的表达式可改成
D. 的图像关于中心对称
12.下列三角函数值的符号判断正确的是( )
A. B. C. D.
13.下列各式中,值为的是( )
A. B.
C. D.
14.函数在一个周期内的图象如图所示,则( )
A. 该函数的解析式为
B. 该函数的对称中心为,
C. 该函数的单调递增区间是,
D. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到该函数
三、填空题
15.已知,则 ______.
16.在中,已知,则______.
17.在中,,是方程的两根,则 ______.
四、解答题
18.已知函数.
Ⅰ求函数的最小正周期和函数的单调递增区间;
Ⅱ若函数的对称中心为,求的所有的和.
19.已知.
化简
若是第三象限角,且,求的值.
20.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色如图,某摩天轮最高点距离地面高度为,转盘直径为,设置有个座舱,开启时按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周需要.
游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动后距离地面的高度为,已知关于的函数解析式满足其中,,求摩天轮转动一周的函数解析式;
若甲、乙两人分别坐号和号座舱即甲乙中间间隔个座舱,在运行一周的过程中,求两人距离地面的高度差单位:关于的函数解析式,并求高度差的最大值.
21.已知某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数,.
Ⅰ求该地区这一段时间内温度的最大温差;
Ⅱ若有一种细菌在到之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间?
22.已知函数的最小正周期为.
求当为偶函数时的值;
当时,若的图象过点,求的单调递增区间.
23.已知,,,均为锐角.
求的值;
求的值.
24.如图,在平面直角坐标系中,角的始边与轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点,它的终边与单位圆相交于轴上方一点,始边不动,终边在运动.
若点的横坐标为,求的值;
若为等边三角形,写出与角终边相同的角的集合;
若,请写出弓形的面积与的函数关系式注:弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形.
答案和解析
1.【答案】
【解析】因为,
所以.
故选:.
2.【答案】
【解析】,
,
,
.
故选:.
3.【答案】
【解析】由,
得,即.
角是第四象限角,
.
.
故选:.
4.【答案】
【解析】因为,
所以,
所以,
所以.
故选:.
5.【答案】
【解析】由题图知:,且,
对于:,故,则,
又,则,,故,,
由图知:是轴正半轴上第一个零点且在增区间内,不妨令,故,
所以,所有点的横坐标缩短到原来的,则,
再将右移个单位,.
故选:.
6.【答案】
【解析】在直角三角形中,,,
,
,其周期为,最大值为,最小值为,
故选:.
7.【答案】
【解析】
,,
,
则,
故选C.
8.【答案】
【解析】对于,,
的图象关于点对称,即A正确;
对于,,
的图象关于直线对称,即B正确;
对于,,,二者不能同时取到等号,
无论取什么值,均取不到值,故C错误;
对于,,,
是奇函数;
又,
是周期函数;
既是奇函数又是周期函数,即D正确.
综上所述,结论中错误的是.
故选:.
9.【答案】
【解析】依题意函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于可得,,
根据周期公式可得,
函数的图象向左平移个单位后所对应的函数
当且仅当,即时,是偶函数,从而,最小正实数.
故选:.
10.【答案】
【解析】由图象可知,,,
,,
又,
,
故选:.
11.【答案】
【解析】由函数的图象向左平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的,可得函数,
可得函数的最小正周期,所以不正确;
中,,可得,可得,即,所以,当,都是偶数或都是奇数时,为的整数倍,当,一个偶数一个奇数时,不是的整数倍,所以不正确;
中,,所以C正确;
中,函数的对称中心满足,,可得,,显然当时,对称中心为,所以D正确;
故选:.
12.【答案】
【解析】,故A错误;
,是第二象限角,则,故B正确;
,,是第一象限角,则,则,C错误;
,故D正确.
故选:.
13.【答案】
【解析】对于:,故A正确;
对于:,故B错误;
对于:,故C正确;
对于:,故D错误;
故选:.
14.【答案】
【解析】由图可知,函数的周期为,故即,代入最高点有.
因为故故A正确.
对, 的对称中心:故该函数的对称中心为故B错误.
对,单调递增区间为,解得故C正确.
对,把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,可得到故D正确.
故选ACD.
15.【答案】
【解析】解已知,
所以:.
则:.
故答案为:.
16.【答案】
【解析】中,,故A,,,
因为,所以,
所以.
故答案为:.
17.【答案】
【解析】中,,是方程的两根,
,,
,
,
故答案为:.
18.【解析】由题得:
,
,
令,
可得:递增区间为;
令,
可得:,
可取,,,.
所有满足条件的的和为:.
19.【解析】由题意,;
由,得,
又已知是第三象限角,
.
20. 【解析】设座舱距离地面最近的位置为点,以轴心为原点,与地面平行的直线为轴建立直角坐标系,如图所示:
设时,游客甲位于,得到以为终边的角为,
根据摩天轮转一周需要,可知座舱转动的速度约为,
由题意可得,,,
甲、乙两人的位置分别用点、表示,则,
经过后,甲距离地面的高度为,
点相对于始终落后,
此时乙距离地面的高度为,
则甲、乙高度差为
,,
所以当或时,的最大值为,
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值为米
21.【解析】Ⅰ,,
,
当,即时函数取最小值,此时最低温度为;
当,即时函数取最大值,此时最高温度为;
最大温差为.
Ⅱ令,得,而,,
,
解得:.
令,得,而,
同理可得.
故该细菌能存活的最长时间为小时.
22.【解析】,
,
,
当为偶函数时,
,
又,
;
,
又,
,
,
解得,
,
由得:,
的单调递增区间为.
23.【解析】,为锐角,,
.
,均为锐角,,,
,
.
24.【解析】因为角的终边与单位圆相交于,且点的横坐标为,
又因为在轴上方,
所以,
由三角函数的定义,可得:.
当为等边三角形时,因为在轴上方,则,即,
所以,即与角终边相同的角的集合是.
如图所示:
弓形的面积:,
扇形的圆心角为,所以,
过作于,
则,,
所以,
所以.
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