人教A版(2019)选择性必修第一册《第二章直线与圆的方程》 2025年单元测试卷
一、单选题
1.若直线与直线,分别交于点,,且线段的中点坐标为,则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.过点,的直线的斜率为,则( )
A. B. C. D.
3.已知直线:,:,若,则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.如果圆不全为零与轴相切于原点,那么( )
A. ,, B. ,
C. , D. ,
5.以点,为直径端点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
6.经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
7.设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的最大值( )
A. B. C. D.
8.设直线:,:则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.直线与圆相交于、两点.若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.在等腰直角三角形中,,点是边上异于,的一点.光线从点出发,经,反射后又回到点如图若光线经过的重心,则等于( )
A.
B.
C.
D.
11.已知,;是圆上上任意一点,则的面积的最大值是( )
A. B. C. D.
12.已知圆:,直线:,圆上到直线的距离为的点有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
13.已知圆:圆:,、分别是圆、上的动点,为轴上的动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
14.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为( )
A. B. C. D.
15.已知点是直线上一动点,,是圆:的两条切线,,是切点,若四边形的最小面积是,则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
16.已知直线:,则下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角是
B. 若直线,则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是
17.已知点,,若圆:上存在唯一的一点,使得,则的值可能为( )
A. B. C. D.
18.已知圆,圆交于不同的,两点,下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题
19.过点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程是______.
20.已知圆:上存在两个不同的点关于直线对称,过点作圆的切线,则切线方程为______.
21.经过两条直线与的交点,且垂直于直线的直线方程为______.
22.已知圆经过,两点,且在轴上截得的弦长等于,且圆不过原点,则圆的方程为______.
四、解答题
23.已知直线经过点,与直线和分别交于,两点,而且线段被点平分.
求直线的方程;
若圆的圆心在上,与直线相切,且直线被此圆截得弦长为,试求圆的方程.
24.已知圆:,直线:.
判断直线与圆的位置关系;
若直线与圆交于、两点,且,求直线的方程.
25.为了绿化城市,准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪,且,,另外的内部有一文物保护区,,,.
求直线的方程.
应如何设计才能使草坪的占地面积最大?
答案和解析
1.【答案】
【解析】设,.
线段的中点坐标为,
,解得,.
,
直线的斜率.
故选:.
2.【答案】
【解析】过点,的直线的斜率,
解得,
.
故选D.
3.【答案】
【解析】直线:,:,
若,
即,
解得:或.
故选:.
4.【答案】
【解析】因为圆与轴相切于原点,则圆心在轴上,所以,
且由圆心的横坐标的绝对值等于半径,则,.
故选:.
5.【答案】
【解析】圆心为,即,
则,
故方程为.
故选D.
6.【答案】
【解析】圆心是两直线与的交点,
圆心为 的解,即圆心坐标为,
又该圆经过点,
半径为,
故圆的标准方程为.
故选:.
7.【答案】
【解析】已知直线方程为,
则,
令,
则,
即动直线过定点,
即,
已知直线方程为,
则,
令,
则,
即直线过定点,
即,
则,
则,
又,
则,
则的最大值为,
故选:.
8.【答案】
【解析】当时,两直线方程为:,:,满足,
当时,两直线方程为:,:,不满足,
若,则,
解得或舍去,
“”是“”的充分必要条件,
故选C.
9.【答案】
【解析】若,
则圆心到直线的距离,
即,
解得:,
故选:.
10.【答案】
【解析】以为原点,为轴,为轴建立直角坐标系如图所示.
则,,.
设的重心为,则点坐标为,设点坐标为,则点关于轴对称点为,
因为直线方程为,
所以点关于的对称点为,
根据光线反射原理,,均在所在直线上,
,
即,
解得,或.
当时,点与点重合,故舍去.
.
故选:.
11.【答案】
【解析】由题意直线的方程是,即,,
则边上的高即点到直线的距离取最大值时,面积取最大值,
因为圆的圆心,半径,
则圆心到直线的距离是,
所以圆上点到直线的距离取最大值是,
所以面积的最大值是.
故选:.
12.【答案】
【解析】圆:化为标准方程为:
,
圆心到直线:的距离为:
圆上到直线的距离为的点有个
故选:.
13.【答案】
【解析】由题意知,,两圆的圆心均在第一象限,半径分别为,,
先求的最小值,作点关于轴的对称点,
则,
所以.
故选A.
14.【答案】
【解析】将圆的方程可以转化为:
,
即圆的圆心为,半径为,
直线的倾斜角为,作垂直直线于,如图在中,,
到直线的距离,即弦心距为,
,
弦长为,
故选D.
15.【答案】
【解析】圆:的圆心,半径是,
由圆的性质知:,四边形的最小面积是,
的最小值是切线长,
,
当切线长最小时,最小,
而圆心到直线的距离就是的最小值,
,
故选:.
16.【答案】
【解析】对于直线的斜率,故直线的倾斜角是,故A错误;
对于因为直线的斜率,,故直线与直线不垂直,故B错误;
对于点到直线的距离,故C正确;
对于过与直线平行的直线方程是,整理得:,故D正确.
综上所述,正确的选项为.
故选CD.
17.【答案】
【解析】因为的中点为定点,,且,
所以在以为圆心,为半径的圆上,
依题意可得圆与圆只有一个公共点,则两圆外切或内切,
则,或,
解得,,,.
故选ACD.
18.【答案】
【解析】由题意,由圆的方程可化为,
两圆的方程相减可得直线的方程为:,即,
分别把,两点代入可得:,
两式相减可得,即,
所以选项A、是正确的;
由圆的性质可得,线段与线段互相平分,所以,
所以选项C是正确的,选项D是不正确的.
故选ABC.
19.【答案】
【解析】直线的斜率为,倾斜角为,所以,
过点的倾斜角为,其斜率为,
故所求直线方程为:,即
故答案为:.
20.【答案】或
【解析】根据题意,圆:,即,
表示以为圆心,半径等于的圆;
若圆:上存在两个不同的点关于直线对称,直线:经过圆的圆心,
故有,解可得,则点的坐标为;
过点作圆的切线,圆心到切线的距离,
若切线的斜率不存在,直线方程为,符合题意,
若切线的斜率存在,设直线的方程为,即,
则有,解可得,则切线的方程为;
综合可得:切线的方程为或;
故答案为:或.
21.【答案】
【解析】联立,解得,
即两直线的交点为,又直线垂直于,
故所求直线的斜率为,故方程为,
化为一般式可得:,
故答案为:
22.【答案】.
【解析】圆经过,两点,且在轴上截得的弦长等于,且圆不过原点,
设圆:,根据题意得,
解得或,
圆的方程为或此圆经过原点,故舍去.
故答案为:.
23.【解析】直线经过点,与直线和分别交于,两点,而且线段被点平分,
设,,
则,
解得,,
,直线过,,
直线的方程为:,
整理,得.
圆的圆心在直线:上
设,
圆与直线相切,圆心到直线距离,
,
圆心到直线距离:
,
直线被此圆截得弦长为,
,
解得,,圆心
圆的方程为:.
24.【解析】直线:,即,
直线过定点,
圆:,圆心,
,即圆心到定点的距离小于圆的半径,
即定点在圆内,
直线与圆相交.
直线与圆交于、两点,且,圆:,
圆心到直线的距离为,
,解得,
直线的方程为.
25. 【解析】建立坐标系如图所示,在线段上任取一点,分别向,作垂线.
由题意,直线的方程为:;
设,则矩形的面积为:其中;
化简,得 其中;
所以,当时,此时,即取点时,有最大值,最大值为.
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