人教A版（2019）选择性必修第一册《第二章 直线与圆的方程》2025年单元测试卷（含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册《第二章直线与圆的方程》 2025年单元测试卷
一、单选题
1.若直线与直线，分别交于点，，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.过点，的直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，：，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.如果圆不全为零与轴相切于原点，那么( )
A. ，， B. ，
C. ， D. ，
5.以点，为直径端点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
6.经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
7.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值( )
A. B. C. D.
8.设直线：，：则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.直线与圆相交于、两点．若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点．光线从点出发，经，反射后又回到点如图若光线经过的重心，则等于( )
A.
B.
C.
D.
11.已知，；是圆上上任意一点，则的面积的最大值是( )
A. B. C. D.
12.已知圆：，直线：，圆上到直线的距离为的点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
13.已知圆：圆：，、分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
14.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为( )
A. B. C. D.
15.已知点是直线上一动点，，是圆：的两条切线，，是切点，若四边形的最小面积是，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
16.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角是
B. 若直线，则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是
17.已知点，，若圆：上存在唯一的一点，使得，则的值可能为( )
A. B. C. D.
18.已知圆，圆交于不同的，两点，下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题
19.过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程是______．
20.已知圆：上存在两个不同的点关于直线对称，过点作圆的切线，则切线方程为______．
21.经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线方程为______．
22.已知圆经过，两点，且在轴上截得的弦长等于，且圆不过原点，则圆的方程为______．
四、解答题
23.已知直线经过点，与直线和分别交于，两点，而且线段被点平分．
求直线的方程；
若圆的圆心在上，与直线相切，且直线被此圆截得弦长为，试求圆的方程．
24.已知圆：，直线：．
判断直线与圆的位置关系；
若直线与圆交于、两点，且，求直线的方程．
25.为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，且，，另外的内部有一文物保护区，，，．
求直线的方程．
应如何设计才能使草坪的占地面积最大？
答案和解析
1.【答案】
【解析】设，．
线段的中点坐标为，
，解得，．
，
直线的斜率．
故选：．
2.【答案】
【解析】过点，的直线的斜率，
解得，
．
故选D．
3.【答案】
【解析】直线：，：，
若，
即，
解得：或．
故选：．
4.【答案】
【解析】因为圆与轴相切于原点，则圆心在轴上，所以，
且由圆心的横坐标的绝对值等于半径，则，．
故选：．
5.【答案】
【解析】圆心为，即，
则，
故方程为．
故选D．
6.【答案】
【解析】圆心是两直线与的交点，
圆心为 的解，即圆心坐标为，
又该圆经过点，
半径为，
故圆的标准方程为．
故选：．
7.【答案】
【解析】已知直线方程为，
则，
令，
则，
即动直线过定点，
即，
已知直线方程为，
则，
令，
则，
即直线过定点，
即，
则，
则，
又，
则，
则的最大值为，
故选：．
8.【答案】
【解析】当时，两直线方程为：，：，满足，
当时，两直线方程为：，：，不满足，
若，则，
解得或舍去，
“”是“”的充分必要条件，
故选C．
9.【答案】
【解析】若，
则圆心到直线的距离，
即，
解得：，
故选：．
10.【答案】
【解析】以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系如图所示．
则，，．
设的重心为，则点坐标为，设点坐标为，则点关于轴对称点为，
因为直线方程为，
所以点关于的对称点为，
根据光线反射原理，，均在所在直线上，
，
即，
解得，或．
当时，点与点重合，故舍去．
．
故选：．
11.【答案】
【解析】由题意直线的方程是，即，，
则边上的高即点到直线的距离取最大值时，面积取最大值，
因为圆的圆心，半径，
则圆心到直线的距离是，
所以圆上点到直线的距离取最大值是，
所以面积的最大值是．
故选：．
12.【答案】
【解析】圆：化为标准方程为：
，
圆心到直线：的距离为：
圆上到直线的距离为的点有个
故选：．
13.【答案】
【解析】由题意知，，两圆的圆心均在第一象限，半径分别为，，
先求的最小值，作点关于轴的对称点，
则，
所以．
故选A．
14.【答案】
【解析】将圆的方程可以转化为：
，
即圆的圆心为，半径为，
直线的倾斜角为，作垂直直线于，如图在中，，
到直线的距离，即弦心距为，
，
弦长为，
故选D．
15.【答案】
【解析】圆：的圆心，半径是，
由圆的性质知：，四边形的最小面积是，
的最小值是切线长，
，
当切线长最小时，最小，
而圆心到直线的距离就是的最小值，
，
故选：．
16.【答案】
【解析】对于直线的斜率，故直线的倾斜角是，故A错误；
对于因为直线的斜率，，故直线与直线不垂直，故B错误；
对于点到直线的距离，故C正确；
对于过与直线平行的直线方程是，整理得：，故D正确．
综上所述，正确的选项为．
故选CD．
17.【答案】
【解析】因为的中点为定点，，且，
所以在以为圆心，为半径的圆上，
依题意可得圆与圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，
则，或，
解得，，，．
故选ACD．
18.【答案】
【解析】由题意，由圆的方程可化为，
两圆的方程相减可得直线的方程为：，即，
分别把，两点代入可得：，
两式相减可得，即，
所以选项A、是正确的；
由圆的性质可得，线段与线段互相平分，所以，
所以选项C是正确的，选项D是不正确的．
故选ABC．
19.【答案】
【解析】直线的斜率为，倾斜角为，所以，
过点的倾斜角为，其斜率为，
故所求直线方程为：，即
故答案为：．
20.【答案】或
【解析】根据题意，圆：，即，
表示以为圆心，半径等于的圆；
若圆：上存在两个不同的点关于直线对称，直线：经过圆的圆心，
故有，解可得，则点的坐标为；
过点作圆的切线，圆心到切线的距离，
若切线的斜率不存在，直线方程为，符合题意，
若切线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则有，解可得，则切线的方程为；
综合可得：切线的方程为或；
故答案为：或．
21.【答案】
【解析】联立，解得，
即两直线的交点为，又直线垂直于，
故所求直线的斜率为，故方程为，
化为一般式可得：，
故答案为：
22.【答案】．
【解析】圆经过，两点，且在轴上截得的弦长等于，且圆不过原点，
设圆：，根据题意得，
解得或，
圆的方程为或此圆经过原点，故舍去．
故答案为：．
23.【解析】直线经过点，与直线和分别交于，两点，而且线段被点平分，
设，，
则，
解得，，
，直线过，，
直线的方程为：，
整理，得．
圆的圆心在直线：上
设，
圆与直线相切，圆心到直线距离，
，
圆心到直线距离：
，
直线被此圆截得弦长为，
，
解得，，圆心
圆的方程为：．
24.【解析】直线：，即，
直线过定点，
圆：，圆心，
，即圆心到定点的距离小于圆的半径，
即定点在圆内，
直线与圆相交．
直线与圆交于、两点，且，圆：，
圆心到直线的距离为，
，解得，
直线的方程为．
25. 【解析】建立坐标系如图所示，在线段上任取一点，分别向，作垂线．
由题意，直线的方程为：；
设，则矩形的面积为：其中；
化简，得 其中；
所以，当时，此时，即取点时，有最大值，最大值为．
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